장음표시 사용
11쪽
dimissima.Prsm uestet in mathematicis scientiis ideo una eam dicitur, subalternata: quia subiectum attributionis eius cotinetur sub alterius subiecto sicut pars imo doeSconsimiliter caetera vocabula illius sub aliis scientiae superiorisvocabulis: no autem eκ eo et scientia superior possit demonstiatiue probare principia scientiae inferis oris: nem ediuerso scientia inferior possit aliquid demonstrare eκ principiis superios ris seientiae.nam cuiuslibet scientiae principia sunt immedlata Sindemonstrabilia .demonstrato etiam fit e propriis non esteκtraneis principiis.Seciindu estet omnes termini principalium mathematicanim habent simplicem S unicii modum cognoranis
di secundum ratione unius tantum praedicameli aristotelici termini vero mathematicarum subalternatarum omnes sunt miκtae cognotationis eκ rationibus duoru aut plurium praedicamentorum .unde nullus eorum potest ad aliquod aristotesicum prae dicamentum pertinere. qui non posuit praedicamenta miκte cognoratoss. Sed de his
ut 4 alias operosius.Nunc autem satis sit O praedictis singulariim mathematicarum scienspeauio es tiarum diffinitiones colligere qnae sequuntur.Arithmetica est scientia numerorum lc iniunnir suarum proprietatum iconsiderativa per rationes abstractas unde S de multitudine Ri klyης i per se considerata scientia vocata est a Boetio. Dicitur autem arithmetim arithmis.Leeometria numeris de quibus considerat. Geometria est scientia magnitudinum proportios num ligurarum aliarumc proprietatum suarum contemplativa hanc de magnis tudine ni mobili scientiam esse dirit idem Boetius quia per rationes abstractas a motu rerum magnitudines inquirit. Dicitur autem geometria ametris. s. mensuris rerumussi de quibus considerat.Musica est scientia de vocibus disonis eorum marmonsa Seon centu ac teris proprietatibus speculatim:qua de multitudine ad aliud relata inscripsit Boetius: quia rationes numerales concretas habet ad sono o voces. Dicitur autemusica non ut aiunt quidam a mos quod estaqua quia . s. sine humore illo qui est salisua cantuso armonia perfici non potcst: sed potius a mulis quae canebant: quasi musa perspecti tum scientia.Perspectsua est scientia lucis Scoloris per radios visuales quae cicutur speciesvisum immutiantes seu ad mulli venientes Icdm rationes geometritas inquisitiua. Haee perspiciendo dicta: ab aliis specillativa nominatur ab speculis de quibus . pertractat Astrologia est scientia de coriis di stellis eortit motibus di effectibus theo,um N ' sim facien ,. quae Sabastris dicta ab aliis astronomia appellatur: qusa est de normati lege motus astroru.Hanc de magnitudine mobili scientiam dirithoetius: quia rastiones geometricas pariter Marithmeticas motibus coelom applieat: sicuto perspectiva qualitati by sensibilibyoculorii ideo illa scietiade magnitudine sensibili dici poo
Caput secundum deurit asta specialiter
Smissis autem quatuor ultimis:alias diserin
clis:ad primam mathematicarum scientiarum arithmetica postra haee presens se conuertat oratio quae ideo prima inter mathematicas scientias ordinatur quia aliarum omnium est simplicissima absolutissima vel abs Oneti stractissima. Nam si aristoteli recte docenti in analecticorum posterioru libro suo priamocredi oporteatxertior aliis scientiam prior est illa quae est O paucioribus. s. hinis plicioribus terminis Hens: aliae vero se habent ad illam eκ appositione. s. additione
cognotatiois. Arithmetica aut talis est erga alias mathena alicas oes.na musica utitur terminisqenriseca Sphisicale cognotatione addui supterios arithmeticos ut ton'
suῖ inquioctava Monicae:&diapason sup dupla: S sic de aliis mcitis similiter geo
12쪽
mettia terminos habet stiper arithmeticetim cognotantes non tamen phissce rem sit pura mathematica ut punctas cognotat super unitate :triangulus super ternarium: S sic de aliis sine numero.Si ergo his rationibus arithmetica prior comprobatur geometria multo verius praecedet perspectivam Nastrologiam quarus termini superge rithni uometriam cognorationes superaddunt. Primum omnium vocabulorum in arithme ce subiecta
timo subiectum attributionis eius est numerus seu multitudo cuius dimnitio haec est ης palo
umerus est plurium unitatum collectio aut aggregat MVςl clarius est plures unita dativis
res collectae Saggregatae. v binarius ternarius: quaternarius Sc. Vnitas vero quae Oxatiis priuatiue cognotat supra numerum sicut punctus super magnitudinem est rei per se discretio i. res alteri non collecta ves aggregata:aut saltem tali ratione considerata. - umeri duae sunt proprietates quas Iordanus in primo suae arithmeticae libro statim uitiis o. ' demonstrandas proponit. Prima est omnis numerus circum se proκime positorum futatis.1 atm simul iuncioruni est medietas numerorum .ut quinarius medietas est denarii e I.xprima aggregatione quaternarito senarii resultantis. cuius proprietatis probatio clara est. quia omnis numerus interatios duos proκimos mediat quorum alterum sola unitate superat ab altero vero sola unitate vincitur: ergo