장음표시 사용
71쪽
homologas, similesque arcus subtendentes ad horizontem esse aequaliter inclinatas, ac asteram alteri in ratione eadem, in qua sunt rectae AB, AE&c ac propterea ex eadem Galilei scientia constabit utique tempus decursus ex B in C sphaerae grauis B per quatuor chordas quatuor partes arcus BCD subtendentes ad tempus decursus per via, mi D, esse ut tempus decursus sphaerae gravis E ex E in per quatuor issis homologas chordas quatuor parteSarcus EFG pariter subtendentes ad tempus decursus per Unicam chordam EG ωhoc semper ita euenire demonstrabitur quantacunque, maxima fuerit in perpetua angulorum bisectione aequemultiplicitas in utroque arcu talium chordarum homologe sumptarum, ac interse pro portionalium, aequaliterque ad horizontem inclinatarum Propterquam quod semper decursus exi in D per aggregatum chordarum omnium in arcu BCD ad tempus decursus per solam chordam BD esse ut tempus decursus ex Em G per aggregatum tot dem chordarum in arcu EFG ad tempus decursus per unicam chordam EG adeo ut denique iure optimo educi posse videatur, tempus decursus grauis ex Bin D per aggregatum infinitarum chordarum totum arcum BCD constituentium, seu tempus per ipsum arcum BCD ad tempus decursus per solam cordam BD esse ut tempus decursus grauis ex E in G per aggregatum totidem infinitarum chordarum dictis homologe proportionalium, aequaliterque singula singulis ad oriZontem inclinatarum, ac totum arcum EFG confbrmantium , siue ut tempus per ipsum arcum EFG per solam chordam EG. Quocirca permutando, tempus, decursus sphaerae grauis Bper arcum BCD ad tempus decursus sphaerae gravis E per arcum similem, similiterque positum E erit ut tempus decursus per chordam BD ad tempus decursus per cho dam EG sed ex eadem Galilaica scientia de motu, tempus decursus per chordam BD ad tempus decursus pcra qua- H liter
72쪽
ue Geometria Motus iter inclinatama est in subduplicata ratione ipsarum chordarum BD, EG pergo tempus quoque decursus ex Bper arcum BCD ad tempus decursus ex Sper arcum EFG est in eadem subduplicata ratione chordς BD ad chordam EG, quod ostendendum proposuimus.
Corollarium. Ex modo onensi verprima, ac secundasigura, manife- sum sit Heberrimum illud magni Gallisi pronunIiatum, quod videlicet, ratio temporum similium vibrationum emdulorum oubduplicata rationis longitudinum Morum mologesumptorum, non tantum verum esse de vibrationibus pendulorum per arcus similes, similiterque positos sumptos
ex circulorum quadrantibus adperpendiculum que terminante sederiam de vibrationibusser arcus quoscumquesimiles quadrantum a perpendiculo olimctos dummodo ipsis ius arcussint quoque militer positi quales namirum apparent in Auris prima ae fecunda arcus BCD, EFG, dum grauia B, E ex Iis au hasHis AB, AE circa punctum Acenturribilibus appensa concipiantur.
Scholium. Si curvae ECD, EFG inprima, ecunda figura fuerim similes arcus ex circulis commune en rum Ahabentibus 4rin verticali Iano positis, o inprimasigura recta AB, AEfuerint Ia aut hapuia quaedam circa clauum A conuertibia cunae vera rectae', concipiantur, vi ha iam exibitis, totabi que circa imum punctum E atque ex Auiusmodi lorum, aut Uuiarum terminis B, E pendeant
grauesi haerae B, E cum eadem sin tempora prout assumiarur quoque ab ipso met eua,tempora inquam decursuum liberorumgrauiom B, Eser arcu BCD. EFG, ac tempora
73쪽
4escensium 'forum gravium per eosdem arcus vel haec a
lis pendeant, e ab hactutis octineantur erit quoque temos i defensus, seu vibrationis pendulii per arcum BCD adum s descensus,seu vibrationispendulia per arcum EFDrra Muplicata ratione chorda BD ad chordam EG; sed haec ratio chordarum BD, EG eadem est, ac ratio lorum , aut has uiarum AS, AE; Ergo tempus ibrationispenduli AR per. I fm CD adtempus vibrationis penduli AE per arcum tDo Hem, militerquepositum EFG en quoque in subripi cata ratione longitudinum, vel Iorum, aut hasularum , ex quibus eadem grauia pendula similes vibrationes ab L mi BCD, G. Soholium. Caeterum non me latet constructionem ac demonaratis ne a nobis superios allatam nonnullis euidentiorem fortassis θῆ sin i euasuram stommsfatua continua bisectione angulorum m/lesimiliterque positos arcus abscindentium ex similibus curuis ibidem descriptis: atque