장음표시 사용
441쪽
Educamus igitur E G parallelam ipsin B, & iungamus D B, D G: & quia duo anguli D E G, D G E sunt aequales, critangulus G D C duplus anguli D E G. Aquia angulus B D C aequalis est angu .lo B C D , & angulus C E G aequalis est angulo ACE, crit angulus G D C duplus anguli C D B . & totus angulus Blo G triplus anguli B D C , & arcus B G Saequalis arcui A E, triplus est arcus B F, hoc est, quod volvimus.
lasso. Cum dicit a cum B G aequalem esse a cui A E , id ex eo est propter aequidistantiam duarum cordarum . Sint itaque in
circulo ABC cordae A C , B D parallelae; Dico quod duo arcus A B , C D sunt ungamus A D . ergo duo anguli C A D . A D B
propterea duo arcus sunt aequales , & conuersum eodem modo demo
Breuius tamen demonstratis perfici potes hae ratione. Iuncta recta E B . quia in triangulo Is seu B D C duo anguli C, ct CD B aequales sunt , estque pariter externus angulas B D C duplus amsuli D E B in trian o Mostelio DER, ergo antulus C daplus es anguli B E C, cs propterea illi an dili uisiumpti, seu externus amgulus A B E triplus erit anguli B
442쪽
SI mutuo se secuerint in circulo duae lineae AB, CD, sed
non in centro ad angulos rectos , utique duo arcus AD, C B sunt aequales duobus arcubus A C , D B. Educamus diametrum E F parallelam ipsi A B , quae secet C D bisariam in G , erit E C aequalis ipsi E D ; & quia tam arcus E D F , quam
E C F est semicirculus, & arcus E D aequalis arcui E A cum arcu A D , erit arcus C F cum duobus arcubus EA, A D aequalis semicirculo , & arcus EA aequalis arcui B F , ergo a cus C B cum arcu A D aequalis est semicirculo, & remanent duo arcus E C. E A nempe arcus AC cum arcu D B aequales illi,& hoc est quod voluimus.
SI fuerit circulus A B C, & D A tangens illum , & D B secans illum , & D C etiam tangens, & educta fuerit C Eparallela ipsi D B , & iuncta fuerit E A secans D B in F , de educta fuerit ex F perpendicularis F G super C E ; utique bila riam secabit illam in G.
Iunctamus A C, & quia D A est tangens. & A C secans circulum erit anoulus D A C aequalis angulo cadenti in alterno segmento A CE ee
443쪽
nempe angulo A E C , & est aequalis angulo A F D , eo quod C E , B D sunt parallelae, ergo anguli DA C , A F D sunt aequales, & in duobus triangulis D AF, A H D sunt duo auguli A F D, Η Α D aequales,& ansulus D communis, propterea erit restagulum F D in D H aequale quadrato D A. immo quadrato D C, & quia proportio F D ad D C est eadem proportioni C Dad D H,& angulus D communis, erunt triangula D F C, D C H similia. & angulus D F C aequalis D C H , qui aequalis est angulo D A H. & hie est aequalis angulo A F D, ergo duo anguli AF D, C F D sunt aequales, & D F C aequalis angulo F C E . & erat DF A aequalis angulo A E C. ergo in triangulo F E C sunt duo anguli C. E aequales , & duo anguli G recti, & latus G F commune , propterea eria C G aequalis ipsi G E. ergo C E bifariam secatur in G, & hoc est,
SI mutuo se secuerint in circulo duae linea: A B , C D ad an
gulos rectos in E , quod non sit in centro , utique omni quadrata AE, B E, EC, ED aequalia sunt quadrato diametri.
Educamus diametrum A F .& iungamus lineas A C, A D, C F , D B; Et quia angulus AE D est rectus, erit aequalis angulo A C F, & angulus A D Caequalis A F C, eo quod sunt super arcum A C, & remanent in duobus triangulis A D E , AF C duo anguli C A F, D A E
aequales erunt pariter duo arcus C F, D B aequales immo, &duae cordae eorum aequales , &
444쪽
quadrata A E, E C aequantur quadrato C A, & duo quadrata C F , C A aequantur quadrato F A, nempe diametri, igitur quadrata A E, EB, CE, E D omnia sunt aequalia quadrato diametri, di hoc est quod.voluimus.
