P. Gregorii a S.to P. Vincentio Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum

571쪽

PARABOLA. . Demonseratio.

Ponantur iterum DC parallela: AB. erit igitur D C quadratum ad quadratum DC, ut AD linea ad lineam ΑD. id est BC ad B puncta igitur B, I , D, ad parabolam sunt. R

e ROPOSITIO CCXCII l. Esto ABC D parallelogrammi diameter B D,

quam in G, secent lineae quotcunque E F,lsarallelae lateri AB. fiant autem proportionales F E, H E, GE. a Dico B, H, H puncta esse ad parabolam.

572쪽

Demonstratio.

CVm enim anguli A DE ponantur recti.& DB linea normalis ad AB, , rectangulis A B E aequalia sunt qua- drata DR, id est FE: sed ΑΒ Erectan

gula illa inter se seruant proportionem,

quam lineae BE,igitur ut BE ad BE,sic

EF quadratum ad quadratum EF unde BFF sunt b ad parabolam cuius e latus rectum A B. Quod erat demonstradum.

PROPOSITIO CCXC v I SEccnt ABC trianpulum, rectae quotcunque D E, F cteri BC parallela: i fiant autem continuae proportiOIK P: item B U, HI, H Oi item B C, F G, F N : denique Dico put icta A, M, Ν, Ο, P, C, ese ad parabolam, Demon' alio. finoniam BC linea communis prima est, is . Driebus Continuarum BC, KL, KP: BC , HI, TH Ο : B C. F G. FN. 8cc. rectangula B GK P. B CHO , BCFN, B C D M illam solliunitie etatio- , lnem quam habent lineae KRHO.FN, D M. igi- A et dequadrata ΚαHI, FG. DE eandem qum in I ique seruant proportionem: sed vi K L quadratum, ad quadratum H I, sic K A quadratum est ad qua- ι, udratum H A, dc ut HI quadratum ad quadratum FG, sie H A quadratum est ad quadratum FA,&e. igitur&quadrata Αx, ΑΗ, AF, AD illam di,1.D. habent racionem quam lineae ΗΡ, H FN, D M. puncta igitur A,M,N, Ο, Pad

a parabolam sunt. f. . . v

cunque diuisum in M i

dem occurrat Λ D in

M; IN vero i psi A E in N: dein Κ O,rectae F Α in O, & L P, ipsi A G in P. -Dico A, M,N, O, P, C esse ad parabolam.

573쪽

PRoducta HM, occurrat lineis AD , Α Ε, 4 F, AG in Q R, S,Ts quoniam est AH ad AL ut BD ad BE , ex hypothesi ; sit autem ut BD

IN. proportionales igitur sunt HM, HR, IN. λmiliter ostenduntur Pr portionales HM , HR,NO: item ΗΜ, HS,LH denique HM,HT, BOquare rectangula H MIN. ΗMΚo,ΗMLP,'&α illam inter se proportionem habent, quam H HR, HS quadrata: sed est vi H Q quadratum ad quadratum ΗR, sic BE quadratum ad quadratum B F, id est pet hypothesim AI quadrarum ad quadratum ΑΚι Scut HR quadratum ad quadratum H S, sic quadratum B Fad quadratum BG, id est quadratum AK ad quadratum AL: igitur 3c rectangula HMIN, H MKO, ΗMLP eam inter se seruant rationem quam ΑΙ, ΑΚ, AL quadrata: sed rectangula ΗΜ I H MKo, H MLP sunt ut lineς IN, Κ LPsigitur & quadrata ΑΙ, ΑΚ, AL eam mter se habent proportionem, quam linea IN, Κ O, LP. quare A,M, N, O, P sunt ad parabolam .Quod erat demonstrandu.

PROPOsITIO CCXCVIII. Sto ABC trianguli latus AB diuisium in D, E, F, G punctis vc. ratio AD ad AE , duplieata sit rationis A E ad ΑF; Milla rursum duplicata sit rationis AF ad AG, &c. dein ex D, E, F, G punctis rectae erigantur DH, EI, F Κ, GL pa telae lateri CB: quas in M, N. o secent lineae H M, I N. Κo aequi distantes lateri Α B. Dico A,M, N, O, C puncta esse ad parabolam. .