ommissa pariter continua coniunctione cho darum, ut ibi factum fuit, horum vice, ut in quintactura, expunctis B, Dbina tangentes curvam BCD ducantur mire quae omnino mutuos secabunt in puncto' ob conditiones in ima Theorematis expositione ultimodo- coposita atque ex E, G, LBH, Des agantur aequirinam res, quae octae AH mul occurrent in I. curvamque EFG contingent pariter ad E, G quae omnias opus fuerit, cile demonstrabunturia insuper, a puncto C, in quo iuncta Aresecat arcum BCD, agatur tangens LM primas H,DHfetans in LM; Peri vero, in quo AICH secat arcum EFG agaturi parallela tangenti LM, quae curuam pariter EFG tanget ad F, ac tangentes EI, GIsecabit ad NO: si iunctism uter L AM, eadem, quam nunc e Dcauimus, continu αμ conseructio per alias, atque alias tangentes, o parasietas
74쪽
est . sic enim unicuique harum curuarum circumscribetur rectitineum, primo ex binis tangentibus,secunia ex Iribus, tertio ex quinque, quarto ex septem, o sic Iterιὸ iuxta r liquos impares numeros successive fumptos atque omnia paria talium quidlsantium tangentium eam semper inter se rationem seruabunt, quam habent chordaeis D, EG,seu quam habent recrae SA EA eruntq; inters aequaliter inclinatae; adeoq; tempora decursuum grauium B, Euam per summas binarum tangentium H, HV, EI, G, quam per minores fummas, ex quinque simul chordis utrinque sumptas, aut quam per alias semper minores summas huiusmod tangentium iuxta quantumus maiorem numerum imparem aeque multipliciter sumptarum, erunt perpetuo proportIonalta temporibus decursuum per chordas BD, EG;δ' hoc semper tiam. si per huiusmodi decrementa aggregatorum ex tangentIbus utrinque aequemultipliciter fumptis, deueniatur ad ultimas, ac breuissima usis arcubus circumscriptiones postgonorum
e V lateribus numero innumerabiliter aequemultiplicibus, hoe
es ad imos simius , similiterque postos arcus BCD , EFG,
quorum singula homologorum laterum,su punctorum paria,
iti, eris; et F, D, et G c. haberi possint tanquam tot paria parallelarum, ac proportionalium tangentium ipsos miles arissimiliter positos arcus constituentia. uapropter ratio quoq; temporum decur umper ipsos arcus similis erit rationi temporum decursuum per chordas ted horum decur-
um ratio subdupla est rationis inter ipsas chordas mare, o aliis hac methodo constaretpropositum.
Hactenus grauissimus Vir superest modo ut quemadmodum annuimus, veritatem eandem nostra quoque methodo, Urmemus, et ijs, quibus lis probat demonstratio allata, si noctra, quam afferemus, in experimentum traditarum haevis; rerum; se quibus scis acciderit ex aliqua dubitatione, haec per demonserationes nostras promus,satimq: tollatur. Ita etiam admoneo, eam rem non tantum me ossensurum,
75쪽
vi pulcherrima, utilimaq veritas pluribus demonstration bus aperiatur; Derum potius ut amplissima Methodus,qua tum utemur, aliorum motuum demonserandorum in exemplum
IN eadem recta CD coeant duae planar, interkq similes, et is 6.sis ac prorsus aequales figurae ADCA BD CB, quidem ita, ut ab eodem puncto M si ducatur H parallata A, et L ipsi CB, sit semper H aequalis ML , quemadmodum aequales sunt interse CA, CB. Dico si concipiatur solidum eius indolis, ut ductis rectis BA , LH cadant istae omnino in solidi istius superficie;ipsum vero solidum, quod sit ADC, secetur plano quolibet arquid istante figurae BCD in fore, ut sectio ista ΚFEIΚ, sit prorsus similis, aequalisque alteri contermina AEI; sed opportet, ut palam est, coeuntes illae figura non in eodem plano reperiantur. Cum duo plana inuicem parallela IE, BCD secentalia duo inter te item parallela ACB, HML,erunt comminiae sectiones, interse omnes a quid istantes rectae lineae KI, GF, ML CB. Cum vero ob naturam solidi, sectiones BAC IH triangula sint rectilinea, erit ut BC ad CA, ita I ad IA . Sunt autem priores interse aequalis, ergo postremae I AI inter se aequabuntur. Eademque ratione sunt aequales HG, GF quoniam ob similitud me figurarum angulus BCD aequatur angulo ACD angulus BCD aequalis angulo KIE nam etiam CD, IE sunt rectaea quid istantes, cum nempe sint communes icct:ones plani DC A secantis duo equid istantia ΚlE, BCD ergo cum
angulus pariter A CD aeque angulum AIE, erunt anguli KIE, AIE, et FGE, HGF aequales. Quod &c. PROP.
