장음표시 사용
61쪽
Exemp. I. sit aequatio definions Curvam ranuscendentem AD, cujus tangens ED quaeritur. Sequendo partes Regulae praecedentis, erit
Quantitates b & e hic pro datis accipiuntur, quoniam AC est Curva inferioris generis, cuius tangens FC c, & linea illam de terminans FB b eodem modo ex Curva sibi inferiori & sic porro donec tandem ad Curvam Algebraicam deveniatur inveniri pos sunt, ut statim ostendam. Manifestum est hoc modo infinitarum Transcendentium tangentes simul determinari , pro infinitis enim Curvis AC, infinitae oriuntur Curvae transcendentes AD, quarum omnium tangentes ex nuper invento quantitatis si determinantur. Ut si Curva AC sit parabola communis cujus latus rectum sit a ,-ωproinde Ο
Notandum est, non semper necesse esse omnem Calculum in praecedenti regula praeseriptum adhibere: ex eo enim Regulae compendios, deduci possunt, prout factum est a Slusio. Ut
62쪽
, Ut si aυ mx' , erit aequatio Regulae quarta parte inventa, ς Eqinde etiam compendia sermari possunt pro
surdis & fractis, qualia ingeniose excogitavit Leibnitius pro Curvis Algebraicis. Sed quia nullus erit horum in sequentibus usius, plura
Iam non addo. Fio. Exemp. 2. Sit tri υ' xx aequatio exprimens Naturam Curvae transcendentis AD, cujus tangens DE quaeritur. Per compendium modo traditum, pro parte aequationis transcendente ;
Exeis et . Sit jam Linea transcendens ADG Cyclois, cujus circulus genitor ACH, Axis ΑΗ, Basis GH. Sitque D punctum
in Cycloide datum, a quo ducenda est tangens DE. Ducta ordia natim applicata DB secans circulum in C; si que ut supra ABin B BDrax ; sitque circuli diameter AH aa. His positis, ex notissima Cycloidis proprietate erit a' ' x aequatio definiens Cycloidem datam, in qua quantitas transcendens AC uItaque
datum circulum ACH, dantur FC , F b, & proinde
etiam quantitas i tangentem quaesitam DE determinans innotescit. 9. Exemp. 4. Assumatur CD curva tertii generis cujus sequatio sitav xx, in qua x designat ordinatam BD, & v quantitatem transcendentem AC, curvam scit. secundi generis); iuxta Methodum nostram erit
63쪽
unde, ' ac Ubi e designat ipsam tangentem quantitatis transcendentis, scise FC. de b lineam inter ordinatam ejus m dc tangentis cum axe concursum F se L FB: & quia datur Curva AC hoc est aequatio illius
naturam definiens ideo dantur, δε - Ut si σὸν - uri in quau BC, w-ΑΚ. Erit T auu, unde t- - FB; dantur autem b, e in hac aequatione, quia datur Curva ΑΚ sipeciem transcendentis determinans; ut si as , in qua y AB, erit
Diligenter enim notandum est e semper denotare ipsam tangen. tem & b lineam inter ordinatam tangentis cum aXe concurium, in illa Curva quae speciem istius Curvae cujus tangens quaeritur determinat. Sic in hoc Exemplo, quia AC est quantitas tranicendens Curvae AD cujus tangens ED quaeritur; ideo in valore lineae EB per hanc Methodum invento erit b FB, e FCς & quia ΑΚ determinat speciem Lineae Curvae AC, ideo in valore lineae FB per hanc Methodum inveniendo erit TB--ν, c IN; Adeo ut cujuscunque generis sit Curva AD, ponet tamen temper invenire valor Analyticus lineae EB, quae tangentum quaesitum EDdeterminat ; sub quo continentur tangentes Omnium Interiorum generum et quae omnes Pro datis supponuntur, cum tangens cululubet Curvae superioris, ex datis vel inventis tangentibus Curvae generis proxime inferioris habeatur. Ut si quaeratur tangens Curvae siexti generis, quae determinatur a Curva data quinti, quae determinatur a Curva data quarti, quae determinatur a Curva data tertii, quae determinatura Curva data secundi,quae deniq; determinatur a Curva data primi generis: Per Vulgares Methodos invenietur tangens infimi seu primi generis; ex hac per Methodum nostram invenietur tangens Curvae secundi, & ex tangente secundi invenietur tangensteitii & ex tangente Curvae tertii invenietur tangens Curvae quarti & ex tangente Curvae quarti invenietur tangens Curvae quinti,
de sic denique ex tangente Curvae hujus quinti invenietur tandem tangens quaesita Curvae propositae sexti generis: Calculus enim in omnibus idem est, nullaque eum quantitas ingreditur, nisi quae da ta halum Curvarum aer lationes constituunt, & earum tangentes
determinant. Nihil itaque jam deesse video, quod omnium Cur-
64쪽
varum transcendentium seque ac algebraicarum tangentes respi. cit, quodque in his, quae jam explicui, continetur.
