장음표시 사용
591쪽
PROPOSITIO CCCXXXVII. Esto ABC parabolae diameter AD, ad quam ordinatim ponantur
lineae B E; ducantur autem ex B lineae B F, inter se parallelae, de proportionales lineis EB. Dico puncta Α, Fesse ad parabolam. DemonstratIO.
Vngantur EF: Quoniam tam FB lineae inter se. quam E B aequidistant, anguli E B F aequases sunt: unde cum proportionalia siat latera E B, B F, aequales angulos continentia, triangula quoque EBF inter se similia sunt i adeoque& EF lineae aequid istantes sunt ad invicem i & E B lineis proportionales r quadra tum igitur EF est ad quadratum EF, ut EB quadratum ad quadratum EB , id est vi AE linea ad lineam A E: unde puncta A,F, F sunt ad parabolam.
P ROPOSITIO CCCXXXVIII. Sto ABC parabolae diametet AD , & ordinatim ad illam positae
C. D, B Et & E B quidem iuncta A C, diuidat in F : ductis autem parallelis B G, quae A C lineae occurrant in Gi fiat ut FB ad BG, se EB ad B H. Di eo Α H puncta esse ad parabo
Demon ratio. Σ Vngantur enim EH: Quoniam EB,BHAIineae proportionales sunt , lineis FB, B G. v angulus F B G communis, trian; tulis FBG similia sunt triangula EB Hr. limi autem Se FBG ttiangula quoque similia,cum tam FB lineae inter se, quam B G-2quidistent;igitur St E B H triangula similia sunt. Quare ut EB ad EB, sic EH ad EH, adeoque per praecedentem puncta A H ad eandem fiunt parabolam.
B D. cui parallela ponatur Α Ε, iecans parabolam in At
ducantur autem ad axem ordinatim lineae EC,&inter F E, E C mediae ponantur E G. Dico A G, B puncta esse ad parabolam. Demonstratio.
. a. . Π Si enim ut AElinea ad lineam AE, sic FE tectangulii ad rectangulum FE C. n. isitur& E G quadratum est ad quadratum E G, ut AElinea ad lineamAE;qua re A, G, G puncta ad parabolam siunt. PRO-
592쪽
Atis rectis A B, C D se mutuo decussantibus
D to AB latere tecto i exhibere illius para,
a . - - i constructis es' demons Ito.
PROPOSITIO'CCCXLII. π lL. Atis tribus punctis A,B, C non in diremim positis,& Mea B D , quae per aliqucidexdatis
punctis transeat, oportet parabolam describere per A, B,Cpuncta cuius aliqua sit diameter BD.
Congismo G demonRναι .Encta AC secetvt bifariam in, ponaturque AF parallelata: BD, &BF rectae AC: fiat autem ut AE quadratum ad quadratum BR sie EG linea ad lineam FG. describaturque per B. G, C para' , laeuius diameter sit BD, pa- δαtet illam quoque pet η A transire. ZIgitur,dcc. Quod erat faciendum.
593쪽
EAdom posita sint quae prius: ' i o . Dico parabolas illas in infinitum productas magis temper ad inuicem accedere, nusquam tamen Occurrere.
enim per praecedentem ae- - miles sint parabolae ABC.DER atera recta φ quoque inarum aevalia sunt, quare nusquam,din infinitum productae concurrent quolvero maeis semper ad inuicem accedant se ostendo. ponantur ad B G diametrum in parabola ABC, ordia narim ΗΚ, Lin&LN quiflem remotior si a vertice B, quam HK. qualia igitur sum rectangula H DK. LMN ex hypothesi. quare H Dest ad L M, ut MN ad DK, sed MN a. t . . . . ior est D Κ, quia LN, maior est Η virote emotiora vertice B, recta igitur H D quoque maior est L M. . Similiter si remotior ''quis a B, parallela assumatur,ostendetur LMm iorem ede quavis sibi aequi ante infra se posita; masis igitur semper ad inuicema edun parabolae AB C, DE P. asymptoticae igitur sunt parabolis ABC, DEF.
594쪽
C situm sudatae parabolae pa- rallelam siue asymptoticam d scribere. ' I
rim plicerut AEC. positique AC ri s parallelis, ΗΚ. secentur H Κ mDM , I F, ri tam HDΚ quam H FK, re- I Dictangula aequalia snt quadrato AE: I IConstat ex a me demonstratis, D EF I lpuncta esse ad parabolam parallelam parabola: ABC. fecimus igit
PROPOSITIO CC CXLVli R Ssumpta figurii propositionis 3 3.sint ABC, D EG p
595쪽
pROPos ITIO CCCXLVIII. Contingens' parabolis paral
lelis intercepta in contactu bissecatur.
