장음표시 사용
61쪽
O FE parallela AB, uti etiam FG parallel AC, erunt Σημον .AE, AG latera compositi motus, cuius semita AF Concipiatur modo P momentum, quo mobile adest in F,&ducta OP parallela alteri HI,Vei L erit imago HIL ad imagine PHIR,hoc est VH ad P,ut CA ad AE,seu ut BD k ivi, ad GF Pariter erit imago NHM ad ima uine OHP, hoc est quadratum ex H ad quadratu ex PH;immo id ex BO ad illud ex F, uti ad AG; quamobrem punctum F cadet an furuana parabolicam communem, cuius diameter AB, basis, seu ordinatim applicata BD, scilicet AF erit ipsa curua parabolica. Quod&c.
moniam graue, quod acutatur extra perpendiculum, li-όιrum ab omni obice ms turbaretur eius motus a propra grauitate pergeret moueri aequabiliter iuxta Hrectionem, te- Iocitatemque ei traditam ; habet vero contanctam grauitarem, qua, nisi ab impresso impetu fucteretur motus, descen-Gret iuxtaperpendiculum moIu naturaliter concitato, cuius mago velocitatum, triangulum est Hinc propterea graue trape pendiculum proiectum riserabit in cursu suo , motu Icurcetcoms to , parabolam vulgatam Verὰ enimvero G riptionem istam nec e aliquopacto es ex duabus causis vittari, hoc eis ab aeris re enita, se perpendiculis non ιnter paratacos, qu/ve in idem , namq; punctum, uniuersi
PROP. XIII. THEOR. IX. SI ab assumpto hyperbo, puncto, recta axi primo pa Tab, A
ralicia deducatur, quae ad secundam diametruniit tangat Quadrilineum comprehensum ab ipsa curua hyperbolica.&dietis tribus rectis, erit imago velocitatis alliuS
62쪽
litis motus describentis curuam parabolicam, cuius basis ad axem eius habet eandem rationem, quam duplus axis propositae hyperbolae ad ductam illam arquidi statem inter eiusdem hyperbolae assymptotos interlectam. Hyperbola lRS sit centrum H, semiaxis HI, assymptoti H T, NH, et SN parallela HI; tum ducta H M secunda diametro hyperbolae, intelligatur descriptio parabola AFD; ita ut duplus axis hyperboliae, hoc est quadruplum ipsius Hi ad Teandem habeat rationem, quam DB basis parabolae ad Bruaxim eiusdem . Dico quadrilineum HISMesse imaginem velocitatum, iuxta quam motu composito describitur parabola AFD; cum sit homogenea imagi-Def. .primi nibus Hi L M, HIN, est equoque rectangulum H DLM ad ' -I .pri' inaginem ipsam HISM ut recta C ad curvam AFD. F at rectangulum AC DB, et HM sit tempus, quo curritur
Cor. pr. 4,hN utrunque latus AB, AC, nempe axis A motu grauium
γλ. i. ργimi iuXta imaginem triangulum H TM,alterum vero latus AChuimi aequabili motu iuYta aagine ni rectangulum HIL M, quod quidem crit Hl LM; etenim AB ad spatium AC est ut imago triangulum HMI ad imaginem rectangulum Hl LM, scilicet est ut T ad duplam HI, vel vi NI ad quadruplam HI, quemadmodum posuimus. Iam monstrauimus lineam, quae curritur iuxta illas imagines motu composito parabolam esse, cuius diameter AB, basis BD ;&pro
pterea erit ipsa AF nam unica tantum parabola ex datis AB ID positione, ac magnitudine axi scilicet, ac basi dari potest)Ducatur nunc a quolibet puncto F dictae
parabola rectar FE, FG parallelogrammum constituentes AEFG; P sit momentim, quo mobile punctum inueni-Ux'r. λ δεμ tui Habebit inibi ipso temporis momento P velocitatem PQjuxta directionem GF,sunt vero istae directiones
sibi ipsis perpendiculares ergo recta, quae diameter esset rectanguli AEFG,&ob id potentia aequalis duabus PK, Fr.3.hritu, PQ erit gradu Velocitatis, quem mobile habet momen-
