장음표시 사용
581쪽
um aequalia sint rectangula HIM , rectangulis GIL, HI Μ rectangulum ad ΗΙΜ rectangulum est ut GIL ad GIL , id est AID rectangulum ad rectangulum AI De sed HIM rectangulum est ad rectangulum HI M. vi IM linea ad lineam IM, igitur ut AID rectangulum ad rectangulum AID, sic IM linea ad lineam I M. puncta igitur M,Μ. sunt ad
Sit in ΑΒ C ellipsi una ex diametris coniugatis aequalibus, diameter B D, ad quam ordinatim ponantur Α E. fiant autem quadratis A E, E Baequalia quadrata ERDico puncta B, p esse ad parabolam.
QVoniam BD una est e diametris coniugatis aequali. bus, quadrata AE aequalia sunt. rectangulis BED addito igitur quadrato BE, quadrata duo AE,EB π- quaIta sunt rectangulis EBD. igitur F E quadfatum est ad quadratum F E, ut EB D rectangulum ad rectangulum EBD, id est ut En linea ad lineam E B. igitur s i. v iuncta sunt ad parabolam. circulo juoquo tonaemthac propositio, eademi es demonstraxist.
PROPOSITIO CCCXIV. ESxo ABC ellipseos diameter B
quam in B R C , contingant rectae D B, E C et postisque D E parallelis diametro B C. fiant D A E rectangulis aequalia rectangula ED F. Dico B,F,F puncta esse ad parabolam.
A i l D ,vDemonstratio. veant ut A FH parallelae DB, patet AG λ ordinatim esse positas ad B C. igitur DAErcctangulum est ad rectangulum DAE. id est BGC ad BG C, ut A G, quadratum ad quadratum A G, id est FH quadratum ad quadra tum P H : igitur 3c F D E rectangulum est ad rectangulum FDE. id est HBC ad HBC rectangulum, ut FH quadrat qm ad quadratum FH. sed HBc tectangulum est ad rectangulum H B C, ut H B linea ad lineam H B, imur ut FH quadrinum ad quadratum FH, sic HB linea ad lineam HB. puncta igitur puncta ad eandem sunt parabolam. . PRO-
582쪽
SInt AB C ellipseos axes AC, Bo; ε super A C minore axe , ut diametro , descriptus sit circulus AKC, quem in H secent lineae FG,p tallelae axi B D: iunctisque punctis H ponantur F L normales ad axem B D, fiantque F, L M aequales H K. Dico B, M. M puncta esse ad parabolam. Demonstratio. i
Ponantur u N, parallelae pL: Se Ecen trum , sit commune circulo sic elIipsi,erit igitur ut B E ad K Η, sic F G ad FI G, id est L E ad NE, & permutando ut B E ad LE, se ΚΕ ad NE, quare &'KE ad N est ut BE ad LB , & permutando ut BE ad KE, se BL ad KN , & s L est ad B L, ut KN ad KN: sed est ut KN ad KN, sic HK quadratum ad quadratum ΗΚ , id est per hypothesim vi ML quadratum ad quadratum MLi igitur ut BL linea ad lineam B L , fie M L quadratum ad quadratum ML quare B,Μ, M puncta sunt ad parabo
, PROPOSITIO CCCXVI. QVper ΑΒ Cellipseos axe AC qua-o dratum constituatur AE, cuius diameter CD occurrat rectis F G, HI, L K lateri A B parali lis, in M,N, O. fiat autem A Gquadrato, aequale rectangulum G FR, & Αι quadrato aequale tectangulum S Hl, dein & ouadrato A L aequale rectangulum
Dico D, R,S,T puncta esse ad parabolam. A sonitur in propositione elli
o Ectangulum RFG est ad dictan-m gulum S HI ut RFad SH, &S II rectangulum est ad rectangulum T KL ut S H linea ad lineam ΤΚrigitur Ze quadrata AG, AI, A L. id est DI, D H, DK, eam inter se continent rationem, quam sectae RF, SH, TR. qua- te D, R, S, T puncta ad parabolam sunt.
