Tractatus mathematicus de figurarum curvilinearum quadraturis et locis geometricis

81쪽

ininta denique Comparatio h - - , unde lam Ex his habetur loci specifica determinatio ' nam secundum praescripta prioris partis, positione datur vel assumitur linea ΑΕ, cui in angulo dato vel assi impio ducatur ED; jam quia ideo lineae AC, AF coincidunt per not. 4.). A puncto A capiatur A mi o, ideo etiam puncta Α, Κ, & lineae ΚH, AF coincidunt. Et quia ΚG I o, ideo punctum G cum punctis A, Κ coincidunt. itaque vertice G seu A vel Κ circa Diametrum GH seu AE vel AF deseribe parabolam GD, cujus latus redium sit r a; eritque Parabola sic descripta locus quaesitus, in qua quaelibet AE x, ED .

Exemp. 2. Sit aequatio data )'-axq-bb o, haec cum prima Theorematis parte comparata dabit,

r em- --a, undem

Quinto, kl 'r zbb, unde IEx quibus juxta praescriptum prioris partis locus sic determinatur. Du.catur vel positione detur linea indefinita AE, quacum ED faciat Angulum datum vel assum pium AED ; jam quia BCmn o,ideo puncta B, C, & lineae AE, AF coincidunt per not. 4J dc quia ΑΚ - , ideo etiam puncta AK, & lineae AF, ΚΗ coincidunt: capiatur ΚG ad easdem partes cum Schemate construct is in priori parte adhibitae, quia valor quantitatis ἰ est assirmativus per not. tum vertice G circa diametrum GH seu GE vel GF describe Parabolam GD cujus parameter sit rzara, dico hanc Parabolam essu locum aequationis propositae quaesitum, in quo A xi ED . N. Exemp. g.

82쪽

Exemp. g. Sit aequatio , --βx- UT ' quae cum Priori parte

o, unde n o ut prius Tertioo, unde r- Quarto

Quinto, denique th -r- b, unde m Ex quibus juxta praescriptum Constructionis in priori parte adhibitae, habetur specifica loci determinatio. .Ducantur AE, E Fig. i . in angulo dato vel assumpto AED jam quia BC mo ideo coincidentibus punctis B, C, coincidunt etiam lineae AE, ACREt quia AΚα, αλ ideo etiam lineae ACF, ΚΗ coincidunt; capiatur ΚGm- - , & vertice G circa diametrum GH describe

Parabolam GD versus partes A tendentem, contrarias nimirum iis, ad quas ducitur in Schemate Theorematis per not. s. quia valor lateris recti r z--a est negativus ; erit haec Parabola locus quaesitus, in quo Α x, ED . Exemp. 4. Sit aequatio locum a parabola determinandum incluta dens xx -ο-bb mo, Quae cum parte Theorematis secunda comparata dabit,

Secundo, Tertio, - , unde ut Prius n-st.

83쪽

Quinto, denique unde I

Ex quibus habetur specifica loci determinatio luxta praescriptuna Constructionis in parte a. adhibitae. Ducantur AE, ED, in An- Fig. i gulo dato vel assumpto AED; quia BC u o, ideo Al , AL; &quia AΚ- , ideo etiam lineae AF, ΚH coincidunt: capiatur

ΚG - -; tum vertice G, latere recto r . a describatur pa-

rabola circa diametrum GIl deorsum versus lineam AE tendens, quia valor parametri est negativus: erit Parabola sic descripta locus quaesitus, in quo ΑΕ x, ED .

cum priori Theorematis parte comparata dabit, Secundo, - 2hmo.

il de Quinto, Eh-brizzz-dd, unde Ex quibus habetur Loci determinatio, iuxta Constructionem in priori parte adhibitam, Ducantur AE, ED, in Angulo dato vel Fig. 19. assumpto AED; jn AE sume AB m M ; & a puncto B ducatur BC nini, parallela ad ED, supra lineam ΑΕ per not s. quia valor ejus est negativus. Per A dt C ducatur linea indefinita ACF;lam quia ΑΚ Emo, ideo puncta A, Κ, & linea: AF, ΚH co-- d d Z

84쪽

ad pa ietes sinistras puncti Κ, quia ad partes dextras sumitur in Schemate Theorematis, per not. s. vertice G, latere rectorzzz - describatur Parabola GD circa diametrum GH, erit haec pa

rabola locus quaesitus in quo ΑΕ x, ED .

