장음표시 사용
91쪽
Liber II. Exemplum II PROP. XXXVI THEOR. XIX.
IIsdem prorsus manentibus demonstrarunt Gallileus, ac Torricellius, gradus velocitatum acquisitos in B, et Ceiusdem objlis descendentis a quiete in A pares esse;
idipsum nos ostendemuS. Cum tempora sint ut AC ad AB, velocitates a qui te in ratione reciproca temporum, semicet ut AB ad AC, sint deinde velocitates eae ut amplitudines imaginum simplicium, similiumque illorum motuum iam amplitudines imaginum velocitatum sunt prorsus eaedem, ac illae genosum herunt ipsae imagines simplicium motuum aequales; nam tempora, quae summuntur ut altitudines imaginum reciprocantur, ut dictum est, amplitudinibus, seu primis a quiete velocitatibus, at in motibus acceleratis ipsae int grae imagines simplicium motuum sunt loco graduum velocitatum in extremo spatiorum acquisitorum;ergo in B,et C gradus velocitatum aequales erunt.
SI aequalia pondera, suspensa sint ex filis, quorum par te interse aequales, prae tractione a qualiter elongen ter tempora in reditu ipsorum florum, cum ab ipsis grauibus statim liberamur, aequalia erunt. Hoc primum demo V MA- strabimus alia via, tum methodo nostra, ut de ea aliud exemplum tradamus. Sint uniculi AB, DC, Me ijs pendeant aequalia grauia B, C, adeo ut sun ptis hinc indE partibus aequalibus eorundem funiculorum, constet ipsas aequaliter ab ipsis grauibus trahi, atque produci. Dico, si elongationes sint HB, GC,4 omnibus sic stantibus pon dera
92쪽
dera submoueantur ex B, et funiculis caesis, re ut eaedem extremitates restituantur in H, et aequalibus tem poribus. Sit AE aeqtialis DC erit porro longatio facta per idem grauem, quae sit EF, aequalis C propterea li- Deratis funiculis ad et C. eodem tempore restituetur in G, ac E in F, quo te inpore etiam Bin H restitutum fue rit inim uno puncto in primum suum locum redito, etiam alia singula in suum locum peruenisse,opportebit.
Exemplum. HAc occasione de funiculis erit non iniucunda disertatio, remque sic adhuc intactam promouebimus, simulque demonstrabimus.
Id ipsum piopositum nostris principij sic demonstra
Sint ea de quae supra, scilicet conceptis in filo AB quot libet partibus interse aequalibus,togitudincque totam implentibus, hae singulae aequaliter pondere trahentur, eritque B H summa omnium dictarum partium elongationum, eodem pacto EF erit summa elongationum parti si omnium in AE contentarum, ab eodemque pondere essectarum; propterea ut AB ad B H,ita erit AE ad EF;quamobrem velocitas etiam punctii sublato pondere Berit ad velocitatem punctii ob eandem detractionem, ut BHad EF, uel B ad A nam quot sunt partes concepi ii tautraque fili longitudine, totidem sunt etiam impetus inter se aequales hidem ostenderemus si loco ponderis B, minus quodcumque suspenderemus, ut scilicet puncta B, et E ad
quemvis locum superius remanerent, librarenturque cum resistenti; partui eo elongatarum, ergo transitus exi in H,
puncti Sini subducto pondere dierunt motus similium simpliciumque; sed motus ex in Sexempto pondere Cest prorsus idem, ac motum in F, ergo motus similes, ac
93쪽
simplices e. in H, ex C in G, ex quibus fiunt accel
rati, geneses habcbunt, quarum prima velocitates seu amplitudines proportionalc sim altitudinibus earundem, spati; nimirum G, BHaccelerato motu exigendis qua, mobrem componentur ex ratione ipsarum velocitatum, seu amplitudinum C G ad BH,4 ex ea quadratorum temporum, quae proinde aequalitatis erit itaque etiam huius subduplicata hoc est tempora in transtibus accelarato motu exactis,erunt paria. CorollarIum. Hinc patet,vbi aeque erassis istis eiusdemque materiei et cedenti uom snt aequalia pondera, tunc primas velocitares, subductis ponderibus,sore in eadem ratione elongationu, vel Iongitudinum lorum.
