장음표시 사용
351쪽
hie a totum axem designanto r quare PE ΡΜ' - v - AD'. Cum ergo PE' - ΡΜ -AD'. fieri nequit. ut haec quadratorum disserentia . adeoque ut ΜΕ euadat o secus foret AD' - o; ergo nequit apymptotus Concurrere Cum hyperbola. 644. THEORE HA. Axis coniugatus dividit ebliasim in duas partes aequales. et silmiles. Ambo item hyperbolae rami sunt inter se aequatis, et 'similes. Fig. 1Ο5. DEMONsTR. Nam si super axe coniugato xX pars superior ellipsis conuerti concipiatur. ita ut vertex Μ abeat in m , quaevis RΡ Congruet cum N 63a , et quaevis IΡ cum D 638 : ergo pars superior ellipsis congruet cum inseriore. Eadem est in Fig. xo 6 pro hyperbola demonstratio. 4645. THEOREMA. Εlliesis et hyperbola adium praeterea habent focum ae dire Iricem a centrD, et ab alterais verticibus aeque dis antes, habem
352쪽
SEcTIONUM CONICA Ruri. 349 tesque ea em plane proprietates, quas prior focus, et direfrix. DEMONsTR. Fiat enim CF , Ce - Fig. Ios. CE, et ducatur per punetum e recta ab per- IO6 pendicularis axi maiori. Deinde concipiatur tota figura circa axem xX conuerti ; abibit directrix AEB in aeb, vertex Μ in m. focus P in s. et quaevis perimetri puncta erunt in Iisdem locis, in quibus alia puncta ante fuerunt e ergo Omnia, quae retpectu omnium perimetri punctorum ad focum F, Et directricem AB relatorum verificabantur, iam verificabuntur relate ad focum f. et directricem a b. Praeterea ob CΜ - Cm , CF - , et CE Ce, arit ΜΕ - me, MF-ου, ac Μe - mE. 646. THEORBm A. Si e binis Deis ad idem perimetri piau lum dueantur duae rectae, erit inelii si earum summa, in hyperbola earum disseremtia aequalis axi maiori.
DEMONAT R. Ducantur enim e socis F et fad quodvis perimetri punctum P rectae FP, P. et recta PD axi malori parallela occurrens directricibus in punctis D st d. erit
Atqui PD PD - Dd Ee. hoc ergo substit u-to erit
353쪽
-: si ergo hinc tollatur semidigerentia a, erit
649. PROBLEMA. Motu continuo ellipsim de- Fig. 1οs.seribere.
RESOLUT. Capiatur filum aequale axi maiori Μm, ac eius extrema defigantur in focis Fet f. tum stylo P filum semper probe tensum Circumducatur r erit vestigium styli ΜΡ ui ellipsis; nam in quovis puncto Ρ semper erit FΡ-ΨΡ aequaIe toti filo, adeoque etiam aximaiori . et hine quodvis punctum P erit in
65O. PROBLEMA. Motu continuo hyperbolam riscribere. ResoLυτ. In socis F Eisdatis vel assum' rie. Ios. tis defigantur claui. quorum alteri F alligetur extremitas fili FPD. extremitate altera Dregulae fD alligata. quae regula excedat filum quantitate axis AB. Alterum regulae eXπEmum perforatum imponatur clauo f. et stylo
P ad filum adplicato regula primum ad sinistram,
354쪽
deinde ad dextram emoueatur: eodemque modo pro altero hyperbolae ramo procedatur filo in f deligato, et regulae extremitate Clauo F impositar vestigium styli' AI Μ erit hyperbola. Nam ex hypothesi' - - ΡD-FΡΗ-ΡD AB; hinc' FP- - AB, adeoquefΡ - FΡ- AB; ergo quodvis punctum Ρ erit in perimetro hyperbolae 646 .
65I. PROBLEMA. Motu continuo parabolam deserabere.