si eXcelsum maioris addas mino ari resultabunt tres numeri aequales quorum duo eκtremi simul lucti dupli sunt ad medium .ut patet in Gemplo proposito de quinario nam si unitatem qua vincitur a sesnario aut ras ab eo loquaternario eandem addideris:fient tres quinarii quorum meo dietas unus quinarius erit. Et accipitur i praedicta proprietate numerus large sicut saepius in arithmetica adeo ut compraehendat unitatem .citi etiam quodammodo haeepPrietas conuenit.nam cum ante se nullum habeat numeriam: ipsa est medietas numeri immediate sequentis scilicet binarii Secitnda proprietas numeri est. Omnis num ea .xpuetas is uia rus duorii quorumni exsimn gracentium sed ab eo aequaliter distantium ac siumul iunctorum itidem est medietas.cuius probatio clarissima eadem est coem praeceis dente.nam numerus medius quantu3 minorem superat: tantum eNceditiir a maiore. ergo si eκcessum maioris minori addideris fient tres numeri equales quomim duoruuntis erit medietas. Diuiditur autem numerus primo in duo genera subalterna de pM Uues dicamento quantitatis quae sunt pard impar. Est autem par numeriis illeqi Induq μ ης opsi. JAugsset illi reIictriuitate diiridi potest Impar vero numern est quida dum ocim si 'μ''
inuidi minime potest. Paris numeri tres sunt proprietates quas tordanus in suo septi inpar nurno nititur demonstrare .prima est. cum numerus par in duo partitur: utrac pars erit
eiusdem similis*denominationi itaq=si una earum fuerit numerus par: aliam quo LA:ίζ
et parem esse necesse est disiuna fuerit impariti altera. necpVn b in hac diuisione pos te tres. terit commisceri imparitas paritati. videnatius diuiditur primo in duos quinarios. 'mi
in septem tria.Sin nouemd unum: quae partes omnes sunt impares. Diuiditur sescundo in sewti quatuor. in duo ct octo quae partes omnes sunt pares.Secunda spries o im tas. si numerus par alterui paremultiplicet sempnascitur inde r. vi ducto binario in ath miti ν quaternariuPducitur octonarius .similiter ducto quaternaria in senariu aueniami iit o. reru' '' gesim' quart': S sic de aliis. Tertia Pprietas. si numer' par multiplicet ipare lem ide 'Fuenit numerus par. ut multiplicato Mnario piernatiunastitiirinde senari: bducto quinatio in senariu fit mrmerus trigenarius: di sic de aliis. Caput.3.denumero pariter paridi suis accidentibus. ι .
Suiditur autem numerus par intres species
aghomas: hae sunt pariter parilariter impar di impariter par Pariter quid lit. Da numerus est cui diuiditur in duo equalia: iterum euus medietas I nies.
13쪽
In duo equalia partitur: sic a eius partes omnes, si ad unitatem per duo equa diuiusionem recipiant unde patet ratio quare dicatur numerus patiter par.ut octonarisus diuiditur per duos quaternarios: S illi iterum per binarios: Standem binati per unitates: S sic de omnibus aliis in quibus diuisio non cessat quoust adim partibiles
veniatur unitates. Generenantiarautem siue inueniuntur omnes numeri pariter pa
res si ab unitate incipiendo per diplationem continuam in infinitum procedaturivi spida nus: duo: quattuor: octo .i6.32.Sc. Pariter paris numeri quatitor sunt proprietates e septimo libro ordani demonstrandae. Prima est. Q omnes eius partes aliquotae δρη similiter denominationes earum respectu totius sunt pariter partes .i. note quantitate aliquota denominantur a pariter paribus.Vt octonarii partes aliquotae sunt. I. 2. .quarum quaelibet praeter unitatem est numerus pariter par. similiteri denomiaistiones earum .nam quaternarius est medietas octonarii cuius denominatio sumitura
binario qui est pariter par.medietas enim nihil aliud est 3 secunda aut bina pars ostius item binarius est quarta pars octonarii cuius denominatio fit aquaternario pauriter pari S sic de aliis omnibus sine raceptione. Dicitur aute3 in numeris Pars alio uota ille numerus qui aliquptiens sumptus' replicatus efficit suum totum praecise. hus: δ' μ' i usimbris aries sitiit nedietas tertia quarta quinta Saliae sine fine. Secunda propriestas pariter patis numeri est. Q omnis numerus pariter par est numerus diminutus. Pro cuius declaratione supponitur una diuisio accidentalis numeri paris quae est non' ' oti put inspectes: sed fit per parte in modo quae einranscce cognorant super diuisum Numerorum enim patium alius est persectiis alius superfluus alius diminutus.quom difffinitiones re constitutione totius per partes aliquotas accipiendae sunt. Dicitur enisseet par numerus perfectus ille par quem adequant praeciseeunal constituunt suae partes aliis quotae simul iunctae vel ad seipsas addit e talis en senatius cuius partes aliquotae unus Supini ' dilottia praeci seseκ constituunt. Superfluus numerus est par cuius omnes partes alis quotae ipsum eκcedunt: maiorem p summam suo toto efficiunt. talis est duodenarius minui cuius partes aliquotae. i. a. 3. q. 6.constituunt. 16. Numerus diminutus estpar cuius
par Omnes partes aliquotae non adequant summam totius. sed ab ea deficiunt: minoremm numerum constituunt. talis est octonarius numerus QIsus omnes partes aliquotae.
