Tractatus mathematicus de figurarum curvilinearum quadraturis et locis geometricis

21쪽

Comparando itaque terminos sujus arqdationis, erit primo *b 2, Uniu: ; secundo M o, unde G O ; tertio en 2b22 unde e i ; quarto denique c I, ut PriuS: EX qutaui manalassum Tterminuin a coefficiente o affectum aequationis questita: compontionem non ingredi, sed solos terminos a coefficientibus b, Me affectos, quarum vasores in aequatione assumpta Iubstituti ciabunt

quaesitam scit. X fin j xx, quae definit Curvam FGH in qua intercepta PM est aequalis ordinata: MC in Figura quadram da AMC, ideoque per Lemma f. erit ejuS Area κω fina m lxx A quae non competit portioni AMC, sed eandem excedit toto spatio 'a', quod suo loco fusius explicabitur. Exemν 1 Esto natura Curvae ΑCS talis Δ' ' af, M infe nienda Pt ejus Area: Dimensio : Ordinata ad simplicissimam formam reducta est Et juxta pra scriptum Regulae primi Problematis Uin ο*da' --.i xx est arquatio eminen nens illam, quae definit Curvam quaesitam FGH, in qua il C ex qua aequatione inveniatur valor linea: PM ut m explicui; hic valor adaequetur valori eius dato; liberetur licea aequatio a fractis A surdis, & dein ternuia ite inter se con Tentur , ex his comparationibus invenies λ ni coemcrentium valores in propriis locis substituti dabunt quae definit Curvam quisitam FGH, cuius intercepta PM est & proinde per Lemma I.

Exemp. 7. Determinanda sit Quadratura Figurae AMC cujus m hic valor lineae PH in 1 proprietas est huiusmod, ta v g - ,

multiplicatus est ; ubi maxima dignitas extra vInzulum est os appossitis itaque potestatibus inferioribus cum coessi. ciensi

22쪽

cientibus incognitis erit in VI 2 μ' m: ex qua inve

nio valorem interceptae PM, quem comparo cum valore ejus dato, & sic innotescunt coessicientes b, c, d, scit. bm', εα-a, quibu; in aequatione substitutis erit MX Q L.

4. Sit et o a- ' proprietas Figurae AMC, cujus Area est inveniend: ut haec habeatur, invenienda primo est alia Curva FGH in qua PMm seu γηκ a - : Jam vero hic valor lineae PM in st multiplicatus dat γ κ ψ' , & ma

Xima d1gnitas extra vinculum compositum est numerus fractus, appositis itaque potestatibus inferioribus cum coefficientibus incogni. tis, erit by -9:-θα- ακ a nyα x , hoc est,f in ι ab ' d a 3 4, e sea' Q,' xx; ex hac aequatione inveniatur valor lineae PM, qui cum valore ejus dato comparatus determinabit coefficientes, scit. b- , c o, d o, - , unde 86, G 8 ri ψ, ῆ- xx, quae aequatio definit Curvam FGH in qua intercepta PM aequalis est ordinatim applicatae datae Figura: AMC. Ergo per Lemma I. Area quaesita

vel secundum aliam notandi formulam

I 'a: vel tertio et, ) γ 3 - ὼ ', quoniam hic casiis nonnullam habet dissicultatem, visum est Leibnitii Calculum, iuxta omnes illas notandi formulas illustrare. Ex prima itaque erit

23쪽

y ssy compendii gratia ponatur by ρ ορο - ω ' -- 7, unde aequatio erit m xx, cuju; aequatio dis sietentialis ex Autoris regula Divisionis Pro priori, & potentiarum pro secunda parte dabit zπώ. Signa ambigua quod attinet, notandum est, illa duobus modis polle explicari, quamvis

Curva FGH sit adhuc in ognita, & Primo quidem ex data Curva ACS innotescet an Crescentibus abscissis, Crescant pariter ordi- arx - an contra: quoniam Area Curvae datae aequalis eli dimidio Quadrati ordinatae in Curva incognita FGH ideoque secundum ea. quae Autor habdi do signis ambiguis Pag. 468. Act. Erud, Anni i684. eorum etiam Valor innotelaer. Secundo explicata ood int signa illa ambigua Per COmParationem factam cum terminis utriusque Valoris interceptae PM. Jam quia cre ente absici a 4 lci crescit pariter Area AMC, ideoque etiam incognita ordinata GM concludendum est fractionem in praecedenti aequatione differentialem ita explicandam esse, ut eius valor sit assirmativus, quod fiet si prius signum statuatur negativum, posterius vero

Quantitatum q erit

Quae in Analogiam re luta dabit incognitum valorem interceptae PM, nimirum,

24쪽

Erit prima comparatio 3- - 4, unde b-, ς secunda e b 4, unde tertia 2c e o, unde e se l. Et proinde aequatio Curvam FGH definiens est

EY secundo modo designandi ordinatam n seu lineae PM va. lorem erit juxta Problematis primi solutionem

tione disterentiali substitutae dabunt

Ex qua aequatione in Analogiam reseluta invenietur expressio Ana. lytica lineae PM, quae aequata expressioni ejusdem datae erit

Ex hac aequatione a fractis & surdis liberata resultabit demum haec

aequatio.

