장음표시 사용
331쪽
Ducta perpendiculari BG similia erunt triangulam G, ΜCΝ ob angulos ad G et N rectos, et ad C et D aequales; nam angulus BDG seu BΜNhabet pro sua mensura arcum ΜA 3 o , quem etiam habet angulus C: ergo BG seu AEt BD
est, superficies coni truncati BDB aequatur peripheriae circuli maximi, cuius nempe radius est NC, ductae in eius axem AE: igitur superficies Omnium eiusmodi conorum . seu totius sphaerae aequatur peripheriae circuli maximi duetae in omnium axem, siue in diametrum sphaerae. 579. COROLL. I. Est adeo sphaerae superficies quadrupla circuli eiusdem maximi. . Nam
si diameter sphaerae dicatur d, peripheria circuli maximi p. erit superficies sphaerae - pd, area circuli maximi in Nd 497 . Cum ergo areae
circulorum sint ut quadrata radiorum. Vel diametrorum 5 Ia . in eadem ratione sunt etiam sphaerarum superficies. 58o. COROLL. a. Superficies sphaerae aequatur conuexae superficiei Cylindri habentis pro axe diametrum sphaerae, et pro basi circulum eius. dem maximum. Nam posita diametro sphaerasae d. st peripheria Circuli maximi p. erit
superficies eiusmodi cylindri - Φ sso , et superficies sphaerae itidem 57 8λ Si ergo ad eius cylindri conuexam superficiem addantur hases. tota cylindri superficies continebit 6 circulos sphaerae maximos . et sphaerae superficies continebit 4 : erit ergo illa ad hanc ut 6: 4 α
332쪽
s8I. Rot L. a. Superficies Convexa trunisci sphaerici duobus planis parallelis Comprehensi NDdm aequatur facto ex eiusdem altitudine NE in peripheriam circuli maximi. Superficies item convexa segmenti sphaerici φm aequatur facto ex eiusdem altitudine AN in peripheriam circuli
maximi. 582. COROLL. 4. Sunt ergo segmentorum eiusdem sphaerae superficies ut eorundem altitudines Iso . Quare dato sphaerae radio, et segmenti altitudine inuenitur eiusdem superficies inferendor ut radius ad segmenti altitudinem, ita dimidia sphaerae superficies. seu duplum circuli maximi 579) ad segmenti superficiem. 583. THEOREMA. Soliditas euiusvis sphaerae aequatur tertiae parti facti e superseis eiusdem in
DEMONSTR. Sphaerae enim soliditas coalescit ex innumeris superficiebus sphaericis concentricis. quarum radii a centro inchoando constituunt seriem numerorum naturalium cs 75); cum ergo eae superficies sint ut quadrata radiorum 57ς , erunt in serie quadratorum numerorum naturalium. ac proinde summa eorundem rite exhibetur per summam seriei quadratorum numerorum naturalium; est autem ea summa aequalis tertiae parti facti e quadrato ultimo in numerum terminorum a 6 7 r ergo cum in hac superficierum Concentricarum serie terminus ultimus sit ipsa sphaerae superficies. et numerus terminorum ipsa radius. soliditas cuiusuis sphaerae aequatur tertiae parti facti e iuperficie eiusdem in radium.