i. χία. simul additae septenarium praecise constituunt. Est ergo secunda proprietas f mers pariter pari et omnes tales numeri sunt pares diminuti Perii nitamen parte ρω cius aicuotae sola unitate a suo toto feficiunt 'S hoc verunt est in omni numero patio' ,' ', II ister pati vi patet inductive. Tertia proprietas. omnis numerus pariter par corres' 2 i t et i in ' podentibus ibi mutuo in eoptib aliquotis procreatur. cuius Nplicatio haec est eti P rore creatis numeris pariter paribus quotquot voluerimus per duplationem continuam pGsMI 'ς 'im ab re itate eaoconnumerata: tas numeri mediates balii aequaliter a medialibus viri distantes sese mutuo denonainant respectu totius: qui est maMinius talium numeronim. visi accipias per ordinem seNnumeros pariter pares.Vt hic. I. a. q. 8. 6 32.snue nies ibi duos mediates . scilicet. . S. 8. aequaliter distantes abeκtremis connumerata
l. in eis ut diκimus unitate nam ante illos medios praecedunt duo numeri: totidemo sequuntur post eos.ergo isti duo mediates se mutuo denominant quot partes sint triaginta duorum nam quaternarius est octava pars octonarius vero quarta huius numeri.limiliter. 2. S.I6. se mutuo denominant respectu eiusde summae. 32. cuius binari 'edecimis lais, S decimus sextus est medietas.tandem. I.&62.quae sui intrema prae M. dictae ordinationis sese mutuo denotant: naunitas est trigesima sed psilli' numeri S.32. est semel.32. Si aut tales numeripariter pares filissentim quini quom. Io.fura . illet ultimus:non inuenires in eis nisi unum mediatem .scilicet. . qui seipsum deno
14쪽
minaret respectu ultimi. est enim eiusqliarta pars.&duo collaterales esus. 2.9 8.sese denominarent. nam binarius es octava pars: N octonarius medietas decim soli: deni punitas est decima seina pars eiusdem numeri qui ab unitate denomitiatur semel decem Sseκ.eadem ratio emet in omni alia dispositione pariter parium. quia si dis ponantiir sub numero pari semper sunt duo mediales.si autem sub numero impari: erit in eis tantum unus mediatis. Quarta proprietas numeri pariter paris est.*Omnium numerorum pariter parium continua serie dispositoria siue eoruni sit unusim mediatis siue duo mediates semp'd producitur ex militiplicatione unius extremi per alterum: idem resultat e ductu mediorvo collateraltu numerorum equaliter distantium a mediis.ut patet in eκemplis tertiae proprietatis praecedentis na quicunnumeri seipsos denominabant respectit vltimi: iidem si adinvicem multiplicentur candem summa producent.nam in primo Gemplo siue dicantur quatuor in octo: sisue duo in. 6.siue unus in . 32. eadem lumina triginta duorum resultabit S in secudo cMemplo multiplicato quaternario per seipsum liue a per 3 stucii. per Io semper idem prouenit scilicet decimus seκtus.
