장음표시 사용
81쪽
SInt nunc CE, HL communes sectiones imaginum sim
plicium ABC GL H, si extenderentur cum suis aequalibus, ac similibus coeuntibus figuris. Esto pariterra centrum grauitatis imaginis ABC, et grauitatis alterius imaginis GLHLaetis demum N perpendicularibus ad ipsas CE, HL. I ico, spatium accelerati motus ab imagine simplici ABC ad spatiij accelerati alterius motus ab Imagine simplici GLH componi ex ratione imaginis ABC ad imaginem GLH, ex ea perpendicularis M ad perpendicularem P. Cum haec ipsa spatia sint ostensa , ut soli zr ui. da a figuris ABC, GLI haec vero sunt, momenta ipsarum figurarum suspensarum ex MO, P. Ergo quemadmodum momenta ista nectuntur ex rationibus figurarum tanquam magnitudinum ABC ad I GH, distantiarum eis.
M ad P, ita pariter ex his nectentur proposita spatia Corollarium.
Patet communesfectiones CE, aequi sanies applicatis AB, HL, quae in imaginibus muntur perpendiculares rectis AC, GH nam Leu recta, in quam coeunt Aurae pr m ptio e similes, ac aequales. 'μπή .
PROP. XXIV. THEOR. XIX S imagines simplicium motuum suerint similes, similio
terque suspens, imagines velocitatum acceleratois rum motuum erunt in rsplicata ratione temporum simplicium motuum, aut in triplicata homologarum, vel extrematum velocitatum eorundem simplicium motuum. Cum centra grauitatum similium imaginum, seu figu- η . 7 rQ.A a ra-
82쪽
Geometria Adotus rarum, sint puncta in iisdem figuris similiter posita ponum, tur vero imagines similiter suspens, ergo sequitur ipsas longitudines esse, latera homologa dictarum imaginum, scilicet ut tempus AC ad tempus FG, vel ut extremae velocitates BC ad KE. Quamobrem imagines pis, cum sint
in duplicata ratione laterum homologorum, si huic duplicatae addaturalia ratio similis rationi longitudinum fiet ratio imaginum velocitatum,seu spatiorum acceleratorum motuum ex simplicibus illia derivantium triplicata temporum, vel extremarum velocitatum simplicium motuum.
SI vero simplices motus extiterint similes, aequalibusq:
temporibus absoluantur , imagines acceleratorum Tu. A. . notuum erunt in sola ratione amplitudinum imaginum simplicium. Sint imagines similium, ac simplicium motuum BAC, KFG, quarum grauitatis centra D, H, erunt ex hypothcsith8imi huius tempora AC, FG aequalia; ideo spatia, scilicet ima ornes x prim velocitatum BAC, FG habebunt eandem rationem, quam summae, aut extremae motuum simplicium velocitates, scilicet, quam amplitudines imaginum, seu genesum riunt vero distantia DE, HI pariter aequales, quia AC, FG,; histis, aequales sunt ergo cum spatia acceleratorum motuum n ctantur ex imaginibus simplicium motuum ABC, KFG,&ex distantij DE ad HI, liquet ipsa spatia esse in unica, solaque ratione amplitudinum BC, ΚG, aut amplitudinum
PROP. XXVI. THEOR. X. AT simplicium, similiumque motuum fuerint ima OL
nes aeque amplae,imagine acceleratorum motuum, siue
83쪽
siue tempora erunt in duplicata ratione temporum istorum, vel illorum motuum Amplitudines imaginum simplicium , velocitatumque γε BAC, KFG sunto B AEG, quae aequales sint. Dico spa. tia acceleratorum motuum ab illis simplicibus imaginibusiore in duplicata ratione temporum AC ad FGique sei per in acceleiatis ponuntur eadem, ac in simplici bns, nec aliter esse possunt. Ut FG ad K, ita sit AC ad CL,&intelligatur LAC imago alterius motus similis motui cuius imago BA vel ΚFG. Facile demonstrabitur ipsam fi D, imiguram AC similem esse ipsi KFG, ad BAC eandem ἡμ/μ .habere rationem,quam LCad BC. Cum ergo imago B AC ad imaginem ΚFG componatur ex ratione imaginis BACad LAC quae sunt ut BC ad CL ex ratione imaginis ALCad imaginem FG, quae sunt in ratione composita LCad G, et AC ad FG priores vero duae rationes componunt unicam aequalitatis, ergo relinquitur, maginem BAC ad imaginem ΚFG esse ut AC ad FG spatium vero accelerati motus ex simplici imagine B AC ad acceleratum ex simplici ΚFG nectitur ex ratione imaginum simplicium ipsarum,&ex ea distantiarum DE, HI a centris grauitatum deductarum D, H, et sunt his rectae in eadem ratione ac altitudines AC, FG nam in fi uris, seu imaginibus similium motuum BAC LAC centra grauitatum sunt in eadem recta parallela ipsi BC, Win LAC, FG iunt in punctis similiter positis, ad eout, sicut positum est, latio ipsarum distantiarum in ipsis figuris LAC AFG, seu BAC, Κ EG eadem sit, ac laterum homologorum LCad ZG, vel AC ad FG ergo spatium accelerati motus ex simplici imagine ΚFG, erit ut quadratum ex AC ad quadratum ex FG, nempe in duplicata ratione temporum simplicium motuum. VPROP.