333쪽
ELEMENTA 584. COROLL. I. Sphaera ergo aequatur C no, aut pyramidi . cuius altitudo sit radius spha - i rae. basis autem quadrupla circuli maximi. seu
superficies sphaerae 57o. 572).585. COROLL. a. Quoniam superficies sphae rae est quadrupla circuli maximi seto) , si is circulus ponatur e, diameter sphaerae se d. erit sphaerae soliditas Ad π 4e - ἴ de -
586. COROLL. 3. Quara si cylindro . cuius axis . et diameter baseos sit aequalis diametro sphaerae, Cogitetur inscripta sphaera, et Conus rectus, erunt horum trium corporum soliditates ut Q d c, ῆ de , , d c, seu Vt 3, 2, 2. Fig. 9s. 587. COROLL. 4. Ergo cylindri recti . et sphaerae eidem inscriptae tam superficies, quam/ soliditates sunt ut 3 : a 58O . 588. COROLL. s. Hemisphaerium APD duplum est coni AFD eandem basim, et altitudinem habentis. Nam hemisphaerium aequatur cono habenti pro hasi eiusdem superficiem . seu, duplum Circuli maximi, Et pro altitudine radium 584); est autem is conus ad hunc. ut basis
ad basim 57IJ, seu ut duo circuli maximi ad
589. PROBLEMA. Inuenire soliditatem senoris hieriei Cala. REsoLUT. Instituatur haec proportior ut se habet superficies sphaerae ad eiusdsm soliditatem. ita se habet superficies sectoris inuenienda per n. 5 8r ad eius soliditatem. Sphaera enim et sector aequantur duobus Conis eandem habentibus alti. tudinem l 584 r quare eorum soliditates sunt ut
334쪽
hases s71 b, seu ut sphaerae et sectoris superficies. 59o. COROLL. Si a sectora tollatur conus bde, relinquitur soliditas segmenti sphaerici Ud. Huius autem Coni altitudo habetuo, si a radio sphaeraem dematur segmenti altitudo D SCHOLION. Quemadmodum superficies metimur superficie quadam quadrata. ita soliditatem codimrum mensuramus solido quodam cubico, io, que perticarum . pedum, digitorum et . cubicorum dicimus esse volumen corporis. quot eiusmodi cubi intra eius ambitum possunt continerLPorro in quovis solido secundum trinam dimensionem possunt concipi id genus Cubi r nempe Dcundum has os longitudinem tot possunt collocari in quavis serie e. g. pedes Cubici. quot pedum est ea longitudo; secundum latitudinem autem baseos. et secundum solidi altitudinem tot possunt esses eiusmodi cuborum series, quot ea latitudo. ae altitudo continet pedes. Nimirum is in aliquo prismate quadrangulari longitudo basis si s pedum. latitudo 4, altitudo 8 , erunt inquavis serta lacundum longitudinem haseos sPedes cubici, series autem in basi ipsa 4. secundum altitudinem 8 munerabuntur: Constabit ergo
Prisma uniuerse pedibus cubicis 5 κ 4 κ 8 απ
335쪽
x exlindrorum sunt in ratione composta basium, et altitudiaum. DEMONsTR. Si enim altitudines dicantur A eta, bases B et b. erunt eorum soliditates ut AX B: aY- s53. 554), quae ratio est composita e rationibus Ar a. Br b. 59s. COROLL. T. Cum ergo pyramis sit tertia pars pridiatis . conus cylindri eandem basim . et
altitudinem habentis s 7 a , etiam pyramidum
Et conorum soliditates sunt in eadem ratione . composita a Io).593. COROLL. a. Si ergo altitudines aequantur, basium si bases, altitudinum rationem habent. 594. COROLL. 3. Si altitudinas fuerint hasiis hus reciproce proportionales, recensita solida aeqRalia sunt, et Contra. sus. Solida similia dicimus. quae angulos solidos correspondentes aequales habent, et totidem planis sibi mutuo similibus terminantur. 596. COROLL. I. Ergo in solidis similibus quae uis homologa planorum correspondentium 1atera proportionalia sunt, cum sint latera homo. Ioga figurarum similium. 597. COROLL. a. Duo quaevis plana corre spondentia corporum similium .sunt Ut quadrata suorum s Io , adeoque quorum uis aliorum lata
336쪽
rum homologorum 596 . Hine etiam summae omnium planorum , id est, superficies corporum similium planis rectilineis terminatorum sunt ut quadrata quorum uis laterum homologorum a I J. 508. THEOR Eaea. Prismatum smilium AB et Flω ρ La b altitudines AF et a s sunt ut duo quaevis latera homologa basium. DEMONsTR. Si enim super eorundem bases BED, bia Concipiantur exstructa esse duo alia prismata recta similia BC et is, quae easdem ha-hsant cum prioribus altitudines, erit CDr ed-ED: ed sp 6st; sed CD - AF, et edet a fex hypothesi et . ergo AF et V - ED r e d
ditur, idem theorema obtinere etiam in pyramidi bus similibus. O OO. COROLL. a. Cumque bases sint figurae similes 595 . erunt earum perimetri Ut duo quaevis latera homologa 44o . ac proinde ut primatum , vel pyramidum altitudines. 6 I. COROLL. 3. Quare cum cylindri similes sint prismata similia , et coni similes sint pyramides similes infinitorum laterum . horum etiam altitudines sunt ut peripheriae , ae proinde V
6O2. COROLL. 4. Superficies prismatum, aut pyramidum similium sunt ut quadrata quorumvis laterum homologorum 597 . ergo etiam ut
quadrata altitudinum 598 .6O3. COROLL. 5. Quia ergo cylindri similes ad prisinata similia, coni similes ad pyramides ses reseruatur, horum etiam superficies sunt
337쪽
aa 4 ELEmENTA GEOMETRIAE. ut quadrata altitudinum, adeoque etiam Ut quadrata radiorum basium c6ox , vel ut bases ipsas
DΕΜoNsTR. Sunt enim hae soliditates in ra, tione composita basium , et altitudinum 59 C, et bases ut sunt ED': ed' 5 Io - AFyr asy 598 r ergo soliditates sunt in EDy κ AFred κ af, seu ut m et edὸ - AFJr asto os . COROLL. I. Eadem plane est demonstratio pro pyramidibus similibus. 6O6. COROLL. a. Cum ergo cylindri prismatis similibus, coni pyramidibus amenseantur, etiam horum soliditates sunt ut cubi altitudinum, ae proinde ut cubi radiorum basium sco I . 6o I. THEORBΜA. Soliditates Iphaerarum suae ut cubi radiorum, vel diametrorum. DEHOISTR. Sint enim duarum sphaerarum di, metri D et d, Circuli earundem maximi C et ες
tates sunt ut D X Dyr dκdy-Dar u Finis Elimentorum Geometriae.
