장음표시 사용
31쪽
Quam re solutistu relatinis dictu est: coseques eriret etii de figuris numeroria diseram'. Sed discreti ac , ii coditioe inueris formas vocabim' i magnitudini, vero figuras ad huc Vei limia eius; ni Verissime eX ponitur qrta spes pdicameli qlitatis apud aristotele: qeadisi licto Vocabulo Drma vel figura appellauit. p forma numerale descriptione lignificas P figus forma nu a vero magnitudinis teriatione. vn tone pri9dicta sorma ptulit figurae Est igitur farinam Nii' id iumeri talis dispositiovel niter' tali disposii': ut figurae geometricae similitudine geratin qu aliquis niter' vocatur triagularis qdragularis aut circiatisSc.vii costat oes tales termiti Os ad quarta spem qlitatis plinere: Srptias passio e seenueroru quo magfiam spes sunt depdi In eloquatitatis. nain hac pdicatio eternam' est triagulus. novenari'est quadratus.vigesim'quitus est circul9. S sic de aliis .pdicaturyptii pdicabile de suo subiectos. in is, Nunieralis formae tria sui gna subalterna haec .forma linealis. supersicialis. solida.&qaeiecite. in his licut in superiori by cocreiud abstractu sinon ima sunt: has formas diffinietes dici: Rinealis' mus. Linealisnuerus est qui ab unitate eκordiu sumes: pcdtinua unitatis additione sceia 2 is ore cresce do. talis esto ista uerus siue par siue ipar. vi. 2.3. 4. Dicitur aut linealis niterus iuuata a dimilitudine lineae geometricae: imaginariae lic no reali dicitur fieri e cotinuo fluus Nu pucti: sic di niteri singuli , cotinuo fluκu unitatis resultat. Et debet scribi niteri lineales Plingula initates suasi una serie dispositas ad modulineae. ita et tot plictis scribaturn uerus quilibet linealis quot unitates habet: no aut tot nil erus simul uno loto carectere
ut hacten' fiebat: ut binari' sic ternam' sic. . . quaternari' sic .... Iste eme naturalis modus scribe dilucros: tia illos caram resiluerales arsi uana tuenit nonatura. Hui: pri
istis generis formae nil eralis itinitae ut spes tot. s. quot positae sui spes specialissimae nutaroria. Stroiantur sic linealis duaria unitatu linealis triuinitatu .linralis quatitior unitatu Sc. sed de his satis: quia sicut apageometras linea quatucul teriata suis eκ remis nomhnesar dicitur figura nesset'pprietates demostrat: sic apud arithmeticos parua est cura delueo formors linealib' nullaim eoru a prietates demostrat. Superficialisnuerus est quis suas uni tale si plana superficie descript 'logitiidine dilatitudine h3: ut senati' se script Et scutigeoine tria eNflu Ni lineae isti pam vel in alia imaginatur fieri supticies: ut' Euclides insecudo libro: sici arithmeticaeκ ductu vel eMadditiden ueri linealis adlei pira vel ad aliti numerii lineale Oducitur niteriis supticialia. ut ducto binario in seipna ducitur quaternati': na bisduo ut quattuorqiii est nitet' ipficialis siniit, addito bineuio ad terna diu fit quinari' iuperficialis num et'. ducto etia binatio iternari uiducitur senati'stipficialisnuerus. Stic de aliis. Vnp3roqitare talis forma raue id catur hipficialis . tu quia1, discini reκ lineali ad lineale ut supficies geometria .lii quia: suas unitates descript ' logitudineo latitudine eγhibiadmodu superficiei geometricae se altitudine nol, de qua intueris solidis dicem'. Diuiditur aut superficialis aut plan niter usii initas spes a tersope suda nario initiusti metes. hae sunt tria gularis: quadrangularis: pelagon' e Magon 'Sc. Stas Aia i k- de circularis nitems.Binarius emio potiem nerus stipficialis ii quia e solo fluκuvnita
tis pedit admodu lineae.iu quia quomodocii discribatur suae unitates singula pucta sota tibi, logitudine h3b nulla latitudine.Tria gularis nutriis e quis suas unitates certo mo des
mi. io a d cript 'i plano tria latera eqlia mostrat: ut hie . . Hui'gnis etia sui ilinitae spes:*sie notae Triangula tria gulustris una unitate in quolibet atere. triagul'hris ditas unitates in quolibet latere his ita ' deide tres Squatuor dicina inrale serie numeroru.qoes spes Deilei uenietiir cotinua additione nucroru naturalis ordinis nullo dimisso. Vnitim' manguloru est unitas noquide realidi in actu cia pano sit niterus supticialis: imonem sinealis sed solii piictu ais Idutuo, lis scd est triagulus sol in potetia: Nea de rone iniim formaria superficiali uitiit stipa ineror bu unitas primu locu obtinebit: uocabituro prim 'quadrat' prim 'pelagon 'Sc.hfis.1. una iusti m unitate in quolibet latere.dimisso ergo hoc primo triagulo.Secudus est ternari' uctyeκ aggregati de unitatis S binarii lino duas vinitates h 34 quolibet latere.Terti' est senarius pdictu duola addes ternariti.& tres unitatescinii quolibet latere. Quartus est dena Dipiti odi COO
32쪽