63쪽
to F motu composito cunens; verum quia quadratum ex PRiquatur rectangulo ORinna cum quadrato ex PQ, Pr. M.t. 2.ω- esto hyperbolam rectangulum OR aequale quadrato' ex HI, vel PS ergo PI quadratum aequale erit duobus simul quadratis PQ, PK; itaque PRerit gradus velocitatis praedicti mobilis in F momento , compositoque motu currentis iuxta curuam parabolicam Pariter momento rus, cum mobile esset in D velocitas compositi motus rei M potestate aequalis duabus T ML ac demum in Ainitio motus velocitas est HI quare HISM erit imago, locitatis motus compositi dum mobile punctum descripse Di 3 pr m rit curvam parabolicam AFD, estque illa imago imagini - hus diuisorum seu simplicium, motuum homogenea; eroo constat basim etiam BD ad parabolam APD eandem habere rationem, quam rectangulum HI LM ad quadrilineum HISM. Quod c. Corollarium. Pa et,cum latera composti motus sint duo, se sibi ipsis perpendicularia, tune gradum velocitatis eiusdem motus co
siit aequatim esse potentia duobus simul gradibus, quos habet mobile eoium momento,acssos inteligatur in tui erri
Si vero considerentur imagines primi fecundique Ca sinterse homogeneae, erit et quadra eum HISI primi ad quadrilineum isdem literis notatum fecundi casus, τι cum
64쪽
Geometria Motus Coroliarium. III. Illud etiam constat esse in utroque eas ut quadrilineum HIRP ad imum PESMita AF ad FD.
rib., A., Q positi spirali Archimede primae circulationis I ABD, et AG comuni parabola sit FG basis huius aequalis radio DA, et GA sit dimidium circumferentis circuli AEG; erit parabola AGF axem habens GA aequalis proposita spirali.
Sit PN communis hyperbola, cuius coniugati semia-Pra; miui Xes sint IK, IH Massymptotos Io Esto etiam axis hyperbolae huius, dupla scilicet II , ad HO illi quidistantem ut FG ad AG. Iam constat quadrilineum IH P sere imaginem velocitatum, iuxta quam curreretur parabola AGF tempore IH si modo ostendimus hoc ipsum quadrili neu esse pariter homogeneam imaginem alterius compositi motus, quo videlicet describitur spiralis proposita ABD, . .n με palam erit, ipsam parabolam eidem illi spirali aequalem futuram. Ducatur recta KL, quae equid iste IH item ex quo uis puncto Q leporis IH alia deducatur recta QR MN parallata IK erit parallelograminum rectangulum HlΚLimago velocitatum uxta quam curritur FG, et HI triangulum imago, qua curcitu AG motu grauium descendentium: Verum quia codem tempore Iid, si mobile currat aequabili motu DA aequalem FG, est eius imago idem rectangulum HKL, curriturque illo eodem tempore Η sp, rati exigente omnis circuli circunferentia AGEx aequabili etiam motu ab extremitatem radi AD circumducti in
descriptione spiralis; ob idque factum est, ut I ad HO Lset ut DA ad circunferentiam ipsam AGEA;nam hoc modo
65쪽
do rectangulum IH in H est imago velocitatum eius
dem motus per AGEA . Ducatur nunc e quocun-Pr. 2ir: na
