Compendiaria matheseos institutio quam in vsum auditorum philosophiae elucubratus est Paulus Mako ..

341쪽

ELEMENTA

rectam PD ao8 . simulque alternando erit FΜrΕΜ - RQ seu ex constr. FΡr ΡD: quare curisua erit sectio conica 6o8). Iam si angulus hEi semirectus sit, erit etiam ΜNE lamirectus, et hinc ΜΝ seu FΜ - ΜΕ, adeoque sectio erit parabola scit. . Si angulus hEi minor fit semirecto. erit alter ΜΝE maior semirecto 36 a), et

ellipsis erit; sin autem is angulus sit maior semi- recto, erit ΜNE semirecto minor. adeoque MN seu FΜ ME r ergo sectio hyperbola erit co8 . I6I3. COROLL. I. Quam diu fuerit RQ FR. tamdiu centro F interuallo RQ semper inuenientur hinc et inde duo puncta P et p; at ubi RQ

euaserit m FR, Unicum punctum m , ut in Fig. Ioo, et Io I. Vbi fuerit RQ et FR, nullum omnino punctum inuenietur. 6I4. COROLI. a. Est vero FR semper in RSob angulos R . FSR semirectos, adeoque linter se aequales. Recta porro RS vel erit minor, quam recta RQ, ut in Fig. I Co inter puncta Let i; in Fig. 90, et 1 o I a puncto L versus ivbbquer vel cum ea congruet, ut in puncto L et Irvel euadet maior, Vt vltra L et citra I in Fig.

635. COROLL. 3. Ellipsis tota iacet citra durectricem AB in Fig. Ioo. Quamdiu enim parallela οὐ ducitur intra puncta L et t. semper μRQ vel RO est RSν seu FR, adeoque Cen tro F interuallo RQ vel RO semper inueniuntur hinc et inde duo puncta P, pr at in punctis L. et RQ fit - RS ααα FR, adeoque unicum

342쪽

tantum ellipseos punctum Μ vel in determina. eur r denique fora puncta L et ι RQ vel Rost RS seu FR, ac proinde nullum ellipseos punctum pertingit ultra Μ 613); sed neque pertingit ullum citra m; hinc ellipsis in eo puncto in seipsam redit.

6I6. COROLL. 4. Parabola unium habet ramum citra directricem infinite extensum. Cum enim in ea recta Ir et Tt parallelae sint 61a in Fig. 99, punctum linfinite recedit. adeoque tota linea indefinita Ll iacet intra angulum gEt, et tota extra eundem, ae etiam eXtra eius verticalem GΕΙ. argo per totum interuallum Li sst

RQ RS; et per totum interuallum LT est RQ α RS; quare nullum parabolae punctum suris sum ultra L, deorsum vero sine siue possunt inis

6 17. COROLL. s. Hyperbola in Fig. Iollduos habet ramos, alterum Citra, alterum ultra di rectricem AB infinite e X currentes. Nam in ea tota recta Ll iacet intra angulum eri . adeoque semper RQ RS. Punctum vero I cadit ultra directricem . et tota recta IT iacet intra angulum verticalem GEI, adeoque rursus per totum sputium lΤ est RQ RS: hinc tam intra spatium Lio quam intra ιT innumera inueniri possunt hyperbolae puncta 6I3 . At per totum spatium Ll est RQ RS; ergo intra rectas m et Ianulla possunt hyperbolae puncta cadere ruit.

618 Recta Μm inter vertices Cumae interis Cepta axis maror. aut transuersis dieitur; chordaruV per lacum transiens. ac directrici AB paralis Iesa parameter axis maioris; puuctum axis meis

343쪽

ELENANT Adium C centrum; summa perpendicularium G et CX, quarum quaevis sit media proportionalis inter binas soci F a verticibus Μ et m distantias,

axis minor, seu Coniugatus; rectae axi vir, libet perpendiculares, et utrinque in Curvae Perimetro terminatae ordinatae; segmenta axis inter ordinatas et vertices, aut inter ordiuatas et centrum intercepta abscissae adpellantur. In sequemtibus, nisi expresse moneamus, abscissas a verib cibus computabimus, quales in Fig. Ioo sunt ΜR et mR. 6 I9. COROLL. I. Si ergo axis maior ponatur se a a, minor ab . distantia soci a verti Propiore e, erunt in ellipsi distantiae mei Fa verticibus FΜ - e. Fm - a a - e; in hyperbola FΜ - c, Fin aa - - c, hinc b

- aae ΞΠ et e are signis sinperioribus in ellipsi, inserioribus in hyperbola seruientibus, id quod deinceps etiam in sequentibus

obseruandum est. 6 1 P. COROL. L. a. Axis parabolae infinitus

est 616 . In eadem parameter axis uU est quadrupla distantiae soci a vertice. Nam in trian. gulo FEV ob angulos ad E et V semirectos FU- - - a FΜ; unde uv-4FΜ. 62 I. COROLL. 3. In quavis sectione Conica axis transuersus bifariam secat suas ordinatas, ipsamque Curvae aream. Esset enim ordinata Dchorda circuli centro F radio FP descripti 6is3; ergo a perpendiculari FR bifariam secatur sa a Hinc area Curvae utrinque totidem aequalibus semiordinatis sterni potest , ac proinde Viriaque aequalis est.

