Tractatus mathematicus de figurarum curvilinearum quadraturis et locis geometricis

41쪽

DLM definientem immutatam servare. Ex his constare arbitror, quam egregii sit usus, haec Figurarum cum simplicioribus comparatio, cum exinde ope unius Figum Quadratura ex Methodo nostra generali invenienda, habeatur alterius cujusvis, ejusdem generis Scvinculi, Figum Quadratura. Longe tamen generalior futura est haec Methodus, si, posita vinculi exponente r & adhibitis co-essicientibus generalibus, i, p,q, i, dce. ut in Prob. a & 3.) Ex una simplicissima Quadratura generali, omnium similium Figura rum Q adraturae sub una generali Expressione det terminentur. Sit ergo in sequentibus D H Figura simplicissima, cujus Curvae DKM sequatio habeat Vinculi exponentem indefinitam r, infinitas proinde Curvas definiens, tam nes tamen eiusdem simplicitatis, quoniam in nostra methodo, Calculus eadem facilitate procedit, si-Ve magnus, sive parvus sit numerus r, sive etiam indefinitus statuatur. In Problematis enim Geometricis, quod factu facillimum est, illud simplicissimum haberi debet: in Quadraturis proinde, illae Curvae erunt simplicissimae, quarum Arete sunt Quadratu facillimae ; Se ejusdem simplicitatis, quae aeque facile Quadrari possunt. Sicut in constructione aequationum illae Curvae, quae descriptu sunt facillimae, etiam simplicissimae habendae sunt. Miror itaque Cari sium & alios, in eligendo Curvas aequationum constructioni iu- servientes, non Descriptionis facilitatem, sed aequationum earum Naturas exprimentium Compositionem respexisse. Sed hoc obia

Ex Methodi nostiis Exemplo 8, inanisestum est, quod Area

DKH sit quadrabilis quando in aequatione u set pet 4 a. Definiente Curvas DKM, exponens e est numerus integer de Positivus. aut nihilo aequalis, Sit ergo

g. I. emo, unde pΔ'fra, ex hac & assumpta aequatione

per Lem. 2. atqui

42쪽

Substituendo Itaque in pira n in hac data vel inventa Quadratur:

Quod continet Quadraturas omnium Figurarum BCFO, quarum Curvae OFN definiuntur aequatione generali per Prob. a. in

venta.

et ar per Prob. 2 invenietur, γ msxym J- px' - a. Quae definit omnes Curvas OFN similes DKM, de in quibus DKH BCF

g et . Sit emet, unde in' pia fra: eae qua, cum aequatione

iesumpta et C invenietur per Prob. 2, I ms 'Ituae definit omnes Curvas OFN similes DKM, & in quibus DKH BCFO, sed

43쪽

. . i

nium Curvarum OEN, in quibus DKH BCFO per Lem. a. Sed

THEOR. IV.

od continet Quadraturas omnium Figurarum BCFO, quarum Curvae OEN praecedenti aequatione definiuntur. Atque hoc modo computari possunt Theoremata pro quibusvis aliis exponentis e valoribus, nimirum e , e s, e 6, O c. quousque placet. Coessicientes b, c, d, e, f, in ultimo Theoremate per Methodum nostram generalem determinantur, sol

4rΦI κ-I κrq I κπρ' 4 η-κχ-FI η- , i ηρπEx his Theorematis habetur Quadratura omnium Figurarum, quarum Curvae definiuntur per aequationes ad aliquam sub hic inventis Contentam; quodnam vero sit Theorema, cui particularis aliqua Figura referri debeat, ex relatione exponentium quantitatis x abscissam denotantis cognostes, post reductionem ordinatae ad debitam formam ; nam quia - I in primo 2 m-- I in secundo, g m I in tertio, 4mm I in quarto, Oc. sunt exponentes quantitatis

44쪽

titatis extra vinculum; & sola cm) in omnibus, exponens eiu dem sub vinculo : Exinde patet, quod si exponenti extra vinculum addatur unitas, & summa per exponentem quantitatis x sub vinculo dividatur; quando Quotiens est I, assumendum erit primum ;quando Quotiens es h a, assumendum erit secundum; quando a , tertium; & sic porro in infinitum. Cognito hoc modo9 Theoremate, Figurae alicujus Quadraturam includente; fiat debita coma paratio ordinatae particularis, Cum ordinatae generalis valore, & sic innotescent m, r, 3, p, q. Quorum Valores particulares sic inventi in Theoremate substituti dabunt Quadraturam quaesitam. Exemp. I. Invenienda sit Quadratura parabolae cujus notissima aequatio est Quia 8'Ι m i, ideo Quadratura Parabolae in Theoremate primo continetur. Fiat ergo comparatio inter ordinatte generalis, ad primum Theorema spectantis) & particularis in Parabola ordinatae valores; ex qua Comparatione invenietur

in Theoremate primo substituti dabunt Parabola: Aream α: Τ-cae. . 'Exemp. 2. Invenienda sit Quadratura Figurae, cujus proprietas ---χf mi 6 , Ordinata ad praescriptam formam reducta Figurae in Theoremate secundo includitur. Facta itaque comparatione inter hujus Figurae datae, & generalis cad Theor. a. spectantis Ordinatae valorem, invenietur r z - 2; na 2; - 4 , seu a ce. Quibus in Theoxemate et substitutis, erit Area Figurae propositae ...