que momento inine QR MN ipsi I aequi distans in au spicato motu exae tro D momento I, ut nempe oriatur spiralis, intelligatur momento inentum esse in B, quamobrem ducta DBE, erit rectangulum, seu imago IS ad imaginem rectangulum HIEL, ita DB ad DE, in qua D tione, cum propter spiralem, sit etiam circunserentia AGE ad circunferentiam AGEA, erit rectangulum Q in Oimago velocitatis per AGE,estque velocitas iuxta tangentem in E ad velocitatem iuxta tangentem circulum BC in B, ED ad DB, seu vi HOad QM ergo cum iuxta tangetem in A, hoc est ni velocitas sit HO, erit secundum tanis gentem circulum BC in B, ipsa QM Velocitas proptereaque imago triangulum HIO, quae in parabolae descriptione erat per AG, nunc erit per omnes tangentes circulos se binde crcscentes ex D in E scilicet momento , erit mobili puncto secundum DA, velocitas IK momento indum . adest in B,erit secundum BE velocitas QR,4 iuxta tangetem in B circuli BC velocitas M.quar ambae,hoc est velocitates QR, Q cum sint normaliter directae, erit eidem p . a. o. mobili in B iuxta spiralem velocitas N potentia ipsis am Cor ras. babus aequalis. Similiterque momento cum mobil fuerit in A, erit velocitas iuxta spiralem, ipsa HP aequalis potentia duabus velocitatibus HL iuxta radium, et Hoiuxta tangentem; sic omnino liquet,ipsum quadrilineum VIKP esse imaginem velocitatum tam in descriptione parabolae AGF, quam spiralis Archimedeae DBA,4 cum sit in ijsdem descriptionibus homogenea sibi ipsi, constat ip-Pr. sas curuas aequales esse. Nam ut imago illa ad se ipsam ita parabola ad spiralem praedictam. Quod&c. a
66쪽
9eometria Motus Corollarium. Hinc pare spiralem DR adspiralem DBG eandem habe
re rationem, q/ram quadrilineum QKN ad quadrilineum HGP pariterque rectam D A ad eandem spiralem DCE here ipsam rationem, ac rectangulum HIUL addictum qua.drilineum HIVP. Eodem fere modo exhiberi pisset ratio spiralis adspiralem,licet plurium interse circulationum eritque promus ea, quam habet num ad alterum ejusdem istius naturae, quadrilis eorum.
Hiralis orta ex motu naturaliter accelerato per radiuo circuli comprehendentis spiralem ipsam, ex motu aequabili circa circumferentia eiusdem circuli, aequalis est
ei curvae parabolicae natae ex motu composito,cuius unum latus curritur iuxta imaginem trianguli, nempe motu grauium alterum vero latus iuxta imaginem trilinei secundi, habebitque parabola ipsa axim aequalem radio, & basim . tertiae particircunferentiae eiusdem circuli spiralem comprehendentis.
Esto spiralis ACB,quae signatur ex motu pucti A aequabiliter lati circa circumferentiam ADA, dum nempe eodetempore F, punctum B currit a quiete lineam A motu grauium descendentium sit vero imago velocitatum dicti motus aequabilis per D Arectangulum HGFI,4 alte. ι, tu motu imago qua triangulum erit,esto FEIM P Pr. i. et quia ipsae imagines ponuntur homogenear, esse rectangulum HGFI ad triangulum IF Mi ADA circumferentia ad radium BA, propterea IM ad IIJ erit ut B A ad dimidium circunferentia AEDA. Sumatur quodlibet mometum Κ, ducatur ONS aequidistans HM, puteturque
67쪽
eodem illo momento mobile vetum esse in C spiralis pro positae BCA: agatur per ipsum punctum radius BCD,& sic
illo momento extremitas A currendo circa periphaeriam reperietur in D, eritque circonferentia AE ad ipsam
AEDA, ut imago rectangulum GF ad imagine GHI F, hoc est erit ut KF ad FI at BC ad BD erit ut imago triangulum ΚFL ad triangulum FIM, nempe ut quadratum KF