tias Padditione ternarii adscedetes. huel tuo unitates iqlibet Ialere. Ssic de allis. Graesagularis nuci' ecli suas unitates sparsi descript9qtuor lata ondit: vi:,Hui'gilis sui duae macta 'sprii subalternaepcipite: μ3nuere drat'Sniret 'altera ptelogior: qdrat' niter'est qui ora gularis sortuor lateraeqlia h3. S diuidit pisuritas spes siciit Stiligul' variata seκnuero unitatuq sui: in in quolibet latere. s. una. duae. tres.qtuor Sc. Altera ptelogior nitet' est qiis noli sola latera ' liis logi nidine ii latitudine naaiore di si sit eκcessu si sola unitate dii uera alta pie logi Eltera die OCH : coet alterii di de duo quoruvnnimediate sequitur ad alid si antiduab'aut plu ρυψ rab' unitati by sit laterii dita dicitelogior. i.valde logior: estq; mia irregularis de arithmetici no curat. Generatur aut niteri quadrati oes eκ naturali serien uerorui additione uno iterscalariter dimisso cotinue.ut unita septim qdrat'. l. potetia .cui si addainrternari' fiuid' 'l, Q. fecitd'qdrat': hiis duas unitates idiib3 latere. deide addito Inario fuit 9. terti'qdrat 'tri b d addium Q unitatui libet latere. S siccoseqnter paliosqdratos de quib'supi' data calia regia omngnatiois eoimi multiplicatione cuiustib nuersi seipm. ubi etia niter altera pie logiores: 'μ in vi vocarina' logilateros: mltiplicationen uero myκimoruinaturali ordine iuenire docuim'. Pentagon 'vrquiqua gulus nitet' est .sup ficiali descripti Oei linguissinitates illa otia. ano descript 'quic latera eqlia cotinet. eiust pes innitae gitantur: additione X naturalis fora id sutienuerorii cotinue duob'dimissis.ut addita unitate ad quaternariusiui. s. niter 'pelagon' quib'si addatur septe fiut. 12. terti' pelagon' S sic de aliis. Εκagon', sexagiti nitet, est qui eode movi stipiores descript9seMeqlia latera eκhibet. Stantvrcpei spes eκ naturalis e Monati enisterorutti by dimissis.eptagoniqtuordinis sns. octogoni quic dimissis Sc. Circulari, in nuer' est q aliquo nitero iseipmductor luct': ineudentierit aesint a lxducebatur. Sse . . et 'h3 admoduci milii geomettiacies' sinis reddit ad pricipiti talesiueri eκqnatio disenatio
radrati. l. . 9. 16. 2 .36. 9. ut aut pdictarus Perii flatae supficiatnueroruiprietates Suaslisau filia Ptelogiores. r. 6. I 2 2o. o. naultae': s3 eam notabiliores haesiit. Priae', merito ob unilamari Pelagoni. . . la. 22.3 s. l. perii istaruttiagularis nitet'epria quiae fiatioibet S resolus PR, 'EXagoni. i. o. is .as. - . o tbibyaliam sempest necessari'. na oesmiaenuerom sibi;kie 'Re 'Eptagoni. l. 7.is. q. s. Sc. si primu priodi secti dii scda: S sic deiceps nueros coparaue. Circularis nucri. i. as. 36 ris tria gulari bynsieris sese superant ergo Atria gulis gnanturi tria guloso resoluutur. vlptim 'tria gul'ternari' differta prio quadrato punitateqe tria pulus.&secud'ttia gulus senari' disserta scdo quadrato novenario se ternarisile tria gul' di tertiyttiagulus. io .supatura lettio qdrato io. p senarisiil est triagulus: S sic de aliis sequiib'. Eadecbpatio erit iter primu quadrati di primit pelagonii. iter p3 Spis .iter tertiui Stertiit disic de aliis claeitae magulis differur. s. unitate. ternario. senario dic. Similapiit Pars pelagoni ad eragonos .ct illi ad eptagonos. S sic de aliis.Sicut etia i geometria tria gulus est pria figuraru ipscialiu excepto circulo: la duae rectae lineae Oiaculapplicatae adagullino Psicim figura. vii oes aliae figurae geometricae eκ triagulis fluti triagulosi resolutitur: Habas viderit 3. Apipprietas et qlib3 solanueri Pyficialis Padditione nuerorii naturalis ordinis ecimo I pdiMim 'gnata: tot unitates h3r libet latere suae descriptiois eκ quot niretis aggregatis gnata est.ut ternarius aggregatur eκ unitate Sbinario. io duas unitates hv quolibet latere triagulari. senarius seqns tresvnitates qaὰκ tribus aggregatur. unitate binatiodi ternatio. Ssic de aliis Ea de ro est de quadratis: naqternarius h3 duas unitatest quolib3 latere ita e duobus niteris aggregatur unitate. s. Sternario. novenariushi tres sta tres nueros aggregatisa agitatoe silpa deles duobus primis innariti. Pari formit se hiit nuers pelagonii suis lateribus . nail narius aggregatus in uno S qtuor duas italesl, quolibet latere. en Mecimus tres unitates di sic de aliis.Tertia yprietas: si quadratus quadratu multiplicet nuerit: plueras nisterias sese est qdratus. maior in Salius ab eis: vinoue qua tersiit. 36. Ssic de 'Pp in aliis. Quarta Pprietas. sinuetus altera Pie logior aliti altera prelogiore multiplicet. tertitus altera pie logio ride preatur. ut bis seκ. sunt i 2. disic de aliis O uita Pprietas si si qdratus .ῖhucta. multiplicet altera Ptelogiore veleestra: Odust numerus: nete quadranta nec paltera pte
Ioglor: ut bis quatuor. s.ctsie de aliis. Stacta Pprieta stiis quadratus C duobus sibi D, ia .Fpueras
33쪽
. suprapositis imagulis simradditis matur. viqiernari' e unitate S ternatio: nodenaris m
gon 'inis in triigulo S pelagono. Oisl eptagon' altero trigono altero die gono eodit: S sic de aliis .quo sit ut oes solae supficiales eκtrigonis cosurgere: Sineolae resolui tacili me depliedatii qdio solii ad pictagorica: sed etia ad platonica doctrilia itelligedi magni esse momenti reputatur ab olb' doctis .hacten' igitur dei ueris superficialib'. Caput secim dude numeris solidis vel corporeis.
