장음표시 사용
51쪽
Quadrabilitatis conditio Methodo superiori inventa, est, obiter hic notari velim Figuram illam, cujus Quadraturam exhibuit Dominus D. T. in Actis eruditorum, ad hoc Theorema reduci. AEquatio definiens ejus Curvam est 1 m . Reducta itaque ordinata ad formulam
Sectionis I 1, erit y - 2x- 'gcx'N x--χc: eX comparatione debita hujus, cum generali illam includente, patet 2m m I, - Ims, sm-I α, ex quibus'; similiter r -2, aamae, - 1 ; unde α -- ς, Na' ago, unde p-ῖ. His valoribus quantitatum m r, i, p. In Theoremate generali substitutis, invenietur
Tertius Figurarum ordo hic est, in quo ordinatim applicata tres habet terminos extra vinculum multiplicatos in duos sub vinculo; pro quibus Theoremata generalia computantur ut in praecedentibus. Exempli gratia,
ex qua cum assumpta n - κ' invenietur per Problema a.
Curvas OFN ejusdem generis cum DKM, & in quibus DKHm BCFO per Lem: et. Sed
52쪽
trini X2 1κr-Iκq'Facile esset horum Tilaorematum series, quousque placet, continuare, nec non eorum progressum in infinitum detegere: Ex Methodo enim generali statim apparet, hunc Figurarum ordinem
semper posse quadrari, quando umset para: Ia et,' 'κ Qq a, modo n sit numerus integer & assirmativus. Atque sic progrediendum est ad altiores Figurarum ordines, in quibus ordinata habet quatuor, quinque, lex, cte iterminota extra vinculum, multiplicatos in duos terminos sub vinculo incluses,
Atque jam Methodum hanc plusquam satis explicuisse spero, ita ut illius processus in Figuris, quarum ordinatae habent tres, quatuor, quinque, terminos stib vinculo, in quosdam extra illud multiplicatos, ulteriori explicatione non indigeat. Hic candide fateri aequum est, non semper hoc modo Figuras cum Asblute sim plicissimis comparari. Atqui me, quod susceperam, prestitisse sitfficiat, Methodum exhibendo, qua Figurae cum simplicissimis ejusdem generis comparari possint. Hic vero speculatio notatu dignissima occurrit, nimirum non semper dari immediatum regressum a Figura proposita, ad simplicissimam, quacum illius Area comparari. potest; sed interdum esse duas, interdum tres, interdum quatuor, o c. intermedias Figuras, quarum prima simplicior est quam proposita, de secunda quam prima, tertia quam secunda, quarta quam tertia, & sic deinceps, donec tandem ad omnium absolute simplicissimam peveniatur. Harum Figurarum, a simplicioribus ad magis magisque in infinitum Diopolitas, Progressus ex Lem. 2. facillime sic deducitur. In
53쪽
In adjecta Figura sint tres quaelibet Curvae Un quarum axis
bd , Ordinatae ld, n cujus axis L ita inter de relatae, ut cuctis a quovis puncto g in Curva lal tangenteo, necnon gin, gh4 parallelis ad ira &bd; sit perpetuo. ac. N :: ι . cf. Tum a puncto b ducatur bos parallela ad ian, sintque duae aliae Curvae oet,
oiS quarum axis ob ) ita ad praecedentem Curvam Un relatar,ut producta scae, donec occurrat Curvae oet,d in puncto a quo ducatur Tangens & et i ad bcd parallela, sit perpetuo V. pri :: cf. p I. Tum a puncto o ducatur otq ad bod parallela, sintque duae aliae Curvae ob, tuT ita ad praecedentem OiS relatae, ut producta ipet, donec occurrat Curvae trb, in puncto r, & ductis, Tangente rq, ordinatis rs, fu, sit semper qs. ιr r: p I. su. His, inquam, positis, eritisu vi bos dbi; quarum vi est simplicior quam tus, & b simplicior quam vi, δεῆ simplicior quam bes. Atque sic alias
Figuras, magis quam tus gradatim compositas invenies: earumque Naturas aequationibus Algebraicis definire licet, data nimirum prima Figura DHK, necnon datis vel assumptis aequationibus Curvarum lal, oetu, trb, ad quas nempe ducuntur tangentes et, et , 'ris Exempli gratia. Sic notatis quantitatibus, bo G ta x, G D et ,
vana OiS; &deniq;s 8wylietam 4a w'κω quae definit Curvam tuT. Et quamVis ejus aequatio sit per quam composita, tamen patet illius Quadraturam, ex Parabolae δε Quadratura dependere; ita ut hac cognita, illa pariter innotescat, modo daretur regressus a Curva uT, ad Curvam ol S, de ab OiS ad Curvam Un, & tandem a Un ad parabolam iam. Esset quidem, hoc, aliquid in Geometria, Algebrae Analogum praestare; sicut in hac,
ex quantitatibus quibusdam datis, per varios aequationum resolutionis gradus, ex una in aliam fit transitus, donec tandem in aequationem omnino cognitam perveniatur; sic in illa, ex data CurvatuT, cujus Area tus est incognita) per varias intermedias Curvas biS, Un fieret transitias,donec tandem ad Curvam rim cognitae Qua draturae perveniretur. Hanc itaque nobilissimam speculationem iis, qui eam pro sua dignitate tractare possunt, relinquo.
