장음표시 사용
561쪽
Isi ad h. ergo E C est ad F B, e id es A D ad A L, vs ιε. ad 1. e sie de cateru: Visur AL dat mnum , quorum ΑM quatuor; AN nouem: Α D sed tim. . Rursum cum IR sit ad OP, ut AI ad A o, tu est AG ad Ap. ponatur autem A Gdupti A F, erit o IR dupla OPr eadem methia. Uraditur KΤ triplam esse PQ laeo P, se quialteram ipsus I R. unde incremensum inuolscis linearum BO, IR, Κ T. Secuniarimentorum conuexorum A B, ΑΙ, Α Κ, A C artihmelisa proportio se insti-- tuitur. Triangulum A B O quale exfrriangulo A F B oam F B, BO aquales sense fini adesi triplum sigmentiς AB: quare totum triangulum ABI, sextuplam est segmentι A B: additu igitursegmentis aequalib- A B,B I, eris roram Amorum ABI adsumentum A But 8. ad I. Rursum triangulum AIR, c habens IR basim duplam baseos O P, ct IM aiaritudinem duplam abitudinis L Bl quadrupiam in arianguli A B O r est autem triangulum1Κ R duplum trianasi A B O, quia eandPm habena al iudinem, es basis IR dupla est basem OB, igitur totum triangulum ΑΙ Κ, striviae trianisti Α Β Ο, unde es ad Amen. rum ΑΒ, ut i 8. ad i. addito igitur segmento Ix aquali segmento ΑΒ, s segmen o AI, quod octurum est segmenti A B, erit totum segmentum A K adferentum Α B, vea . ad I: iteram, eum Α Κ T triangulum, basim Τ Κ habeat triplum basios OB, crNΚ abitudinem triplum Ariminis LB, erit ΑΚΤ triangulum noncuplam rrianguli Α Β Ο: est autem triangulum Κ C Τ triplum trianuli Α B O, igitur totum triangulum AKC, duodecuplam erit trianguli AB Or quare , ad segmentum A B essor ad r. adiato em Remento F C. e uallipsi AB, ese A in Amenio εαο ad A B segmentum ess vr 27. ad ax erit ΑΚ C segmentum ad sigmentum AB, - ε . ad unum: sese de e l. Tertio parabola ΑΙΜ est ad AB L parabolam, ἡ ω AI et triangulam ad triangulum Α B L .es autem AIM triangulum a plum triangati A B L, Dum A M basis ostens iquadrupla baseos AL, c -ΜI altitudo dupla 'sius L B:ὶ igitur ΑΙΜ parabola ori pia est
562쪽
Dico parabolas has aequales esse. , T - - IDemonstratio. -
It B T latus rectum meos , - B U. erit ergo rectangulum l. iit
drato VP. sed cum ex constructione RP, PQ, Ps sint continuae, rectangulu R Ρ Saequatur quadrato P rectangulum igitur V X B T, liric est l PBT aequatur quadrato P ergo B T latus reetiam est parabolae I Q P. Atqui eodem plano discursu B T latus retium est parabolae EN L. aequantur igitur parabolae. Quod erat de-Ponantur ABC, DEF parabolarum axes BG, E Η aequales lateribus suis recti si& per G& H, ordinatim AC, DF: iunganturque ABC , D EF. Quoniam E H, BG lineae lateribus rectis aequales sunt & A C DF ordinatim posit ae stae E ΗΙ Η, item AG BG aequales sunt et sequia AG,DHad axes ordinatim applicantur, anguli D H E, A G B recti sunt: unde triangula D HRA G B,ac proinde tota D EF,Α B C similia sunt: Rursum diuisis A G, E H lineis proportionaliter in I& Κ, ponantur per I&Κ ordinatim LM,NO: iunganturque L BM, NEO. Quoniam igitur ut BI ad BG, sic EΚ est ad Eri, ut LIquadratum ad quadratum A G,sic N Κ quadratum est Pp p ad
563쪽
ad quadratum D Η,ut L I linea ad AG,sic NK linea ad DH;& permutando inue tendo ut A G ad D H, sic LI ad N Κ: sed est ut A G ad D Η, id est B G ad ΕΗ, quia
AG,GBitem DΗ, HEaequalestant )sic BI ad ΕΚ:) per constructione igitur ut L I ad ΝΚ,sic BIest ad EM & permutando ut LI ad BI, sic N K ad E K : quare cum LIB,NKE anguli lateribus proportionalibus coleti recti sint triangula L IR,NΚΕ. adeoqidi: tota LBM, NEO inter se similia sui: similiter si iungantur ND, o RLA,M C, ostendetur triangula D N E,E OF similia triangulis B L A B M Crudeoque figu tam totam DN EO F similem figurae A LBΜC. quae operatio ciliti sine termino continuari postit:costat A B C,DEF parabolas similes esse primo modo.