ad quadratum I est autem ut BD ad BC ita velocitas iuxta tangentem in D ad velocitatem iuxta tangentem in C circulum, cuius radius BC: scilicet ita velocitas IH ad Velocitatem KN quadrati nempe IF ad quadratum F,&ob id velocitates, quae sunt iuxta tangentes circulos subinde crescetes ex centro B erut expressae in trilineo HNFIHsecundo, cuius scilicet indoles est ut abscissarum quadrataviint ut applicatae. His compositis, intellectisque erit in B, momento , nulla velocitas, in C momento duae velocitates, quarum unam mobile iret iuxta CD, sed cum altera sit Κ iuxta tangentem circulum,cuius radius CB,ne Pr huius ctitur una ex duabus illis, quibus eis de potentia est aequ4 c. 1, i, iis, qua idem mobile mouetur iuxta spiralem illo O huius. mento C. Similiter cum mobile est in D, scilicet momento I,habebit velocitatem potentia aequalem HI, qua dirigitur iuxta tangentem, velocitati IV, qua secundum radium, Itaque imago velocitatum mobilis describentis spiralem propositis motibus tempore IF ea erit, cuius applicatae sunt ubique aequales potentia j applicatis, quae ab eodQmomento mtelligi queunt in imaginibus simplicibus, nempe partialium motuum,HNFI, II M . Cum praeterea Tponatur tertia pars esse circumferentia AEDA,d est etiatri lineum ΗFI utpote secundum tertia pars parallelogram HGFI, erit triangulum IF ad trilineum ipsum FI ut i
BA, vel ei aequalis QO ad OT curritur vero ut supponi tur tempore F iuxta imagmem triangulum FM,ergo p=.,. imi eodem tempore iuxta trit iacum HNFcurretur alterumta hii .
68쪽
34 Geometria Motustus Orsiue basis parabolae QI. Si itaque parabola ipsa putetur esse ORI, in qua punctum Risto ubi mobile adest
momentori, deducantur vero ab eodem illo puncto RS parallela axi QO, et RP aequidistans I, vel T, profecto in O, momento F, sicuti in pirali, nulla erit mobili velocitas, sed cum est in momentori habebit geminam velocitatem, Κ L secundum R,etri iuxta PR perpendicularem ipsi SR, quae duae velocitates itidem component unicam potentia simul illis aequalem, cum idem dicatur de quibuscunque alijs punctis parabolae momentis temporis Irespondentibus, manifestum est spirali BCA, parabolarol Punicam, candemque esse imaginem velocitatum,pr pterquam quod ipsae curuar, quod sint ut imagines, erunt
Exemplo traditarum curuarum, possunt inminerae pirales fui parabolis aequatis excogitari, nec ideo res minis δε- monstrabitur, se loco rectarum, seu laterum T OP compositi motus, sub fluantur circuli, aut circulorum arcus,qui ad rectos angulossescent, scilicet u tangentes adpunctum inse-xionis,seu occursus ipsarum curuarum sibi ipsis perpendicures fuerini ta u. ipsa curua latera ad reisos angulos non se secent curvae nihilominus ab ipso compsit moί nascentespo erunt exhiberi curuas parabotica exequantes, quarum itidem latera ni rectae eundem angulum, quem praedicta ta gentes, comprehendentes. Sed de his fatis, nunc dicamus ear mora, quibus duorum pendulorum similes vibrationes ab-- fluuntur, hoc es Galilei sentintiam demonstrabimus, quam quondam haud rudite decepti falsam credidimus. Vincentius mulanus eximius no ri aeui Geometra ut tue retur utile ententiam cuius dignissime fefuisse discipulum pro tetur, tradidit mihi per admodum Ee serendum, at que
69쪽
que culti simum Patrem Ioseph Ferrenum p Societate Iesu. monstrationem fuam vere richerrimam , ac fertisime exaratam, qua una potuissim de Galileias en fatisfactus esse; eam demonserationem, Urim promus verbis, a guris, quibus ad meperuem hic duxi reponendam , ne gloriam , quam Vir tantus meretur, ipse videremur nostra, quam inrifubdemus, demonstratione, subripere.