Atque jam Methodi hujus partem priorem me absolvisse puto, si pauca addidissem, ad inadraturam Expressiones Analyticas spe
54쪽
De madraturarum Expressime anablica.
JA M praemonui Arearum Expressiones Analyticas nostra Methodo inventas, ab initio Abscissae non semper computari, sed ab ea aliquando deficere, & eandem aliquando excedere quantitate quadam determinata. Notandum itaque punctum illud, a quo Areae computantur, esse interdum supra initium Abscissae, interdum in ipso ejus initio, interdum etiam infra illud; & non raro prorsus imaginarium esse. Distinctionis gratia, cui expressio sic inventa competit, licebit punctum simplicissimae Expressonis appel
Notandum secundo, quod si Areae Expressio Analytica in se
contineat terminum determinatum, tum infallibiliter ab initio Ab seisiae non computetur: Sin indeterminata quantitas Abscissam dea signans omnes ejus terminos assiciat, tum praecise Areae Abscisi, adjacenti conveniat. Duo itaque hic praestanda sunt; primo, Data quavis Areae Expressione Analytica, punctum, a quo computatur, invenire. Secundo, Dato puncto simplicissimae Expressionis, invenire Expressionem Abscissae convenientem. ,
Cum totius Methodi nostrae fundamentum in eo positum sit, ut inveniatur Curva FGH, cujus intercepta PM sit aequalis ordinatim applicatae MC in Figura Quadranda AMC. Proinde si Geome. trice describatur Curva FGH, squam ob usum suum stuadraticem in posterum vocabo ex illius relatione ad Quadrandam AMC, haec duo quaesita statim innotescunt. Assumatur itaque casus particularis Exempli 9, in quo ηα 2, unde et 3 a 3-ha; est aequatio definiens Curvam NC, in qu: abscissa ΑMmst, ordinata MCrata, & ANma a. Atqui fa - xx aequatio definiens Quadratricen GFH, quae Geometrice descripta cum axe concurrit in puncto H,
supra initium abscissae A. Dico punctum illud H, esse punctum simplicissimae expressionis, & proinde : GM F lxx non esse ex- prcilionem Areae AMCN abscissae AM competentis, sed, conti-
55쪽
nuata Curva NC ad H, esse Aream H MC; adeoque excedere Α- ream abscissae adjacentem, toto sipatio trilmeo HAN - FAq. Secundo, Assumatur Exemplum secundum, in quo ab Uri a definit Quadrandam AMC, -- γο ra xx Quadraticem FHG, quae Geometrice descripta concurret cum axe in puncto simplicissimae expressionis H infra initium abs istae A, ita ut integra Quadratrix sit FHG, in qua, crescentibus abscissis, decrescunt ordinatae , donec in puncto concursus H prorsus evanescant. Dein ab hoc puncto H, crestentibus abscissis, crescunt pariter ordinatae usque in infinitum. Patet itaque ὲ G lam l xx non integrae Areae AMC, sed illius tantum parti H MCN competere ;adeoque Expressio superius inventa deficit ab ea, quae Abscissae AMadjacet, toto spatio trilineo HAN l AEq. Asiumatur temo, Exemplum primum in quo Qua- Fig. drandam AMC, a' χ' Quadratricem FG definiunt; haec autem Geometrice descripta nusquam cum axe concurrit, sed ab eodem continuata versus K deflectit: Quo casu punctum simplicissimae expressionis mere imaginarium est Patet itaque lGMq , non competere Arear AMC abscissae