Caput quartum demuniero pariter impari
Hi iter impar numei usui sintvio equalia ιμ-
sit marcite: st: sed quaelibet et iis medietag diuisionem per equalia non ad Lib. vij
mitti lauiusmodi lunt tales numeri. a. o. o. q. Salii plures .unde patet impar
ratio quare dicantur pariter impares.quia licet ipsi sint numeri pares pris vultu tria tamen diuisione veniunt ad impares .patet etiam generatio continua talium Duomerorum per duplationem singulorum imparium etiam conumerata unitate loco iParis numeri. Hui etiam speciei quattuor sunt proprietates licet valde diuersae ct op Positae proprietatibus praecedentis. Prima proprietas est uiuslibet partis eius alis quotae quantitas denominatio disserunt quantum ad paritatem Simparitatem .ita di pars illa sit nummis par habet denominatione ipare respectu sui toti'. Salis est numeriis impar: denominatio eius est par.ut in hoc numero. 18.nouem est impar numeriis sed eius medietas.&seMest numerus par sed eius tertia S sic de aliis similiter. Secunda proprietas quilibet duo proΜimi pariter impares distant a seipsis quater raptis asnis unitatibus totidem Q numeris interscalariter dimissis .ut patet ieκemplo superio ris diffinitionis: Huius autem proprietatis ratio est clarissima: quia numeri pariter impares eκ naturali serie imparium geniti sunt quilibet autem impar distata suo uia, usim 11 9 impari per duas unitates quibus duplatis ut fiant pariter impares: duplanr A, tu etia eoru distantiae ergo distat perqiratuor unitates. undent ut seques pariter imparquinto loco situetur a proκimo praecedente pariter impari ut patet ineκemplisa supra dictis.Tertia proprietas est dispositis naturali ordine pariter imparibus quotis .FP ... quot voluerimus incipiendo a binario: si in tali seriemus tantum fuerit mediatis:ille
Inc duorum pariter in parium altrinsecus ab eo aequaliter distantium erit medietas consariis Pisi, unctorum .ut acceptis his quin P numeris a. o. o. q. s. mediatis unicus est e ir denarius: civilis collaterales praedicti. . Mi . vel a di is vigenarium consti,' tuunt:cuius medietas est denarius. O inrta proprietas. si in naturali serie pariter imo ' pu Parium fuerint duo mediates: illi simul iuncti adequantur duobus collateralibus Mutral parte ab eis aequaliter distantibus siue mediate siue immediate hineo inde aiscentibus, ut si accipiamus seri tales numeros ut hi a. o. o. q. 8 22. duo
15쪽
mediatis erunt o. r . qui simu iuncti complent. 24 eandem p summa perascient collaterales. . di is .etiam . N. H.Haru proprietatu demonstrationes m primo Saeptimo libro arithmetices Iordani requirendae sunt certissimae.
Caput quintum denumero impariter pariet
ariter par numerus est parcumstra
medietates per equalia partitionem admittunt: sed non procedunta,m vnitatem o citra eamdescit mritio perariiuga in tali na
mero. o. I 2.2o. 24.Sc.unde Patet ratio quare talia numerus dicitur
lipariter par.qula scilicet no vniformiter se difformit Sipariter dicitaret ditur per medietates modo pares modo Uares Generatur autem numeir huius speciei e multiplicatione permiκta numerorum pariter patium cum numeris imparibus Si enim fiant duae series numerorum altera superior O imparibus a ternario initium sumentibus di nullodispars di misso: altera inferior in pariter parisbus numeris a quaternario incipientibus continuessi procedentibus: quilibet superio ornumerus in quemlibet inferiorem ductus: numerum impariter parem producit. vi clare demonstrat haec bima. Huius species numerorum itide quattuor futuriis l. proprietates eκ septimo arithmecae iordanitiaca demonstrandae. Prima est.omnis numerus is vpariter par aliqvas eius partes aliquota hab3 denominatione di quantitate sua consimiles: I aprietas aliquas vero differetes didissimiles ut ille nugimpariter
eiusdem numeri. Esthac proptietate di sequentibus apertissime constabit ethaec pescies numeri pariς licet ordine posita sit ultima est tamen media per participatione inter duas praecedentes species sibi inuicem aduersas di dissentientes rvteam proprie talea ostenderunt.Secunda proprietas est.omnis numerus impariter par est medio
t ister diuisibsti, sti parte, scilicet minus S patiter paro plusqj pariter impar. Huius
ratio eκ diffinitione superiore est*manifestissima.quia impariter par numerus nouniea sed multiplici partitione diuiditur: nec tamen adeo ut diuidi possit,so ad unistatem.Tertia proprietas.* in supradicta numerorum impariter parium sormula, Distra libet series secundum longitudinem figurae accepta procedit duplando di habet quartam proprietatem numeri pariter paris siue accipias in ea duos mediates numeros siue unicum semper enim multiplicatio medii vel mediorum adequatur inultipliscations collateralium Ἀκtremorum: quia eadem summa producitur utrobi divisamo se tetra arte multiplicandisnalgotismo.Quarta proprietas quaelibet series brmulae supra posite secundum latinidinem eius procedit per aequales distantias di obseruat quartam proprietatem impariter paris. nam per artem additionis algo isticae rens mediatis in ea est messietas duorum collateralium adclitorii3.di duo mediates adequatur duobus collateralibus aeque distantibus ab eis si simul addantur.'