m,is Ruςimbi corpore estu sparsimi suas unitates descript Idgitudine lati indiuiadam ne ae: Saltitudine qcrassitudo vel psiditas appellatur hie vi trinam disteditur dimelibe . O lut facili'itelligatur reppetam 'imaginatione geometrica de imagiaria descriptoe vi luctoecotinui e idinisibilib'. licet ire nulla sit: utilis et ni maginatio illa ad multa rectius itelligeda .nec ipterea scietiae mathematicae sui deceptorse imaginates'dio est.qaut
aristoteles h 3 et phisicoru abstrahetlutio e meda .sicut ergo eN flumium linea:&ὰκ fluo lineae lapsese descripsim triti discretis*icotinuis: si imaginatio e fluxu supficiei
crassitudine Scorpii letia describere poterim': ut Euclides sacsidissime docet i. H. libro suae
basta geometriae. si ergo lapsiciale nitem alique ad scipia irad abii aut addiderint 'aut instiplicatio solide ierim': soli duci veru ide costituem'. ut bis qtuor sui. s. test, uer' solid': Ssic de aliis. recti' in imaginatio solidorii nureoru multiplicatoe 3 additide cocipitur: multiplicatoe iiij duduplicata: tres niteriiseratnc quoru prior 6gitudine. seques latitudsne terti' vero psuditate eκhibet .vibis duo bis sui. 8.nuer' solid' hiis duas unitates in loguet totide in latia ut hic: m figuraqdratastiteriistimaginatione describaturi altu: habebit nuery ille etia diisas unitates in Ofiandae eriti totus nitet'. 8.unitates qs dicim' bis duo bis: qa duas unitates
bis i plano describetes P duas lineas fecim' qtematiu: dbis descripto i; fundit: costitui' est octonari' ea de ro est de istis bis duo ter. bis tria ter.ter tria ter. S sic de aliis. Nileti solidia, sole soli uerae sunt spes nec a nobis oes Oplicabiles.suntem clitari ueri piramida Ies .aliscoebi aluq νς' asseres alii cunei .alii laterculi .alii paralellipidi: vro alii dicut parallelepipedi Sc.Stadc numeri spherici.Harii oim spem sol pria additoenuero ii S diffinit Sycreaturi aliae vero sreplicata ut diκsm' multiplicatioe. Piramidalis nitet 'est solid' creκ aggregato pluria supiui uti. O liciali ii niteroru eiusde spei resultat.Wχκ plurib'tria gularib=nueristitvna piramis similaeκ plurib9qdratis: aut e plurib' pelagonis naturali serie dispositis. Hi elicititur duo certis SMoesus sima. Primu*nsieroiu piramidali usunt finitae spes variate iuκta spes nuerorii suplicia olatini tu. spiramistrilatera qIte tria gulis. quadrilatera e quadragulis. peti latera m qnquagulis Sc. Scitin est facilis mod'gitatiois aut luetiois niterordistaru sperii stfuti additione sui, his in perficialin s Oes ii nouim'. Sed piramis ita se h3iternueros solidossicut se habebat tria mi ειε distarii disiciter nucros si Pliciales ἰς ipse stiricipii Oi3 solidarii formarii. debellaei descriptioedatis fieri talis imaginatiori unitas ponatur suspe saetaere .deide sub ea etiat aere ponatur ternarius subri tertio ponatur senari'. sicco sequeter Loes numeros triagulares descededo. Eisdibus resultabit una piramis trilatera magnair parua piri et plures vel pauciores triantilos aggregat i sua copontide cuius piramidis agulus est unitas: sis vero e ultimus tria git Iorii lub ea positorii. Eoderio e describeda piramis qdrilatera si subunitate coseqntion Κεqdrati niteri.Spiramis petilata sub state aggregati uero spctagonos.Ssic de aliis.v hse.
visam Trianguli. i. 3. 6.lo. is Piramidestri latere. I. .io. 2o. s. Est aute Olmpiramidaisn3haeexpiret Quadragri. i. . s. i5.2s. Piramidesqdrila. . . t .v. s. yptieras viraqwpramis tot Pentagoni. I. H2.22.3s Piramides peti. I. 6.18. go P . nitates h3i quolib latere suae altitudinis eκ quot supficialibus numeris aggregatur.Vt tri latera piramisqest. .h3dua, unitates in altitudine.dece hs tresvnitates Sc. Simili quadrilatera Piramis. .h3dua avia itates in altitudine. 34. habet tres unitates dae. Eodem opetilatera piramis. 6.habet duasvniis
2 4ata rates. 18. tres unitatest quolibet latere suae altitudinis: disic de aliis.Scire etia oportetu, surietaritimis Φέ piramides ite grae: aliaevero curtaevrtrunciam quas graeci coluros appellat. Integrae piramides laut quas prius descripsimus .sed curtae diceretur si in P aguli piramidis asterretur
34쪽
pARS PRIMA DE FORMIS NUMERORVM.
aliqui numeri superficiales pertinetes ad eius integritate. Stanc si sola unitas suprema auferatur: dicitur curta piramis si autetia auferatur primus numenis superficialis sub unita a te posit': vocatur biscurta piramis. si adhuc aufer.itur ah'seques superficialis: vocabitur triclina piramis S sic colequenter hoc veru est ira Oib speciebus pii amidalii nuerorude quibus a satis. Cubicus numerus est qωχκ duplicita multiplicatione alicuius nueris cubina bisopiri consurgit. vel clari' si in replicata inultiplicatione tres, ii meri equalesi eratur ut madisit. his duo bis sunt S ter tria tersunt. 27. S sic de aliis. Hui'Drmae prima yprietas est Qqli bet cub'h3leM sui erficies equales. octo angulos solidos.S duodecilineas liue lateraeqlia. quomodo aut debeat imaginari hui'forniae Saliaria sequentiu corpuletia vel altitudoqe et citum elim esto: superi' in ptincipio hui' cap declarauim'. Scclayprietasu sicubi nuer a pias se vel alii cubicu multiplicet. sem p inde Oducitur cubic maior eis .na octies. 27. sunt et ioqui etia est numerus cubus eκtri senariis replicata multiplicatione Ocedens. ut dicedos testeκ sexies. Cune'numer poppositas coditiones hyad cubicu. quia omites tres dimesiones habet in equales: fit. eκ replicata multiplicatione triti numeroruin equali ii. vises c, non scerem semes quatuor bis sunt. S. vel sic. quinquies quatuor te sunt. 6o. Iste numera, 'ΑJ graecis vocatur scalenos quod latui est gradatus. dicitur etia sperniseon. i.cune ad moduilli' corporis cui longitudo est maior latitudine. latitudoq3 maior altitndine .Assernume rus eli ad modii corporis serratilis quod vocatur tabula erecta in altum: producitur*e 2. 44 a replicata multiplicatione triti in equaliti: sed aliter cy cuneus. nam assere longitudo est minor latitudine: Statilliano minor altitudine. ut dicendo bis tria quater sunt. et . aut bisquatuor quinquies. lunt. o. Sc. Laterculi numeras describitur admodulateris quadraticu aureulsius longitudo dilatitudo equales simi sed altitudo minores f.Vt dicendo ter tria bis sui. i S. vel quaterquatuor bis sunt. 32. Sc. Paralelli pidus' uerus est ad modii colunae quadratae cuius longitudine dilatitudine equalibus altitudo maior est: visi di dicam bis duo series.suta a .riter tria octies sunt. 72. Sc. Praeter has forma stolidas sunt aliae plurimae specie, fg 'rae lateratae tum regulares tum irregulares: de quibus non est modo dicendii per singula: sede, geometria sunt requirendae.Sphericus numerumst cubicus talis. qui admodu sphe spes staraeternii natur in numerum illum eκ cuius multiplicatione processit: sicut S de circulatibi formatae dicebamus. ut quinquies quiniqIunquies.sunt. in .vel series s seMies.sunt. 216. Npre rorid ieiuter hos vi κ alii reperienrur: nisi vellet quis unitatem Scircularem di sphericum numerii appellare: quia per omnem multiplicationem reddit ad seipam. ut dicendo semel unuin. uel semel unum Iemeliquidam etiam dimni P. 6- .est numerus sphericus quia aqtrateris natio cubica multiplicatione procedens ad quaternarium terminatur. sed apud arithmeticos non consueuit nuinerus sphericus appellari nisi ille cuius quadratus etiam fuit circuelatis .h autem non habet praedicti numeri quatiatus qui est.io. incipiens quaterilario ternarius in senarium.