1 Empora naturalium decursuum sphaerarum grauium per similes, similiterque ad horizontem inclinatos
arcus curuarum linearum in planis, aut verticalibus, aut ad horigontem aequaliter inclinatis descriptarum, Squae tota sint ad easdem partes cauae, interse sunt in subdupli--ata ratione chordarum eorundem arcuum homologesumptarum.
Expuncto A ad curuam lineam BCD extra ipsam in plano positam, & in totum ad easdem partes cauam, quaecunque ea sit vel nimirum pars aliqua circumferentiae circuli, vel alicuius ex infinitis ellipsibus, aut parabolis,aut hyperbolis, aut spiralibus, aut cycloidibus, vel concoidis, vel ciso idis, seu alterius cuiuscumque ex notis, vel ignotis curuis educantur omnes rectae AB, AC, AD c. quae a punctis E, F, C, vel intra, vel extra eas sumptis proportiOnalibus secentur, ita ut sit AB ad AE, sicut AC ad AF, sicut AD ad AG c. hoc semper. Sic enim dubio procul apparet, prout facillimum est ostendere, lineam EFG transeuntem per singula puncta E, F, G sic inuenta, curuam quoq; esse,& eiusdem penitus naturae, ac data BCD, eique similem similiterque cum ipsa positam, atque in totum cauam ad easdem partes, ad quas ponitur caua ipsa BCD. Concipiatur modo planum, in quo manent huiusmodi similium curuarum similes arcus BCD, EF vel esse ad horizontem erectum, nempe verticale, vel ad ipsum
70쪽
s Geometria Motus. horigontem Inclinatum iuxta curvitates ipsorum arcuum BCD, EFG inflexas esse superficies eidem plano erectas, ita tamen, ut super has positis grauibus sphaeris in A, E per ipsas sic inflexas superficies eaedem sphaera naturaliter
decurrere queant; id quod sane accidet, cum arcus BCD totus fuerit infra horizontalem II ex arcus sublimiori puncto B ductam, fuerintque ab hac continuati recessus, ac totus ad unam partem perpendiculi BH: nam sic talis quoque erit alter arcus EFG illi BCD similis, similiterque positus. His omnibus sic manentibus: Dico templis decursus sphaerae frauis E per similem, similiterque positum arcum EFG, esse in subduplicata ratione chordarum BO, EG arcus ipsos subtendentium Secto enim bifariam angulo BAD per rectam AC arcum BD secantem in C, atque arcum EFG in F, iungantur chordae BC, CD, et E FG, quae ex huius modi curuarum natui a cadent tota intra ipsos arcus, sed in prima, secunda figura ad partes poli Α, in tertia vero, quarta ad oppositas. Et quoniam, ex talium curuarum genesi, est ut BA ad AT ita DA ad AG, erit BD ipsi Et parallela hoc est utraque ad horigontem aequaliter inclinata, atque in ratione B A ad AE. Sim liter cum sit, ut BA ad AE, ita Aad AF, etiam BC, EF inter se aequid istabunt, seu ad horizontem aequaliter nolinabuntur, eruntque in ratione eadem,ac B ad AE. Idemque ostenditur de chordis CD, FG, quare ex magni Galilei sententia de motu naturaliter accelerato indubitanter sequitur tempus decursus sphaerae grauis ex B in D per binas chordas BC CD ad tempus decursus per unicam BD , esse ut tempus decursus grauis sphaerae ex Ein G per bina EF, FG ad tempus decursus per unicana EG iadem itidem ratione demonstratur angulis pariter BACCAD bifariam sectis perrectas, quae similes arcus BC, EF, ac CD, FG duas in partes diuida in)ex quatuor utrinque arcuum horum cordis, illas interse