SI extremitatibus funiculorum ex una parte firmatorii, ac eandem crassitiem habentium, nec non eiusdem caedentiae existentium, fuerint suspensa aequalia pondera, quae inde ijsdem longitudinibus seruatis, quomodo portet tollantur, erunt spatia recursuum, temporibus simplicium motuum exacta in ratione longitudinum pendul
Si funiculus C aeque crassus ac BD, suspensis hinc inde ponderibus aequalibus, elongatio primi su niculi sit CE, alterius sit DF. Dico spatia temporibus simplicium imaginum, ab extremitatibus solutis exacta fore in ratione longitudinum ipsorum funiculorum. Iam constat E ad DF esse ut AC ad BD, in qua ratione iunt etiam velocitates a quiete, dum pondera subduceren'
tu ex E, et F, vel ex alijs punctis quibuscunque si aequalia
94쪽
Geometria AE tur pondera suspensa fuissent maioris, vel minoris ponderis, sic enim concipiuntur geneses similium, simpliciumque
motuum, quarum altitudines aequantur longationibus funiculorum; propterea spatia recursuum temporibus simplicium motuum exacta nectentur ex rationibus duplicata CE ad DF, hoc est AC ad BD, ex reciproca filorum stilicet BD ad AC, quae ratio, uti diximus, est reciprocae . primarum velocitatum, seu amplitudinum genesum simplicium ergo ipsa spatia in reditu filorum ab extremitatibus solutis exacta erunt ut AC ad BF, seu ut Ead DF Quod&c.
TEmpora simplicium,similiumque dictorum motuum
sunt aequalia. Nam cor. I. pr. 8. huius primi demonstratum est, tempora simplicium, similiumque motuum componi ex ratio ne spatiorum, seu altitudinum genesum, reciproca primarum, aut extremarum velocitatum, seu amplitudinum genesum essent autem altitudines genesum tractiones, seu elongationes funiculorum, quae sunt ut longitudines iuniculorum,ergo tempora aequalia erunt.
Corollarium. Constat, tempera simplirium genium in tractionibus u
niculorum, esse composita ex ratione elongationum ni IMrum, orox reciproca primarum velocitatum. Sta
95쪽
peroris propositionis veritas concordat cum prop. 37.huius, neo tantum variatur, quod ibi tonuntur dat patiata elongationes funiculorum , hi vero tempora simplicium motuum,se quia eluvationes uensae sunt proportionale pari, nu- exariris,manifestum es nostri iuris esse modo spatia acceleratis motibus exacta ex temporisus plicium motuM datis concludere, modo conita, ex patijs altitudinibus genes m proportionalibus, quae Dem data sunt, tempora inuenire, quae proinde methodus mihi videtur amptissma.
PROP. XXX THEOR. XXXIII. SI eiusdem crassitiei funiculis pondera dependeant, quς
sint in ratione reciproca longitudinum ipsorum funiculorum patia temporibus genesum simplicium motuum exacta erunt in ratione duplicata elongationum.
crassities funiculoru aequales erit sane ratio, qua coponitur ex ratione funiculoru,& mea poderum,aequalitatis;Ob idque genes e simpliciu motuu quaru altitudines CE, DF habebat amplitudines,nepe primas velocitates intersesquales nam cum pondera erant aequalia primae velocitateSproportionabantur longitudinibus funiculoria, ideo, cum a..ui. pondera reciprocantur longitudinibus 1sdem, seu viribus funiculorum, fit ut primae velocitates aequales reddantur
cum ergo ita sit, spatia recursuum temporibus imaginum simplicium accelerato motu confecta erunt in ratione duplicata elongationum I
96쪽
Cum ex eadem pr. et 8 huius, eadem alia sint τι quadrata temporum, erunt i a tempora in rationesubduplicata
SI funiculis aequalem crassitiem habentibus fuerint sus.
pensa inaequalia pondera, spatia, quae acceleratis motibus, ac temporibus genesum simplicium recurruntur noctentur ex ratione duplicata elongationum, ex duabus reciproce sumptis rationibus,nempe longitudinum prima, rum funiculorum, antequam pondera suspenderentur; ipsorum ponderum.