DIcit Doctor. Huius est alia facilior demonstratio ea , quam attuliε Archimedes; quae est huiusmodi . Iungamus AD, CB, BD ;&quia angulus B E D est rectus, erunt duo anguli E B D , E D B aequales uni recto , & duo A D , B C , aequales semicirculo, ergo duae corda: eo. rum in potentia sunt aequales diametro ; sed duo quadrata A E , D Eaequalia quadrato A D, & duo quadrata C E , B E sunt aequalia quadrato C B , ergo quadrata A E , EB , C E, E D aequalia sunt quadrato diametri; & hoς est quod voluimus.
SI fuerit semicirculus super diametrum AB, & eductie su rint ex C duae lineae tangentes illum in duobus punctis D , E , & iunctis fuerint E A, D B se muto secantes in F, & iuncta fuerit C F,& producatur ad G, erit CG perpendicularis ad A B.
Iungamus DA, E B. Et quia . angulus B D A est rectus, erunt duo anguli DA B , D B A relictui in triangulo D A B aequales uni recto,& angulus A E B rectus, igitur sunt aequales et , & ponamus angulum F B E communem , ambo anguli DA B . A B E sunt aequales F B E , F E B , immo angulo D F E exte no in F B E. Et quia C D est tam gens circulum,& D B secans illum, angulus C D B aequatur angulo DA B , di pariter angulus C E F a quatur angulo E B A, ergo duo anguli C E F, C D F simul aequales sunt angulo D F E. Et iam quidem planum fit ex nostro tractatu de figuris quadrilateris, quod si educam C
445쪽
tur inter duas lineas aequales sibi occurrentes in aliquo puncto , uti sunt duae lineae C D, CE , duae lineae se mutuo secantes , uti sunt duae lineae D F , E F, & suerit angulus ab illis
contentus ut est angulus P aequalis duobus angulis, qui occurrunt dua
bus f lineis 3 se inuice. a secantibus, uti sunt duo anguli E, D simul,
erit linea egrediens a puncto con
cursus ad punctum sectionis , uti est linea C F aequalis cuilibet linearum sibi occurrentium , ut C D , vel CE , propterea erit C F aequalis ipsi C D, ergo angulus C F D est aequalis angulo C D F, nempe angulo D A G, sed angulus C F D cum angulo D F G est aequalis duobus rectis, ergo angulus D A G cum angulo D F G aequalis est duobus rectis,& remanent in quadrilatero A D F G duo anguli A D F , A G F aequales duobus rectis , sed angulus A D B rectus est , ergo angulus A ri Cest rectus, & C G perpendicularis ad A B , dc hoc est quod voluimus.
Icit Doctor de demonstratione , quam citat ex tractatu de figuris quadrilateris. Sint duae lineae aequales sibi o currentes A B , A C , & punctum concursus A , & se inuicem
secantes B D , D C , & punctum sectionis D , & si angulus BD C aequalis duobus angulis A B D , A C D , & iungamus AD; Dico quod sit aequalis A B.
Alioquin vel est minor AB, vel maior hilla, & sit maior,&abscindatur A E aequalis A B, & iungamus B E, ergo duo anguli A E B , A B E . sunt aequales a sed angulus A E B maior est angulo ADB,& pariter angulus A E C, qui est aequalis ACE maior est angulo A D C , omnes ergo ansuli B E C, vel duo anguli simul A B E, B C Emaiores sunt duobus angulis A B D , ACD, pars suo toto, quod est absurdum. Deli de sit A D minor quam A B. & ponamus A F aequalem A B,&iungamus B F , F C, remanet, ut dictum est, quod angulus F ,
446쪽
immo duo anguli A B F, A C F minores sint duobus angulis A BD. Α C D , totum sua parte, & hoc est absurdum, ergo manet propositum.