25쪽

α xx ; Cujus aequatio Differentialis per Leibenitu regulas est

Et determinatis coessicientibus ut jam ostensum est. invenieturd o, O; Ex quibus manifestum est

Atque hoc modo habentur caeterarum Figurarum Quadraturm quando per aequationem finitam eXplicari possunt; δί eXempla jam adducta satis ostendunt, qualis in similibus fieri debeat processus; nihilque dissicultatis hic occurrere potest, dummodo Lector in sype memorato Leibnitii Calculo versatus fuerit. Pars vero Methodi nostrae longe praestantior haec est, qua uno hujus modi calculo infinitarum Figurarum Quadraturae determinantur, quarum ne una quidem, ante specimen nostrum in Actis Philos phicis C editum,

26쪽

edkum, inveniri possit certa Methodo publici iuris factj.

Exemp. 7. Inveniendae sint Quadraturae omnium Figurarum

AMC, quarum naturae hac aequatione generali T 3 a definiuntur, in qua r denotat exponentem Vinculi radicatis Quadratici, Cubici, cte. Ex problemate primo constat by' '' es in eaa κ

κ inama xx eminenter continere Curvam FGH in qua PMm MC; ut ergo habeatur valor Analyticus interceptae PM, pona-

Quae in Analogiam re luta, de rite tractata, ut in praecedentibus, dabit, l

27쪽

Erit prima comparatio b let rb met r, unde b

Secunda comparatio e in et rb H , unde c

2r-I 2r in InrΦΙQuae eXprimit Quadraturas omnium Figurarum, quarum Naturae definiuntur praedicta aequatione generali; & Quadratura cujus vis figurae particularis sub hac inclusis habetur substituendo particularem exponentis r valorem in hac Quadratura generali: Sic si, habetur Quadratura particularis Secundi Exempli; vel si dii: 1; habetur Area Figurae quinto Exemplo propositae; ut de aliis Infinitis nihil dicam, quae eadem facilitate inde eliciuntur. Eesemp. 8. Inveniendae sint Quadraturae omnium Figurarum, Α MC, quarum curvae definiuntur hac generali aequatione

: et 764-a: Per Problemata nostrum primum erit ear

28쪽

Facta comparatione terminorum ultimae aequationis, erit b-ρ et ἀ

Cum ex duobus ultimis Exemplis observassem messicientium v lores regulari quodam ordine progredi, su spicatus sum eundem progressum in infinitum usque continuari; placet enim Naturae comstans & perpetua Uniformitas. Et facto periculo, rem ita se habere compertum habui. Procestus erat ejusmodi.

Sit 3 X a aequatio a qua definiuntur omnes curvae ACSqtiae comprehendunt totidem Areas AMC, quarum Quadraturae 1unt inveniendae. Juxta Solutionem primi Problematis, multiplicetur hic valor ordinatae n seu interceptae P per ν; eritque productui ny X y-ba: Ubi indefinitus numerus est 'exponens maximae dignitatis extra vinculum; ideoque potestates inferiores adiiciendae sunt infinitae, nimirum juxta Regulam

nostram.

29쪽

Ex hac aequatione investigo valorem Lineae PM per Dibnitu

Facta jam comparatione omnium terminorum hujus aequationis, invenientur coessicientiam Determinationes hujusinoui Prima,

Ex compositione quinque harum coessicientium liquet,quomodo caeterae omnes in infinitum absque ulteriori calculo formari pollunt: praeterea ob progressionem nXn IXO 2 'gχn. - & in numeratore coessicientium, si n fit numerus integer & positi tus, vel nihilo aequalis, tum Figurae AMC Quadratrix FGH ecit Curva Al. gebraica, in cujus aequatione tot semper erunt messicienteS b, c, d,&c quot sunt Unitates in nΦs; ta eorum signa quod attinet, Dost duo priora, quae semper sunt affirmativa; negativum M assit

30쪽

mativum se invicem alternatim sequuntur, sit ΘΗ --Γα Ἀ- e-b--h, &c. Atque sic Methodus nostra, non modo infinita rum Figurarum Quadraturas ob indefinitam exponentem p ut in Exemp. 7, 8s Sed etiam aliam Quadraturarum infinitatem uno sim plieissimo dc facillimo Calculo absolvit: Duae enim hic existunt ex ponentes indefinitae ' r, quarum quaelibet infinities variari potest. Sed tamen multo generaliores reddi possunt, si non tantum vinculi exponens ), & quantitatis I extra vinculum cn2: sed etiam exponens quantitatis F sub vinculo poneretur indefinita ; quomodo autem hoc praestari possit, artificio postea tradendo' expli. cabitur. EExemp. 9. Inveniendae sint Quadraturae omnium Figurarum

AMC, quarum naturae exprimuntur hac aequatione Δαυ-Pax

FGH ubi PMα MC est ἀπ--ων 'κ - - a xx, ex qua pervenietur tandem per Calculum saepe explicatum ad hanc

aequationem.

substitutis his coessicientium valoribus habetur Quadratura universia. usquaesita; scic