16쪽
PARS PRIMA DE NUMERIS.Caput semina denumero impari et specie,
par numerus: repperita diffinitioe est ..
ille qui iduo aequalia minime potest diuidi .H. . . . . 9.dic Eius ris titio proprietates praecipue tres sunt: e septimo libro tordani de mons piletaleastrandae. Prima.quilibet numerus impar in duo partitus ut una par ι Ppucrastem habeat parem Salteram imparem:ac partitionis membra ines
qualia esse necesse est.Nam si quinariuna in duas tantum attes diuiseris heae solae erunt i .d .vel. i. o.in quibus manifeste est imparitati patitas aso sociata. S sic de aliis numeris imparibus quibuscunt. Secunda proprietas. si numen a Pp 9N. impar imparem multiplicet: solum producitur numerus impar. patet inductive nam terquin . sunt quindecim. Squinquies septem. 36. Nuc de aliis Te tia proprietas. impar numerus si parem multiplicet semper nascitur inde par. Haec seoprietas conm nertibiliter se habet cum tertia proprietate numeri paris superius positasti ideo eadeest veritas ct ratio utrius*. Numeri impatis tres sunt species immediate quae sunt.ptimus secundus S ad alterii primus. Numerus impar prim est qui sola unitate Pte ali pinpari. quota metiri pol. H. 3. s. 7.sdemet incopositus nominatur. Sratio Vtriusi denomia species. tionis est eadem quia numeri imparis nulla potest osse pars aliquota praetermitates mstilla etiam sit numerus impar. Ille ergo numerissim par qui nullum alium impas Iem praeterunitatem habet partem aliquotam: ptimus dici debet: quia ante se nullum habet numerum mensurantem dicitur etiarn incopositus: quia eκ aliis numeris non componitur: sed eκ solis unitatibus.Impar secundus est qui aliam vel alias praeter os Erecte etatem habet partes aliquotas.H. .i . t .metito ergo idem secundus compositus cope unia nominatur: quia praecedunt ipsum alii numeri coponentes eum.Harum duarum spe cierum imparitatis quatuor assignati possunt proprietates quam duae priores ewtertio libro: duae vero posteriores eκ septimo libro tordani veniunt demonstrandata Pr .a pilatasma proprietas est omnis numerus primus in se etiam est primus ad omnem alium ni merum quem non mensurat.vt. 7.ad 9. Nad. f. disic de aliis. Secunda proprieta et M VN. Omnis numerus secundus di compositus ab aliquo primo di incomposito necessari
mensuratur. n. 9.aternario. N. Is .a quinario. S. 2 .a septenatio S sic de aliis. Tertia .
Proprietas.omnis numerus primus aliquis imparium est taliter dispositorti qui post V nullum imparem totus venerit quotus isquis impartu, Derit in naturali serie ab viistate .auarta proprietas.omnis numerus latandus Scopositus post alique impartu . naturali ordine dispositorulonis esse cognoscitur quotus ille impar erat ab unitate. Heae duae proprietates simul declarari poteriint: data arte inueniendi per ordinem numeros praedictarii duaru specienim imparitatis. quae talis est. Disponantur a ternari nudis...
incipiendo omnes numeri impares in serie naturali .H. . . T. q. MI. I . F. 9. 2 l. 23 neraturaia
za 27. 29.tunc clarum est stematius est impar primus Sancopositus ante que nula rii 1.s Ius impar est praeter unitatem.Si ergo post ternariu tot numeros accipiamus in praeudicta serie quot ipse ternatius continet unitates continue procedendo: inveniem'omnes numeros secundosa ternario mensuratos.ut post ternarium acceptis. .F. 0.terstitis istorum nouenatius est secundus copositus a ternatio parte aliquot eius. Item post novenarium tribus acceptis.vt. II. i3.ls.tertius istoru quindenarius est secundus Scopositus a ternatio parte aliquotiesus.similiter post quindenariusterum trib ac
17쪽
eedendo per illam seriem inueniemus inlinitos secundos di copositos a ternatio mesuratos. Similis ratio est habenda post quinarium ad inueniendum numeros secudos Derduina copositos ab eo. s. acceptis pol quinarium quini numeris cotinue quia tot pecorium tinet unitates. ut acceptis. 7. 9.im 3. t .vltimus istoru est secundusti copostis quinario parte aliquot eius .d iterum post illum si alios quino accipiamus. VOP. I9.2Ia . et .vltimus istorii est secundus copositus a quinario. S sic conseqnenter procededo inueniemus omnes alios. Eadem ratio est de numero septenario continue accepI pi tis septem numeris post ipsum: S de novenario acceptis nouem:Ssic de aliis omnib'