84쪽
L plicium, similiumque motuum, imagines acceleratorum motuum, seu spatia ijs motibus exaha componentur ex duplicata temporum ratione, ex ea amplitudinum, vel applicatarum homologarum earundem imagi
Imagines similium, simpliciumque motuum sint B AQEFG . Dico, imagines acceleratorum motuum ab illis simplicibus derivantium habere rationem compositam ex duplicata temporum AC ad FG,4 amplitudinum imaginum dictarum, vel genesum. Intelligatur alius similis motus, cuius velocitatum imago sit DFG aequeampla ac homo genea ipsi BCA; nimirum sit DG aequalis BC . Quoniam imago accelerati motus ex simplici imagine B ad imagianem accelerati ex simplici imagine EFG componitur ex ratione imaginis accelerati motus, cuius simplex imago BAC ad imaginem accelerati motus ex simplici DFG, ex imagine huius accelerati motus ad accelerati imaginem a simplici ΚFG est autem prior ratio imaginum, seu spatiorum acceleratis motibus percursorum ipsa temporum Pr. 4 μ μ . duplicata AC ad FG,&altera dictarum imaginum, seu spatiorum item acceleratis moribus consectorum, 'um simplices imagines sunt DFG, KFG, est eadem, ac ratio amplitudinum DG, seu BC ad FG. Ergo cum istae
amplitudines sint eaedem, ac illae genesum, constat propositam rationem acceleratorum motuum e simplicibus imaginibus B AC, FG habere rationem compositam ex duplicata temporum AC ad FG, ex ea amplitudinum
imaginum simplicium BC ad EG, seu amplitudinum geli sum. Quod&c. PROP.
85쪽
Liber II. 7 IPROP. I XUIII. THEOR. XXII
o geneses similium, si npliciumque motuum suerinti. 'que/mplar, unagines acceleratorum motuum erunt. duplicata ratione temporum, vel altitudinum ipsarum ' i' genesum. Geneses similium, ac simplicium motuum sunto ABC, qu/rum amplitudines aequales sint AC, DF. Dieo,' 'ρ'7 τ'r' amagines, siue spatia acceleratorum motuum esse in dupli- t4 ratione temporum, vel altitudinum BC ad EF. Cum' AC, D sint gradus velocitatum in extremitatibus simplicium decursuum, etiam imagines velocitatum, iuxta inissus, geneses, quae sint interse homogeneae erunt aequeamplae,no sunt similium motuum ergo imagines acceleratorum , δ' motuum, iuxta simplices illas geneses, aut imagines aeque 3 si igi ampla erunt in duplicata ratione temporum sunt autem imagines velocitatum aequeamplae similiumque motuum, im hoc est spatia B ad EF ut ipsa tempora ergo spatia acce, teratorum, propositorumque motuum erunt in ratione du-
CI geneses similium, simpliciumque motuum suerint aequealtae, imagines, siue spatia, acceleratorum mo-po tuum erunt ut tempora, vel reciproce ut amplitudines Onesum ipsorum simplicium motuum. Geneses similium, simpliciumque motuum, ac interse hQmogeneae sint BAC DEF, quae habeant altitudine, 're' 'AC, EF aequales Dico, imagines acceleratorum motuum esse inter se, ut tempora dictorum simplicium motuum, vel Iςciproce ut amplitudines ipsarum genesum Concipia
86쪽