Secundo autem modo parabolas parabolis esse similes, sic ostendo.sit ABC parabolae diameter quae cura que A D diuisa utcunque in D & Epunctis , per quae ordinatim ponantur AC, F G. sit autem &HI K parabolae diameter IL diuisa proportionaliter in L dc M. 8t per L&Μ ordinatim positae HK, NO. Quoniam est ut BD ad BE, sic ILad IM, erit ut quadratum AC ad quadratum FG, sic HK quadratum ad quadratum N O eodem mmdo si rursum diametri B D, IL proportionaliter dividantur, deperdiuisionum puncta ordinatim ponantur lineς, ostendentur quadrata oris dinatim positarum in una paraboIa, proportionalia esse quadratis ordiis natim positarum in altera. Quod euin infinitum semper fieri posite , patet ABC, HI K parabolas esse similes secundo modo. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CCLXXVII. SIt ad ABC parabolae axem BI ordinatim posita AC, erectaque di,
metro CD, sumatur in ea punctum quodvis D, & per A &o, par bola describatur cuius diameter DC, iunganturq; AD et tum EF ponatur diameter, occurrens ABC parabolae in G, & Α E D in Ε, rectae vero ADin H. Dico ABC parabolam esse ad segmentum AED. ut F G linea ad lineam EH.
564쪽
δ' Ccurrat axis B I, parabola: AEC in K, Se AD D - in L, cum igitur AC bifariam in I, litiam a. si& CD aequidistet BI, erit de A D quoque in Lbi. ' I b c fariam diuisa &ordinati ad LK diametrum pqsi- I c , tarquia vero Α C normalis ad CD, utrique para- I o. bolet est communis, erit A BC parabola adcemen
Sit ad A BC parabolae artem B D, sordinatim posita A C, Nntingens vero B E, quae erectar ex C diametro oecurrat in E posita, a em A Equae axem secet in F : & parabolam lius, her Λ, F, G parabola describatur, habens apicem in F, ponaturque Osaidatim GH, occurrens agi B Din I.
Dico HBG parabolam adparabolam AF C duplicatam habere r tionem H G ad A C. ,
H G est ad AC, est autem ratio parabolat HB G 'lci T P ad ΑFC parabolam composita ex ratione e BI ad F D, & H G ad AC: igitur ratio parabolae H AG ad parabolam AF C dupli. eata est HG ad AC. Quod erat gemonstrandum.
Dico ABC parabolam, octu piam esse parabola: HBG. Nemo iratio
Quoniam AD, FIG linea: aequales sunt ostensae , 8e BD quadrupla ipsius BI, s triangulum ABC octuplum est trianguli H BG, sed ABC parabola est ad parabolam HBG, ut ABC triangulum ad triangulum H BG; octupla igitur est ira parabola ABC, parabolae EI BG. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CCLXXX. Sint ABC, DE F parabolarum axes B C, EF, diuisoque BC utcun
que in H diuidatur dc EF proportionaliter in Κ , ponanturm ordinatim HG, IK.
Dico G BH parabolam esse ad parabolam I ΕΚ, ut ABC parabola est ad parabolam D E F.
565쪽
Donantur ordinatim CA, FD: ut B H ad BC, sic EN est ad EF, igitur ut quadratum G Had quadratum A C, sic IK quadratum ad quadratum DF, dc inuertendo permutando ut AC quadratum ad quadratum DF , sic GH quadratum ad quadratum IK,&vt AC ad D F,sic G H ad I K. sed AB C parabola est adi parabolam G B H in triplicata earione AC ad GH de DEF pax bola ad parabolam IE K, in triplicata ratione D F ad Ι critigitur ut parabola A B C ad parabolam G B H, se D E Fparabola. ad paraboIam IER: N permutando ut ABC parabola ad parabolam DEF, sic G B H parabola ad parabolam IE K; quod erat demonstrandum. Si vero BC, EF lateribus rectis aequentur, erit G ΒΗ parabola aAparabolam IER in duplicata ratione GHκ ad IK: quia ABC parabola ad parabolam D EF in duplicata est ratione AC ad DF, cum A C,CB Iineae, item 1. D F,F E ex quibus brationem habent compositam,
pROPOSITIO CCLXXXI. Esto ABC parabola: axis A D diui sus in E & F, ut A E, A F, A D
proportionales sint, positisque ordinatim EG, FH, DC ex G & B, diametri demittantur GH, BI occurrentes FB,DC lineis in H & I; de per Ε, H dc F, I parabolae describantur habentes apices in E 8c F Dico FE H parabolam esse ad parabolam DFI, in triplicata ratione
566쪽
RH ad D LvGBad DC, recta H Best ad I reliquum ad teliquum ut FH ad DI: Egura igitur H GB ad I BC figuram, triplicatam Labet rλtionem HBad IC. od
PROPO si TIO CCLXXXII. Sto ABC parabolae diameter B D, utcunque diuisa in D Ze E , sicut isnee B E nec B D sit aequalis lateri recto diametri B D, dc per E & in ordinatim positis AC, F G, delcribantui per A,B, & F, B, G, puncta ellipses quarum coniugatae sint diametri A C, B D, FG, B E. Dico A B C parabolam esse ad parabolam FBG, ut ABC ellipsis ad ellipsim FBG.