Fig. Ios. RESOLUT. LOCO directricis adplicetur regula AB, eique admoueatur norma IIDI. Cuius breuius Crus DI excurrat iuxta ipsam regulam, ait ri vero DΗ assigatur in II extremitas fili ΗΡΗ. cuius longitudo aequetur Cruri normae longiori DH; alterum autem fili extremum de- figatur in soco dato . vel assumto F r tuni norma iuxta regulam AB progrediente detineatur
silum stylo P penes normam distentum t erit ivestigium styli ΜΡΝ parabola. Nam ex Constri FΡ -- ΡΗ - DΡ -- ΡΗr ergo FΡ - PD. ad que quodvis punctum P erit in perimotro parabolae 6o8 . Descripto arcu dimissio poterit conuersione inmiae alterum dimidium eo. dem modo describi. 6sa. PROBLEHA. Datis axibus invenire eos ellipseos, aut hyperbolae: vel datis focis. et axe
1 g. 1 5. REsoLu T. Pro elli si Radio ΜC centro xsecetur axis maior in punctis F et f, erunt haec loci. Erit enim CFὸ - Fx' -- Cae* ααCΜ' Ca '; adeoque CF est distantia foci a centro 6sa : Si axis minor quaeratur, Centro
355쪽
SEcTIONUM CONICARUM. 353F radio ΜC secetur recta perpendicularis per centrum ducta in punctis X et x. erit a X axis quaesitus 6aa ; nam Cae- - Fx CF- CΜ CF Pro hyperbola. Interuallo ΜX centro C se- Fie. Ios. Cetur axis maior in punctis P et f. erunt haec foci. Erit enim ΜX' - CF- - CΜ' -- CX , adeoque CF distantia soci a centro 6a a). Si axis minor quaeratur, radio CF centro Μsecetur recta perpendicularis per centrum ducta in punctis X et x . erit xX axis quaesitus
De sectionibus conicis ad tangentes
6sa. Oectionis conicae tangens est recta ra, sit. 116, o cuius unicum punctum Μ est in pe- ω, Da. rimetro sectionis, cetera vero omnia extra eandem. Pars axis ΤΡ inter punctum concursus T cum tangente. et inter semiordinatam ΜΡe puncto contactus Μ ad axem ductam intercepta subtangens dicitur. Recta ΜQ, tangenti in puncto contactus perpendicularis , et iv axe terminata normalis vocatur. Pars axis PQ inter normalem. et semiordinatam ε puncto con tactus ductam intercepta subnormesis adpellatur.
356쪽
s 54 ELEMENTA 654. PROBLEMA. Ad datum parabolae Pun. sum Μ tangentem ducere. RRsoLUT. E dato puncto Μ ducatur ad so- cum F recta ΜF. item alia ΜG axi parallela et-ΜF: tum angulus FΜG ab his roctis Compreheuius bisecetur. per rectam TS , erit ea
DEΜΟNsTR. Nam I) eam in unico puncto Μ occurrere parabolae sic ostenditur. Sumatur quod uis aliud eiusdem punctum m , ductis rectis mF. mg. 3n G, erunt in triangulis FΜm, GΜm anguli ad Μ aequales, utpote aequalium
F angulus KFg mgF, ut sane ella debet in parabola, recta EF magis deorsum cadit versus aXem , quam recta mF; Vt ergo recta me attingat rectam KF, eique aequalis fiat, necesse est eam producere citra tangentem I S, ade que punctum conCursus, quod erit in parabola 6o8 , inter tangentem et axem iacetr ergo punctum m est extra parabolam. Eadem est de quouis alio rectae TS puncto demonstratio. 655. COROLL. I. Cum aequentur triangula FΜΙ. GΜΙ. recta FG a tangente in puncto I bifariam . et perpendiculariter secatur. 656. COROLL. a. Erunt ergo QΜ et FG i
357쪽
66o. COROLL. 6. Triangula ΤΑΤ, ΙΝΜ ae, qualia sunt, cum praeter omnes angulos aequa-
ergo utrique trianguIo addatur idem spatiumΑΡΜΙ. erit triangulum PTΜ - rectangulo AΡΜN. 66r. PROALEMA. Ad datum ellipseos Punctum Fig. III. Μ tangentem ducere. RESOLUT. Ducantur ex socis F et f ad punctum datum Μ rectaE FΜ et Ρ, quarum posterior producatur. donec sit AIR - ΗΜ; tum angulus FΜR bisecetur per rectam I S, erit ea tangenS. DEΜoNsTR. Nam eam in unico puncto occurrere ellipsi sic ostenditur. Sumatur quod
uis aliud eiusdem punctum m , ductis rectis bis, Z a
358쪽
D, Rin, erunt in triangulis Fm, RΜm prae-- ter angulos ad Μ aequales etiam latera FMet RΜ, item Μm et Μm aequalia r ero etiam
quae tamen summae in ellipsi deberent axi maiori 6 6 , adeoque et sibi aequales esse: erisgo punctum m non est in ellipsi. a) Esse vero idem punctum extra ellipsim ex eo ipso perspicuum est . quod μ - Fmst ΜΗ-FΜ: si enim punctum m esset intra ellipsim . prior summa minor soret posteriore. Eadem est de quouis alio rectae TS puncto de.
