장음표시 사용
431쪽
ipsius A B, estque nota A D medietas diserentia inter diametrum A C, ct thor dam disserentia F C : at proposito Archimedea ver catur in quolibet circulsegmento siue maiori , siae minorι , ex datis enim circumferentis A C , A B
A F , o F C isa cum cordis A C , cse F C, haberi quidem potes chorda A Bpaulo discibus , si nimirum ex chorda A C tollatur chorda F C , or disserentia A E bfariam secetur in D, ct ex arcu cognito A C datur anguIus A, atque angulus D rectus es , ergo triangulum A B D specie notum erit, o propterea proportio D A ad A B cognita eris, es que D A longitudine data , igitur A Buneitudine innotescet. Notandum es quod figura Vposita in hae propos non exprimis omnes casus propositionis, quandoquidem semicirculus es A B C, o' propterea ex praecedentibus erroribus Arabici expositoris suspicari licet non rite eum percepisse Archi
A BC semicirculus , & stant super A C diametrum duo semicirculi, quorum unus A D , alter vero D C , &ID B perpendicularis, utique figura proueniens, quam Vocat Archimedes ARBELON,est si perficies comprehensa ab arcu semicirculi maioris, & duabus circumferent ijs semicirculorum minorum, est aequalis circulo, cuius diameter est perpendicularis D B.
Demonstratio. Quia linea D B media proportionalis est inter duas lineas D A , D C , erit planum A D in D C aequale quadrato D B , &ponamus A D in D C cum duobus quadratis A D , IJ C communiter, fiet planum A D in D C bis cum duobus quadratis A D , D C , nempe quadratum A C, a quale duplo quadrati D B cum duobus quadratis AD, D C , & proportio circulorum eadem est, ac proportio quadratorum,
432쪽
ergo circulus , cuius diameter est A C , aequalis est duplo circuli, cuius diameter est D B cum duobus circulis , quorum diametri sunt A D , DC , & semicirculus A C aequalis est circulo, euius diameter est D BCum duobus semicirculis A D , D C ; & auferamus duos semicirculos AD , D C communiter , remanet figura , quam continent semicirculi AC, AD , DC,&est figura , quam vocavit Archimedes Arbelos aequalis circulo , cuius diameter est D B, de hoc est quod voluimus.
HAEc forsan es una earum propositionum , quas P pus legis in libro an liquo demensura ARBELAIeu spari, a tribus semicircumferent,scircul rum comprehensi, ut ais Proesus , quae Drdem elegantissima est , elusique inuemnonis Lunuia H nocratis Cri, originem extis e puro ; es enim innocratis Lunula supersicies plana a quadrante peripheriae circia, maioris , ct semisse peripheriae circuli subdupli comprehensa : Arbeias vero recentiorum es spatium
a triense , or a duobus sextantibus circumferentiarum re um circulorum aqua-
Iium comprehensum , cr hisce duobus spatijs facile quadrata aequalia reperiri posvi ; as Arbeli Archimedis, Cy Procli huc que reperta non es quadraturai sed putes quidem assignari circulus praedicto spatio qualis.
SI fuerit semicirculus A B,& signatum fuerit in eius diametro punctum C ubicumque , & fiant super diametrum duo semicirculi A C , C B, S educatur ex C perpendicularis C D st per A B , S describantur ad utrasque partes duo circuli tangentes illam , & tangentes semicirculos , utique illi duo circuli
sunt aequales. Demonstratio. Sit al
D C in E , & semicirculum AB in F , & semicirculum AC in G , &educamus diametru H E, erit parallela diametro AB, eo quod duo anguli HE C, A C E . sunt recti, & iungamus F H, H A , ergo linea A F est recta, uti dictu.n est in propositione a. dc occurrent A F , C E in D , eo quod egrediuntur ab angulis
433쪽
A, C minoribus duobus rectis, & iungamus etiam
est etiam recta, uti diximus , & est perpendicularis super A D . eo quod angulus A F B est rectus, quia cadit in semicirculum A B . & iungamus HG, GC, critH C etiam recta; & iungamus E G , G A , erit E A recta , & produc mus eam ad I , & iungamus B I, quae sit etiam
perpendicularis super Aduae rectae, & educta ex D ad lineam A B perpendicularis D C , & ex B ad D A perpendicularis B F ; quae se mutuo secant in E , & educta AE ad I est perpendicularis super B I, erunt B I D rectae , quemadmodum ostendimus in Propositionibus, quas consecimus in expositione tractatus de triangulis rectangulis : & quia duo anguli A G C , A I B sunt recti, utique B D , C G sunt paralleIae , & proportio A D ad D H, quae est ut A C ad H E , est ut proportio A B ad B C , ergo rectangulum A C in C B aequale est rectangulo A B in H E ; & similiter demonstratur in circulo L M N , quod rectangulum A C in C B aequale sit rectangulo A B in suam diametrum , & demonstratur inde etiam , quod duae diametri circulorum E F G , L M N , sint aequales, ergo illi duo circuli sunt aequales . Et hoc est quod voluimus.