A M adjacenti, sed eandem excedere toto sipatio l FAq. Haec omnia ex Lemmate primo tam evidenter sequuntur, ut iis demonstrandis inhaerere superfluum esset. inaeque de his tribus Figuris dictae fiunt; omnibus aliis facillime appljcari possunt.ὶSuperest tantum, ut ostendam quo pacto, punctum simplicissimae Expressionis H, necnon FAqipatium deficiens vel excedens Aream quaesitam
Ex dictis manifestum est punctum simplicissimae expressionis H, illud esse in quo Quadratrix cum axe concurrit, id est, ubi ordinatim applicatae x evanescunt, seu nihilo fiunt aequales: Et proinde si in aequatione Quadratricem definiente ponatur haec retoluta dabit longitudinem abscisae , juxta quam QuadratriX cum axe Concurrit, quod punctum est limplicissimae expressionis si quaesitum :quod si valor quantitatis= sic inventus, siverit affirmativus, tua Quadraticis cum axe concursus H erit infra initium Ab istae A, & proinde Area Methodo superiori inventa deficiet ab area qua sita AMC toto spatio ἱ FΑ,3 : sin valor quantitatis γfuerit negativus, tum Herit supra Α: iin denique valor quantitatis
fuerit impossibilis, tum punctum H imaginarium est. Sic in primo
56쪽
horum trium Exemplo, si ponatur απου in aequatione inadratricem definiente, scit.
quae redueta dabit)m-a. Sumpta itaque AH, supra A quia va. lor eius est negativus in erit H punctum quaesitum.
Et in secundo Exemplo ubi L ---κVo a x, si
IsκὐI Qua mo, quae reducta dabit cadente H infra A, quia θ' est valoris assirmativi. In tertio Exemplo, ubi
xx, posito erit unde γαὐ- qui valor cum sit impossibilis, concludendum est punctum H esse imaginarium, & proinde Quadratricem nusquam cum AXe concurrere. Ex dictis pariter manifestum est, AF esse ordinatam Quadra tricis initio abscissae convenientem, id est, ubi γ . Et proinde si ponatur ymo, in aequatione Quadratricem definiente, haec reducta dabit : RFq'spatium excedens vel deficiens ab Areae Expressione Analytica Methodo generali invenienda. Illud proande ab hac substractum, quando H cadit supra A, vel etiam quando II imaginarium est, dabit Quadraturam Areae quaesitae AMC, abscissae AM competentis: Sin H cadit infra A, addendum est spatium t F Αq expressioni Areae Methodo generali inveniendae, ut inde habeatur inadratura Areae quaesitae AMC.
Sic in primo trium Exemplo, si ponatur. 4 β' γ
57쪽
Et in secundo Exemplo, si ponaturI , erit
In tertio denique Exemplo, ponatury o, & erit - xx, un' Fig. 6.
de m lsex ' FAq. Et qui H hic imaginarum est, ideo g
Atque hoc modo procedendum est in omnibus aliis Quadraturis Analytice expressis, sive illae particulares, sive generales fuerint. Ita ut nunquam necesse sit Qaadratricem Geometrice describere, posito enim Cin aequatione Quadratricem definienteὰ xmo, habe tur punctum H, Sc posito rursus I o, habetur spatium t FΑq ; ut ostensem est. Quodque in tribus superioribus exemplis Quadratri. ces Geometrice deseribere praescripserim, id ideo factum est, ut harum Regularum fontem aPerirem.