Methodus investigandi Quadratrices Transcendentes.
Notandum est primo, quod duae hic sint Lineae Curvae incognitis, quarum altera eg ipsa auadratrix Tr anscendens, altera vero egCurva ipsius Transeendentis speciem determinans. Secundo, auod quadratrix semper sit Curva secundi gemeris, quia Figuras Curvis tantum primi generis tractandas assumimus.
Sit AH , vel OH Curva Figuram Quadrandam ABII, vel ABHO comprehendens; AD ejus Quadratrix quaesita, & AC curva Quadratricis speciem definiens quarum communis abseissa ΑΒ ordinatae ΒΗ , BD , Bomi; quantitas transcendens AC & ab quantitas quaelibet data de determinata unitatis locum supplens.
I. AEquationi per Problema primum Part. I. inventae addatur eυ atque haec eminenter continebit aequationem, quae Quadratricem AD definiet; ubi e designat quantitatem incognitam sed determinatam : Facile enim demonstrari potest quantitatem υ non ultra unam dimensionem ascendere, in Quadratrice transtendente cujuslibet Figurae primi generis. 2. Valorem ordinatae et comnibus ejus terminis sub vinculo involutiso multiplica per 3, addantur omnes ejus potestates inferiores coessicientibus incognitis g, h, h,&c. assectae; & summa omnium aequata quantitati s erit aequatis quae eminenter continebit Curvam AC. g. Per Methodum nos ram Tangentium modo explicatam, ex aequatione Quadratricem AD eminenter continente inveniatur valor Analyticus Lineae BL inter ejus perpendicularem AD & ordinatam DB interceptae 4. In hoc valore Analytico interceptae BL substituantur valores quantit tum b, c, per communes Tangentium Methodos, ex aequationu Curvam AC eminenter continente inveniendos, ita ut nulla quantitas indeterminata praeter I in valore interceptae BL reperiatur. s. valorem lineae BL sic inventus aequetur valori ordinatae 4 :
Termini hujus aequationis sa serdis & fractis liberatae rite comparati coessicientes omnes incognitas determinabunt, quae in propriis locis
65쪽
locis restitutae dabunt aequationes quae Curvas AC, AD definient.
Notandum, quod ideo necesse fuit aequationem, Curvam AC includen tem desinire, quia aliter prorsus impol bile erit valorem interceptae BL inventum eum valore ejus dato comparare, vel particularem Transcendeο-ris Naturam determinare.
I T AHG semicirculus , cujus Diameter ΑG
ααα radi iam quia per Prob. I. Part. I, ourma 2ay-r mx' esset aequatio includem Quadratricem AD, siquidem illa esset Curva Llgebraica seu primi generis; at cum talem pro Circulo nullam esse constet, ideo per Regulam praecedentem. I. ev- 'δ- 'mam χο raraxes erit sequatio eminenter continens Quadratricem Circuli transtendentem AD. Et r. se a bab nea 'urps' -Π'ms aequatio eminenter continens Curvam AC, quae specialem Transcendentis naturam determinat. Sed quia calculum experto innotuit solos terminos, in quibus &γ reperiunmi, qam comprehendere, ideo ut calculus simplicior fiat assumo ριο er' πυ. Quique ad vitandas tactiones facilior evadet si ponatur. 2bο--Π s. Plurima enim hiijubmodi compendia inter operandum invenies. Atque hic semel monuisse sussiciat, me in sequentibus non omnes terminos αquationum juxta praescriptum Regulae, loco I, &2 assumendos adhibete, sed tot tantum eorum, quot per calculum vel aliunde, Curvas incognitas AD, AC eminenter continere cognosco. a. Ex priori aequatione per Methodum tangentium jam explicatam invenio C c
Et ex posteriori aequatione invenio 4.) per communes tangentium Methodos
66쪽
Substitutis itaque his valoribus quantitatum sit se in nuper inventa
Facta comparatione terminorum hujus arquationis, erit prima Ist Qq- 4gmo , unde ἰ- I. Secunda comparatio erit 1 et I --28ὲ 4,l- I M-Met4-MA - Ι6lbH-8b o, si substitu-' atur valor quantitatis L invenietur omnes terminos se mutuo destruere, unde nullius coessicientis determinatio ex hac secunda comparatione habetur. Tertia erit - , o g 'I2ng dg et te 1 6el: Ablue 6lhq-8-hΦ8m aethκ m ' Me', substituto valore quantitatis i , & ablatis quae se mutuo destrruunt, erit under
67쪽
. 'α-; & proinde harum Fractionum numeratores
b - Mκ e a', unde stubstitutis g, m repertis erit tandem eb a. Sexta denique um'bi- 2b a'. unde he '; ergo am unde e- , & Proinde b ' - ς; & sic tandem omnescoessicientes incognitae inveniuntur sicit. I e a. Hi valores in propriis aequationibuS lubltituti dabunt aυa κ as ' xx aequatio definiens Circuli Quadratricem AD, & 1 -γ' mi aequatio definiens Curvam AC; & quia θα,--ν 'ideo aems, ideoque non differunt AC, ΑΗ, nec specie nec magnitudine: unde constat Lineam Curvam quae Quadratricem Circuli determinat, esse ipsius Circuli circumferentiam. Et juxta Lem. I, Part. I.