SCHOLIVM ALMOCHTASSO.DIcit Doctor. Clarum quidem est quod citauit ex exposi
tione triangulorum rectangulorum in praefatione ; N est quidem propositio utilis in principijs , ac praesertim in triangulis acutangulis, qua opus est in proposit. 6. huius libri, & est haec. Ex triangulo ABC eduxit perpendiculares B E, C D se mutuo secantes in F , & coniunxit A F , N produxit ad G , haec utique erit perpendicularis super B C.
Iungamus itaque D E , erunt duo anguli D A F , D E F aequales, quia circulus comprehendens triangulum A D F transit per punctum Ε, eo quod angulus A E F est rectus , & cadent in illo super eundem arcum, & etiam angulus D E B aequalis est angulo D C B , quia circulus continens triangulum B D C transit etiam per punctum E , ergo in auobus triangulis A B G , C B D sunt duo anguli B A G, B C D aequales;
434쪽
& angulus B est communis, ergo A G B aequalis est a gulo CDB recto , ergo AG est perpendicularis super B C. Hoc praemissis repe
attulit Archimedes D A , A B, & perpendiculares DC , A I, B F , B I, & lineam D I . iam si BI Dnon fuerit linea recta, iumgamus B G D rectam , erit angulus A G B rectus ex praemissa propositione , &erat angulus A I B rectus , ergo internus in triangulo B I G aequalis est opposito externo , & hoc est absu dum , igitur linea B I Dest recta. Deinde attulit duas propositiones ex imterpretatione Alvauhi, qua rum prima est haec
SI non fuerint duo semicirculi tangentes, sed mutuo se secantes, N perpendicularis fuerit in loco mutuae sectionis, idem sci
quitur. Sint itaque semicirculi ABC, ADE, F D C. & duo illi semiei culi se mutuo secantes in D. &BG perpendicularis super A C insistat,
435쪽
& circulus I H L tangat circulum Α Β C in H, & circulum A D E i l . & perpendicularem in I. Dico esse aequalem circulo , qui est in a tera parte. Hoc modo, Educamus I M parallelam ipsi A C ,&iungamus A ri , quae transibit per M , quemadmodum demonstrauit Archimedes , N& producamus eam quousque occurrat perpendiculari N G in N, &iungamus I A , quae transibit per L , & producamus illam ad O , & iungamus C Ο , O N , quae erit linea recta , & iungamus M E , quae transibit per L , & iungamus C H , quae transibit per I ; & linea C O N pMrallela est lineae E M , & proportio A N ad N M, nempe proportio AG ad I M est ut C A ad C E , ergo rectangulum A G in C E aequato est rectangulo C A in I M i & quia G D est perpendicularis in duobus ei reulis C D F , E D A super duas diametros C F, EA, erit rectangulum C G in G F aequale quadrato G D , & rectangulum A G in G Eaequale etiam est illi, ergo rectangulum C G in G F aequale est rectanto A G in G E , & proportio C G ad G A est ut proportio E G ad GF , immo ut proportio C E ad F A residuam ; ergo rectangulum C G in F A , est aequale rectangulo C A in I M cui aequale est rectangulum GA in C E. Et si fuerit in altera parte circulus modo praefato eadem ratione ostendemus, quod restangulum C A in diametrum illius circuli aequale sit rectangulo C Gin A F,& ostendetur quod duae diametri dum rum circulorum sint aequales.
sCHOLIVM SECUNDUM ALΚAUHI. Porro secunda est haec. Dicit quod si duo semicirculi non
sint tangentes , nec se mutuo secantes , sed separati , &perpendicularis transeat per concursum duarum linearum tangen-
436쪽
tium eos , quae sunt aequales idem sequetur.
