Tractatus mathematicus de figurarum curvilinearum quadraturis et locis geometricis

11쪽

RE VERENDO

In Christo Patri & Domino,

Providintia divina , Episcopo Sarisburiengi, de

Nobilissimi ordinis a PERIS CELIDE

C A N CELLARI O.

TR itatum hunc Geometricum tibi Reverende prae

sul) dicatum volui, ut Animi gratitudinem publicὸ tesarer, ob innumeras Benevolentiae tuae notas toties in tam munificὸ in me collatas. Tu Studia nostra Con sitio, o Sumptibus tuis promovisti; aequum proinde censeo, ut hoc qualecunque eorum pecimen in lucem prodeat Nomini tuo consecratum. Νeque tanta est Tbeologiam inter cor Geometriam repugnantia, quicquid Phanatici quidam utriusque pariter Ignari in contrarium obganniant tittibi res huiusmodi offerre absurdum videatur. Cognoscitur Deus ex operibus, ejusq; opera nemo, nisi Geometria adjutus, qui non vel prorsus ignorat, vel leviter admodum intelligit. Deus etenim in singulis liniversi partibus Jormando Geometram egit perfecti imam, hoc est, ratione verandi certi spinis

perfecti ginta semper in ubiq; usi est; quod tibi Reτere,ide Prasul) omnibusque interioris φbilVophia peritis magis est manifestum, quam ut prolixe illud demon,irare necesse habeatur qui mirabilem Oculi fabricam bene per-A 2 pendet,

12쪽

pendet, 1atebitur utique Deum in illius formatione Leges spatica hubtilisimas adhibuisse : quique notabilem Musculorum

struesturam, eorum concinnam cum ossibws unionem, ipserumque tum elegantem compagem, necnon accuratam omnium

Artuum connexionem squcibus Motus animalium peragitur)rite intestigit; procul dubio inveniet eximium hoc Corporis nostri Automaton fui se juxta Regulas Mechanicae Geom

Possem multa alia Divinae hujus Geometriae e regia Exempla, ex cesestium Corporum motibus, illisitie naturae phaenomenii petita proferre; si opportunus daretur locus ea omnia minritatim enucleandi, quae abunde demonstrarent Geometriam non intulis sanae Theobogiae, quam verae Philyopliae ancillari. Sed haec confultu jam omitto, qliorum veritas P eoidentia te latere nequeunt, qκi Psilosophiam chymicis, aliisque expVimentis, necnon sublimiores cir magis reconditas Matheseos 1 ciplinaes tam accurate prosequutus es, ut siuemiuima adulati uis nota dicere jure liceat , vix ali gemmajora auxilia ex Iolidis hisce fundamentis deduxisse, ad di se piciliora Religionis problemata explicanda ρο stabiliendo. Plura iam non addo, ne officii mei immemor, ulteriusquam decet progrediar. ut te Reipublicae literariae Decus, breui sisnae Ecclesiae Aglicanae ornamentum favore benigno protegat, incolumem servet, Deum vi. Max. supplex ex AEnimo suo orat,

Servus Tuus Humillimus,

Tuique Observantissimus, P. Crat.

17쪽

FIGURARUM

QUADRATURIS

N Ad is Philosophicis Regiae societatis Anni I 686. Specimen exhibui Methodi generalis determinandi Figurarum Quadraturas: cumque postea plus otii nactus fueram, credebam me non posse illud melius, quam in eadem materia ulterius perficienda, collocare; plurima enim tum deerant, quaeque me jam feliciter obtinuisse spero. Ne autem nimium mihi adsci ibere, vel aliis detrahere videar, libenter agnosco Leibnitii Calculum disserentialem, tanta mihi in his inveniendis suppeditasse auxilia, ut sine illo haec vix assequi potuissem ea, qua optabam facilitate : quantopere selidam & sublimiorem Geometriam hoc uno nobilissimo invento adauxerit Celeberrimus ejus Autor, peritissimos hujus aevi Geometras latere non potest; & quam insignis fuerit utilitatis, in dimensionibus Figurarum inveniendis sequens hic Tractatus lassicienter indicabit. Ab luta parte hujus priori, quae Figuras spectat Algebraicas, & quarum Quadratices sunt etiam Curvae Algebraicae; eandem ego Methodum promovere volui ad caeteras Figuras Algebraicas, quarum Area: non nisi per Curvas transcendentes determinari possunt. Sed deficiente hic Calculo Leibnitii differentiali, nova mihi Tangentium Methodus B excogitanda

18쪽

excogitanda erat, quamque eX principiis tam generalibus deduxi, ut ii iam respuat transcendentis speciem, vel maxime compositam. Atque hujus ope Circuli & Hyperbolae Quadraturae Transcendentes, pari facilitate, qua aliarum Figurarum Quadraturae Algebraicae

inveniuntur. In eo tamen praesertim nitet non contemnenda Me

thodi nostrae praestantia, quod uno calculo infinitarum Figurarum Quadraturas absolvat: Et quia infinitae fiunt Figurae, quarum Arearcum simplicioribus comparari possunt, ostendam quo pacto comparanda sit qu libet Figura data cum simplicissima ejusdem genens Figura: Unde Theoremata generalia deduco, quibus Quadraturae particulares absque omni computationis molestia inveniuntur.