Caput tertium de comparatione quadratoru
ct altera parte Iongiorum numerorum.
E FORMIS ergo numerorutam multiplicibus satis dictum fuisse
putarenuis: sinc huic tractatui faceremus: nisi quia Metiuseκnu 'imeris quadratis Saltera telogioribus ni agitum facit in philoso uphicis theorematibussacra metu.Ideo ne diuina ei'imaginatio iustius videatura nobis reputata: breuibus ea hic colligem' verbis. In primi sancitates nueroru quadratoruSaltera ptelogio ii hac nos
tabile disseretia: si nora multiplicat violi: s3eκ additoenueroru a: is uia leo voluerna 'gnare:*ηdratinueti eκ naturali serieiparili se alea telusorec ita: nueris parib' seriari ordinatis cotinua additi icreatur: vist,hie.
35쪽
Impares. . . . P. y. I. IF Pares I. . 6.8. Io. Ia Ideo numeri quadrati ex asArea in inradrati. I. q. s. 6. 26 36.Alta prelo . I. 6. I 2.2o.F. a. ribus creatl: quom unitas prima radi est Simulabili a naturae: oia latera equalia habent. sed altera parte oolorescit paribus ortu habctes. quoru binam' primus esto mutabilis naturae: latera nequalia'nt. Unita est Immutabilitas aut unitati seM hoc ostenditur et quidquid ipsa iamltiplicet prior quatitas n/N lim no mutatuno semel unus est unus. semel duo sunt duo.semel tria sunt tria Sc Mutabilitas Dinari. ii diis uarii eode mouitatur quia in quecum numeria ipse ducatur prior quatitas mutatur alteriistia Saliaiducitur .ut his duo sinat quatuor. bis tria sunt seMScieaderatio est deoibus aliis nul uiripis meris post binariu.Nimitii ergo si binarius alteritatis principiudicatur a philosophis tu quia est primus numerus qui ab unitate recedit. tu etia quia est primus eoru qui sua mitriplicatione numeroru alteritate causant. Ergo e luatiabilitate unitatis prouenit et quadrati numeri ipatitatis natura habentes: oia latera habeant equali ad uniformia sed G vatiabilitate binam lyceditu altera parte longiores numeri paritatis natura habentes latera habeant in equalia Ndifformia ut dictu est. Patet etia tetragonos numeros participare natus ramiparium: quia sacta cotinuatione duploruin una serieri. I. 2.-.8.16.32. dici vel triplo ibi ip2 re numerorii. vi. I. 3. 0. 27. 8i.Sc. numer' quadratus inter eos semper in loco impati tueatae notabis nitur.Cubi etia numeri inautabili natura participant: eo Q per additione ordinata non ab aliis p ab iparibus numeris producuntur ut posita serie impariti. . . . F. 9. l. I3.dic privnivis eoru est cubus. LVnitas.deinde duo sequentes limul aggregati faciunt octo qui est cubus. Sires sequentes simul sumpti producunt. 17. qui etia est cubus di quatuor sequetes sunt. 6ς. numerus cubus S sic de aliis per ordinem. Hac supposita differentia: dicam' ulterius et iste duae formae numerorii sunt a principales in negotio arithmetico: sicut corrup sincipales tibi leo incorruptibile in toto uniuerso: ubi omne d est his duabi differetiis coprehediis tur.quicquid. n. in mulo est: aut est naturaeimutabilis eiusde y substatiae vide' aget' eluraq* ' est mutabili, vatiabilis pnaturae Helem et Salia corpora naturalia: auteri his duab' naturiscopositi iri homo. Ita etia in umeris arithmeticis quicquid est vel ipar est eκ quo edit quadrata sorma: vel parevndepcessat altera parte longiori vel eκ his duabus formis
tu, procedens. na permiAtis eis dicerto modo coparatis: eκiplis nascuntur omnes numeri
numerorum species.omne si proportiones.& etiam numeroriam brmae supra dictae . atoc proportionalitates in serius dicendae. Disponantur enim quadrati numeri omnes Luna serie ei sub eis altera parte longiores ordinati. ut hic. Disma e auadratio. Φ.9. 6.as. 6.ψ9. Siptimii altera parte longiore binariu primo tetragopatio Pen Logilateri. a. o. 2.2 o. o. a. o. no. i. Unitati coparaueris: differentia erit unitas. li secu
M dum secundo: disseretia est bin ali9.si tertiit tertio. ternari' dici oes numeroru spes indno, duces. Sin eisde coparationib'iuenies primopportione dupla.deide sesquialtera.postea
2ibis: sesquitertia. cosequenter ipportiones sit perparticulares. Ite si secundu quadratu primo altera parte longiori. Stertiit sessido. Squartum tertio. S sic deinceps transuersaliter P iris coparaueris: easdem a portiones inuenies.oest numerorum species eNeorid di flerentisso 'hais prer unitatSelicies.Adhuc aut in serie quadratorum disshrentiae sunt numeri imparest nauerum turali ordine: sed in serie altera parte longiorum differentiae eorum sunt numeri pares per ordine naturalem. Ite permiκtis tetragonis di longilateris alternatistat eN dilabus serieis
De Γpo ti bus stat una series. ut hic. l. a. q. 6.9. 2. I 6. Io. 26.3O. 36. 2. Primus longilaterus ad suos
φη*'i collaterales quadratoseontinuat duplam proportionem .secundus longilaterus sesquia Iateram copulat ad suos quadratos. tertius sesquitertiam . quari'sesquiquartam: S sic de alitu proportionibus superparticularibus. Eκ quorum iterum differentiis naturalis numer rum series procreant r.In premissa etiam serie permiκta continue coria parando quelibet
numerui mediii ad suos pκimo collaterales: appa ebuinsidii similes dii portioes diis uersae 4fit e tripponioes similes reditae diue, .se cresciit disserentiae scd3 naturalem
36쪽
pARS PRIMA DEFORMIS NUMERORVM.