Quod erat demonstrandum. i l ,
pRopos ITIO CCLXXXVI. iΡArabolam ABC subtendat recta quaevis B C , oportet super illam
A serit ore Darabolam Quae ad ABC parabolam datam habeat ra-
I describere parabolam quae ad ABC parabolam datam habeat
parabola describatur cuius diameter sit DE, r s
Esto A B C parabolae diameter A D, diuisa utcunque in E & D, & or. dinatim positae BE, CD. sit autem &FGH parabolae diameter Fl
567쪽
8S PARABOLA. vleunque diuisa in I & ordinatim nosita HI. oportet FH G parabolam iterum diuidere sicut ABC parabotrudiuisa est.. Confrructio es demonsiratio.&-K ordinatim ponatur ΚG: dico factu AE ad AD, sie F Κ. ad FI, erie St G K ad HI, i ad parabolam C AD in tristeata est rati m Pa abola ad parabolam H FI in triplicata ratione igitur ve parabola BAE ad C AD, parabolam, sic G F R est ad p ' αἰimus igitulaquod fuit postulatum.
PROPOSITIO CCLXXXV. Sit ad AB C parabolae diametrum AD, ordinatim posita DC t diutisaq; AD in Ε, ut E D dupla sit A E ,. ponatur ex E ordinatim EB,&ex B, dςmiuatur diametor BFἰ occurrens rectae DC in F. Dictaparallelogrammum o E B F maximum esse illorum, quae in angulo E B F, parabolae ABC D terminatae inscribi possunt.. 'i . Demonstratio.
i TNseribatur enim quodcunque parallelogram l 1mum 1 GH habens angulum I GH aequalen V, angulo E BF t agatur pie per B contingens L Κ. V l Ara . .' oeeurrens Aodiametro in L, dc DC lineae in FIat ut AD ad ΑΕ, sie FI ad FK, ω ex esse quod petitur.Quoniam est ut ut BE ad CD: sed B AE paraboli ne lineae BE ad CD, &GFK patG Κ ad HI, ictrabolam H FI, persicii Diqiliges by
568쪽
Sit ad ABC parabolae diametrum B D ordinatim posita ΑCi oportet parabolae ABC maximum inscribere parallelogrammum. diuisa D B in E, ut E D dupla sit EB, ponatur per E ordinatim linea F G, & ex F 3e G diametri demittantur F H G I occurrentes A Cline et in H de LManifestu est ex praecedenti propositione, parallelogrammum Η GIF esse id quod quaeritur.
. PROPOSITIO CCLXXXVII. DAtae parabolae terminatae, polygonum regulare instri bere,quod do
to laterum sonstet numero. Pol g-- regutire voto,eu singuia Aeerarimemis aQyane Maratae umbrensam cin viis in clomonstratis.
tendat AC, oporteat ABC parabolae, polygonum regulare inscribere, quatuor constans Iaiateribus. secetur Α C in D & E, trifariam, & ex D & E diametri ponantur DF, E G, iunganturque AF, F G, G C; di co A F G Cpolygonum satisfacere petitio- . ni. cum enim AD, DRECli- neae squales sint, segmenta quoque ΑΗ , FG, GC aequalia fiunt: polygonum igitur regulare est quadrilaterum Α F G C inscripsimus igitur, Sce. quod erat faciendum.
Dico A FG C quadrilaterum esse maximum illorum quae AB C p, rabolae terminatae inscribi possunt. 'Demonstratio.
Nscribatur enim aliud quodvis quadrilaterum ABGC ε quod primδ quidem Iatus CG commune habeat cum quadrilatero A FG C: quoniam igitur As, aequalia sunt segmenta, minora illa sunt segmentis A B,B G; residua igitur figura rectilinea AFGC maior est figura tectilinea A B G C: similiter ostenditur quadrilaterum quod uis aliud minus esse quadrilatero A FG C: maximum igitur illud est eorum quae ABC parabolae terminatae inscribi possunt.
569쪽
M. Corollarium. Vae de quadrilatero regulari dixi, eadem de quotuis laterum polygono regu lau' intelligenda ut eademque omnibus constructio 3c demonstratio conuenit
DAtae parabolae terminatae , polygonum inscribere maximum illo,rum quae dato numero laterum inscribi possunt. constructio fiammst o.
Nscribendum sie parabolς, maximum quadrilaterum: inseribatur ABC parabolae quadrilaterum regulare ΑFG C t dico illud esse maximum eorum 'quae pari numero laterum, parabolae inscribi pogunt. Demonstratio ex ptae cedenti manifesta
570쪽
bcunque eductae parallelae A D: fiat autem ut Λ B quadratum ad quadratum AB, sic AD linea ad lineam A D. Dico B, D, D, puncta esse ad parabolam.