In antecedenti figura illud primum satis patet, quod si
loco ponderis F suspensum fuisset pondus aliud grauius aut leuius,prior velocitas in ascensu fili, seu funiculi, aut chorda aucta, vel imminuta fuisset pro magnitudine ponderis substituti;quamobrem priores velocitates ex inaequalitate ponderum eidem chordae suspensorum dependentes forent, ut ipsa pondera verum cum suppositis funiculis aequalia pondera suspensa veniunt, primae velocitates sunt ut longitudines funiculorum,ergo velocitates primae, cum inaeqii alia sunt pondera, quae subtrahuntur, nectentur ex ratione longitudinum funiculorum, & ex ea ponderum inaequalium quaecumque igitur sit tractio DF, geneses habebimus similium simpliciumque motuum, unam, cuius altitudo CE,&alteram habentem altitudinem DF, sunt earundem genesum amplitudines, seu primae velocitates in ratione composita funiculorum AC ad BD,& ponderis
pendentis exi ad pondus suspensum in F; ergo spatia acceleratis motibus transacta temporibus genesum simpliciu
97쪽
nectentur ex ratione dublicata elongationum, siue altitudinum genesum, ex duabus rationibus reciproce sumptis funiculorum A ad BD, ponderum E ad F. Quod c.
ΙIsdem positis, si spatia recursuum erunt ipsae elongationes, tempora, quibus ab extremitatibus solutis recurruntur,erunt in ratione subduplicata eorundem. Nam cum geneses similium, sina pliciumque motuum sint aeque amplae erunt, tempora in ratione subduplicata imaginum, seu spatiorum acceleratorum motuum, sunt vero spatia ipsae elongationes ergo c.
CHordae non eiusdem crassitiei, eiusdem tamen materiar, ac longitudinis, tunc aeque trahentur ibi suspes pondera crassitutinibus proportionalia fuerint. Nam crassio chorda potest concipi composita ex funiculis eiusdem crassitie alterius chordae, si illa huius fuerit multiplex, si partes exilior funiculus fuerit alterius crassioris, erit crassities alicuius alterius funiculi, qua pluries accepta constituere poterit tranque crassiticiniuniculorum propositorum hic enim non accidit enumerare crassities interse irrationales, quippe quia, quod de iam dictis ostenderimus, de his quoque facile est iudicare, secus essemus longi, quam par est, potissimum cum haec praeter institutua disciantur, quidem, constet,quomodo methodus ista nostra ac si is sit, ac utilissima)quapropter si cuique acceptarum aequalium chordarum, pondera aequalia suspensa sint, porro haec omnes aeque trahentur ab ipsis aequalibus ponderibus,, sic etiam composita nerepe chorda pro L a PO
98쪽
8 Pometria Motus positae: suntque ita pondera in eadem ratione crassitierum, sicut propoluimus;ergo patet propositum.
SI fuerint eiusdem materiae funiculi, Int illis suspensa
pondera crassitiebus proportionalia, ratio spatiorum rab.s ι.ε. in reditibu accelerat motu exactorum, teporibus sim. i tui. plicium genesum, erit eadem ac funiculorum.
