장음표시 사용
21쪽
Dispileta Ut qua minor numer' totus pluries eκceditura maiorecotinetur* In illo.Muliis σὴφ plici; pportionis icomuniueinotam pprietates ad nonu libria arithmetices ordas ni reseredae. Prima est et multipleκpportio caeteris iequalitatibs est Itiquior Sorigis
ne prior.haec declarabitur in Das cap. 6. huius tractam qd erit de origine orti
r.xpilata nu.Secudaipticias olaiportio multipleNoe multipliciu spei modi eWcotinua serie numerorii ad unitate relata ficile tuentutor haec ex pti' dictis i hoc pitulo clarescit.clictu est em et ois numerus ad unitate est multipleX: sub varia in specie multiplicatis Tertia yprietas et oisiportio multiple habet alia multiplice se maiore ut diispi, quadrupla.tripla non ocupla S sic de aliis. Multiplicisiportiois inlinitae sunt species speciali miniae tot.Lquot sunt spes numerorua qbus denotantur ut dupla triplar
quadrupla M.fine statu. Dupla proportio est numer' maior cotines totist minore adque coparatur bis praecise Q. 6 ad.3. S. 8.ad. . Sc. Tripla proportio est ei maior numeru4 minore ter pesse cottiaetvt. .ad.3. N. la. ad. .Sci gladrupla portio estae maior numer m inore cotinet totusci sequater.vt. 8.ad. a.&I2.ad.3.Sc.d thesidii hanc proportione definiretur oes aliae speciesproportiois multiplicis. Generatur aut siuei uenititur numeri talin proportionisi naturali serie numeroru.naquilibet numer'
ad itate coparatus cotinue sub aliam alia specie mltiplicitatis se habet ad illa .ri binarsus est duplus ternari triplus quaternati'Auadrupla ad unitate: sicinismitu. Ss in hoc processu no habem pro qualibet specie multiplicatis nisi vias exeplu: ut ergo sub qualibet specie innita eNepta repperiamus: oportet nos hac regula obseruare'descripta naturali serie numeroru ab unitate incipiedo sup ea scribatur alia leties licipsata binario procedatilpeontinua additione binarii S sic habebimus infinita eκems
pla proportionis duplae. ut parci in hac serie. Dupli. . . . s. o. 2. Et si linea supior iciperet a temarso edereti P coisI. a. 3. 4. nu1 additione ternarii iure irem'ifinsta eNeptapportos triple, ut hic. 3. o. 9. a. s. i8. Et si series superiori speret aquaternario Gle Tripli. r. a. 3. q. 6. derctvrcppercontinuam additionem qualemas riti deseruiret inelnplis proportionis quadruplae .ut in hac forma patet. Quadrupli . . r. 6. ao. Et si in incipiamus a quinatio in serie superii . - . Ore dico sequeter procedam'pquinarios tuentem' snfinitareempla proportiois qui icuplae disiccosequeteri aliis oth spebus. aincupli. s. o. s. o as 3o filii vero auctores diuersis verbis huius regu . . . . lae eande sentetia aliter protulinit dicetes etsi eκ naturali serie numeroru procedatur cotinue uno dimisso interscalariter: iueniemus oes duplos.ct duobus dimissis oesitiplos.Sitibus dimissis oes quadruplos disie colaqueter: ut patet ineNeptis positis. Alii clarius diXerutri accepis primis Neptis sol proportionii e naturali serie mictoruit prius dicebamus: si illi numeri duplentur erunt secudi numeri in eisde proponionibus disi tripletur eruitertii numeri earu de proportionia di si quadrupletur eriit quarti niteri.S sic colaqueter.& hoc patet etiaeversit in eNeptis suprapositis. Quatij oim sperii simul hesut due proprietates ad nou libritordant ptinetest Prima estim proponionum ultipliciua paribus nueris enotatam sem nileis maiores sui pares in Oibus suis reeptis impare vero hntiu desiis Fauci, utia amistis holatione: nueri maiores ne Poes sui pares ne Poes impares sed untis pardi alterim par alternati procededorvi manifeste declaratur in formulis proportion multiplicu superius descriptis.Secunda prpprietas ut omnis proportio multiple in sua generat nimis tioes sola misite numeros superat omitendos e naturali sine:sse' denotatio illius proponidis sumitura maiorinuero lsit nuctus omittedoraim: Sille excessus e sola
22쪽
PAR SECUNDA DE PROPORTIONIBVS.