Geometria Motus tur imagines velocitatum simpliciu motuum, scilicet GHI iuxta genesim BAC, et M KL iuxta altera genesim DEF,&quia,utpote homogenes sunt inter se ut spatia squalia AC ad EF, erut ipsae imagines quales inter se,cu vero ob similitudine motuum eae ipsae imagines nectantur ex rationibus G Iad ML,&ex ea, quam habet HI ad L, sequitur esse G Iad ML, ut KLadis , demum quia acceleratorum motuum spatia a simplicibus imaginibus GHI, KL nectuntur ex duplicata temporum HI ad SL, ex ea amplitudinum GPad L, siue ex ea, quam hRbet KL ad HI, relinquitur, spatia acceleratis illis motibu confecta esse in sola, unicaq ratione temporum HI ad KL, vel in eliquali ratione reciproca amplitudinum imaginum ML ad GI,
vel genesum DF ad BC. Quo doc,
Vaecunque fuerint geneses similium, simpliciumque
motuum, dum interse homogeneae, spatia accelera, tis motibus ex illis simplicibus exacta nectenture duplicata ratione altitudinum, ieciproca amplitudinum earundem simplicium genesum, Sint quaecunque similium motuum geneses BAC, FG. Dico,spatia acceleratorum motuum, ab ij simplicibus derivantium, componi ex duplicata ratione altitudinum AC ad FG, ex ratione extremarum velocitatum, seu amplitudinum reciproce sumptarum ipsarum genesum esto alia genesis DFG illis homogenea,4 motu pariter similis cum ij idem genesibus. Eadem sit amplitudine aequalis BAC,&altitudo eius sit FG, spatia acceleratorum motuum ex
simplicibus genesibus aequales amplitudines habiant bus, similium motuum BAC, DFG sunt in duplicata latione rectarum, seu altitudinum AC ad FG,4 spatia acceler
87쪽
torum motuum ex simplicibus genesibus, quae sint j eadem altitudine DFG, KFG, sunt in reciproca ratione amplitudinum, seu primarum velocitatum KGad DG vel BC ex aequali igitur spatia acceleratorum motuum ex propositis simplicibus genesibus BAC, KFG nectentur ex ratione duplicata altim dinum AC ad FG,& reciproca amplitudinum G ad Cearundem genesium AC, EFG. Quod&c. Soholium.
At quia Monys, quae accelerato motu pera muri non fruatur ratio altitudinum gene mi iacium ex quo orcturin hae methodo quaerim percipiendi di cultas ideo se quentiproblemate, an que iam notis ver talibus, rem planὸ Mustabimus, a imui doctrina usum rademus.
EX datis spatijs accelerato motu consectis, cognitisisque primis, aut postremis similium, simpliciumque motuum velocitatibus , reperire tempora ipsorum decursuum.
Spatia motibus acceleratis exacta sunt C, D, velo-tates, seu amplitudines genesum ponantur esse A, B, scili P . - ceti principio motus per C, B initio motus per D,quaeritur ratio temporum, quibus exiguntur proposita spatia. Vt A ad B, ita fiat Cadi, inter E, et D sumatur Fimdia proportionalis. Dico ipsa tempora esse ut E ad F. Componuntur spatia acceleratis motibus exacta ex ratio ij ne quadratorum temporum,o ex ea amplitudinum, seu 'homologarum velocitatum in simplicibus motibus, simili tim. V. . fiabusque sumptarum;&ideo temporum quadrata necten mi huiui. tu ex ratione spatiorum C ad D,4 ex reciproca ampi, tu