uicedunt. Eade intaginatio occurret copando differetias nueroru in tali serie positos rii ad eosde niteros quorssi sunt differetiae. Nosolu aute quadratis Saltera pte Ion oribus adinvice coparatis nascuturnuerom a portionii spes ut pdictu est: sed etia aliae nuerorui formae. additis. i. simul prio tetragono qui est unitas: Sirio altera pie logiore bina sererem rio reis halternarius restiriagulus.deide addito cdo quadrato ad primu altera pleno riore sit secudustriagiit' senari'. disiecosequerer additioeduorupκimorul serieimikta' resultat,ueri triagulares suo ordine naturali.Itedignatio:qdratorium pdicta serieimi Desidiatista repetedae ut duae Pprietates figurae magnae oportion ut DPi' positae in cap. .pcedetis tractat'. La prietates tertia&qrta hac lacta dria: civbieκduob'qdratis S uno altera ptelogiore tetragon paraturi. ille tempest numer'ipar Newipari radicepcedes: θ qnχκ duobus alta pie logioribWd uno qdratocoficitur tetragon': ille sp est paro a pari radice ocedit. Εκ linea in sup adratorii seorsu si6gilateria creatur: si cuiuslib3qdrati at' adip3 ne alumn
nretici: mo apparet dii xieqles Syponioessires: qeyportionalitas geometrica ridice latituritur ista Sed de his a satis: Sy coclusioe hui tractat'addam':*supradictae oes Ermae nueroru debite applicatae magnu phlis di theologis asserre piat veritatis monsmen tu qdem .ppli doppri' de vera' dici pot:Φ triangulare prima formarui numeraliui: aqua oes aliaepcreaturet in t a. a
lareataevestigiui mi.q ut aristoteles eκ pictagoricis allegata. I lib.de coelo:culunib3 rei creatae plectio cosistiti trib'.qpostea bius augustin' declaras dicit ois res colistitimo spe ordine. allegat illud sapietis' de' oia costituit 1 nuero di podereo me sura aliae vero numero in formae ta superficiales ib solide quali singulis creaturis distribue dae sint: a nismis longularet enarrarercosulto reliquim' ad inercitiuingeniosoru iuuenu. Tractatus secudus secundi libri desponsonalitatibus numeroru S eam ,
proprietatibus. habet capitula quatuor.
Caput primu dei portionalitate arithmetica S deiprietati, esus. ONSEO VENS est ad pdimotaqerat depportionib: ct formis numeroiu
portiouiro formaru nueratisi qs sepi diκimmiscedeti by:pportionalitates sileticb manifestissimuerit: si vocabuli diffinitione pmittam' tale Proportiona propcaesolitas est triti aut pIuri numerotui simul suptorsi habitudo vi. . a. . est una sportioalitas διιL stadsili mistis. i. 2.3. .&sic de aliis multis .vii p3 differetia oportionalitatis a PPOrti Oe quia ἡbbs haec otii tmnueroristerat copatio: illa vero triuaut pluriu.l3 apud phlos pariter Stheo im I dilagos ista duo nota saepi' colandatiir: alterii paltero accipiatur. Illa aut diffinitio cois tione portionalitatis: cp est pluriuiportionu habitudo vel collectio aut similitiido nodipporationalitat couenit ut patebit de arithmeticapponionalitate. Proportionalitatis cois hanc disiuncta passione aut Optietate assignam'.qaoispportionalitas aut cotinua aut distoti et Nponio nua esse pol.cotinua diiportionalitas qii intrib nucris accipitur. in quibus necesse evi 'istia: timetiyterius reppetatur bis: simili coparatide se hiis ad trem .disiuctavero estyportio eras. nalitas accepta cliuor nitetis ad min=: ubi nullus medioru biscoparaturis tui semel.Lvia' medi' ad unum eκtremuo alter ad alterii. nfisi cotingeret yportionalitatc facere e quatuor aut plurib' niteri, qua libet medioru bis coparetur.s semel ad eκtremud semel ad altem mediu:illa poli' esset coisnua yponionalitas odistotinua is in pluribus Φtribyii umeris accepta. Proponionalitatis spes plurimae sunt Sio facile deterlabiles.s apud antii Ρε.huire. quos phtos.spictagoricos solae tres hui'gilis spes ponebitur. Larithmetica. geomettica. Proportio Narmonica .letuso adplatone aristotelem maseit solae.&vocabat eas medietates aut me detoritates si gerut silitudine moraliuvinutuum qlibet e mediocritas iter duo mirearit utiis his terna excessum alteruῖ defectu:ssint in Peortionalitate datur admin=tres meti: un 'me crorcilia
37쪽
di95 duo retrem quom alter excedit mediu alter vero deficit ab eo. post Istos aut phlavalis sapietes I secuti sunt. septe alias spes hui'gssis addideruis ducetes eas adiueriden arsii: quidebatur eis ot aliori plastissim 'eo.sitvltim 'terius msteroru .na post denariu oeanisteri ut reppetitoes denarii aut sua tu partisi. Verulfi si modii multiplicii tois istarii sportionalitatu subtiliter aduertam': pluresa portionalitatu spes*dece imaginari poterim' A libri, qud modii in sine isti' tractat' eκplicabim'. interi aut circa primas illas tres spes intendeacaxpovdamus diffinitiones Spprietates earii pquirentes. Arithmetica oportionantas est uisi auti . las pluriun uero ii talis aggregatio in qua neglectapportionuequalitate eadedi similis etfaserentia iter niteros obseruatiar vel aueditur: Shaec manifesta est in naturali numeroru serie. ubi sempduo rapvi morti differetia est unitas. t. I. 2.3. zs. o. T. Simili in naturali serie numeror partu seorsum: vel 1 prri u seorsu3: ubi semp differetia est binari' vis hie
Pares. 2. . 6.8.lo. Impares. I.3. .7.9. Ea de oportionalita hrinnaturali serie num eis
rorii pariter ipariu de quib' superi' dirim et quilibet eoru distata suo imo p quatuor