' i '' imparibuq per ordinem. Ex quo processu liquido constat qui numeri impares in di riuinis serie sintdesprima di qui de secunda specie imparium supradictis.omnes enim im
alii num pares inuenti per saltu ternarii aut quinarii an leptenarii S sic de aliis sunt secudi c QN copositi.qui vero per nullum praecedentium numerorum saltus laciendo inueniri potuerunt: sunt primi S incompositi .ut patet in his duabus seriebus aut lineis. Primi Sincompositi. . s. 7. l. 3. F. 19. 23. 29. i. 7. - . q3 ὁγ. Secundi S compositi. v. s. 23. 2 . F. v s. 39. - . 69. i. s. o .si. Et si eum ac secitnda serie vellet quis plures alias diuidere: quaru prima contineret numeros mensurandos per terna ruina: secunda mensurandos per quinarium tertia eos
quos mensurat septenariusti sic de aliis inueniet hanc legem in eis obseruata iviolabiobis' ad liter. Q denominationes cuiuslibet imparis respectu suae seriei numeroru ab eo copos β' sitoruin variantur cotinue secundit naturale eriem omnium numeror impari usu perius descriptam. ital respectu primi in sua serie quilibet impar est tertia pars S sescundi est quinta pars. tertii est septimaro sic consequenter in omnibus lineis. Compositi a ternario. . . . s. i. 27. 3 39. - . i. 7. 63. 69. 7 . Compositi a quinario. as 3 . - . fi . Os P .s .is . O . Compositi septenario. l. s. 0 63.77. i. Ios. 19 1B. - .Eκ his facile intelliguntur duae proprietates harum specieruina paritatis ultimo posistae supi'. naisis numerus secundus S co positus ab aliquo impari totus est in sua serie quotus erat ille impar coponens ipsum inordine impartu vel alius sequens eum natu rali ordine ut novenarius totus est inter secudoso copositos a ternario quot' erat ternari 'in naturali serie imparium: quia primus Squindenarius totus quotus quinariua
quia fecitdus. vigesini 'primus est eoru tertius sicut septenatius inter impares. Eaderatio est in omnibus aliis. Numerus aute 3 primus Sincompositus hac lege non astrigitur. quia non dicitur per relatione ad aliquem alium numerumneκ quo a nullo cona .. POnitur sed sola unitate. haec de primis duabus speciebus numerorii imparium. Nuiniis 44 ni Π erus ad alterum Primus est impar qui secundum se est secundus Scomposita: sed ad alterum coparatus lolarii illo couenitunitate parte aliquot qua term comuniter me
suratur. ut novenarius ad vigesinui quin tu S ad .i2 9.Sc.Generantur aut siue tuentus tur omnesnumeri huius tertiae specie percontinua multiplicatione numerorii 1patiuprimae speciei: si eoru quili b ducitur in seipna. ut in hac serie est quam anilastissimu3. . . ii 13. 7. Nameκ tali multiplicatioe quilibet numerus productus'. et s. o. II. 169. 89. est fecitdus Scopositus perdimnitione: cuius pars aliquo viuinis . ra prxter Unitatem est ille impareκ cuius multiplicatione producituro nullus alius..ita si odis igitur quilibet duo tales ad inuice coparati in nullia parte aliquot praeter unitate convue propri cordant. Huius species duae sunt proprietates. Prima est.omnes numeri ad seipsos
LI, uti primi siΠNili in seducti numelis etiam primos ad seipsos producunti t. 8 i. quieκῆ '' multiplicatione novenarii per seipm producitur licet sit se diis Scoposita storium acceptus: Ui co paratus ad ors . qui e vigesimo quinto in seducto nascitur emptismus di incompositus. qusa in nulla cum eo parte aliquota convcnit incepta unitate.
18쪽
ronrietas.omnis numerus minor qui ad maiore est primus: si malore de rimus ras
ergo duo priminueris; adstipos:
αε hie in cale huius tractat'eoruinuentioe Syprietates determinare.Numeri V ti,hu regulis inuentutui.prima est et in quolibet limite numeror est emaduere
2 ' ditas quia rari praeciosi similitudine gerunt .
I ae te euibu, aristoteles dicit in sine secudi ethicoruet virtus est rara'
T. I ad noue inclusive. in secillo loco denas quae etia sunt nou in tertio celenas. ros VI Pa 'V dhnominationes usi ad noue praecise se eX
sea sus aientia etia unicu perfectu repperimus deinde supra cetu3
est tantu unus persem.S sicconsequenter per oes alios limites numes
i: i- si numerus perfectus e cotinua aggregatione pariter pari nus
rat. I, iret si lis his scilicet quaternatis .resultat septe
Ymhri: um ultimu additorii sed procedatur addendo pariter pares sequen .pei .lism a parium additorum. vi generetur inde numerus perfectus.=uorum ea emplar brectas ries est haec.