. i. Dina

inoniam ratio AD ad AT id est D HadEI i id est EM ad FN. duplicata est rationis AE ad AF , quadratum AE est ad quadratum AF, ut EM lineae ad linεam FN. similiter ostendetur esse ut FHM G sic A Fquadratum ad quadratum AS puncta vitur A, M, N, O v sunt ad parabolam.

574쪽

PARABOLA.

PROPOSITIO CCXCIT

SEmicirculum ABC sece e

orthogonaliter in D diametri duae AC, B D. pon tur autem EE linea parallela ΑC : dein sumptis in AC punctis F p, erigantur norma les FE, Occurrentes EE lineae in E, semicirculo in GG. fiant autem proportionales EF,

GF, H F. Dico H, H, C puncta esse ad parabolam. Demonstraim.

CVm enim proportionales sine EF, G RH F, erit ut quadratum FG ad quadratum FG - sic AEF H rectansulum ad rectangu lum EF Η: led EFH rectangula illam inter se habent rationem,quam lineae HRigitur & H F lineae siunt ut quaiurata GF: id est ut AF C rectangula, puncta igitur H,Η.C ad parabolam sunt. Mem continget in Hi ,si Α C,B D diamrari ponantur coniugata, , E F atquid ames

PROPOSITIO CCC.

C Egmentum circuli ABC subtendat recta A C . quam in o fecerit quotcunque D E, parallelae contingenti FG per A ductae fiat auatem ut A B ad A B, sic D E ad D E. Dico RE,E puncta esse ad parabolam. Demonstratio.

TVngantur AB, BC: quoniam pG contin. Agens est, angulus C AG aequatur angulo ABC: sed angulo C AG aequalis est angulus ADB, quia FG, DE atqui distant ἔ an gulo igitur ABC aequalis est angulus Α D B: oc triangula A B C, A BD, similia sunt. quare ut AD ad AB, sie AB ad AC i&D AC rectangulo aequale est quadratum AB. quadratum igitur ΑΒ est ad quadratum AB, ut D AC rectangulum adreaangulum D AC, id est vi DA linea ad lineam DRI sed ΑΒ quadratis aequalia sunt quadrata DE, quadrata igitur D E eam habent rationem,quam obtinent lineae DA. R quare A, E puncta ad parabolam sunt.

575쪽

R Ssumptum sit in ABC semicirculi diametro AC, punctum quod-a,cunque D, quod centrum non sit, & ex D ad peripheriam , re ducantur DE: aganturque per E, lineae GF, normales ad diametrum AC,& DE rectis aequales. Dico G G puncta esse ad parabolam. . ' Demonstratio.

CRigatu r ex D linea D B not- - malis ad diametrum AC ractaque per B contingente, quς AC, diametro occurrat in H, secetur H D bifariam in Ide

per I de B, describatur parabola habens IC axem, occurrens que rectis FE in G. Quoniam DB , ordinatim posita est ad axem I C. de D I, III lineae ae.' quales , continget HB Iinea. parabolam in B: quia vero in eodem puncto, eadem recta circulum contingit, nistingent quoque sese in eodem puncto k circulus de parabola quare D E lineis e squales sunt rectae FG. Igitur cum FEG lineς normalesad diametrum A C,rectis D E. ponantur aequales,puncta G, G ad 4 parabolam sunt: cuius apice ν assignat punctum in quo H D diuiditur bifariam.

PROPOSITIO CCCII. PArabolam priori propositione productam in infinitum eadem praxi

extendere.. constructio re daemonstrario.

FIae CD, aequalis C F, parallela BD : erit F ad parabolam MAH , eum omnes

DE, transataee in GEH ad parabolam sint. facta deinde C M, aequali MN, ε . natur NF contingens parabolam, Ac erigatur F O perpendicularis ad N P contim gentemi centroq; O interuallo FO circulus describaturi continget alle a parabolam.&NF lineam in F: tum parabola describatur, hquae ex descripto iam circulo X. FP, oritur; haec quoque continget circulum ΚFP 8cNF. lineam in F, ut in priori propositione ostensum est;vertex igitur eiusdem est in M, cum M C, CN lineae aequales sint: ergo parabolae illae duae communem habent verticem M, dc punctum P vna igitur eademque sunt parabola, quae per utrumque circulum est descripta: ergo circulus ΚFP parabolam priori praxi descriptam producite atque ita eadem para bola eadem praxi in infinitum continuabitur .Quod erat propositum.