Ubi et AH nam AC, AH hic coincidunt ut dictum atque haec est vera Circuli Quadratura Transcendens quaesita, nec possibile est illam aliter per aequationem finitam exprimere.
68쪽
Haec aequatio a fractis & surdis liberata dabit.
prima comparatio 4bbee 4b, unde b ' ; secunda erit haec heera, baa, unde e a ; dc proinde b Δ P tertia H' ka', unde rursiis emeta ; quarta denique μυρο o, unde Emo ς & si omnes terminos praecedentium aequationum in hoc calculo retinuissem, invenissem pariter sed prolixiori calculo l o, m To, mo, o, o. unde constat solos terminos coeffcientibus e & b assectos praedictas aequationes constituere, erit itaque 2 av xx, aequatio definiens Quadratricem Hyperbolae Transcendentem AD, dc,mo ' γ', hoc est et as V equatio definiens Curvam A υ,
quae in hoc casu est Parabola, cujus latus rectum est 2 a. Atqui Per Lem. I, Part. I. avm: xx ABHO. Quae est vera Hyperbolae Quadratura Transcendens, quaeque a longitud me Lineae Parabolicae AC dependet, ut jam antea ab Heu- ratio notatum fuit in Epistola sita ad Cartesii Geometriam annexa.
Fig. ii. FNvenire Olaadraturam Figurae ABHO, cultis proprietas est AE--Per Prob. I. Part. I. xx esset aequatio definiens Quadratricem AD, si modo illa esset Curva Algebraica ; at quia haec Figura talem non admittit, ideo per Regulam praecedentem erit 1. eu bri maM Plia xx, in qua v denotae
69쪽
tat portionem Curvae AC, Cuius aequatio eminenter continetur sub hac sepiv -Φ'- 0'- ν'' γ' ι, calculum sequutili inveni ino, m o, p E st. Ideoque ev xx erit aequatio definiens Quadratricem transcendentem AD; & aequatio definiens Curvam AC, quae Transcendentis speciem determinat. a. Per Methodum Tangentium jam eXplicatam invenio interceptam
BDi : & per comunes Methodos invenio 4, , unde
: V2sa unde per Lem. I. Pari Ie av T Dependet itaque propositae Figurae Quadratura ex longitudine lineae Curvae AC cuius proprietas
F Nvenire Quadraturam Figurae ABHO,cujus Natura siuκ '; Fig. 11:μ per Prob. I, Part. I. δ''=naη se x xx esset aequatio definimens Quadratricem AD, si illa Algebraica fuisset; at quia Transcendens est,ideo e-θψma *H xx, per primam praecedentis Regulae partem. Et 2. s fis 'py &c. aequatio emi. nenter continens Curvam AC, a qua Transcendens Quadratrix AD determinatur. Inveni tamen .m g , 1deoqueeυ κ' Curvam AD, dus Curvam AC definiet. a. Ex priori per Methodum praecedentem invenietur BLm . 4. Per communes Tangentium Methodos invenietur. ab et D 9 FC, b zαL FB; substitutis itaque his valoribus 3 . 3 quantitatum b, c, in nuper invento valore interceptae BL, erit.
70쪽
Atque jam Methodum hanc me sussicienter explicasse credo, ex qua multa praeclara Theoremata pro Quadratricibus Transtendentibus deduci possunt, ope Lemmatis et, Part. I. qualia exinde pro Quadratricibus Algebraicis deduxi. Habes itaque, benigne Lector, quae de Figurarum Quadraturis, hactenus meditatus sum; in quibus, si aliquid ad Geometriam promovendam reperias, me temPusta operam non inutiliter collocasse judicabo.