Num. ἔ Itur e secti licet pares siuininter alios sui generis obtinuerunt pr iacta
circimeruerunt citatu pares oes dicatur apud pictagoricos inlamni: S
': Vis Gisitude, h,bet in negocio arithmetico. Inueri aut numem: zzupe mee diminutorii facilis est. quia ut superius dirim'
19쪽
ptibiliano ineriscorruptibilia. Elnariustinateria
E3 ecbiel. Senarius creationia
pariter pares sunt diminuti:ergo reliquises pares receptis plactis erut numeri superflui. uorsi duorii modorii proprietates eκ septimo librotordani demonstrandae haeduae sunt. Prima ois numer diminutus a sola unitate aut ab alio numero diminuto Pte aliquota eius me iuratur. Haece inprima Pptietate patiter paris est y manifestissium a. Scd Pprietas. is numerus abudans aut superfluus solii numerii abundante me
iurare pol tanqj pars aliquot eius. patet inductive. quia .i a. est ps aliquota maria. 2 36. 6 o. qui oes sunt superflui. Hactenus igitur denuna erodi specieb: suis ta subalteroni I specialissimis: loes termini sunt des dicamelo qualitatis: depprietatib siue generis siue specieruoim haec nos diMisse sussiciat p primo tractatu hui' nostri primi libri introdumois arithnieticae. Quae quatas coni oditates a Grat in maiorib scietitaphisica methaphisica: morali scietia: Smedicina: at 7 theologia: longist esset enarrare altioris egens speculatois.Nunc aut hoc unu taceremo volumus: diuinus ille piotagoras tota philosophia numeroria rationib'inte Muit attribues unitate primo oim rerii principio. s. deo. Numeros aut oes creaturis adaptauit. ut aristoteles narrat in primo libro methaphisicorii. sed pares numeros Pptereorii diuisibilitate creaturis cororuptibili by indidit imparea vero creaturis spualibus Sincorruptibilibus. Hinc processit illa distinctio duo iij dicamentorii apud pictagora.s. reru persectarii Naperseectarii. inquarii ordinationia prima impare posuit. iseesida vero pare. Et quia materia rersi naturaliu esto uti imperfectissima creatura. Scausatis corruptionisin variestatis in rebus in udi: ideo ei attribuit primi Sipersectissimuoim numeroru binariu. cuius mente plato Oplicans vocavit materia magnu& paritii: ut aristoteles traditia
primo phisicorii. Elementis aut pictagoras attribuit quaternatili: quia sunt prima dc imperfectissima ot corporii naturali ii: S sicco sequetera cedebat per alias species numeroru pariti Sterii naturaliti Post quas ad corpora celestia venies quia sunt scorruptibilia atribuebat eis numeros ipares: quia sphera qualibet planetarii trifida in tres sorbes diuisam ponebat .ani via postea secut yest,tho lenaeus pones orbes eccetticos planetarii. tande sis septe sphera planetaru. tres alias spheras mobiles cocessit Pictagoras. ut Aristoteles narrat in primo methaphisico m. Itimo venies ad substatias spuiales separatas de eis per numerosipares primos S in positos ratiocinabatur ponens eas substatias simplices a sola unitate ideus est depe dentes is esurabiles. Huc modui philosophad diuinissimus Plato postea insecut est satis copiosed mirabilis. Deinde aristoteles ingeniosissimus hac via sibi placuisse testat' est: cii in octauo libro suoru methaphisico tu diviticetinentiae rerii sunt sicut numeri Salibi pluries de hoci Sacti etia doctores ecclesiae Augustinus. Hieronymus.Chrysostom'. Otigenes 'Salii plures in suis opusculis multa ad sideo mores plinetia ronibus numeralibus suffcietissime eκplicarui. atq; in cometationibus suis supra textu sacrae bibliae nimis poderat eas certis numerorsi speciebus f piis latus determinari voluit alphetis S apostolis. ut videre capimoysen in descriptoetabernaculi: Sapdezechielei me suratide tepis. cui fere similia verba posuit Ioanes in apocalipsi. Vndeno sine Oim theologorii miraculo legitur illud Gene. i. ubi in seclido die creatiosino dicitur: vidit de Q eet bonurcii in hoc verbuia nullo aliorii dierit plermitatur. quia viai ut in hoc designauitspus actus numeri binarii iperfectione quida sit primus recessus ab unitate mi primoruparentii vel maiori angelori figura habet.Senarii quom numeri plectione August. lii Genesimanotauit: rone reddens qua rei sis diebus psecti sunt coeli Sterra di omnis ornat eorii total mundii fectio illo dierit numero edita est. No solum aute supra dicti philosophin theologii numeros Stomimiprietates de rebus humanis didius ni ratiocinatur: sed etiami numerorum habitudines quas vocat Pportiones: de quibus visam diseramus opus est. Di pili Zod by OOul
20쪽
pARI SECUNDA DE PROPORTIONIBvs.