LEmma assumptum in demen ratione huius pulcserrima prepositionis potes
directe sendi hae ratione. M in quadrilatero A C D B duo latera A C, Hr A B qualia fuerint, atque angulas C D B aequalis duobus angulis C, ct E simul sumptis. Dico rectam AD i A C , vel A B quase esse. Producasse C A, in Ε, τι A E flat aequalis A B, rungaturque R E. a uia in triangulo I fretio B A E angulus E aequatis es angulo A BE, Cr angulus C D B aquatis est duobus angulis
C , ct D B A simul umptis, ergo duo anguli C DB , o E oppositi in quadrilatera C D E EJaquales siunt tribus angulis C , D B A, or A RE , seu duobus angulis C, o D B E, sed qua-
tuis anguli quadrilateri E C D B aequales sunt quatuor rectis, ergo duo anguis oppositi E , C DB duobus rectis aquases sunt, se pro erea quadrilaterum ipsum circuso inscribi potes, cultis circuli centrum erit A , cum tres rectae linea
C A , A B , A E aquales posita sint, se propte-νω A D radius quoque circuli eris aquatis iis C Ar
SI mutuo se secent duae lineae AB, C D in circulo , & sue
rit A B diameter illius, at non C D, & educantur ex dum bus punctis A , B duae pera pendiculares ad C D , quae sint A E , B F , utique a scindent ex illa C F , D Eaequales. Iungamus E B , & educamus ex I , quod est centrum, perispendicularem I G super C D .& producamus eam ad Id in EB. Et quia I G est perpendic laris ex centro ad C D illam bufariam diuidet in G , & quia IG, A E sunt duae perpendiculares super illam , erunt parallela
447쪽
Ielae , de quia B I aequalis est I A , erit B H aequalis 1si H E , α propter earum aequalitatem, & quia BF est parallela ipsi HG, aequalis ipsi G E, & ex G C, G D aequalibus remanent F C, E D aequalea. Et hoc est quod voluimus.
SI fuerit A B semicirculus , & ex eius diametro A B disse sint A C , B D aequales , & essiciantur super lineas A C , C D , D B semicirculi; & sit centrum duorum semicirculorum A B, C D punctum E , & sit E F perpendicularis super A B ,& producatur ad G r utique circulus , cuius diameter est F Gaequalis est superficiei contentae a semicirculo maiori, & a dii bus semicirculis qui sunt intra illum, & a semicirculo medio qui est extra illum, & est figura , quam vocat Archimedes Salmon.
Quia D C bifariam seeatur in E , & addita est illi C A , erunt duo quadrata D A, C A dupla duorum quadratorum D E , E A , sed F Gxqualis est ipsi D A , ergo duo quadrata F G , A C dupla sunt duorum quadratorum DE, E A i & quia A B dupla est A E , & C D dupla
quoque E D . erunt duo quadrata AB, DC quadrupla duorum quadratorum D E, E A , immo dupla duorum quadratorum G F . A C ῖ militer etiam duo circuli, quorum diametri sunt A B , D C dupli sunt eorum , quorum diametri sunt G F , A C, & dimidis corum , quorum diametri sunt A B, C D aequales duobus circulis, quorum diametri sunt G F, A C, sed circulus, cuius diameter A C, est aequalis duobus semicirculis
448쪽
micireulis A C, B D, ergo si austramus ex illis duos semicirculos A C.
B D, qui sunt communes ,remanet figura contenta a quamor semicircis. Iis A n, D , D B , A C, quae ea est , quam vocat Archimedes Salis non aequalis circulo, cuius diameter est F G,& hoc est quod voluimus,
SΙ suerit A B semicirculus , & AC corda Pentagoni, & se missis arcus A C sit A D , iungatur c D , & producatur ut cadat super E , S iungatur D B , quae secet C A in F.&ducatur ex F perpendicularis F G super A B , erit linea E Gaequalis semidiametro circuli.
. tun Iungamus itaque lineam C B, & sit centrum H , & iungamus H D, D G , & A D. Et quia angulus ABC, cuius basis est latus Penta oni, est duae quintae partes recti, quilibet duorum angulorum C B D , D BA est quinta pars recti, & angulus D H A duplus est anguli D B H. ergo angulus D H A est duae quinte partes recti. Et quia in duobus triangulis C B F , G B F duo anguli B sunt aequales , & G , C recti, & latus i , erit B C aequale ipsi B G : & quia in duobus triangulis
guli ad B , & latus B D commune , crunt duo anguli B C D , B G Daequales, & quilibet eorum cst sex quintae partes recti, & est aequalis angulo D A E externo quadrilateri B A D C , quod est in circulo , emoremanet angulus D A B aequalis angulo D G A, & erit D A aequalis - , . Ei quia angulus D H G est duae quintae partes recti, & angulus D ta id lex quintae partes recti, remanet angulus H D G duae Quintae partes recti, de erit D G aequalis G H. Et quia A D E externus quadrilateri H D B, quod est in circulo , est aequalis angulo C B A , & est duae
449쪽
Et hine patet . quod IInea D E aequalis sit semidiametro circuli, quia
angulus A aequalis est angulo D G H , ideo erit linea D H aequalis linea: D E. Et dico quod E C diuiditur inedia , & extrema proportione in D. & maius segmentum est D E i de hoc quia E D est corda hexagoni, & D C decagoni, & hoc iam demonstratum est in libro element rum ,& hoc est quod voluimus. M iii, Finis libri Assiimpiorum Archimedis . Laus Deo soli, & orationes eius tantis Para sint super Dominum nostrum Mahometum, & suos socios.