Unitates. n. 2.5. Io. q. s. Sc. Hacetian meroru sine in arithmetica practicaldi alg Q rism' vel abacus Igressione numeroru vocat. Dicitur aut talis numerori aggregatio pportionalitas arithmetica nocpipa sola intuerisco sistat Saliae oes In magnitudinibus: qri4de oes Nonioalitatu speii numeris oest,i magnitudinib iueniatur: sede parithmetica quia lota attedit mieru unitatii incessus iter pricipalestiueros qui coparatur. In ge metrica vero oportionalitate sequete nocurates de numero illaru unitatui quas pricipas Ies numeri elaeNcedulati eκceelsitur: prici parrarie dim 'quota pars sit ille Ocelsus reis pectu nisterieκcedetis,es eκcessi: di hoc siue eκcelsus ille sit unitas siue binari' siue ternas ristoc .vit no merito haec yportionalitas arithmetica .i.nuerativa ocessus di seques vero iii,. geon)etri a i. missitatiua eiusdEe ccessus. Arittani est yportionalitatisqtuo. . Dii ci prietates Prima deest cla quarta Pprietatenueri pariter iparis. s.lsi medis terminust .. uerit via': ille coniunctoru est medietas einremotu. si aut hi erit duo media illa simul sumpta adequatur duob'eκtremis sibi adluctis tria portioalitate cotinua j discotinua. r a P o. io Adapprietas. Q sicut qlibet numer' in hac a portionalitate se h3vt. 2. . 6. S. 2. . o. s. ad seipna: ita se hnt ditae ad differetias. nautrobilequalitas repoperitur qdio est possibile in aliis p portionalitatib'.hoc, Lin pdicti reeptis ubi oes di far'Pp ' serentiae ut dualitates.Tertia ἔ, prietas: qui primo nichomac tuenit: est. Q illud'd fit vi medio nuero in seipsim ducto mai' est eo qὸ pducitur κ multiplicatioreκtremor uado uice. 5 eκcestus peiise est latus quata est multiplicatiouni'disaei alii. de disseretiis loquor
medii ad duoeκtrema .ut hic. . . .eκ multipli tide medii Ocedit. et s. e multipIicitide aut extremoruli ut .al. cessus aut illi' ad istu est quaternari': que pducit differentiarum multiplicatio sunt duo binarii. Et haec Oprietas etia vera est inqtuor nunieria siue sit oportioalitas cotinua siue discotinua:du mo eNtrema adrantes mediu copatetur quodcuillotii ponatur ut hic. . . T. 9.eN multiplicat duoru mediomouenit. 3s .mni ultiplicatoe uero intre motu fit. 27. 4eκceditur, pcedete in . s. quata est multiplicatio bsnarii in ternariuq siit ditae eκtremorii ad viruli binaediolu . si hic. . . 8.io. multiplicatso mera dioru est. 6.eκtremoru. o.eκcessus e senari'yduct'eκ multiplicato binarii in ternariu N suidpiae eκtremoru ad quodlibet mediom. cui arta optietas sit numeris hui'pponionalitatis noditas sediporti des eoru attedam': in minoti nuctis maiorepportione: dc in maiorib' minore tuentemus. ut hic. i. 2.3. maior est yportio duoru ad reliquia duplaei triti ad duo quae est sesquialtera. S sic de alii seMemplis. Caput scdm deiponionalitate geometrica ct sussiprietatibus. Ient in arithmetica a portionalitate differetias equales numerorii attedebam' sic sam eontetricat portionalitate eo inde nuero ista ponioessires Sequales obseruamus undistinitio 1 portionalitatis quasnpi: reprobauim'. s.13ponion uisimilitudo 'eometricae xportionalitati erit aptissima. Est ergopponionalitas geometricatricti aut Aurm uerori si mrsuptorutatis copatio uti cis 3 ditae no sint eqles: ONMarii eorii sui silas di ed. lis.uthsc. q. 6.9. sunt duae sesquialterae. hic.3, 6. n. suntduae duplae: disic de aliis.E qua
38쪽
pARI IEC DA DE PROPORTIONALITATIBvs
di Imrione eliciturptio P geometri yportioalitas eκoibus speb'Oportioru coram tus. potest te duplis triplis quadruplis di aliis multiplicibus. sina ι litere sesquialteris sesquitertiis. sesquiqn artis Salus luperparticularibus eode3 modo sup biparitentiti tertia quitas. septimas. Scie suptriparticilla quarta quitas.septimas Sco sic de aliis ossi' specieb Secudo se qtur chnueri pariter pares seriati supti suta porridalitas geometrica qredipprietates paritcrpariu: geometricae Pportionalitati coueniet. facit etia ad hoc ypo auore , situ regula de cotinuatioepportionu supparticulari ut ultimo capite primi libri hui' sup geum tricaus polita. iareat ista a portio alitas dicatur geometrica' me iurativa dixi myipcedeticapitulo .qa ita bili stapportioalitas sicut Soes aliae estptractida isti etia arithmetica que admoduSigeometria. unde haec adiectiva arithmetica S geometrica liportioalitati hyno appellat lci etias i quib: cosideratur: sed cosideratio es iter eΜcessus nitreors quos aliter Damor
in una Saliterialiapportioalitate cosideram'.Hui' oportioalitatisqttuor sit typrietates ζ πPria si accipiaturi sierotia disscretiae seorsu Luna seriae eas dei sti portioes quas Siluetiquoriis ut diffinentiae. ut hic. i. a. q. S. 6.quoru differetiae sui: i. a. 6 3.Sc. Secuda Pprie lupoletis lataqEpporti litas geometrica fit eΜmniplicib'similit': differentiam loris ad suu primurnatore est aeqlignatori: aut multipleNnastiplicitate pMiomiori inlit nastiplicitas eorudelia erori .ut i r porrida litatis fiat eκ duplis mioritici 'differetia sibi aequali κceditura maiori . Geκ triplis differetia sibi dupla. si ex qdri plis differetia tripla S sic de aliis Ter nimii. tia a prietas quicqdiducitur e multipliciati χκtremotum ueroru i hacPportionalitataeide pueniet e ductu medii, medio mi uerorui se pos: haec fuit' talprietas liuetis p rite parit 9. Q uarta a rrietas hui' spei est i ta in nitetis maiorib'qx miori byestea de .riis ii,
Stimillis p portio h κeγpise h3 diffinitio P porrioalitatis geometricae superi' polita: posent hic ad dirida aliaeu praetates hui' mediocritatis geometricae .sir in termis et ' licet ara Piere coversiue pniurati Saliis modis de quib'in geometriadicem'. Notandu est etiaQ utro. interoes duos nuerosqdratos PMios sempest dabilis vii 'terti Dite immediva, portionalitate gemmetrica in eis facies qa duas similes a portioesh adnuerose M tremos: Stale me p.: diu facile iuenitur si latera illorii qdratorii adinvice naultiplicetur de qui b laterib' i upio potitona retractatu diNi in 'attenderes quot unitates h quit qdrat'i latere suo. Vt iter. . S. s. est Mn aris pclumis ex multiplicatio binarii cuternarioqsiit eoru latera. fili inter . 0. N. i 6. sui. ιχ.eκ instiplicatioeternarii qternario qsiit latera eorii. S sede aliis. Sed iterq llibi duos cii bicos pκios sui duo media Pportionalia .i. si respportioechntia civeκtremis S ad stipsa. quom medicii uniteroiuisior a ducitiar multiplicato latere cubi maioris p adrarum loris: maior vero medioluco surgiteκmniplicatioe lateris cubi nitoris p quadratum astoris: quadrata cubicom vocam' ii ueros quadratos eade radice hntes cit tali by cubicis . latera fit cubicoruunt unitates sue altitudis ut octonarii draui est. 4. lat' vero est duo.lit vis gesimi septimi quadra inest. 9.lat' vero. 3.ergo iter. 8.&.27.sut duo media portionaliaci 2.S. 38quori primu nascitur eκmniplicatioeternatii cu qternario .alterii vero paucis tur e multiplicatione binarii cum novenario S sic de aliis. Caput te nitide oportionalitate armonica Nde suspprietatibus.