Tractatus secundus de proportione ct pN-
portionum speciebus ac proprietatib' .cuitis sunt capita septe. Primucaput deoportione multiplici di specieb Siprietati by eius. lostibe quae ad quelibet numerii per se sumptu pertinebat diffiisius pini.
ctauimus: reliqum est ut mimeroru ad numeros habitudines seu pporticis
es inquiramus: avocabuli dimnitide eκordiu nostrae narratiois auspican Retes a reponio numeralis est numeri adnumeru certa habitudo vel clari I risu. 'estii inerus adnumeria aliqualiter se habes inquatitate sua .vt. 2.ad. q. ecotra est quid sit.
a portio:&sie de aliis. Huius generis duae assignari possunt ό prietates Prima est uiola pportio numeralixest Oportio ronalis Obatur eκ diffinitio ronalisiportiois qest haeci Proportio ronalis est habitudo duaru quantitatu ad iuice comunicantiu in parte aliquota qcomirniter viri stillarii couenit licet no sub ea de denotatione costatant et ois numer milibet alteri numero coniunicat in parte aliquota adni in in istare:qois numeti est pars aliquota: ois. numerus adunitate, styportio multipleκ: ergoois oportio numeri adnumerii estionalis. Εκ hac prima Pprietate sequitur alia , .spuma fecit i.*, oimiportionu modi aut species possunt in numeris reppeliri pbatur quia sum dabiles aliq pecies xportionum qdicvtur irrationales: quales sunt quantitate in nulla parte aliquota adinvicecomunicates: ut geometraeibat de duab lineis i iadrato a sunt diameteir et costa: dcetiade quibusda aliis lineis S superficieb' .nulli aut numeri suntadinvice incomunitates: nitatu est.ergo talistoportionus modosves species numeroria natii ramo partitur. Diuiditur aut Pportionueralis in duas spes Piopolissimediateqsunt equalitas: Si nequalitas. Equalitas estnticius taliter se habes ad altu nis duo penumerii etesinoeκcedit neo ab eo eκceditur. Vid. ad. . S. 8.ad. S. Inequalitas vero enumerus ad altu sic se habesce illii inccdit ab eo eκceditur.Vt. 6.M.3. Vel. 6.ad. 8 3is 4: u Patet ergo Q in arithmetico negotio fecitdii veriore philosophia nota abstracta S co tuo. creta sinon ima sunt idec penitus significat: ut equalitas Sequale inequalitas S in sequale. Harii duaru specieriistinui responim' a prietates: eκ non odibro sordanide Oroprietamos randas. Prima est et equalitas est Ois in equalitatis principiu origo di mater.Secu' ' '
da .ewptima sequitur et oisi qualitas G equalitate nascitur.Tertia. Q iis tequalitas I sita.
est resolubilis usi ad equalitate.Haruptationes inultimis duob'capituli Phut tra 3'ipae ctatus eriit clarissime. Equalitas aut in alias spes vlteti'no diuiditur: sed est spes athama aut specialissinia: quia talis numeroru habitudo est tuariabilis di i in diuisibili colistens. In ualitatis vero duaepiatur pecies inmaediate e diffinitioe eius disiuctiva. In qnauhae sunt torct minoriequalitas. Inequalitas maior est numerus eγcςdes alterii nus: v a Pimerii ad quecoparatur in sua habitudine H.6.ad.3. Minor in equalitas est numerus ii ibi se 'ab alio eNceditur adque refertur: vi. .ad. 8. Horu generii subalternorii cosimili est et hah divisio iutuas spes quoteaini odis contingitvnlinunterueκcedere allii: tot modia eo pira Qtingit unus maerus ab alio eMedatur. ideo totide sunt spespcise minoris quot malo . ri, in equalitatis eisdem cabulis fere distincted Iaioris ergo inequalitatis quiliunt malbis is Desumimae.tres primae simplices ut multipleN.superparticularisti superparties.due qualitatis vltimae sunt copositae eN tribus primis. s. multiple luperparticularis S aultipleκὶ spm perparties .ergo similiter minoris iequalitatis erut quini spes istae. submultipleκ. sub
inperparticularis. subsuper parties submultipleκ superpariscillaris S submultiplis superparties. Elpportionaliter diffiniendae sicut spes maioris S minoris iequalitatisatin eisdeὰκeptis couersis declaradae. Multiplex igitur xponio es numerus maior sieeMedes suu minoren tu totilici se pluries cotinet. vi. 2.ad.3.ubi maior cotinet mis Recimae totii quateria nihil PI .ui deeκcplo coparido.yad. in .estiportio subnan '