Sint itaque semicirculi ABC, AD E, FG C, uti disposuimus, &duae lineae N G,ND tangentes illos duos semicirculos in G , D , & aequales , sibique occurrentes in N , & linea B N transiens per planetum . N perpendiculariter erecta super A C , & tangat illam circulus M N Iin I, & idem tangat circulum A B C in Id , & circulum A D E in L ,& educamus diametrum I M parallelam ipsi A C, & iungamus C H , quae transibit per I, & iungamus M E transibit per L , & iungamus A I rtransibit per L , & producamus eam ad P , & iungamus C O transibit huius. per P, eritque parallela ipsi E M, & erit proportio A O ad O M , nem- i pe proportio A N ad M I ut proportio A C ad C E , & rectangulum AN in C E aequale rectangulo A C in I M. Et eodem modo ostendetur , Almoe. quod rectangulum C N in F A sit aequale rectangulo A C in diametrum circuli, qui est ex altera parte ; & quia rectangulum C N in N F aequale est quadrato G N , & est aequale quadrato D N, quod est aequale rectangulo AN in N E erit rectangulum C N in N F aequale rectangulo A N in N E , & proportio C N ad A N ut E N ad N F , & ut proporatio totius C E ad totum A F, ergo rectangulum A N in C E aequale est rectangulo C N in F A , & iam ostensum est , quod A N in C E aequale est rectangulo A C in I M, & quod rectangulum C N in F A sit aequale rectangulo A C in diametrum alterius circuli rergo duae diametri sunt aequales , & duo circuli aequales, & hoc est quaesitum.
HAEc propositio parum quidem dissera a postrema parte preposit. I . Irict a 7. lib. 4. Pani Alem, Dram . constructionem , ct progressiim D d d a demonis
437쪽
des, semicircularis diametri segmentum maius A Cad circuli intercepti diametrum H E habere eamdem proportionem , quam maioris cir D diameter AB habet ad reliquum se
mentum eius B C , pariterque R A ad A C eandem proportionem habet . quam C B ad reliqui circuli intercepti L M N diametrum t ex hisce sequitur conclusio Archimede s , nam si A C ad H E eandem rationem habet, quam AB ad B C , permutando R A ad A C erat ut C B ad H E igitur eadem C B ad duas circuIorum diametros H E , ct L N eandem proportionem habet , ct m pterea circulorum diametri H E , ct L N aequales sunt inter se. Mirum tamen es hanc conclusionem , quam prae manibus Panus habebat , non amismaduerti e , demonstrat tamen quamplurima Gmplomata pulcherrima circulorum in Arbelo descriptorum , quae tamen in hoc opusulo Archimed inbuto pariter retensieri debebant, si hic liber essis idem antiquus Age a Pano visus , in quo huiusmod lemmata circumferebantur e sed forsan librariorum misis, se incuria eodex corruptissimus ad Arabes transmissus non omnes illas admirandas propositiones , sed unius tantum particulam continebat , sicut γ contra liber ille antiquus , in quo Panus praedicta lemmata reperit, carebat conclusione in hiasce lemmatibus demonstrata. Caeterum propositiones in Who0s addita manisse
quidem sunt, sed absique duabus prioribus p et propositum facillime demon Mari , Reliqua dua propositionei seperadditae ad Arabibus faciles quIdem
SI suerit semicirculus ABC, & in eius diametro sumatur punctum D , & fuerit A D ipsius D C sexqui altera , &describantur super A D , D C duo semicirculi, & ponatur cir
culus E F inter tres semicirculos tangens cos , & educatur dia
meter E F in illo parallela diametro A C , reperiri debet proportio diametri A C ad diametrum E F.
Iungamus enim duas lineas A E , E B, & duas lineas C F, F B .erunt C B, A B rectae, uti dictu est in prima proposit. Describamus etiam duas lineas FGA, E H C , ostendeturque esse quoque rectas; Similiter duas lineas D E , D P , & iungamus D I, D L , & EM, FN &producamus eas ad O , P, Et quia in triangulo A E D , A G est pet-
438쪽
pendicularis ad E D , & D I est quoque perpendicularis ad A E, & iam1c mutuo secuerunt in M , ergo EMo erit etiam perpendicularis, qu madmodum os cndimus in expositione , quam confecimus de propriet
tibus triangulorum , & cuius demonstratio iam quidem praecessit in sup riora propositione; Similiter quoque erit FP perpendicularis super C A. α quia duo anguli, qui sunt apud L, & B sunt recti, erit D L parallela apii A B , & pariter D I ipsi C B , igitur proportio A D ad D C est ut proportio A M ad F M , immo ut proportio AG ad OP, de proportio C D ad D A ut proportio C N ad N E , immo ut proportio C P ad ΡΟ , & erat A D sexquialtera D C , ergo A O est sexquialtera o P . &Ο Ρ lexquialtera C P , ergo tres linea: A O , o P , P C sunt proportionales e di in eadem mensura . in qua est P C quatuor , erit o P sex , &A O nouem , & C A nouendecim , & quia P O aequalis est E F , erit proportio A C ad E F ut nouendecim ad sex , igitur reperimus dictam proportionem. Etiam si fuerit A D ad D C qualiscumque ut sexquitemtia , aut sex quiquarta , aut alia , erit iudicium , & ratio , uti dictum est . Et noc est quod voluimus.