Primo , posito ad arbitrium erit nis

m ann

ut in prima. Secundo,

Quinto, IEH-ri tre, unde Ex quibus habetur loci determinatio juxta praescriptum Constru- Fig. 2o: ctionis secundae partis. Ducantur itaque lineae AE, ED in Angulo dato vel assumpto AED, & AL parallela ad ED, in qua capiatur AB mma, & a puncto B ducatur BC n b, parallela ad AE, per Α & C ducatur indefinita linea ACE; Sc in AE capiatur c : a puncto Κ agatur ΚH parallela ad AF in qua capiatur ΚG I --- - , ita ut G cadat infra Κ, quia in schemate secundae partis G supra Κ' per not. s. Tum vertice G, & latere recto r- - circa diametrum GH describe parabolam GD; atque

haec erit locus quaesitus in quo AErax, ED-y.

Singulas literas ad Figuras hujus Theorematis spectantes, Figurarumuscujusque casus adjeci ut facilius appareret quomodo ex eodem profluant

85쪽

profluant exempla modo adducta; quae desumpta fiunt ex libro pereesimio illustrissimi D. yohannis de Miti, qui hanc Geometriae partem ad longe majorem perfectionem promovisset, nisi Fata cruen. ta Virum eripuissent de literaria Republica meritissimum. THEOR. II. SINT x, y, quantitates incognitae ct indeterminatae, se fiat alter, utrius harum, puta X, initium certum ct immutabile punctum A, ὰ quo per rectam positione datam A E indefinite se extendere intelligatur; sitque Angulus datus vel adsumptus, quem faciunt X, y, AEqualis Angulo AED.

CONSTRUCTIO.

Ducantur ΑΚ, BC, parallelae ad ED, Se per Α, ducatur 1inea indefinita ACF, cui a puncto Κ parallela ducatur ΚΗ, in qua assumatur punctum ali quod G; tum vertice G circa diametrum GH describe H perbolam GD, cujus latus rectum sit GP, transveisum MG. & centrum N; quantitates sic notentur. AE ae, ED , BC n, A e, ΑΚ L ΚGml,GNmGM , GP

mi rex

Secundo, iisdem positis, Constructio. erit ut sirpia. Ducatur AL parallela ad ED, a cujus puncto aliquo B ducatur BC ad AE parallela & per Α, C indefinita ACF, cui a puncto aliquo Κ clumpto in linea AE parallela sit ΚΕΙ ; tum vertice G in ΚΗ sumpto)circa diametrum HG desiccibatur Hyperbolae GD, cuius latus transversum SM, latus rectum GPi dc centium N, positis etiam ut i in

86쪽

Assumatur, exempli gratia, Cartesii Analysis pro Quaestione

dc ad confusionem evitandam, pro m substituto e,d pro λ dc b pro ο; his positis, & aequatione ad formulam Theorematis reducta erit

Haec cum prima Theorematis parte comparata dabit, Primo, - -, Sc sumpto ad arbitrium m d. erit n L

87쪽

titatum h, I, i, jam inventos, erit 'ce ος quae reducta

Ex quibus habetur specifica loci determinatio, secundum p - vid. M. scripta constructionis in priori parte secunda Theorematis adhibitae , pag. dummodo punctum C supponatur in Angulo EAR. Diligenter Geo. Co . enim hic notandum est, quod in priori parte horum Theorematum, lineam ED leu γ semper supra lineam ΑΕ, ideoque Curvam GD supra diametrum GH ; sicut in posteriori parte Curvam GD semper ad dextras partes diametri GH supposuerim. Sed si, iisdem positis, hanc ad partes dextras, illam vero infra diametrum GH describendam supposueris, mutanda erunt signa secundi & tertii termini Theorematis, priusquam fiat Comparatio illius, cum proposita qualibet arquatione : quod pariter de primo dc quarto The

oremat e notandum.