IVM Oispportionalitas co sistat ad min 'itrib niteris: pter duas corii co parationes
iura dicta a potest adhuc tertia assignati: qua nec silasnnerorii differetias nec qies eo iis portioes obseruabim': hac armonica medietate censueri appelladacili' iissinitiora zφΣlis est. Armonica; portionalitas est triun uerorutatis colligati Vbi qualis est a portio in Id. 4. utimi ad treiani talis est diduaru dissei et saria iter se: quam maior e differetia maioris ad tu. mediii: mior vero eam est differetia ure κcessus medii ad miore r. 3. . o. ubi eν rem ni aioris ad in ore e Pportio dupla Metia exportio binaris ad unitate differetiae sc3 maioristi medii addictretia medii timiotis .farr3hic. 2 . 6.eκtrem otii Pportio est tripla Mea de Timons est dualii adiuice disserenifatii. eisde attinetis Natis aut triplatis aut aliter stiplicati lamnescleiportionalitas apparebit .Huius a portionablatis armonicae sit quattuor re vat . . petim pprietates priani t maioribus niteris ei' est maior a portio in natorib' minor.
39쪽
tametas tas et medi' terminus tota mioris pie miore supat quota maioris a malore sepatur,thlaa. 3. 6. medius lapathiore medietate mioris Lunitate: S supatur a maiore medietate maioris . ternario .hui' cotrariu habebat Pportionalitas arithmeticii ubi medi' term sn'toata sui Hemioresupabat quota etia sui a maiore stipabatur. nulla facta relatioe differentiaru adiueros extremos. sed i armonica medietate disseretiae paratur ad eκtreo. non ad n ueru mediu. igeometrica at a portioalitate mediocris fit copatio .qa una differentias ita resertur ad miore numerualia vero ad me diu. nai binaedi' numer quota Pte totis x is mioresupat: tota sus pie receditura maiore. Tertiar prietasu in numeris oportionalitatis armonicae sum aqyducitur multiplicatioeduorueκtremorit3adiuice medietas estitueri Nucti Gis stiplicatioe medii ii coposito Meviremis ut hic. 3. . o. e nastiplicatis neenremorii P ducitur .i8. sed ducti rattuor i. 0..est aggregat'eκeκtreis tui. 36 nuer' .aprema dupi' ad .i8. disic de aliis eκeptis .Quartapprietas et armonita mediocritas imueris suis smusica piteret geometrica rahibet armoni in no interito armoica vocata e Dicitur atha musica armoniacosonatia vocuataite S grauisi certaronenuerali. haec it no enisi qtucua
Tmons r esto parate no hiiti secta cosonalia sed ni ancio ipsecta. has alvom proportibes supras on*ως dictas musici vi alias videticis suis vocabulis mixte cognota tib'vocat. dupla:diapason disiii: velo laua.tripla: diapason diapete vr duodecima.qdrupla bis diapaso vel quidecimas.
Diapason se laltera vocat diapete aut quarta: sesqtertia: dialestro vel tertia voce supra vel ista alia mapaso oes proporti desco sonatiarii mustrali ii reperi utur intueris hui'pportloalitatis armo 'ti, o etia differentiae eoru conferentur ut hic. . . o.n1. 6 ad. proportio ses altera Diapente . . ad . . se 'tertia. O .ad. . e dupla.ternari 'at differetia retreotii ad unitate me disseretia Diauisb. medii Smioris tripla h3yportio e 3. sed .ia. resulta seMaggregatide maioris S medii cumeorii di heretia quadrupla est ad miore creternam'. sila hic. 2. . 6. medi 'ad miore e sesquialter. maior ad mediu dupl'. S differetia iter maiore mediu est tripla ad differetia iter mediu miore: ad qua etia differetia duoruerireoru eqdrupla: Neade eκtreoisi differetia e se'tertia ad mediu Armonia vero geometricis i. pfecti si corpis laterati dispositio Tmoum est figura clibica lut superi' diκim 'h3. 6. mplicies. 8.agulos S.I 2. lineas laterales. hi aut si Ox - ueri. 6.8.ia .cusent dupli adnueros prinis e pli suprapositi eadc meis hiltproportioalitate. Larmonica. ergondimerito talis nueroru aggregatio armonica vocatur Ppter
duas ratides supra dictas .Hacten' igitur de tribus primis oportionalitatib'qsunt valde
2 1 h,. auctῆticae S magni pcii apud grauissimos philosophorist. Hi ad earu facile luetioes opstitioiiaiuata ra hui' artis adaptare. Nappositis duob'nueris teqlib siue lipes siue ipares notabilietii a se ipsis distates: diuera mediiisieri luetioe 3:hatuariu speri oportionalitates variabim': itaq=dideri ueri eκtremi cuino medio sit proportionalitas arithmetica: cu alio geor regula metrica: Scii alio armonica medietas.yquibymediis ueni edisponsitur tres regulae. Prima et mediii arithmeticue dimidi ii numeri copositi eκeκtremis. vrest numer addes suo a resvis miore medietate differetiae retremorii. Secunda,la et mediii geometricii semp est radiκ quadrata numeri Oducti ewmltiplicatio eκNemore velim uer proponide eκtremorii mediu diuides.Tertia tra cris editi armonicia tuenitur si nitor numerus P differetia κγ tremotu multiplicscetur: Siducto diuiso Leopositu e eκtremis: nilei' quoties eide miciri numero addatur .vidatis his duob nueris pibusi,Mtremis. lo. S. o. mediii arithmeticuiter eos e. 2 s. geometricu est.2o. armonicii vero. I 6. vi pyeκ reglis. ulrpositis his duobus niteris Iparibus . . di s .mediu arithmeticum inter eos est .a : geometricii estis aris monicum autem. 9.&sic de aliis Gemplis suo modo.