576쪽

producta in D, ex quo in circulum immit- .

tantur lineae D B ; aganturi, ad AC per B nor- st males FE proportionales ipsis B. quarum ter- semini sint F F. IllDico FF. puncta esse ad parabolam.

U Vcatur ex D linea D G, contingens circulum in f INIMG, 8c ex G, ponatur GH normalis ad AC , iun- ' lsanturque HB, igitur DB a ad D B est ut B H ad B H. l Alled B H trani latae In FE,producam parabolam, igi- l l ltur ipsis DB id est B Hi Arqportionales in eundem l

IOchm trangatae, producum quoque parabolam. U

Assumptum sit in ABC circuli diametro AC, punctum quodcun

que D , extra centrum. radici autem DC; quadrans describatur ei reuli CE F, perficiaturque quadratum FD C. tum ex D rectae ducantut

est, de D, centrum circ*iC EF, rectae DE, lineis Ist 'ae quales sunt e ponuntur autem g

577쪽

que ex A lineis, ADC, demittanis tur .ex D rectae DEF orthogonaliter secantes A B diametrum in F F.

fiat autem ut DC ad DC, se FH ad FH. Dico B, H puncta esse ad parabolam. Demonstratro.

Ungantur DB CB: erunt igitur trian-- gula DCB similia : quare ut DC ad DC, sic DB ad DB; sed DB transsatae in F Η producunt parabolam, igitur& DC etanslatae in F Hsectionem producunt parabolicam.

quidem circulus transeat per centrum Cirinculi Α CD, ducanturq; ex Α rectae Α Ε D, occurrentes circulo ABC in E , de Α CD in Det ponantur autem per E E ad HB, normales F G , quae aequales vel proportionales sint lineis A D. Dico puncta G,Gesse ad parabolam. Demonseratio.

- - Γ Vcta A C, ponatur B H diameter, normalix Mad diametrum A C. iunganturq: puncta H R. erit igitur AD ad AD lineam. , ut HEM HE. sed ut AD ad AD, sie FG est ad FG per bypothesimi igitur & F G est ad F G , vi H E adHElied ΗΕ transsatae in F E G producunt φ Paritabolam, igitur M AD Nausiatae in. FE G parabolam produc ul.

A P ex vero inuentae parabolae G G , est punctum H : nam FG quadratum est ad A quadratum F G vi H E quadratum, ad quadratum H E, id est ut F H linea ad lineam F H. unde H, vertex est parabolae.

578쪽

PARABOLA. 4'' PROPOSITIO CCCVII. Crculum ABC, orthogonaliter in E dividant diametri duae AC, B D: descriptoq; super A E ut diametro, semicirculo AF E, agantur per E. rectae quotcunque F G, & ex F dc G, lineae demittantur FAEGI normales ad diametrum A C, quam G I secent in K. fiat autem ut AH ad Α Η, sic K. M ad KM, incipiendo ex parte versus C, item ut E H ad F H , sie Κ L ad KL incipiendo ex parte E. Dico puncta D,M,M, item Ε,L,L esse ad parabolas.

Demonuratio. - e ungantur A F: Quoniam F H, AGK aequidistant , triangula FHE, E G sunt similia ; est autem fic FHE triangulum s-mile triangulo AFE : igitur de ΑFE, EΚG ttiangula limitia sunt.quia vero AE aequalis est

latera, aequalia lateribus G Κ, ΚEs unde ut A F quadratum a lquadratum A F, id est GK quais oratum ad quadratum GK , sic i et in . I 2. Et ni i , AH linea ad lineam AH, id est per hypothesim ΚMad K M. sed est ut GK quadratum ad quadratum G Κ, sc AK C rectangulum ad rectangulum ΑΚ Ci igitur ut ΑΚ C rectangulum ad rectangulum A KC, sic ΜΚ linea est adlineam Μ M. x quare D,M,M puncta ad parabolam sunt.Quod erat primum. Rursum cum sit ut EH ad EH, sic LΚ ad LΚ , sit autem vi EΗ ad ΕΗ, sic EF. quadratum ad quadratum EF, id est E K quadratum ad quadratam ER , erit M L, K linea ad lineam L Κ, ut E Κ quadratum ad quadratum E Kr unde ELL huncta sunt ad parabolam .