Nam, ut in praecedenti figura,erit nactio CE ad DF ita . . ., 8 SI AC ad BD, Vel AE adiri sunt autem primae velocitates,' ' seu amplitudines genesum simplicium, similiumque motuuin ratione funiculorum, ergo decursuum spatia motibus acceleratis exacta nectentur ex ratione duplicata altitudinum genesum simplicium, nempe duplicata funiculoru, reciproca amplitudinum suntque ipsa amplitudines homologei longitudines funiculorum, ergo relinquitur ut ipsa spatia sint in unica ratione longitudinum funicu'
Quod si spatia recursuum ponantur ipset tractiones,Ves longitudines funiculorum, Ostendetur tempora esse aequalia, quemadmodum aequalia sunt tempora superius pro
.s.A. 1. Ces eiusdem materie quibuscunque funiculis aligenturo quaecunque pondera, i s sublatis ascensuum spatia ab extremitatibus solutis exacta tempo ibus genesiam simplicium ij nempe qua impenderentur in motibus ita Ata simplices geneses, erunt in ratione composita quadratiorum elongationum chordarum,ex ea crassitierum, ex duabus reciproce sumptis rationibus, nempe longitudinum funiculorum antequam traherentur; ius petitarum ponde
99쪽
Funiculi AB GH trahantur a ponderibus quibuscunque C. in C, et I .Dico si exempta sint pondera, fore, ut spatia quae acceleratis motibus exiguntur ab extremitatibus solutis C, Isint in ratione composita ex duplicata IH ad BC, crassitudinis ad crassitudinem funiculorum AB, GH; deinde ex funiculi longitudine HGad longitudinem AB, pomoerisque I ad pondus C. Intelligatur funiculus, seu chorda, aeque crassa, ac similiter cedens, quam GH d quod semper intelligimus quoties funiculi, interse comparantur sed aeque longa, ac AB, sitque illi pondus Fadiectum, ad quod, eandem habeat rationem,ac crassities AB ad crassitiem DE constat elongationem EF aequalem fieri ipsi CB,4 cum primae velocitates, seu amplitudines aeque altarum genesum similium, simpliciumque motuum sint etiaaequales, patia decursuum acceleratis motibus exacta erutprorsus aequalia sunt vero funiculi DF, GH eiusdem cras sitiei, eisque sunt suspensa duo pondera inaequalia F,I;ergo decursuum spatia ab extremitatibus solutis exacta nectetur ex ratione duplicata elongationum FE, seu CB ad IH,eX ration quam habent longitudines funiculorum HGad DE seu AB, ex ea ponderum I ad F; verum pondera Ιad F nectuntur ex rationibus ponderum I ad C et ad F, quae postrema est ratio crassitiei seniculi AB ad crassitiem iuniculi DE seu GH ergo ut proposuimus spatia acceleratis motibus exacta, nectentur ex rationibus quadratoruCB adHI: crassitudinum funiculorum AB, GH; ponderu ad C. longitudinum HG ad AB. Quod dcc.
PRO P. XXXVI. H EOR. XXXIX. TEmpora genesum simplicium, dum chordis suspen
duntur quaecunque grauia nectuntur, ex ratione elongationum funiculorum, ex contrarie unitis rationibus, crassitudinum, longitudinumque funiculoru , nec non
100쪽
8s Geometria Motus non ponderum funiculis suspensorum.
Nam Core et . pr. 8 primi demonstratum est,tempora simplicium similiumque motuum componi ex ratione spatiorum, seu altitudinum genesium,in reciproca primarum
velocitatum, seu amplitudinuna genesum, sunt autem altitudines genesum tractiones,seu elongationes funiculorum; velocitates vero primae nectuntur ex rationibus crassitudinum,&ex ea longitudinum funiculorum antequam traherentur hoc enim subinde ostendemus ergo tempora proposita simplicium genesum,dum chordis alligatur quς-cunque inaequalia pondera componentur ex rationibus elongationum funiculorum,d ex contrarie sumptis crassi tudinum,ipngitudinumque funiculorum, ponderum.
τε - in 7 I Ei hin primae velocitates iiij sdem chordis componi V ex ratione crassitudinum, longitudinum funiculoru,& suspensorum ponderum,sic ostendemuS, Quoniam in eadem postrema figura velocitas, quam haberet funiculus AB ex liberatione ponderis est aequalis
. his Velocitati,quam haberet alius funiculus,ubi hic etiam ii. beraretur a pondere, scilicet cum pondera crassitiebus u niculorum proportionalia sunt,& ipsi funiculi aeque longi velocitas funiculi DEa pondere Fad velocitatem eiusdefuniculi, si loco ponderisi substitutum esset aliud aequale ipsi I,esset ut pondus Rad substitutum, seu ad I est autem velocitas eiusdem funiculi DE,dum fuisset pondus ei suspensum aequales ad velocitatem funiculi GH a pondere Iut longitudo DE ad GH; ergo palae propositum.