Compendiaria matheseos institutio quam in vsum auditorum philosophiae elucubratus est Paulus Mako ..

361쪽

667. COROLL. a. Si abscissa a centro C computetur, sitque CP - π . in praecedente sormula loco quod in ea significabat ΒΡ, ponendum erit En a TL x, et habebitur PQ Ux

660. PROBLEMA. Inuenire subtangentem in ellipsi , et hyperbola. REsoLUT. Quoniam in triangulo rectangulo ΤΜQ ex angulo recto Μ demissa est in hypotenusiam perpendicularis ΜΡ, erit PO: PMPΜa

tutis, erit PT

362쪽

- κ aix - a AC . 67 I. COROLL. a. Cum in postrema hae sormula distantia mei a vertice, seu e non ingrediatur , patet eam etiam axi minori ellipseos vel hyperbolae accommodari posse, adeoque etiam relate ad illum CT Y CΡ aequari quadrato semiaxis. Imo omnes formulae sub- normalis supra inuentae, et formula subtangentis , cum eas distantia foci a vertice minima ingrediatur, perinde obtinent etiam in axe minore, dummodo debitae mutationes in lite. ris adhibeantur. 672. COROLL 3. Si abcissa a centro com

putat CP sit in x, in formula subtangentis quod in ea significabat Bri

Ponendum erit aerit ergo PT

673. THEOREMA. Si in ellipsi ae hyperbola ex utrovis foco demittatur in tanWatem perpen dictitaris FA Del fa, cinerit resa CA vel C aiungens eius extremum eum centro parallela rectae

iunganii punctum contanus eum altero Deo in vel FΜ. DEMONsTR. Ponamus enim rectas CA. FR, Μ parallelas esse . ostendendum erit rectam FA esse ad tangentem perpendicularem. Du Catur Per centrum C tangenti parallela Occur-

363쪽

ac proinde anguli ad A utrinque aequales, et recti sunt, et hinc FA ad tangentem Perpen dicularis. Eadem est pro rectis FΜ et Ca demonstratio. 674. COROLL. Recta CA. ae proinda etiam

rectae RS, Μ b, C A. et ΜB aequantur semiaximaiori. Cum enim si FS- , et FR-FM per demonstri in ellipsi summa FΜ -Φ- Μb U seu axis maior 646) aequatur summae FR -- Μb -- FS - SR -- Μb ; sed SR - Μ b. ergo Μb et SR, adeoque etiam CA aequantur semiaxi maiorL Et quia in triangulo BΜb anguli B et b aequantur alternis FΜΤ.fΜt inter se aequalibus 663 . et ipsi aequales sunt; undE ΜΗ - Μ, . et hinc etiam ΜΗ aequatur semiaxi maiori. In hyperbola axis maior est in fΜ - FM

axi maiori. . 675. THEOREM A. Si e punso axis, in quo normatis ei Oceurrit, demittatur perpendicularis in resam iungentem Punctum eontactus cum Ioco, erit

364쪽

De sectionibus conicis

ad diametros

676. iameter sectionis conicae est quaevis Ira recta per centrum transiens, et Utrinque in perimetro terminata. Cum vero Parabolae centrum a vertice infinito distet 6uo eius diameter est quaeuis recta e quouis eius puncto ducta. et axi parallela. Diameter comingata dicitur respectu alterius diametri ; si litparallela tangenti per alterius extremum ductat. Semiordinatae diametrorum sunt rectae in diametro . et perimetro sectionis terminatae, et tangenti per extremum diametrorum transeunti parallelae. Si per tri puncta proxima sectionis conicae concipiatur transire' arcus circuli cum arcu sectionis inter tria illa puncta Congruens. oiusmodi circulus dicitur sectionem osculari; hine eius radius adpellatur radius osculi , vel

etiam radius curuaturae, Cum Circuli et sectionis conicae curuatura in arcu illo exiguo eadem sit. 677. THEOREM A. Si in parabola per extre- FIO 11 r. mitatem axis A. et diametra Μ ducantur tangentes AG et TΜ , et his per quodcviique perimetri Pu Atim E, e, vel FI agantur parallelae. triangula his parallelas et axe comprehensa aequabuntur resan xuiis a tangente axis, eiusque parallela inter axem et diametrum comPrehensis.

365쪽

678. THEOREΜΑ. In eodem casu triangulum comprehensum a tangentium parallelis et diametro aequatur res angulo, quod i a parallelarum e te eum diametro, axe, et tangente iametri.

DEMONsTR. I Si punctum E cadat supra Μ, cum ΤΡΜ sit - ΑΡΜG 66o . tollatur ab utroque spatium DΡΜΡ, erit TCD - GΜΙ- - IADC; tollatur ab horum primo triangulum EDt, a secundo spatium ADBG, quae aequa

366쪽

ordinatas. DEMONsTR. Cum enim aequentur triangulaeSL, BES 678 , sintque aequiangula, erit es

a FS. id quod in quavis alia ordinata obtinet. 68O. THEOREMA. In parabola quadrata semi. ordinatarum ad quamuis diametrum sunt ut abisti De. DΕΜONsTR. Nam triangula similia BES, FHQsunt inter se ut SE': QΗ 5 op ; atqui triangu

ergo etiam haec parallelogramma sunt inter se ut SE QΗ'; sed eadem etiam sunt ut ΜS: ΜQ

681. COROLL. Ratio haec non mutabitur, si abscissae ducantur in rectam quamdam constantem I o , quae si sit tertia proportionalis ad quamiscunque abscissam, et eius semiordinatam, erit quadratum semiordinatae aequale facto ex abscissa in eam rectamquam vocamus diametri Para metrum 6as et Unde quadratum semiordinatae diametri aequatur facto ex parametro in abscissa et quadrata semiordinatarum sunt ut abscissae. 682. THEOREMA. Purameter diametri aequatur quadruplae dilantiae foci a vertice diametri Dariotist R. Sit enim parameter axis P, Pa' Fig. H8. rameter diametri q . ducaturque ex vertice parabolae ad diametrum semiordinata RA, erit

367쪽

ELEMENTA Fig. Ο 9.

683. COROLL. Easdem adeo proprietates hahet parabola relate ad diametrum, quas relate ad axem habere in superioribus vidimus. 68 . THEORRHA. Si ab extremis punnis iametrorum coniugatarum MN et BA ducantur frin ordinatae ΜΡ et BD ad axem maiorem ellius.vel hyperbolae, quadratum albici sae unius a centro com

369쪽

go ΜR ducatur in CD' quod in priore corollario fuit CB'), cuius Valor priore corollario estinuentus. erit ΜM Y CD - a b - CA κ

. His positis duo valores quaerendi sunt de

od et inter is comparandi. ν Igitur

370쪽

go hunc Vesorem comparando cum supra inuento erit camn Ta -m'--u' - n,'

diuidendo per γ' ii,

ς tollendo utrinque