76쪽
PROP. XVII THEOR. XIII. IIsdem manentibus. Dico triangula ACB LHMeta,
similia Sunt enim parallelae c. interse tam rectae CB, ML, quam CA, H ideo anguli ACB HM interseaequabuntur, Junt circa eos proportionalia latera, nem. pei ad A, ut L M, Hiergo constat propositum. Corollarium. Simul constat retras AP Luinterse aequissipare.
Iisdem ut supra manentibus, ita tamen ut A CD sit angulus rectus csic enim DC perpendicularis erit duabus AC, CB Dico solidum huius nodi ad prisma, cuius basis ABC, altitudo CD eandem habere rationem, quam solidum rotundum ortum ex rotatione figurae AD circa axem CD ad cylindrum genitum ex conuersione rectat guli AC in D circa eundem aXem.
F ι.ε. l. s. Compleatur ipsum prisma, it quidem A QDpBC. quod secetur una cum proposito solido per quod uis planum basi ACB aequidistans fiet in ptismate sectio trianis gulum MN simile, aequaleque ipsi ACB,4 in altero solido triangulum I HI eidena AC simile. Triangulum
ACBprismatis adtriagulum idem solido proposito commune est ut circulus radio CA descriptus ad circulum eundem Item triangulum O sectio ptismatis est ad triangulum I H sectionem propositi solidi, ut circulus ex radio O descriptus ad circulum radio H. Cum dein.
de idem dicatur de alijs omnibus sectionibus prismatis,'
77쪽
propositi solidi erunt omnes simul primae, quae inters IR, i aequales sunt, ad cnanes simul secundas ut omnes tertiae, hi partibus interse aequalibus, ad omnes quartas; scilicet T. fis erunt omnia triangula prismatis, seu ipsum prisma ad omnia triangula propositi solidi, seu ad ipsum solidum, ut omnes circuli eius cylindri, qui oritur ex conuersione figurae HUCA circa axem CD, hoc est ut ipsum solidum rotun- cum seu cylindrus ad omnes simul circulos solidi rotundigenitis rotatione figurae AHDCA circa axem ipsu CD, acu ad ipsum propositum solidum. Quod c.
PROP. XIX. THEOR. XV.ET rursus ipsa manente figura paret, si ducantur HR, I Sparallelae MD, fore non solum figuram AHDPA. similem,ac aequalem BLDQB; verum etiam APRHA ipsi BLSQ : Cum ita sit, aio, eundem cylindrum ad solidum rotundum genitum, ex volutatione figurae APDcimc eundem axem CD eandem rationem habere, ac prisma praedictu, cuius basis ACB, altitudo AP ad solidum, quod superest ex ipso prismate, dempto solido ACBLDH A. Nam ex praeterita propositione nouimus, dictum prisma ad solidum eius partem ACBLDHA esse ut cylindrus o tu ex conuersione rectanguli CP circa axem CD ad partem eius rotundum circa axem eundem CD conuersa figura ADC ergo per conuersionem rationis, erit id quod proposuimus.
E F. IV. QVodcunque ex dictis propositis solidis vocetur ab
ea figura, iuxta quam intelligitur ortum Scilicet AC BLDHA dicatur a figura AHDCA,4 ait rum, quod fuit residuum praedictum dicatur a filura AH-DPA. PROP.