Demonstratio. Ponatur per E punctum quod uisse
perimetro parabolae DEF assum. ptulti contingens AC ; dico AC in E bissecari , posita pee T , diametro B G, ponatur quaruis DF, equidistans AC i occurrens parabola: ABC in
I l l I I H di R. quoniam igitur FD, aequi
d inat confingenti KC; recta FD in G, abissiecta est: sunt autem aequales H D.
F Κi tota igitur ΗΚ in G biffecta est: quare M AC baequidistans Hia ab eadem diametro in E bissecatur. C. ι e i i
Riangula quae fiunt a contingentibus, parabolis parallelis interceptis, & diamerris per contactuum puncta ductis , inter se aequalia
IΗΚ parabolam contingant AC, DR, F G: ponantur aute m per H . I, Κ, contactus diametrii BH, MΜΚ, intelliganturque iungi FMG, CBA, DLE : dico triangula FMG , CBΑ, DLE inter se eme aequalia: quoniam enim parabolae parallelae sunt, diametri L LBH,M K aequales sunt: sunt autem A C, D E, FG contingentes in H, I, . bifariam diuisae; aequalia agitur sunt si trian-
PROPOSITIO CCCL. EAdem posita figura i sint in ABC parabola lineae tres AC, D E,FG.
aequalia auferentes segmentar secentur autem A C, D E, FG bifariam in H, I, Dico puocta Η, I, Κ esse ad parabolam parallelam parabolae ΑΒ C. Demonstratio.
G Rigantur ex H, I, Κ punctis diametti HB, MK, LI: quoniam aequalia sunt se metua DAE, ABC, GMF, triangula quoque D LE, ABC, FMG, aequalia sunt et quare & diametri L I, B H, M K aequales sunt, M puncta II, 1, Κ ad parabolam parassetam ΑΒ C. L
596쪽
Sint AB C, FH G parabolae parallelat, recta autem AB contingat in G parabolam FH Gi ponanturque D E aequidi I antes AB. Dico AG quadrato, aequari reet angui singula PFE. Demonstratio.
Donatur A H aequid istans diametrox C G, occurrenique F H G parabo- ις in H puncto per quod recta ponatur P H Q parallela A B : ut C G ad AH, sic A G B rectangulum id est quadratum A G, test enim A B conis tingens in G biffecta 2 ad rectangula, PHM: aequales autem b sunt diametri CG, AH, igitur Se PHMwCtangulum aequale est quadrato A G. sed P H M,D F E rectangula ς aequalia sunt, quadrato igitur AG aequalia sunt rectangula singula DF E.
-ΙIsdem positis i recta A H occurrat D E lineis in L . rsDico DIE rectangula aequari quadratis F L. mmonstratio. ι
Quoniam DE lineae in L diuisae sunt bifariam , de non bifariam in F, quadrata L D squalia sunt quadratis L F una cum rectangulis DPEr eadem de crata quadrata LD aequalia sunt quAdratia LI Una cum rectangulis DIE. 2 natauusa igitul DFE una eum quadratis F L Rqualia sunt qaadratis LI sint ut eum rectangulis DIE: aequalia autem ostensa sunt 4 rectangula D F E, quadratis L Iid est A G, alefidua igitur tectangula DIE residuis qu dratis FL aequalia sunt. ι . -- -
PROPOSITIO CCCLIII. IN tra parabolam ABC
assumpto quovis puncto D ponantur per D lineae qaotcunque ΑΒ E Cinant autem AD , ED lineis aequales B F, C G.
Dico D, F, G puncta esse ad parabolam parallelam parabolae ABC.
DEmonstratio manifesta est ex Coroll.huius,ubi demonstratu est positis parabolis parallelis ABC, DFG rectas ED, GC, item AD, PB esse inter se aequales.
597쪽
applicatio rabolarumparallelarum adhuer iam interos totospositarum.
nantur EH, aequidistantes FG, quae in I secentur, ut FI G recta gula, aequalia sint quadrato E B. Dico b II ad eandem esse hyperbolam.
DLmonstratio habetar in libro nostro de hypeihola propositione i . plicatio aristiou 3 4.huius.
' Mem posita figura. oleo E D, D H lineas m infinitum productas, magu semper ac
magis ad hyperbolam accedere, nusquam autem conuenise. I Emonstratio habetur in lib. nostro de hyperbola propos.II. 'plicatio propositionum 346.3 I. Mias.
PROPOSITIO CCCLV LAB recta inter asymptotos Α C , C B hyperbola:
F G N eonstituta in G vertice diametri ΚG diuisa fit bifariam , & AB quidem te qui distent D F E. Dico D F Α rectangula aequati inter se uti & rectanguiniis D N E , siue quadrato A G.
monstrationem vide in lib. de hyperbola propos corol.