Hoc propositio nu prorsus di erre videtur a 36. proposit. M. 4. Panari . es tamen pars HBas. o particolariter demon ara, qtis, quia peccatum aluus exm tori rejstii deset; mnquam exim Ansimeris propositoxeuntue ab me demonserare potu et, exemptis numerIras tam pueriliter osen et . Pappus r tur cyliarit mensaram ὐametri in s cirenti . quι rn loco mur tres rarcunfrentias circulares interseitur , quod Arbelon a pellatur , ct offendit quidem HamcIrum smicircuti maioris A C scari in tau Dus punis O , se P a perpendictitaribus cadentitas a terminis E , F dia. metri circuis in Arbeo inscripti , ac Huiri in triarimenta A Ο, o P , P Ccom nue proportionalia in eadem ratione , quam balet A D ad D C , ct --
439쪽
se per Ulano perpendicularem E O aequalem esse circuli diametro E F. Itaque in quadrato spatio E O P F , circuli diameter E F , siue o P media proportionatis erit inter A O , o P C. I uam ergo proportionem habent tres continis proportionales in eadem ratione A D ad D C simul sumpta ad istarum ιnum mediam, eanilem habebit diametre maioris semicirculi AC ad O P ,siae E F Maa deinde Pappus demonstrat perpendiculares a centris circulorum in colum malibus spatijs praedicIι Arbeli exsentium esse multi ices diametrorum eorum
circulorum a quibus educuHur secundum seriem naturalem numerorum ab uni
tale crescentium , proprietas quidem est admirabilis , de qua in hac propositi ne Archimedis alium suntium, quod forte remorum iniuria tribuendum s. possent in hisce duabus propositionibus non pauca problemata s per addi, modo nimirum in praedicro Jaιio a tribus semicirculis comprehenso circuli in numerabiles riscribi debeant, ct alia quamplurima facilia , quae lectoram friguitati re quuntur.
SI circulus circa quadratum descriptus fuerit, & alius intra illum , utique erit circumscriptus duplus inscripti.
Sit itaque circulus compre- Thendens quadratum A B, cime ulus A B . & inscriptus C D ,& sit diameter quadrati A B, &est diameter circuli circumscripti, & educamus C D diam trum eirculi inscripti parallelam ipsi A E , quae est ei aequalis. Et quia quadratum A B duplum est quadrati A E , siue D C, &proportio quadratorum ex div
440쪽
metris eirculorum est eadem proportioni circuli ad circulum , istitur ci cuius A B duplus est circuli C D, & hoc est quod voluimus.
DIcit Doctor Almoclitasse. Iam composui tractatum de conficiendo circulo , cuius proportio ad datum circulum sit ut proportio data. Qua ratione conficiendae sunt omnes figurae rectilineae , & quem usui habeant in arte illae figurae,& asseram hic ex illis unam propositionem, quae cogruit expositioni huius propositionis,& est tanquam epitome Aillarum propositionum , &illationis ex illis,& est hax
Volumus conficere circulum, qui sit quinta pars circuli, exempli gratia. Circulus cuius habemus diametrum est A B, & addamus eius partem quintam , & est B C , & describamus super A C semicirculum A D C.& educamus perpendicularem B D , & quia pmportio A B ad B C est 'ut pmportio quadrati A B ad quadratum B D , crit quilibet circulus factus , vel, figura super B D quaesta a nobis , & hoc , quia proportio cireuli, qui est super A B , vel figurae, quae est super illam , ad circulum , vel figuram factam super B D facit illam figuram , & similiter positam , erit ut proponio A B ad B C , & hoc est quod voluimus.
SI egrediatur in circulo linea A B ubicumque,& producatur in directum , & ponatur B C aequalis semidiametro circuli& iungatur ex C ad centrum circuli, quod est D, & producatur ad E, erit arcus A E triplus arcus B F.