Exemp. 2. Invenienda sit Quadratura Figurae, cuius proprietas

est reserenda ; facta itaque comparatione ordinatae particularis datae, de generalis eam includentis, invenietur r 2, m 2, I I. pzzz I, -az c; quibus in Theor. 3 substitutis, erit quaesita

Area

45쪽

Exemp. 4. Invenienda sit Quadratara Figurae, cujus Curvasit 1ρ' - 2 ι' PH Um x. Ordinata ad praescriptam formam reducta, Erit1m V k- Quia Ideo haec Figura ad Theor. I, referenda est, Sc facta debita comparatione ut in praecedentibus invenietur Vm-l, 3 et , m-2 , p--I , a ς', Quibus in Theor. I, substitutis, erit quaelita

Aream 'In Exemplo decimo ostensim est, Aream semper posse Quadrari ruando in aequatione um a; exponens nest Numerus integer & assirmativus: unde alia prodibit series Theorematum , ex Vario quantitatis n valore dependentiam. Sit i

e. ni l . undeu stari is qet, na est aequatio definiens Curvas DK M, ex qua & assumpta n ' invenietur per Problemn stiliandum V qx -h a, expriniit

Substituendo κ' prota, erit i , THEOR. V.

46쪽

g s. Sit n a, unde est aequatio definiens Curvas D M, eκ qua & assumpta et Q definiente semper Curvas BGL invenietur per Prob. 2.

Quae definit Naturas omnium Curvarum OFN, ejusdem generis cum Curvis DKM, in quibus DKHMBCFO per Lem. r. sed

g . Sit n g, undeums - 'pa 'κ a est aequatio defininiens DKM, ex qua dc assumpta n me invenietur per Problema

omnes similes Curvas OFN, in quibus DHKMBCFo per Lem. 2.

-Sed a : ponatur x

47쪽

g 8: Sit 1 απι, unde umi pan' rina est aequatio definiens

Curvas DKM; ex qua cum assumpta n x' invenietur per Prob. 2.

les Curvas OFN, in quibus DHΚ BCFO per Lem. a. Sed

Ex his patet, non modo aequationum Curvas OFN, sed etiam Theorematum, earum Areas BCFO determinantium progressus in infinitum; de facile est innumeras alias Theorematum series formare. Pro hujusmodi Figuris, quarum Valor Analyticus ordinatim applicatarum ita reduci possunt, ut duobus tantum existentibus terminis stub vinculo, duo etiam in illos multiplicati, extra vinculum existant. EX Methodo mea generali Exemplis 8 & io illustrata, inveni Aream DHK posse Quadrari quando in aequationeums: -bpa' XV qe a Naturam Curvae DKM definiente, exponentes n, c sunt numeri integri de positivi, posito n c. Praecedens Theorematum series, quatuor ultimis Sectionibus 4nventa, est Casiis omnium primus, in quo nempe c I ; Casum secundum in quo c-2 adjiciam; cuique visum fuerit reliquos eodem inodo prolequatur.

Existente itaque ema, eritum; --Μan' --qα--ai unde per Methodum nostram generalem invenietur Area

48쪽

In qua bra

Ex his patet,liorum progressus in infinitum: M ob continuam multiplicationem ex n-2xn-g n- , &c. in numeratoribus coessicientium; ideo si sit η , tum e erit ultimus; si π δ, ferit ultimus ; si v , ergo g erit ultimus Terminus, qui in μεα a multiplicatus constituet Quadraturam quaesitam Areat

Determinatis generaliter messicientibus, Theorematum computatio, nullo fere negotio computatur.

49쪽

: quae definit omnes Curvas OFN, quarum exponentes abscissarum et, x easdem habent relationes. Sed

THEOR. X.

BCFO-bx 'leaxi' Δ' ' eaex 4fa x gQ in In quo juxta generales coessicientium determinationes 4 9. praemissas

50쪽

DHΚ, quarum ordinatae Analyticd expressae sint v παχ' in paχη-σω se diar a: eXistente G unius dimensionis sub vinculo. Et pro aliis suppositis intra vinculum ejus dimensionibus, al1a infinita Theoremata computari possimi: plerumque tamen non sine aliquibus Q iadrabilitatis restrictionibus: nullas certe hactenus tractare contigit, praeter jam memoratas, quae absolute Quadrari possunt, quando Ordinata duos extra vinculum terminos, in totidem sub vinculo multiplicatos habet. Theorema unum aut alterum , Ex FigurisDΗΚ. habentibus. sub vinculo deducta adjiciam. 3 ii. Sit a' aequatio definiens Curvas DKM, ex qua cum Assumpta n α', invenietur per Problema a.

OEN similes Curvis D M. Sed

g iet. Sit umsUH-pa'n'κε q4'H-a'. Ex qua tum assumpta aequatione invenietur per Problema 2.

Quae definit omnes Curvas OFN similes, Curvis DKM. Sed