Fig. i. Sint duae Curvae FGFI, ACS ita inter se relatae, ut ducta PG perpendiculari ad quodvis Curmae punctum G, sit intercepta PM. aequalis lineae MC, quae est ordinatim applicata alterius Curvae ACS ad Axem communem AD ; erit dimidium 2uadrati ordinatae G M iis Curva FGH, aequalis Areae Curvilineae AMC, rectis AM, MOct curva altera AC comprehensae, id est lGMI AMC. Demon- gratur hoc Theorema in Lectionibus Geometricis D. D. Barro N.

Corol. TNvenire Quadraturam Arear cujusvis Curvilineae AMC A idem est, atque aliam Curvam FGH invenire, cujus intercepta PM sit aequalis ordinatim applicata: MC in Figura Quadranda AMC. Cujus pulcherrimi Problematis solutionem dabo facilem & generalem, quoniam ex hoc tota nostra Methodus dependet.

PROB. I.

Data expressione Analytica interceptae PM, inquationem invenire, quae Curvae istius FGH naturam demiap.

SIT communis utriusque Curvae abscisia ΑMαν, ordinatim applicata & MC , de ca) quantitas data & determinata, Unitatis Locum stippiens, ad efficiendos si opus fuerit omnes terminos aequalium dimensionum. Solutio: Reducatur expressio Analytica interceptae PM seu MC) ad formam simplicissimam. liberando terminum3, quantum fieri potest, a signis Radicalibus,

19쪽

Radicalibus, si talia occurrant) ita tamen ut quantitas= extra vinculum generale non habeat EXponentes diversae Denominationis, ab exponentibus ejusdem, qui sunt sub vinculo : Expresso sic redueta multiplicetur per quantitatem y : Et apponantur omnes Potestate; quantitatis γ) quae sub maXima producti potestate continentur; tales autem, ut Potestates appositae habeant exponentes ejul dem Naturae & Denominationis cum eXponente maXimae Potes tatis in producto: Assiciantur hi termini coessicientibus b, c, d, e,f, &c. quantitates incognitas Denotantibus; erunt hi termini quibusvis signas connexi altera pars aequationis quaesitae, cujus altera est vel saltem quaesitam eminenter continebit. Atque hoc faciendum est, sive exponens maximae potestatis sit assismati vus, seu negativus, integer, seu fractus. Ut si valor lineae PM seu MCI in γ multiplicatus habeat 3 maximam Dignitatem quantitatis I extra Vinculum, apponendae sunt omnes Dignitates, quarum Exponentes continentur sub 6; erunt itaque termini ap

ducto γ' si extra vinculum, erunt termini apponendi, I -, Τ,

= 3, y , I φ, ν ' I9: Vel si γ' sit maxima Dignitas in producto extra vinculum, erunt termini apponendi 1 o γ', y , : Vel denique sit maximus producti terminus yT , erunt potestates apponendae F Τ, γ Τ, γ ν

ν y 8 Ex aequatione hoc modo constituta investigetur valor analyticus interceptae PM per Leibnitii Methodum in Actis PQ ον

Eruditorum explicatam; dc comparetur ejus valor sic repertus cum valore ejus dato, secundum cognitas Comparationum Leges a Cartesio expositas, unde novae aequationes resultabunt, quae coessicientes b, c, d, e, &c. determinabunt: Et coessicientium valores in kquatione substituti aequationem quaesitam praecise constituent; rejectis iis terminis, quorum coessicientes nihilo aequales inveniuntur, vel absurdum involvunt. SebbL Sicubi ordinatim applicata MC, vel intercepta PM ad simplicissimam formam reducta habeat diversas potestates quantitatis γ extra Vinculum universale, tum apponendae erunt potestates sub singulis contentae: Vel si plura habuerit vincula composita, tum quod hic cum uno faciendum praescribitur, cum reliquis pariter neri debet. Sequentia Exempla haec omnia illustrabunt.

20쪽

Exemplum I. Invenienda sit Quadratura Figurae AMC cuiuς

Natura exp imitur hac aequatione Va Or Ordinatae et, ad simplicissi am sormam reductae erit et, Hyri aa: Ut habea

tur hujus Figurae Quadratura, invenienda est alia Curva FGH in qua intercepta PQ sit 1 o a', ut patet ex Corolari' Lemmatis I ; ideo juxta Regulam in Solutione Problematis I. praescriptam, multiplicandus est valor datus linea: PM seu MC per γ, unde pro ductum erit . Jam quia maXima dignitas extra vinculum est , , ideo apponendi sunt omnes termina inferiores scit .s', , , fC - 1 b ipso semper maximo termino incluib, qui coessicientibus incognitis affecti aequari debent Quadrato quantitatis x, unde aequatio qu sitam eminenter continens erit V co ea'ri γ' ast xx. Ex hac cequatione investigetur valor Analyticus Lineae PM per Leib nitit Methodum hoc modo; comPendii gratia ponatur U- θος ea θ, atque unde psi G π, cujus aequatio disserentialis est ρ M'q- 1xta, sed δε- -- , dc --200 cady , restituantur itaque valores quantitatum p, q, nec non D, se in aequatione disterentiali, eritque illa hujusinodi, Et omnibus terminis sub eodem communi denominatore reductis,

erit

haec aequatio differentialis in Analogiam resoluta dabit,

α PM. Et proinde invenietur PMm Haec aequatio a fractis & surdis liberata, multiplicando totam per denominatorem prioris partis dabit. Comparando