Si diversi proveniant valores quantitatum ἰ, r. t , ex natura aequationis propositoae constabit, quinam sint valores earum convenientes, qui ad locum quaesitum desci ibendum pertinebunt. THEOR. III. SINT stuantitates incognitae ct indete minatae X, y, Angulum sa-eientes datum vel assumpum AED.

CONSTRUCTI O.

88쪽

Ad hoc reducuntur omnes aequationes, in quibus nec xx nec Dreperiuntur, & habetur specialis cujuslibet determinatio per comparationem aequat1onis Propositae cum hoc Theoremate, ut in

Exemp. I. Sit γα - bx o aequatio data; Ex Prima Comparatione H- h-- si Ex Secunda, I

Et quia plures non supersunt Comparationes, ideo r ad arbitrium sumi potest. Ex his juxta Constructionem in Theoremate adhibitam Locus sic determinatur. Ducatur ΑΕ, & ex puncto Aerigatur ΑΚ angulum faciens ΚΑΕ aequalem Angulo quem Comprehendunt x, I, per Κ ducatur GKL parallela ad AE, in qua capiatur ut libet ; ex puncto R ducatur RS infra GL quia ejus valor est negativus juxta nota s. Theor. I. Tum Assymptotis GL, HGI , describatur Hyperbola FbD transiens per punctum S , erit haec Hyperbola Locus quλutus, in quo K x, ED P, &c. Quamvis quantitas r) quoad magnitudinem semper ad libitum assumi possit, potatio tamen ejus ita ordinanda est, ut ED seu γ semper dextrorsum cadat supra lineam AE, ut constat ex Coni fructione in Theoremate adhibita. Ad hoc essiciendum, ita explicandus est valor quantitatis s ut pars Hyperbolae per punctum Stranseuntis dextrorsum cadat supra Lineam AE: Allymptotorum altera semper est GR, altera vero est Linea ex puncto G parallela ad RS, & ad easdem partes ducta.

Exemp. 2.

89쪽

Erit Prima Comparatio I ASecunda, I -- c.

Ex quibus Locus quaesitus sic describitur. Ducatur linea indefinita AE ; Angulum faciens datum vel assumptum AED; a puncto Αducatur ΑΚ h -b parallela ad ED; a K ducatur ΚGα -& parallela ad lineam AE ratio positionis utriusque patet ex not. Theor. I. jam in explicatione quantitatis ci) considerandum est, quo pacto pars Hyperbolae supra AE existat, & quidem patet hoc fieri non posse, nisi RS cadat supra ΚG, id est, nisi valor quant, talis s scit. -- fuerit affirmativus; & quia stimendo GR ad sinistras partes puncti G, id est iumendo valorem negativum quantitatis r , valor lineae i affirmativus erit nam i concludo arbitrariam quantitatem r GRI sinistrorsum a punctob c G sumendam esse; ex R ducatur RS m -; dea G ducatur GH ad RS parallela ; Hyperbola Assymptotis GΚ, GH, per punctum Stransiens erit locus quaesitus, in quo AE x, ED . ΤΗEOR. IV. SINT X, y, quantitates incognitae ct indeterminatae Angulum faeientes datum mel assumptum AED ; sitque A initium immutabile quantitatis X per rectam AE positione daIam extensae Ducantur ΑΚ, BC parallelae ad ED, & Der puncta A, C, linea indefinita ACE, cui a puncto Κ parallela sit ΚΗ, in qua stimatur punctum aliquod H, tum vertice G circa diametrum GH describatur semi ellipsis GDM, cujus transversum est GM, latus rectum GP, ac Centrum N; lineae vero, ut supra notentur, scit. AE x,

90쪽

Assumatur denuo Cartesii Analysis, quando Locus Qua stionem veteribus propositam determinans est Ellipsis, scilicet, a lam e-

ducta dabit

Facta Comparatione hujus cum quarto Theoremate invenietur, Primo, - m sumpto ad libitum erit ηαδ

Secundo, undedd . p a

Quinto