338쪽
De sectionibus Conicis ad axes relatis.
ο - in ducantur perpendiculares MD, md ad rectam quampiam ΑΒ positione datam . item aliae rectae ΜΗ, mF ad punctum aliquod F extra rectam AB situm, me ritque constanter FΜr ΜD - Fmr M, eiusmodi curua MAιo conica adpellatur. Speciatim vero
339쪽
sa 6 ELEMENTA sectio conica vocatur parabola, si fuerit FΜ
FH ΜD. Recta AB dicitur directrix. punctum Ffocus, ratio FΜr ΜD ratio determinaus. quia nempe haec determinat speciem sectionis
6 Q. COROLL. I. Quoniam ergo rectae ΓΜ iet MD vel aequales inter se iunt. vel illa hac minor, uel maior est, sectio omnis conica vel, parabola, vel ellipsis, Vel hyperbola est. 6 Io. COROLL. a. Quodsi e punctis Μ et mractae ΜΗ et mi ad directricem AB obliquae ducantur sub aequalibus angulis Η et h. sitque FΜ ΜΗ - Fm: mh. curua erit hoc ipso sectio eo-nica r nam demissis perpendiculis ΜD et vid ob sinitIia triangula ΜΗD, mhd erit ΜΗ: mh-ΜDrmde ergo etiam erit FΜ: ΜD - Fmr md. Fig. Ioo. 6 II. COROLL. 3. Si directrix AB infinite romota concipiatur, ita ut ΜΕ sit - ω , erit ΜΕ - mE asse . et hinc FΜ-Fmr ergo sectio conica abibit in circulum, et focus F in
eiusdem centrum. Scuotrori. Cumae hae idcirco vocantur sectiones Conicae, quia e cono Vtcunque non perverticem secto nascuntur. Speciatim autem parabola nomen accepit ab ea aequalitate, quam in
ter se habent rectae FΜ et ΜDr ellipsis ab eo desectu, quo FΜ deficit ab ΜDr hyperbola ab
eo excessu, quo FΜ superat rectam ΜD; quanquam vocabulorum horum origo pluribus ex C pitibus repeti potest, quemadmodum iu seque tibus adnotabimus. 6Ia. PRO-
340쪽
Rasolvet. Per datum lacum F ducatur recta Ili directrici ΑΒ perpendicularis , circa quam utrinque fiant anguli gEh. hEi aequales. ae vel ambo semirem . si parabola describenda sit; vel semirecto minores, si Ellipsis ; vel maiores, si hyperbola. Deinde per MCum F ducatur recta Tt faciens cum mi angulum hFt semirectum, cui si aequalis fuerit internus hEi, rectae Tt, Iierunt parallelae. Vt in Fig. 99. Si minor, Con current inserne in I, ut in Fig. Loo. Si maior, i Concurrent superne in ut in Fig. Io I. Perpunctum L ducatur recta LΝ, ac per punctum I recta in directrici ΑΒ parallela: erunt puncta Μ et m vertices sectionis conicae. Quodsi per quaevis alia puncta rectae ei plures id genus Parallelae ducantur e. g. uU , OQ etc. cum in triangulis FUE , FuR anguli ad F sint recti, et ad E ex Constr. aequales, aequalia erunt ipsa triangula 377 . et hinc FU - Fu: eadem da caussa LΜ - ΜΝ, - - mn, OR - RQ Dentique Centro F apertura RQ vel RO reserentur in recta Od puncta P et p. idemque fiat in quamplurimis parallelis; erit curua per haec puncta ducta sectio conica petita.
DEΜΟNsTR. Cum euim ax constr. angulus hFrae proinde etiam eius verticaliis ΟΜ semirectus