PROPOSITIO CCC Vi M. sint ad A B diametralem 'gotcunque de- H

scripti circuli contingentes sese in eodem puncto Α, quorum diametri AB, ΑΚ, Α L, Α Mi &e. ductaq; ex B linea BC, continSM RI'

es culum minimum in B, teliseos autem v lj

rabolam cuius AB, latus rectum. , VI Demonstratio. O . a

Quoniam BD normalis est ad communem dia- P4--α-- -- metralem AB,quadratum BD,&ad quadra- tum B E ut A B Κ rectangulum ad rectangu -

579쪽

tum extendi.

A R A B O L A. Ium Α B L, id est quia circuli contingunt sese in Ain vi B K linea est ad lineam B L. igitur & quadratum K Q est ad quadratum L R. ut B K linea ad lineam L B i cum L R , Κ mea: aequales sint

BD, B Et eodem modo ostenditur MS quadratum esse ad quadratum N T, ut B M linea est ad lineam B N, & sc de caeteris: puncta igitur B, R, S, T, &c. sunt ad parabolam. A B ergo latus rectum esse patet, cum semper quadraea D K, R Κ, Ste. aequalia sint rectangulis super ΚΗ, ΒΑ, LB, B Α , &c.

Corollarium. HInc iacilis paret praxis, producendi in insin tum parabolam, priori methodo Ortam: Cum enim in infinitum multiplicari possint circuli illi contingentes, & B C lineae protendi, poterit quoque in infinitum continuari praxis qua prius parabolam produxi; adeoqi eadem poterit in infini-

PROPOsITIO CCC IX. Esto ABC semicirculi diameter AC, actam per Α contingente AD,

ducantur ex C lineae C B D, occurrentes contingenti in D, semicir

culo in B: dein ex D normales demittantur D E quas in E secent lineae B , ΑΕ. . 'Dico puncta A,E, E esse ad parabolam cuius latus rectum A C.

Demonseratio.

- Α ex demonstrandum. Donantur enim EF aequidistantes A D. quoniam Α D contingens transit per A extremum diametri AC . angulus C AD rectus est: sed te angulus quoque ABC in semicirculo rectus est , triangula igitur

A BD, AD C similia stini: quia vero E D, normalis est ad AD , & DB normalis ad AE, triangula ADB ad Α DE. similia quoque simi. sed ADB simile est triangulo CAD, triangula igitur AD E , ADC similia quoque sunt. quare ED ad DA,ut DA ad AC radeoque quadrato A Didia IF E aequale rectangulum EDACi id est FAC. unde FE quadratum est ad quadratum FE ut FAC rectangulum ad rectangulum FA C, id est ut F A I in ea ad lineam P A, puncta igitur A, Esent ad parabolam. Ac vero jatus rectum eiis patet

580쪽

Dico puncta B,I,D esse adparabolam. nonstratio.

QVoniam est ut GH ad ΗF, se

H F ad FI, erit componendo in uertendo ut GF, id est-EM , ad GH, sic HI ad H F; rectangulo igitur E G F , id est E H F , aequale est rectangulum GHI: de GHIre- Σ ctanguluin ad 'rectangulum G HI, Ξι ut EHF rectangulum ad rectangu- et . tum E HRid est Bh D ad BI D, rectangulum 1 sed GHI rectangu . 'lum ei, ad rectangulum GHI ut HI Iinea ad lineam HIι igitur. veBHD rectangulum ad rectangulum B H D, sic HI linea ad lineam Id L puncta igitur BID ad parabolam sunt.

PROPOSITIO CCCXI.

IN scriptum sit circulo ABC rectangulum ABCD, ductisque unita- telum D A parallelis E G H p. fiant E G F rectangulis aequalia rectangula H GK. Dico puncta AKB esse adparabolam. O Il

Temonstratio. UT E GF rectangulum est ad rectangulum FGF, sic

AGB rectangulum est ad rectangulum AGB r igi- Atur de H GK rectangulum est adirectangulum H GRAGB ad AGB, rectangulum. sed HGK rectangulum est ad rectangulum H GK ut Ux linea ad lineam GK: igitur & A GB rectangulum est ad rectangulum AGB, ut G K linea ad lineam G K; puncta igitur Α Κ B ad panrabolam sunt. Quod erat ostendendum.

pROPOSITIO CCCXII. Meriptum sit iterum rectangulum ABCD, Icirculo AB C,ductaq; lateri BC parallela E F,

quae circulum contingat, ponantur rectae GH,

aequi distantes lateri AB: fiantque GIL rectangulis, a qualia rectangula HI M. Dico A,M, D puncta esse ad parabolam. '