장음표시 사용
31쪽
Ex p. Io. Inveniendae sint Quadraturae omnium Figurarum
AMC quarum proprietates haec aequatio ri Π ast in in
g - I gr. -I κ2γFI IX IEx duobus postremis Exemplis patet coefficientes, ut Sc aequatio nes quibus determinantur, ordine regulari procedere; eorum p gressus in infinitum eodem modo, quo in superiori Casu invenitur. Sit ergo aequatio continens infinitam seriem Figurarum AM ,
quarum Areae sunt determinandae, talis b3 η γ - Ο Erit
32쪽
Erit per Problema nostrum primum y ur a κ 0-ν θ -q - π ΦΟ &Q. Ex qua inventus valor lineae PM per Leibnitii Calculum adaequetur valori ejus dato ; de aequatio a fractis & surdis liberata dabit.
Factaque debita comparatione terminorum hujus AEquationis
Ex compositione horum quinque terminorum apparet, quis sic eorum progressus in infinitum, & ob continuam progressionem I Nn-2Xn-ῖ, O c. in numeratoribus patet quoque figuram esse quadrabilem quando n) est numerus integer & positivus, totque terminos sitis coessicientibus affectos assumendos esse,quot sunt unitates in n : & quoad signa quibus connectuntur notandum tria prima est assirmutua, reliqua deinceps sibi invicem alternatim succedere.
33쪽
cedere. Quae omnia ex coessicientibus jam determinatis sunt mania festa. Idem quoque in aliis infinitis casibus fieri potest, similiqenim est in omnibus processus quem in his duobus explicasse suLfecerit. Cum plures supersunt comparationes, quam quae determinandiscoessicientibus lassiciunt, concludendum est Quadraturam quaesi tam esse impossibilem, si valores messicientium ex singulis comparationibus reperti non iant ubique iidem; sin ubique conveniant. tum Quadratura possibilis existat. Ut si proponatur T mry a κ a aequatio definiens Curvas ACS; invenietur coessic, entium quae curvarum FGH aequationem ingrediunturo valores ex diversis comparationibus esse diversos, ac proinde Quadraturam Areae AMC esse impossibilem: sed si aequatio proposita fuerit
m πυ- -aκ .n- θρο-iba; invenietur eas ubique convenire, ac pro inde Aream esse Quadrabilem. Et quidem universaliter, posito
drari potest, cujuscunque tandem valoris supponatur vinculi exponens crJ. Atque hujus modi Quadrabilitatis conditiones, ex Calculo nostrae Methodi facili negotio inveniuntur. ut exempla sequentibus constabit.
34쪽
Manifestum itaque est, Figuram posse Quadrari, si valor quantita.
i fuerit idem ex tertia & quarta comparatione; fiat ergo aquatio inter utrumque, omisso Denominatore utrinque communi)6eii r ν πρη-Σr q--Σ ' ''l'8 7 -Zr'p. Quae redacta dabit conditionem Quadrabilitatis, scit, p 2 , quae invenienda erat.
-- - ba , fuerit aequatio definiens
In qua juxta determinationes jam inventas
Ex - 1z. Sitnmn1 qm MV . Erit rursus per Problenia primum generale
Ex qua inventus valor Lineae PM dato
35쪽
Unde patet Figurarum AMC cujus Curva ACS proposita aequatione definitur) non posse Quadrari, nisi numerator Fractionis ex
Quarta, sit aequalis numeratori Eractionis ex Quinta comparatione oriundae. Facta itaque inter ipsios comparatione erit irη- .a6rq-ar wρ'' δrp -p- p 6r q rri; quae reducta dabit arrΡ -s 'Α 2q pH p. Nec unquam Quadrabitur Figura si capiatur p ad ' in quavis alia rationz, quam ut *ra byr- 2 ad pii Atque sic inventa est Qtiadrabilitatis conditio, nec non ipsa Quadratura quaesita, scit.
lf 'κ Ex qua Per Methodum jam Oxplicatum pervenietur ad hanc.
Ex prima comparatione invenietur C .