ui . . t Caput quartum de aliis septem proportionalitatum speciebus breuissime P si ψhi ertractatis diffusius tribus primisiportionalitatu speb: aliarii potissimis opus est
habitu. I . Erilapidalia imo S salias huius generis spes diseramus: supposito prius ordine possibile. mltiplicadi huioi spes quotquot fuerit imaginabiles. ut postea reiectis ipossibilibus certunumerii spem possibiliti colligamus.auradmodu fecisse legitur aristoteles iste libro Disjtjgo by COOulo
40쪽
de Nasoeadiquire duceriurauem elemetorii dices:*qmior priam eaph lanea seκ sunt imaginabiles. sed eκ eis duae sucipossibileis: restat ergo revortatui possibile phii Stotide sit elemeta .i. simplicia corpora pria. Similia fere dicuit cometatore siquiredo ceria Aiatio minuerit plici metoriui piis itetio ibus tu siplicibus tu etia miκtis siue cognorationis mi alea, prete. narecte calculadoquigetapdicii nacta Seo plura sunt imaginabilia: sed notot sui possi di imiis bilia aut salieno tot repperibilia i vocabulis scietiam di artiti coit visitatis ut alias viderih3. Nucat adipositu ni3 dimissa arithmeticapportionalitate i qua differetianitatu siliis tudo tinopportionii aequalitas attedebatur aliarsi peruolum trib'quaternariis imagi N. sim nabimur modos: ut oesyportionalitatii spes sint tredeci: quot etia moraliu virtutu spes birii Tnotabiles iuen est perstissimi philosophorii. Cprudelia lintellectu S duodeci alias virtustes iam . ad si ritudine sacratissim scollegii pidi suoru appotu .Quaternarii at supradicti maint haec pricipia coparationuiter tres niteros alicui' oportionalitatis. pris Opara Eff. putotio ensicut medi 'nuerus adnatore. scda sicut maior ad me diu.tertia sicut maior ad miore pia uicina
auebitem ista rucoparationuJqttuor alias subdiuiditur vatiadop differetias illorii triunuero in ut sic dicedo. sicili se di medimn uerus ad natore: sic se h3 differetia maioris S me
dii ad disseretia medii Sisioris vel sicut medi' ad imore: sic eoru differetia ad differetia tam
maioris S medii .vel sicut ni edi' ad natare: sic differetia eκtromorti ad differetia duoruni maioru .vr sicut medi' ad nnore: sic differetia eκtremoria ad differetia duoru miorii. Et istelligitur sthoen dicim' se habere hoc ad illud:pportio maioris in eqlitatis uni', fieri ad alterii. visit sensus qualis est yportio medii nueri ad miore: talis est a portio differetiae huius ad illa. Sci Sit dice do sicut maior niter sem ad mediii: qttuor iuenim' coparationes S ita a addeclo seseli differetia maioris S medii ad differetia medii Sisioris. vel sic se h3disse tertiarias. rentia nitorii ad differetia maiorv. vel sic se habet differetia eκtreorii ad differetia duo tu maiorii. vel sic se h3 differetia eκtremorra ad differetia duommioru . Eodem odicedo sicut si maior siler'sehcadmiore qdrifaria est copatio: si addatur: sic se habet differetia duoru maiorii ad differetia duoru natorii vel sic se habet differetia miorii ad differetia maioru .vr sic se habet differetia intremoru ad disseretia duorsi maiorii vel sic fe habet differetia ex stremorii ad differetia duoru miom. He oessuri traditodeci copalides plerils sunt adhuc GEsimiginabiles aliae seX.Ldado oppositas copalioes duab'ultimis in quolibet quaternario parationeam sic se habet disseretia nitam ad differentiaeκtremoria.vel sie se h3 disseretia maiorii ad disteretiae inreorii.&hoctiplicii varia discd tria pricipia supdicta drii sit iposibiles inueris. Setia una duodecipeedetiueipossibit Holidena'. restat ergo undeci pollibiles: qruti uiuo reducitur ad duasqa coicidui Spei Heluetis suppon fit.&1ic restat decem spes spotiioalitatu possibiles dio distriis niteris supponetes etia conuerat arithmetica irro istapportionalitate: qabhmoicoparationibus erat aliena sed aliariolum iundamentalis di lita larii.
pria .cui' diffinitioe supposita: alie oes ewpdictis sic sunt diffiniede Seclida ergo portio N 2
nalitas est tres niteri taliter coparati q=sicut se habet medi' ad miore: sese habet differen e tia duorum aiorii ad differentia duorum tam .Vt.i. a. q. Shaec est geometrica Tema pro . Eiraria portionalitas est in qua sicut medi'admiore: sic differentia in toruse habet ad differentia geomeniae maiorvcl. 2. . .&est cotraria geometricae adnaria oportioalitas est sicut medi' ad minore sic differetia eκtreorii ad disteretia maiorit .vt. . . s. O uitapportioalitas sicut medi Quan/ us adnitore sic differetia erireorii ad differetiam torum. . o. .S tapponioalitas e tres: πάnue reiqb'sicut maior ad medii sic differetia maiorii ad disserenti Siniorum. vi. a. q. 8. geometrica haec item est geometri Septia est sicut maior ad mediu: sic differentiam ioru ad dissere I. predinetia maioru H. i. g. 6.d haec iteruest cotraria geometricae.Octauae sicut maior ad mediii sic differentia extremorii ad differentia maioru vi. . q. o. coicidii cu armoni . Non a P L portionalitas sicut maior ad mediii: sic differentia eκtremoru ad differentia mio iii et haec Hi possibi restipossabilis innueris. Decima oportionalitas est tres terminii quib' sicut maior admitiore sic differentia maioru ad disserentia minorii. H. 3 Φ. 6. Shaec est armonica. Vndecia it. 3. radii sicut maior ad maere: sic differetia miore ad differetia maioru .vt. . . o. ct haec est cotrari ai monue.