78쪽
Geometria Motus PROP. XX. THEOR. XVI. r. Ar i , CII quibuscunque figuris fuerint duo solida, haec intem' o se erunt ut solida alia genita ex conuersione illarum figurarum circa communem sectionem similium, aequalium, ac interse coeuntium figurarum
Solidum a figura ABC sit AFDBC, quod est a Ggura GLHesto HGILH. Dico illud ad hoc solidum esse
ut rotundum natum ex conuersione figurae ABC circa axem E ad rotundum ortum ex couersione figura GL Hcirca axem H L. Opportet tamen angulo ACF , GHI aequales ecth. Intelligantur prismata triangularia, quorum bases ACF, GHI,&altitudines CE, HL hoc est sint ipsa solida prismatica AFCEBD, GIHLMK. Solidum a figu. 1e..ista, ABC ad prisma AFCEBD habet eandem rationem,
quam solidum rotundum ortum ex conuersione figurae ABC circa axem E ad cylindrum natum ex rotatione ABEC circa eundem axem CE; hic vero cylindrus ad cylindrum alium natum e rotatione rectanguli MI H circa axem H est ut prisma, cuius basis ACF, altitudinequeCE ad alterum prisma basem habens GH similem ipsi CF nam circa angulos aequales H, C sunt latera etiam proportionalia, nempe aequalia δε altitudinem HL Solidumis., is praetereβ, 'Q prisma ΚHM ad solidum , quod est a ' plano I H habet eandem rationem, ac cylindrus, qui fite conuersione rectanguli HM circa axem HL ad solidum
rotundum ortum ex circumactione figurae GLH circa ipsum axem HL , ergo ex aequali erit solidum a figuram BC ad solidum a figura GL H, ut rotundum ex rotatione figuia ABC circa axem CE ad rotundum alterum e conueris
sone alterius figura GL H circa axem L. Quod dic. PROP.
79쪽
PRopositis ijsdem solidis, erunt inter se, vi momenta λgurarum a quibus sunt quae tamen figura suspensae sint ex longitudinibus deductis ab ipsarum grauitatum centris usque ad coeuntium figurarum communes illas se
Figurae, a quibus sunt solida, ponantur ABC, GLH, cetra grauitatum illarum M. Laxes, siue communes sectiones coeuntium binarum interse similium, ac aequalium Sgurarum a quibus dicuntur ipsa solida & demum MO, NPperpendiculares sint ab ipsis centris ad illas communes se-etiones deductae CE, HL . Dico, solidum a plana fi urata
ABC ad solidum a plana GH Leandem habere rationem, ac momentum figurae ABC pendentis ex M ad momen ruinasterius figurarsiis pensae ex NP. sunt enim haec soli ' - - da inter se, ut rotunda, quorum genetrices figurae ABC, GL H circa axes CE, HL, huiusmodi vero solida sunt ut . um it Omenta proposita; ergo solidum a plana figura ABC ad iii in 10 idum a plana GL H, erit vi momentum figura ABC 'l' ssuspen ex Moad momentum GLH pendentis ex P. Quod&c. Corollarium. Cum ipsa I momenta nectantur ex rationibus si urarum ABC, GLm se ex longitudinibus, ex quisuspend ni a si -' i gurae iam habentur vi grauia Lex is dem IIam rationibus componentur solida, qua sunt ab usis figuris PROP.
80쪽
sgi. Nagines velocitatum, seu spatia ' ia curruntur accele I ratis notibus, sunt, solida ab inaaginibus stinplictuin motuum, ex quibus ipsi gignuntur accelerati. Sint imagines simplicium motuum ABC, GL H,4 solida ab ipsis imaginibus anguli ACQ GF D semper rectis,aut saltem aequalibus intelligantur ABCRQ, GLH D. Dico, ut sunt interse ista solida, sic esse homologe spatium exactum tempore AC motu accelerato ex simplici motu imaginis ABC ad spatium transactum tempore GH motu item accelerato ex simplici imagine prior homogenea GL H secetur solidum ABCR plano equidistanti QCR, is mi quod faciat in solido ipso sectionem SVX erit haec figura prorsus similis, ac aequalis conterminae ABVI; quare . huiui, cum in accelerato motu velocitas, quae habetur mome to C ad velocitatem momentora sit ut imago ABC sit a si isti plex ad segmentum eius ABUS erit etiam . aequalis ABC ad sectionem solidi TS VX, quae aequatur ABVS, Ut illa eadem velocitas momento inmobili inhaerens ad, Iocitatem momento S alterius accelerati motus. Est auis
D. 1., ta tem sectio SV ad libitum sumpta ergo solidum ABC
histis, QR potest sumi merito ut imago velocitatum accelerati Os I. ιμ- motus, cuius simplex imago ABC: eodem modo sol, 3p. .hmo, dum alterum Ulcem geret imaginis velocitatum alterius motus ex simplici imagine GLH, itaque erit ob homogeneitatem spatium transactum motu accelerato iuxta simplicem imaginem ABC ad spatium transactum motu accelerato iuxta simplicem imaginem GLH, teporibus AC,