58쪽
pauca jam sunt praemittenda. Curvas illas cum Leibnitio Algebraicas appello, quarum Naturae exprimi possunt per aequationem, in qua duae indete minatae quantitates, Lineas tantum rectas designant: Estque hoc primum Curvarum genus; quod sub se infinitos Curvarum gradus continet, pro variis indeterminatarum dimensionibus
Curvas illas cum eodem Leibnitio Trascendentes appello, quarum Naturae exprimi possunt per aequationem, in qua,. una ex indeterminatis lineam quandam Curvam designat. Et speciatim, si haec quantitas indeterminata Curvam designet Algebraicam leu primi generis, erit ipsa transcendens, Linea Curva secundi generas. Sin quantitas indeterminata aequationem ingrediens Curvam designet secundi generis, erit Transcendens hac aequatione definita Curva tertii generis; Se sic porro infinitum. Quodlibet etiam harum genus infinitos sub se continet Curvarum gradus, pro quantitatis transcendentis Di mensionibus enumerandos. Per Quantitatem Transcendentem semper intelligo quantitatem illam indetermina
59쪽
tam quae lineam Curvam designat, quaeque aequationem alterius
Ex Corollario Lemmatis primi Part. I. patet Quadraturam cujus -pig. cunque Figurae AMC dependere ab alia linea Curva FGH cujus intercepta PM sit aequalis applicatae MC in Curva AC Figuram Quadrandam terminante. Deq; his notatu dignissimum est, quod si AC sint Curvae primi generis tum Quadratrices FGH aliquando sunt Curvae primi, aliquando etiam secundi generis; & si AC sint Curvae secundi generis; tum Quadratrices FGH aliquando sunt Curvae secundi, aliquando etiam tertii generis: dc universaliter, cujus-cΠnque generis sint Curvae AC, tamen Quadratrices FGH aliquando sunt Curvae eiusdem, aliquando proxime superioris generis. Figurae vero AMC, quarum Quadraturas Methodo generali determinandas suscepi, a Curvis solummodo AC primi generis comprehenduntur, & proinde Qtiadratrix invenienda FGH aliquando erit Curva primi, aliquando Curva secundi generis. In parte huius Tractatus priori ostensum est,quomodo Quadratrix quaelibet primi generisFGH,pro Quadranda qualibet eam admittente sat invenienda. Rem paulo dissiciliorem iam aggredior, inadratrices nimirum secundi generis FGH determinaturus, quando Quadranda AMC primi gene
ris, aliam non admittit. Et spero me fundamenta tam generalia traditurum, ut eadem Methodus ad superiora Figurarum genera promoveri possit ab iis, qui maiori fruuntur otio, quam quod praesens vitae nostrae ratio largitur. Pro harum Quadraticum Transcendentium Tangentibus determinandis, necella fuit novam mihi Methodum excogitare. Regulae enim Leibnitu quibus in superiori parte ubique usus ium9 Cui solummodo Algebraicas resipiciunt; Ego saltem nihil inde Transcendentibus peculiare colligere potui, quod eodem sure ad aliorum
Methodos non pertineat. Nemo tamen putet me a pi aestanti imma
ejus Methodo quidquam velle derogare ; mihi enim persuasum est celeberrimum Virum, calculum suum differentialem, non modo ad haec, sed multa alia recondita problemata posse porrigere. Ego interim Methodum meam, eodem ordine, quo mihi inter investigandum occurrebat, hic exhibeo. G 1 Metbo us
60쪽
Metbdidus Determinandi Tangentes Linearum Transcendentium.
SI T AD Curva Transcendens cujuscunque generis; AC Curva illa quae Transcendentis speciem determinat. Sitque Abscissa communis AB Transcendentis ordinata BD , alterius Curvae AC ordinata BC , quantitas Transcendens, seu po tio Curvae AC et/: Sintque D , Cc particular Curvarum AD, AC indefinite parvae; DE Tangens Curvae AD, CF a angens Curvae AC, occurrentes Axi in punctis E, F; ducantur L ad D. MDII, CI ad AB parallelae: caeterae autem quantitates sic notentur; incognita quaesita EB t, FB b, FC- c, DH. Bb CI ,
I. 1n aequatione Curvam AD definiente, pro I ponatur Isem,
per Lem. a. Auferantur ex aequatione sic composita omnes te mini in quibus nec m nec e reperiuntur. 3. Auferantur omnes termini in quibus m)jvel ceJ fiunt in seipsas, vel se invi-Cem multiplicatae. q. In aequatione reliqua pro rubstituatur ubique t), & pro ce) substituatur x; unde aequatio 1ecundum
Algebi te regulas reducta dabit valorem Analyticum quantitans ttangentem quaesitam DE determinantis., Omitto Regulae huius demonstrationem, quoniam deducitur ex generali omnium Methodorum fundamento, apud Geonaetias passim noto. dilucide a D. D. Barroin explicato.