Ex hac Perissime non pauca colligi possunt i Si enim coniungantur rectae linea C H , ct C G , erit tria altim B C E isosicelium simile triangulo H D E , o similiter positum i pariterque triangulum H C G simile qaidem eris usi G D A , ct in viririque bases simititer secantaν , nam angulus B C E
in tres partes aequales Haiditur a rectis lineis Η C, ct G C , quarum qu libet dua quintae partes es et nius recti, algae angulus E C G rursus bifaria diuiditur a recta C A t mn secus tres anguli E D A , A D G , ct G D NAEquales sunt inter se , atque Pilibet eorum duae quintae τnias recti. ciuntur quatuor recta lineae EA, AD , D G, DC, inter se , ct trieri δε- caeoni regularis circulo inseristi aequales. Pari modo recta lineae E D , E G , G C , H C, HA, aequales sunt inter se , se lateri hexagoni regularis circulo insicripti. Tandem recta tinea C R furendens tres partes decimas circumse rentia totius circuti aequalis es recta linea C E , scilicet compostae ex latere hexaeam , se latere deo ni regularium eidem circulo infriptorum. Praeterea recta
450쪽
recta linea E G setatur in A extrema , ae media ratione, euius maius segmen tum es E A latus decagoni , ct recta A H 1luer diuiditur in G , cuius maius ferentum es G H decagoni latus , o uta E Hsecatur in A , O G ex trema , ac meria ratione , paruerque recta E B uuersecatur νη H, cuimminus segmentum H a es a sale titeri Magoni cistulo inscripti. treuius ta men propositiosis demonserari posset.
Ma ostensa es C D aequalis D G . eo A D aequalis es eidem D C ἔ eum ambo sint titera decetoni, ergo D G aequalis est D A. Posea iuncta A C, quia angulas A H D , via G H D quinta pars es duorum rectorum , ergo angι lusC D H ad basim mosiceb , duae quinta partes erit duorum rectorum , ct ideo angulus C D H duplus eris anguia D H E, es que externus angulus C D H aqua Lis duobus internis , se oppositis D H E , O D E Η in triangula D E H , ergo angulus C D H duplus quoque erit reliqui anguli E , cst propterea angulus DH E qualis erit angulo E, ct subtensa titera D E, D H aequalia quoque erunt, sed prius D A , D G aquatia eram subtendentia angulos aquales , o reliquianguli eiusdem speciei sunt, igitur E A qualis es H G. Reliqua manis a
In praefatione huius operis memini nis Ne inviso improbabile hane libellum Archimedis non alium fuisse ab illo antiquo lemmatum libro ab Eutocio reper to , quod praecipis ex verbis eiusdem Eurow in Comment. proposit. q. lib. 2. M hara, ctolindro comprobatum fuit: uias deissime translata ex textu Graeco Gamicis doctissimis cum iam in praefatione excusa ment aliam translationem eae Arabico Manuscripto Serenissimi Magni Dccis miser ExcelL Abrahamus Ecche sensis desumptam ex edisione Abusaia, AIuhi qui pariter librum ordinatio nis lemmatum Archimedis conscrufit , ut in praemio huius operis resatur Almochiasse. Verba eiusAnt hae, quae paulo clarius propositum confirmare uridentar r & meminit Eutocius Ascalonita in Comment. liuius libri, quod Archimedes promiserit demonstrationem huius in hoc suo libro , quod in nullo exemplari reperitur, quod promisit. Atque ita unusquisque tam Dyonisodorus, quam Diocles post illum progressus est per aliam viam.
ruim ille scilicet Archimedes in hoc libro in diuisione Spimae in
uas paries, quae datam habeant proportionem. Dixit, & ego reperi in