36쪽
Facta itaque aequatione inter numeratores utriusque valoris quantitatis et L invenietur p. q :: sar' - 26rr 'I8r 'l' 4. 3r-ba. Neque alia assignabilis est ratio p ad q, in qua proposita aequatio definiat Figuram Quadrabilem. Atque haec est conditio Quadrabilitatis inveniendae; & quia inventae sunt coessicientes c, d, e, f; ideo inventa etiam est
Figuras cum Simplicissimis ejusdem Generis
DUando in aequatione aliqua Curvam definiente, quantitas ata scissam denotans ad multas dimensiones assurgit; tum Calculus in Methodo nostra superiori adhibendus non sine aliqua labori difficultate peragi potest: & quia computationis molestia, quantum Natura problematis patitur, siummopore sit evitanda; ideo silli dium hic adducam, quod hunc laborem ves prorstis auferret, vel saltem plurimum imminuet. Notum est Geometris, quomodo cui libet Figurae sive illa sit Algebraica, sive transcendens: sive definite, sive indefinite quadrabilis9 aliae infinitae aequato inveniri possint. Si pariter constaret, quaenam essent aequationes, quae omnes Curvas definirent, quae ejusdem essent generis cum Curva Figuram. quamlibet datam terminante; necnon quaenam esset harum omnium limplicissimas tum ex hujus simplicissimae Figurae Quadratura, non ponam, praemisso prius eleganti Theoremate ex Lectionibus Geo metricis D. D. Barrois desumpto, cujus demonstrationem adficiam, quam ipse Author non addidit, eo quo ex suo demonstranai Moedo facile deducitur. LEMM4
37쪽
Sint tres quaelibet Curvae BGL, OFN quarum axis BD) DLM eujus axis DL ita inter se relatae, ut sumpto quovis puncto G in
Curva BG, a quo ducantur, tangens GA, cum axe concurrens in A
Ordinatae GC, CF ad LN ; item GK ad BD parallistae, sit lem erAC. CG :: ΗΚ. CF. Erit spatrum DHK aequale spatio BCFO, nee non DLM BDNO, ct sis indesinite.
Sit Gm particula indesinite parva Curvae BGL, ducantur mr ad GΚ, zk ma P ad GF parallellae, secantes BD, GC, DL in punctis e, n, c. Iam quia Triangula G nm, GC A sint similia, ideo ΑC. CG :: mn. Gn, id est, ΑC. CG :: Ce. He. Sed ex hypothesi AC. CG :: ΗΚ. E. ergo HK. CF :: Ce. He, unde
ΗΚ κ, L CFκCe ; cum vero idem de omnibus similibus rectam gulis dumonstrari possit, cumque spatium Curvilineum DHK, alamma omnium rectangulorum HKκHe ; & spatium Curvilineum BC , a summa omnium rectangulorum CFκCe non differant; ergo DHΚ BCFO. a. D. E.
Sebbi. Si Linea DΚM sit recta angulum faciens semirectum cum DL, tum coincidet hoc Theorema cum Lemmate primo, & proinde est hujus casus tantum particularis.
Notandum est, Quod datis Curvis BGL, DKM facile inveniatur reliqua OFΝ; vel datis BGL, OFN altera DKM similiter inveniri possit: tot itaque invenire possumus Figuras DHK aequales datae cuilibet Figurae BCFO, quot imaginari possumus Curvas BGL, id est, infinitas. Sed propositum nostrum est, selum modo Curvas DHΚ determinare, quae sint similes, vel ejusdem generis cum data Curva OFN , ubi per Curvas similes, vel ejusdem generis intelligo eas, in quibus cordinatim applicatis ad sormam in problemate primo praescriptam reductis Exponentes quantitatis abscissam denotantis habent easdem ubique relationes. His praemissis, sit
38쪽
Fig. r. quacunqze Curva A ebraic DKM, omnes Curvas OFNihuie similes invenire '
IN superiori Figura sit communis . abscissa BC x. Ordinata CF Y Et Curvae BGL ordinata: GC α, & quia GC DH, erit etiam Curvae alterius DKM ; abscisia n, cujus ordin timapplicata In aequatione Curvam datam DKM definiente, pro exponente vinculi particulari ponatur exponens indefinita r :& assiciantur ejus termini coessicientibus I, p, s, &c. Erit perpetuo m κ' aequatio definiens Curvas ignotas lGL, cujus ope, Serequationis datae invenietur per Lem. 2.) aequatio definiens omnes Curvas OFN similes datae Curvae D M. Exemp. I. Sit aequatio uta Hari Datam curvam DLMdeterminans, de invenienda sit alia, quae omnes huic similes deter-
minet: Erit iuxta pra criptum Regulae urpata se qυ 4. a, cum hac & assumpta ri Q, quaesitam sic invenies. Ex Analyticis valoribus linearum AC, CG, IIK exterminentur indeterminatae quantitates v, et, per Communes Algebrae regulas; tum cum histribus & quarta CP instituatur Analogia Lemmatis praecedentis, S haec in aequationem mutata est quaesita. Sic per Tangentium Methodos invenietur ΑCm atqui patet GC Q, & substituendo e pro ia in aequatione data s& coessicientibus ac vinculi expo-
Sed per Lem. 1. AC. CG :: HK. CF. hoc est in terminis Analyticis.