583쪽
IIsdem positis: sant B G, P I, Q L quadratis, aequalia rectangata C FR.
Dico puncta D, X, V Z. esse ad parabolam
: o Demonstratio. IJ Ectangulum GFR V ad rectangulum HIS X dest ve RV linea ad lineam S X: igitur de quadratum G B est ad quadratum ΡI, ut RU linea Ad lineam S Xesed ut BG quadratum ad quadratum P sic AG C tectangulum est ad β rectanguis tum A C./gitur vi R V ad S X lineam, se AG C re tangulum ad rectangulum AIC , id est Dra C rectangulum ad reis Cladgulum DNC, id est M R , linea ad lineam S N, quia R S T ostensa est parabolat igitur& M v est ad AN, ut D MCrectangulum ad rectangulum D N C. similitet ostendam esse X N ad Zo , veDNC rectangulum ad rectangulum DOC: punctaς igitur V, X, Z ad parabolam sunt.
IIsdem positis a iungantur AB , AP, AQ: fianti rectangula GFV, IH X, I. K Z aequalia quadratis A B, A P, A
Dico U, X, Z puncta rursum esse ad parabolam. . . Demonstratio. Q '
QVoniam B G, PI, Q L, normales sunt ad A C, quadratum AB anauale est qua dratis ΑG, GBr sed G B quadratum aequale postum est xectangulo GFRV.& A G quadratum aequale rectangulo GFR :iseur quadratum AB id est rectangulum GF U , aequale est rectangulis GFR : BR V r similiter osteMituerectangulum II X , aequale esse rectangulis IH S, I HS X,&LΚZ rectanti tum aequari rectangulis L ,LKΤZ. sed elim GF R. GFR V xcita uula aequalia ponebantur quadratis A G, G B; & IH S, I HS X, aequalia quadratis A Ll ιει θ IP,&c. ostensii sunt v, X, Z esse si ad parabolam; igitur & iam ad parabolam siunt.
PROPOSITIO CCCXlX. ' SIt ΑΒ C parabolae diameter A D: de ordinatim ad ill m positae D B
585쪽
puncta igitur A, G, G ad parabolam sunt, cuius diameter ΑFC. Si vcro FG lineae proportionales sint ipsis FE , ostenditur ut m praecedenti propositione, A, G, G esse ad parabolam.
PROPOSITIO CCCXXII. PArabolam ABC cuius diameter A D , contingat in D linea A G:
ponantur autem ordinatim lineae BE, C D; iunctaqiae AC occurrat
BE lineis in F. dein ducta quacunq; CG ad AG, contingentem , quae B E lineas productas secet in H H: fiat ut F B ad F B: sile H I ad H l. Dico puncta I, I esse ad parabolam. Donon Z IIo.
UIant HI ad ΗΚ, ut BF ad F Et patet ex elementis GKK esse in diremim; erit igitur H Κ ad ΗΚ, ut FE ad F Ε:&cum se ΙΗ ad HK, ut BF ad FE, erit componendo ut BE ad FE , sic Ix ad ΗΚ . M ut BE ad BE. sic IK ad I xtundequadratum IK est ad quadratum IK, ut BE quadratum est ad quadratum BE, id est ut ΑΕ linea ad lineam ΑΕ, id est ve GK ad GK.puncta igitur G.I, I sunt ad parabolam.
PROPOsITIO CCCXXIII. FAdem manente figurar perficiatur parallelogrammum ADC, de M C, latus occurrat lineis EB in L r fiat autem ut L B ad LB, sic LI ad LI. Dico puncta I,l esse ad parabolam. Demonstratio.
FIat A Mad MG, ve L B ad LΙ, & reeta dueatur GC occurrens BI, lineis ira H H. erit igitur ut L F ad L F, se L H ad LR sed ex hypothesi est L I ad LI, ut L B ad LB, igitur & ΗΙ est ad ΗΙ, residuum ut FB ad FB, residuumia unde per praecedentein puncta I, I siunt ad parabolam.