Fig. Da. 66 a. PROBLEMA. Ad datum hyperbolae pva sum Μ tangentem ducere. RAsoLUT. Ducantur ex socis F et f ad pumctum datum Μ rectae vi , et m, e quarum posteriore resecetur ΜR - FΜ; tum angulusFMR bisecetur per rectam TS, erit ea tangem.
DEMONsTR. Nam I) eam in unico puncto Μ occurrere hyperbolae fic ostenditur. Sum, tur quodvis aliud eiusdem punctum m. ductis rectis Fm , fm. Rm, erunt in triangulis FΜmRΜm anguli ad Μ aequales, utpote aequalium Fin, TΜR supplementa; praeterea ex Constris FΜ - ΜR, Μm - Μvi r ergo etiam Fin ma
359쪽
dum est α 74 r ergo punctum m non est in hyperbola. ab Esse vero idem punctum extra hyperbo. Iam sic demonstratur. Cum sit fR -- Rm
differentia μ- Fm - μ- Rm -fo est minor quam axis Rr ac proinde recta est iusto maior. Atqui si centro fradio findescribatur arcus mH , Vt Fm minuatur relate ad fm, oportet radium fm, seu punctum m accedere versus II: cum enim punctum F sit in radio 1 Η, linea breuissma, quae ex F ad peripheriam mΗ duci potest, est FH, ceterae tanto maiores sunt, quanto ab hac magis recedunt 33s r ut ergo minuatur relate ad D. seu ut punctum m veniat ad hyperbolam. debet Fm cadere inter m et Η r ergo nune punctum m est extra hyper Iam. Eadem est de quouis alio rectae TS puncto demonstratio. 663. COROLL. I. Anguli, quos in parabo. Plg-la rectae RΜ et FΜ. in ellipsi et hyperbola rectas f Μ et ΗΜ e binis socis ad punctum contactus ductae faciunt cum tangente TS, aequales sunt inter se. Nam in para Ia angulusFΜΤ-ΤΜG - RΜβ. In ellipsi ΤΜΗ ΤΜR -mS. In hyperbola FΜR a tangente bisectus est; ergo DΜS α-ΜT -ΤMF. 664. COROLL. a. E Physica notum est Iu-eem sub eo angulo reflecti e speculis, sub quo In eadem incidit. Si ergo radii per rectas RMaxi parallelas incidant in speculum parabolicum, reflectentur ad socum B: et contra. si e soco F divergentes incidant, exibunt e speculo axi paralleli. Si radii e soco I speculi eb
360쪽
Ilptici venientes incidant in speculum , colligentur in altero soco F, et contra. Si demum radii in speculum hyperbolicum incidant directione Dri ad Meum s tendente. Colligentur in altoro Eco F : .et 1i e foco F divergant . ea directione reflectentur a speculo, ac si e socos directe venirent. 665. PROBLEMA. Invenire subnormalem in eblipsi et hyperbola. RES Luae. Cum recta FR tangenti perpen. dicularis sit 661, 66a . erit parallela nor