88쪽
74 Geometria Motus tudinum E ad temporum igitur quadrata erunt ut E ad D, ipsa vero tempora uti ad P. Quod c.
EX datis spatijs accelerato motu transactis, datis item
primis velocitatibus similium, simpliciumque motuum, inuenire altitudines simplicium genesum, ex quibus Tab. . in. r. proposita spatia effecta sunt. ρο.huiui. Spatia sint E, D reliquis,ut supra, manentibus quoniam spatia accelerato motu transacta componuntur ex rationibus amplitudinum genesum simplicium, similiumquGmotuum reciproce sumptarum B ad A, siue E ad C, ex ea quadratorum altitudinum ipsarum genesum erit ratio dictarum altitudinum duplicata C ad D quaret,si sit media proportionalis, non inter E, Divi antea posuimus sed inter C ad D erit sane Gadi ratio altitudinum gene- sum simplicium , similiumque motuum, quam quereba
Exemptam primum , SI idem graue naturaliter cadens percur rit a quiete
duo spatia tempora erunt in ratione subduplicata eorundem spatiorum. Ex Cor. r: . huius constat rectangula esse geneses simplicium motuum grauium naturaliter descendentium, ex def. . primi liquet easdem genes es esse motuum similium. Cumque eiusdem mobilis naturaliter cadentis velocitas a quiete sit una, eademque simplices motus erunt ij, vigenesum similium, simpliciumque motuum amplitudines aequales sint, proptereaque, ut in figura praecedentis propositionis aequales erunt , , atque adeo spatium .
sive E ad Diti in duplicata ratione temporum E ad F.
89쪽
Liber II. iExemplum II. PROP. XXXIU HEOR. XXVII TEmpora similium vibrationum sunt in subduplicata
ratione arcuum exactorum, seu longitudinum pendulorum, quorum sunt vibrationes. Sint grauia pendula LA L F, quae ab eadem recta LF discedentia currant suspensa ex L duos similes arcus circulares FI, A C. Dico tempora horum descensuum esse in ratione subduplicata lui arcuum FI, A seu longitudinum filorum, aut hastularum FA, LA. Ducamus quamcumque rectam LBG, erit ABatio . ad BC, ut FG ad GI, cum praeterea velocitates pendu-nae r loriam a quiete in A, F sint aequales, pariterque velocitanus te aequales a quiete in B, G,erit velocitas in A ad veloci ne talem in B, ut velocitas in F ad velocitatem in G, quare:ba consideratis arcubus ABC, FGI, ut altitudines rectς, quae item forent in B, proportionaliter secti genesum simi- 'imι sium simpliciumque motuum,quarum amplitudines aequales sunt, erunt spatia in acceleratis decuribus per FI, AC ratione duplicata temporum, scilicet ipsi arcus, aut longitudine I F, LRerunt in ratione duplicata temporum . vi , Quod&c. VIdem demonstratum esset beneficio imaginum, quae visna , pote eorundem illorum motuum simplicium, forent etiam. similium, sunt amplitudines aequales, etenim eaedem
mi sunt, ac genesium ergo rursus spatia, hoc est arcus ABCve FGI, nempe longitudines filorum IF, AC erunt in rationeunt duplicata temporum. Qu9d&c. a Scho
90쪽
Uides, quam euiter rei discimina demonstrationem attulimus nec dubium, quini extendi queat ad quascumque tineas decursum, dummodo similes,ac militer positas in i dem, vel aequatibus ab horizonte lanis eleuatis, quemari modum Dominus Muianuspulcherrime proposuit.
Exemplam III PROP. XXXV. HEOR. XXVIII
r .aA., Empora lationum a quiete per plana eandem eleua-A tionem habentia sunt homologe ut longitudines
Sint plana AB, AC eandem eleuationem AD habentia. Dico tempus lationis per AC ad id per AB esse ut AC ad AB. haec Torricellij propositio, expositioq est, hancque
eandem veritatem eκ nostris principijs demonstrare visu est , non ut de re illa dubitemus, immo contra, quod de ea plene satisfacti simus, ex eo rursus demonstrandam suscepimus, ut exinde methodus nostra, quam vera sit , elucescat Momentum descensus inplano AC ad id descensus su Tis./ν , d. per plano AB est ut AB ad AC; sunt autem descendentium' μgr-- grauium etiam super planis inclinatis motus, quos simplices appellamus, inter se similes, nempe quorum geneses , sunt rectangula ergo habebimus simplices geneses, nam, cuius altitudo AC amplitudoque AB; alteram, cuius amplitudo AC, altitudo autem AB; itaque propositis spatijs AC, AB,primisque velocitatibus AB, AC,si fiat AB ad AC ut C ad EA,erit Exad AB duplicata teporum,d ideo 3i.-tiet. hu ratio temporum per AC, AB erit CA ad AB. Quod c.