586쪽
pARABOLA.pROPOsITIO CCCXXIV. quam ordinatim pind DF. ducatur iis
Esro A B C parabolae diameter AD, ad
Cl , B Ei persectoque parallelogrammd Ua , secans E B rectas in G G: fiant autem G E lineis aequales G, B H. Dico HH puncta este ad parabolam.
nea Α ὀ : ponatur audem sectionis i l l i
A E : ponatur auiam sectionis diameter AD, & illi parallelae E Bi dein tectis E B proportionales sani lineae B F. ,2 dDico A, F,F puncta esse ad parabolam. s , S
Ducantur FG parallelae eootingenti Α Εr c Λ
cum igitur sit ut E B ad EB . se BF ad A I BF, erit quoque EF ad BFis ut EB ad EB. I s sed ratio E B ad E. B, duplicata est rationis E A ad E A, id est FG ad F G i igitur &tatio EF ad Ep , id est A G ad Α G,duplicata est rarionis GF ad G F: igitur A,FF
587쪽
demittantur diametti F B qecurrentes parabolae in B, & A C in inponantur autem oldinatim linea: HB i fiatu; ut FG ad y C: sic B , Hl
Sir AB C parabolae diametet D aequalis lateri recto: ductaquCol dinatim C D perficiatur quadratum C A: sumptisque in periphini punctis B, B, erigantur ex B diametri B F, occurrentes A L lineae in ta fiantque rectis AG aequales lineae BF. I . i , is , . .lmeo A;RE neri esse ad parabolam. . t . Demonstratio 'l '
Vcatur recta AC occurrens FB lineis in HΗ:quoniam Α D lateri recto aequalis est, re C Doriadinatim posita ad AD, rectae A D, C D , aequales sunt: unde Ae rectae A G, GH quoque aequales luntl ω H Glineae aequales ipsis FB e demptis igitur communibus BG, manent HB, FG lineae aequales. quare FG est ad FG, ve B H ad BH: id est ut A IC rectangu. Ium ad rectangulum A Η C , id est A G E rectangulum ad rectangulum AGE. puncta igitiir A, F, E ad parabolam sunt.
PArabolam ABC subtendat recta A C, quam in D sicent quotcunque diametri B D r fiant autem B D lineis proportionales DE. Dico puncti A,E,C esse ad parabolam. Demonstratio.
IT BD ad BD, sie ED est ad ED, sed est V vi BD ad BD , si e ADC . rectangulum ad rectangulum Α Dra igitur 6c ED est ad ED. Vt ADC rectangulum ad tectangulum ADC: quare AEC puncta ad parabolam sunt.
588쪽
metro F D, quae AC lineae occurrat in F, dueantur quoinis dictae aequi distantes D F secantes Α D lineam in G G: fiantque rectis B Gportionales liheae E R. γrco puncta A, J,F eta ad tarabolam.