Caput secudii deiportione sipplici'ari di eis specieb' Niptietatibus.
Vperparticularis Oportio est nuerns maior corines in se alium moret Elioearistum semel S ultra hoc una in eius parte aliquora.i.naedietate vel tertia cularuix vel quarta S ut. 6.ad. . S. II .ad. 9.Huius generis duae sun typrietates φ Πρήαetiae nono libro arithmetlaxiordani demostradae Ptini estuos, ii Ny parti utaris*portio h3 post se alia minore superparticii hare .ut sesquiala pi Maa tera sesqtertia S illa sesquiquarta disic deiceps. Pro cui' declaratioe adoritur secuda Oprietas.*inis supparticularis oportio quato a minorinuero denotatur tato est maior: δ viceversa quam a maiori nitero sumit denotatione lato ipa est minor visesquIaltera est maior Oportio sesquitertia haec maior psesquiquarta Sc. ratio chara este qualitate partiu aliquotariiqa medietas e maior tertia parte S tertia maior quartaSc. In multiplicibus auipportionib' quatitates earu augetur secudia ordine suaru denotationii Simalori maero denotatapportio e maiori.ut triplicii dupla Squadrupla est tripla maior M. Supparticulatis oportionis infinitae sunt spes luptae eκ varietate aliquotarii Sappini partiuq pcedit secudii naturale serie numeroria: ut sesquialtera sesquitertia sesquiqua ita Murisiipto sesquiquinta: ita sine fine. Sesquialtera vel poti'sesqualtera qua graeci hemiola, in est nuem Taior minore qtinsito; ei'medietate mi se.'.3.ad 1 di irid. Se Sesqui ' μ' tertia pportio*Sepitrita est maior numera minore cotines Set' tertia parte. H. . ad Sesquster
. S.II. ad. 9. Sesquiquarta abcNcessu quarte Ptissu P minore numeria denotatur: vi. .ad
.&.ls. ad. a. Sesquiquinta vero aquila Pici S siccosequeter. Gnatio aut oim ista iii spe 2 ''U ril ad habedii singula Gepta earii hac ni regula cophenditur. 4 seriensieromunita Eelduiqui te dimissarilibet seques niterus ad suu δκimia pcedente cotinue sub alia Salia spe supparticularis Pportiois refertur.W.3.ad. 2.est sesqualter S. .ad. 3.seMusterti'.&. .ad. .se of ψ ς quartusdie. Ad habendii aut infinita,Neptaculunibet species ponitur haec alia regula. Si 'Meptis multipliciuiportionii seperi descriptis lineae superiores adinvice coparen. mr: infinitaeκempla cuiuslibet proportionis superparticillaris Ostendentur. .f. quia tio
pii ad duplos sunt sesquialteri: qdrupli ad triplos sesquitertii. Ssic coseqnter.utis hic. Sesquialteri. 3.6.9.i 2. I . Sesquitertii A. s. ia. I s. ro. 24. Alii vero lacilius hac secuda Luia 'a. q. 6.8. IO. F. 6.9. II. IS. I 8 regula protulerunt dicentes
superparticulatiscitiuscunt si illi numeri dupletur eriit sedi in illis oportionib' S siti
plentur erunt tertii di si quadrupletur erunt quaris: vipd in Gemplis praedictis. Oim ristia. autem superparticillatium proportionum haec unica est dinotanda proprietas. Q quaeli unica. bet superparticulatis proportio in omnibus eκemplis suis seriatim sumptis primus do primum comitem sola unitate superrandi secundus secundum binario: tertius tertiisum ternario. sic consequenter procedendo per numeros naturalis ordinis.vocam 'autem n hoc capitulo Sin Oibus sequentilaus illos numeros duces qui sunt maiores in suis proportionibus: minores vero comites. empla huius proprietatis iam posita sunt in generationestarum specierrum.
Caput tertiit dea ponide superpartiete dispeciebus Niptietatibus eius.