Quae Analogia, multiplicando terminos medios & extremos, dabit aequationem quavitam, scit
Quae definit omnes Curvas OFN similes curvae reri datae. Simplicior
39쪽
Exeuip. Sit aequatio datam Curvam DLM definiens huiuimodi u. Cum hac & assumpta n x invenietur per Processum praecedentis exempli' Qx -ha : Et facta m n, Quae definis omnes Curvas OEN similes Curvae datae DAM, nam n- I - ἶλ α
quacunque curva DKM, omnium huic similem simplici mam
TN aenuatione per Problema et, inventa ponatur n I ' & aequatio 1 IIa generalis in simplicissimam resil tur. Sic si In Primo e emplo ponatur nm I, erit m ' -pa-qx '' a. . Quae est simplicissima Curva OEN similis datae DK M. Pariter in secundo exemplo να- JG a est aequatio definiens simplicissimam Curvam OPN similem Curvae DKM per aequationem datam de
gae quadratura Pleurae cuius'ir fimplicissimae BCFO, alterius qualiscunque similis DKH Rus naturam termina e N Quadratura Analytica Figurae BCFO pro x stubstituatur t potestates habens ex Prob emate 2 dc 3, cognitaS, eritque haec sadratura Figurae DHΚ.
L p. I. Invenienda sit in dratura Figurae DΗΚ,
40쪽
curvae proprietas sit u α'κω --τ : Ex hac & Assumpta viri in venietur per Problema et, I mx' κ 'φεa: & ponendo 8m , Erit mx 'I-: Tum per Problema fiat nmi, dc si m in x- - , est aequatio definiens simplicissimam Curvam OFΝ, cuius Area est aequalis Areae Figurae propositae DI K. Sed per Methodum nostram generalem BCFO Dκ sexta. Iam quia et, H, & 8m zzn m I, ideo QTzα , seud' x. Substituta ita et pro x in Quadratura Figurae simplicissimae jam inventa habetur DHΚ- α φα
undm quae definit simplicissimam Curvam OFNculus Area sper Lem. 2 est aequalis Areae quassitae DI K. Iam vero per Methodum generalem invenio BCFO -- - -a: Quia et mmn I, ideo m lunde seu U κ; ideoque DHΚ Notandum est hujusimodi Arearum Quadraturas analutice ex. pretias non semper portioni absicilita AM 1 vel BC aut DA in hac M. 2.9 competere, sed eandem aliquando excedere. ut in penultimo ; vel ab eadem deficere, ut in ultimo exemplo, quantitate quadam determinata, quae Methodo inserius tradenda inveni tur. Ob hanc rationem, in stuperioribus exemplis positi Aream. non vero AMC aequalem Quadraturis Analyticis ibi inventis
Quodque hic posiverim BCFO, & DΗΚ iisdem aequales, distim
Secundo notandum est, Quod in exemplis quarti Problematis messicientes ἰ, p, g, s, &c. ut & exponentem indefinitam cr . iuxta praescriptum secundi Problematis adhibendas omisierim, Proint rea quod ua investigatione alicujus particularis Figura: -H, ex