Esro A AC parabolae diameter AD, diuisa in partes aequales, puri cus E, F, G, o; ductist, ordinatim lineis E B, F B , G B, D C, de
curaequales, E sest ad EG, ut AE ad AF, id est Put E B quadratum ad quadratum FB, id est res quadr o tum ad quadratum cI. eodem modo ostenditur esse ut j) Η 'EG ad ED , sic GI quadratum ad quadratum D mi lis puncta igitur E. A, I, K sunt ad parabolam. Quod erat Ii' ad monstrandum. I
P sto ABC parabolae diameter A o, diuisa punctis E, F, G, H, D, ut 2A E. E F, F G, G H, &e. sint continuae proportionales et ducantur autem ordinatim lineae E B, F A, G B,&c. N ex B, diametri demittantur conuestientes cumBrdinatim obsitis. Sss 3 Dico Disitir ocrate
589쪽
G i Holi 3 i l O 'o riti vvonium P E. EF, F G, dic, Pr portionales sunt, E F eu ad E G. ut ΑΕ ad AF ; id est ut EB qua-rdatum ad quadratum F B: id est FIS' quadratum ad quadratum G Κ. similiter ostenditur esse F 1 quadra tum ad quadratum H L ut EF , Iinea ad lineam EHοῦ puncta igitur E. I, Κ, L,&c. ad parabolam sunt. Quod erat primum. Ponantur autem series AE, ERFG, &c. maioris inaequalitatist dico parabolas conuenire in aIiquo puncto. st enim ABC parabolae latus rectum EO : erit igitur quadrato Eniadrato aequale rectangulum F E O: unde cum gula quoque E AN FEO sunt aequalia:qua. t AN latus tectum minus latere re octis
Sitiam ΑΕ, EF, F Gr&c. I m n uorum continuatio minoris inaequa- ' litatis: dieo parabolas nusquam sibi occuTreret ponatue enim L A latus rectum parabolet ABC, Ac ME, latus rectum parabola: E ΗΙ, quia igitur EB, FH quadrata aequalia fiuit. rectangula quoque LAR, MEF ae. qualia sunt: & eum L E minor e natur EP , erit L A maior quam ME. unde nusquam , conuenient se
Eβxo ABC parabolae axis AD, in quo sumptae
cuiuis parti AD, demittantur aequales diametri
Dico D,E, E puncta esse ad pariuolam aequalem parabolat AB C. - , Demonstratio.
Duetis ordinatim BF, ponantur EG, parallelae.Quoniam igitur AD lineae, aequalis est BE id est FG, dempta vel
590쪽
quam FB, GE lineae inter se aequales sunt, adeoque FB quadratum aequale qua- arato G latera quoque recaeaarium AD, DG aequalia sunt, unde Ac parabolaexquales.
Dico parabolas illas nusquam conuenire. Demonstr Ict. Ponatur in parabola DEE ordinatim ad axem D G, linea
GE occurrens ABC parabolet in C. quoniam igitur la- Etera recta vitiusque parabolae aequalia fiant. Ac DG linea mi- Pnor A G, rectanguium quoque sub DG M latere illius tecto minus est tectangulo sub AG de latere recto. igitur & EG quadratum minus est quadrato C G : dc C pune tum cadit intra parabolam ABC: idem cum de omnibus punctis eiusdem parabolae ostendi possit, patet sectiones illas nusquam
Uocentur autem sectiones eiusmodi, parabolet parallelae, siue asymptoticae: quarum proprietates reliquas , dc miram eum hyperbola inter asymptotos polita , lymbolisationem, octava parte huius libri, exhibesimus.
PROPOSITIO CCCXXXV. PArabolam A BC cuius diameter AD,
secent ex A demissae lineae quotcunque A B: qaae proportionaliter dividantur in E. Dico punista A,E,E esse ad parabolam. Demonstratio.
Γ Vcantur per Elineae D C, ordinatim ad di δ' metruin Α D : erunt igitur DC lineς b p Portionaliter quoque in Ediuisaei 8e ut DC ad D C, sic D E ad D E. puncta igitur Α,E,Eς ad PM Rrabolam sunt. ε
PROPOSITIO CCCXXXVI. Esto Ab C parabolet diameter A D ad quam
ordinatim ponatur DC i demittatur autem ex Alineae AB, occurrentes C E diametro in E; quam & acta per A con tingens, set e t in H. dein
per B, ordinatim ductis F B, sat vi H E ad H E, se F G ad FG. Dico A G, esse ad parabolam. Demonstratro.QVoniam tam FB, ΑΗ quam FA. ΗΕ parallelae sunt, similia sunt triangula AFB, ΑΗ E; quare ut HE ad ΗΕ, se FB ad FB: sed vi ΗEad HE,sic FG ponitur ad F G, igitur est FG ad FG, vi FB ad FB, vnde puncta A G,G ad parabolam sunt.