344쪽

SEcTIONUM CONICARUM. 341622. COROLL. 4. Quadratum semiaxis minoris aequatur differentiae quadratorum semiaxis ma

- CF CΜ 623. COROLL. s. Est ergo CF CM' ICX'. seu quadratum distantiae soci a centro aequatur summae quadratorum semiaxium in hyperbola, differentiae eorundem in ellipsit. 624. THEOREHΛ. In parabola quadratum δε- Fig. 99. miordinatae aequatvr fano ex parametro in abscissim. DE NONsTR. Cum enim recta OQ bifariam se

345쪽

625. COROLL. x. Ergo ΜRr RP - RPrvV ao ), hoc est . parameter est tertia proporistionalis ad abscissam . et semiordinatam quamcunque.

sae correspondenteS. 6a7. THEOREMA. In ellipsi. et hyperbola quadratum semiordinarae axIs maioris es adfactum a sci sarum correspondentium, ut quadratum semiaxis minoris ad quadratum semiaxis maioris. Fig. I O. DEΜoNsTR Ducta enim Vt ante recta LZ,

346쪽

etiam earum duplae u V, a X, Mm sunt continue

347쪽

. Adparet iterum ratio nominum ellipseos et byperbolae. 63I. COROLLe 4. Si abscissae a centro computentur. ita ut CR sit - x, erit ΜR - α --x, et mR - α - x in Ellipsi et ΜR - x - a , mR - χ a in hyperbola; quare ΜR κ mR

6 32. COROLL. 5. In edipsi et hyperbola se. miordinatae a centro aequaliter distantes aequales sunt. Nam binae abcissae unius aequantur binis alterius, adeoque earum facta, et hinc semiordinatarum quadrata 6 ap) . consequenter ipsa etiam semiordinatae aequales sunt. 633. COROLL. 6. Axis Coniugatus ellipseos utrinque terminatur in eiusdem perimetro. Quadratum enim semiordinatae per Centrum transeuntis νῆ est ad CΜ κ Cm seu ad CΜ' - CX CΜ 627 . ergo ν' - CX', et ν - CX , terminatur autem v in perimetro 6I 8 , ergo et CX. Eodem modo patet alterum punctum ae esse inperim2tro. 634. THROREM A. Si super axe maiore ellia , pseos AB rati quam diametro describatur semicirculus, erit quaevis femrordinata circuli ad correo

348쪽

SEer Io NUN CONI ARUM. spondentem semiordinatam ess seos. ut axis maior ad minorem.

--. Quia Vero Parameter est ordinata per M. cum transiens 638 . pro eius abscisa x substitui potest e. seu distantia foci a vertice: erit ergo ν

unde extrahendo radi-Cem , Erit ν - ae' -- , et v - p - 4ς

636. COROLL. Quodsi in reperta formula proe substituatur m etae by, 619) erit ρ ma

4b'; quare sal ab M ab: p ao4J. hoc est. Parameter axiis maioris est tertia proportionalis ad axem maiorem, et minorem.

349쪽

uis rena per eentrum dum, et virisque in per meis. rno terminata in ipso centro biseeatur. DEMINsTR. Ducatur enim recta CP ex centro C, ac semiordinata PR; tum fiat Cr αα CR. et ducatur semiordinata rρ, iunganturque puncta C et p recta . erit RΡ - γ 632 . quare ob C CR per Constr. et angulos ad R et r , aequales , aequalia erunt triangula PCR , pCς 37 ), ae proinde anguli ad C aequales, et CΡ- Cp. Cum ergo recta PC producta debeat es figere angulum ad verticem aequalem angulo PCR- pCr, debet necessario abire in rectam Cp, et terminari in ρ: ergo recta Pp in centro bisecatur. 738. ΤΗΕOREMA. D ellipsi. et hyperbola axis

coniugatus omnes suas ordinatas bisecat.

DEAEoNsTR. Sit enim CR - Cr, erit RP- γ 63a ; hine Rr, eademque ra est ordinata axis coniugati XX ; praeterea PI RC. et pI - , Cr ergo etiam ΡΙ - ΕΙ. Eodem modo patet, rectam Gg esse eiusdem ordinatam . et bisecari in puncto L639. COROLL. ordinatae axis coniugati a centro aequaliter distantes aequales sunt. Nam

64o. THEOREMA. In ellipsi quadratum sem, ordinatae axis eoniugati est ad factum suarum ab- fissarum. vi quadratum femiaxis maioris ad quadratum semiaxis mInΟrIS.

350쪽

dratorum semiaxis coniugati et abscissae a centio computatae. i t quadrarum semiaxis maioris ad quadratum semiaxis minoris.

DEMONsTR. Est enim ob axem Μm bifari. Fit. Io Ram sectum in C. et eidem adiectam ΜR, CR'

nunquam concurrunt.