598쪽
Corollarium. FX liis quoque sequitur,lineas DF,NE esse inter se aequales. .a Anticatis pse finia --.
PROPOSITIO CCCLVII. Iisdem politis:
Dico DIEI. Dico DIE rectangula aequari quadratis L F.
oenis contingens hyperbolam it cum asymptotis copuncto contactus bifariam secatur.
V Emonstrationem vide in libeo mi L rus de bypobola,parte secunda. pluaris propositionu 3 3 huis.
PROPOSITIO CCCLX.Ltra angulum BAC punctum a
assumatur quodvis F , per quod rectae ponantvr B F C, pertinentes ad ummaque anguli latus in C&B: fiantq; BF lineis aequales CE, devicissim CF aequales DB: Dico puncta E F D esse ad hyper- Zbolam cuius asymptoti sint BA,
A C. Emonstrationem vide in hyperbesa parte,vltima. conueniens in
599쪽
DArae parabolae tectae ABC, aequalem exhibere inclinatam , cuius
ordinatim ad diametrum positae datum angulum constituant.
Z l gulum EDB aequalem faciat a U
satisfacere petitioni. Cum enim V k v traque parabola , communem ita beat subtensam AC , & eandem altitudinem, constat illas inter se esse aequales: quod autem ΑDE parabola sit inclinata, ex eo patet quod AC linea & illi requi- distantes, diametrum D E ad angulos secent obliquos. .
T Atae parabolae inclinatae axem exhibere. a sensis otio demonstratis.
H xj. rabolae inclinatae. cum enim FE aequissistet BD diametro , recta 1.m,sa. FE quoque sectionis diameter est: quia vero lineam H C, bifariam & ad rectos secat angulos constat FEa axem esse parabolae ABC. exhibuimus igitur.datae parabolae inclinatae axem. Hine patet nullas prorsu inclinatvi dari parabolin qua diues sint .atura a rectis r oris enim essentiaia ilia , primaria passis commvnu,quia ordinatim ad axem applicara, eandeHad angulos secent rectos. id quod etiam intinio vetim de huerbola eo essi : smiliter enim in omnisectione coni, siue sperbola, sueta si uerit, offenditur, ordinatim Maxes avst. eam eo em ad angulos rectos diuiderer inde noliri omnino dari conisectiones natura inclinatώ, siae qua diuersam a rectis habeant naturam constat.
600쪽
data parabola diametrum assignare, eui data linea inseruiat prolat recto, modo minor ea non existat latere recto axeos datae parabolae. ου Go in monstrario.
,Αtast linea A & parabola BCD. oporteat exhibete diametrum quae latus te factum sit quod petitur , & ML sit diame A istum halinat aequale dat e lineae A factum sit quod petitur a & M L lit diame. Hi, cui A linea inseruiae pis latere recto.Ιnueniatur CG axis a parabolet BC D, ae . qualis lateri tecto a lineae autem CG aequalis fiat MI, & ML. CElineae singulxaequales rectae Α: ponanturque per L, de E, item G de I ordinatim ad diametros suas lineae Η P, KD, B T, NM quoniam igitur MI, CG lineae aequales sunt, segmenta v K MD, H CP aequamur et posita igitur ex D , linea DS normali Mis Θαd de divisam ex K diametrum ΚS, rectet ΗP, SD R aequales fiunt. similiter aequales ostendentur R Q, ΒΥ. Rursum cum ML aequalis ponatur lateri suotecto R M. ω NL ordinatim ad ML, tectς N L, 4M L aequales sunt, quia vero M I at m ' - -
lix est CG . & CG data est uti de ML hoc est NL, recta quoque xl data est, eum sit MLad MI, ve N L quadrarum ad quadratum K I: ω quia datae quoque sustrineae C G , C E adeo b & H P, B T, tectae quoque S D, R quae illis osten sae sunt aequalest datae sunt: igitur cum anguli K S D,N R QIaecti sint, data qismi sunt triangula K S D, N S G& anguli S R D, RN Q id est Κ IM,NLMt compta. nendo igitur data M L tecta aequali A, re punctis diuisionum I Et Li applice tur ad I & L, datae lineae KD,N n datis angulis ΚΙΜ, N LM trectae autem hi, N o bissectae sintin I &L. tum per X, M, D, puncta parabola describaturi
trinsibit illa per N&., cum per resolutionem ostensii sit eue MI ad ΜI., ut KI quadratum ad quadratuin NL : lnveniatur deinde purabolia ΚMD avis CG MML diameter tiansferatur in parabolam datam, ponaturque ab axe eiusdem, intervallo EM normalis ad axem i patet per resolutionem, positione inuentam esse