Roportio superpartiens: est numeras malorqui ad allum minore comparat' ipsum totusemel Nplurer eius paries aliquotas eiusdem denominationis eκ Curparti δ' quibus innofiatuna pars aliquota:counetivi. .ad.3. vel 9.ad. 7.Sc vocam es appomo lautem plures partes aliquotas eiusdem denominationis, plures medietas i in Ninives plures tertias: aut plures quartas dici dicimus etiam notanter quibus non
23쪽
fiat ima pars aliquota: quia in tali caluit lipportio reduceretur ad suppariscillarr&n6elset supparties. ut si maior nuerus intinet minore S duas qitas ei ellet illa a portio serquialtera: quia duae quartae sui una medietas. similiter si maior nuerus colineret minore S tres nonas ei illa esset proportio sesquitertia quia tres nouenae sunt una tensa pars tos ue esus ius.Huius generis hae due sunt notabilesyprietates e nono libro arithmetices ordans appri in s requiredae. Prima est et ois suppartie sp portio h post se alia maiore superpartiente sir b M ea dein partiti denotatione. ut superbiparties habet post se supertripartiente di illam sesquitur superquadripartiens deinde superquin partiens Sc.quae semper augentur retenta eade denotati . nani in hoc genere tanto proportio est maior quanto a malori nucoro partium denominantui si earu deuominatio sit eadem S similis ut maior proportio est supertripartiens eptimas cpsup biparties septimas.Sadhue maior est sequitur supr .a puctas quadriparties lepilas: S sic de aliis. Secuda Pprietas.oes supparticiesPporto es. i.Oes spes subalterne hui'generis larguteκ naturali serieipariti upto initio a quinario quibus subscribantur omnes numerita pares bipares naturali serie sumpto initio a ternatio. ut .ad.3.est superbipartiesyportio. F. ad quatuor lupertriparties. 9.ad . . supra quadriparties xlic de aliis. sed haec numeroru sorma: noles spes speciali Timas suppartietes eNpis E ueparti eat ideo arrviestig2da est hui' viis rami ficatio. Diuiditur ergo supparties a portio prioisiliis ' Difinitas spes subalternas e nuero partiti acceptas. haesiit superbiparties suptriparties Surbspar superquadriparties Sc. Est aut Pportio superbipartiens niteriis maior cotinens minore ivno duaa eius partes aliquotas eiusdem denotatiois e quib'no fit una pars aliquota. m. si πνηp. ad s. vel . s. ad . . dic. Supertripartiesyportio tres tales partes aliquota superaddit. vi. Sumua d. q. Vel 3.ad. I. Sc. Superquadripartiesqmor. vi. 9. ad. .vel. II. ad. P.S sic deiceps Pisdripartu finitas spes. O uelibet aut pcictarusperu quia subalterna iterii diuiditur per infinitas spe GuPerdi cies specialissimas vatilatas e denotatione partiti. vii portiois superbipartientis: hae sutti, iis μ' ' species athomae. superbipartiens tertias. superbipartiens quilas .superbipartiens septias: Gudirim S sic δ cedendo Pnuero 3ipares in infinitu. Item a portiois si Ptripartientis haesiit spestitiis ves speatissimae sup tripties .rtas si Ptripartiesquitas. sup triparti csseptiasSc. Eodem O etini deretur indiuidendis aliis speciebus subalternis hui' generis dumodo obstructu haec iis uita coditio prima specles speciali iura citiuslibet subalterni habeat denotatione paritu sola unitate maiore numero ea rude partiti ut sit superquadripartiens quitas. sitquiparti esseκtas. superseκpattiens septias Sc. Prognatioe aut vel tuenti Oenueror uia singulas
ollatim is spes h moti portioni Ptinent. haec Vnim regula dilacillima ponitur.*pposita qualibet
inni pisu limo specie specialisnina: primus comes ei'statuam riserus denotationis partiu: cui si addatur tot unitates quot' est serus illarii partiu:ptin'cosurget primi duκ illi' ortionis. ut sit ponaturiportio sii 2 bipartiens tertias: prim 'comes est ternati': cui additis duab unitatib' eo surgit quinari' prim 'duκ illi' Pportiois. na. s.cotinet. 3. S duasvnstatesqsunt duae tertiae ternarii di stiponatur superbipartiens quitas prim comes erit .d prim 'duN. . superaddens duas unitates .eodemo in supbipartiente septimas priomus comes est. T. prini: duκ. 9. S sic de aliis Oibus speciebus huius primi generis. Ite, si proponatur x portio superpartiens quartas: prim comes erit. q. primus duN. P.Maaddit tres unitates esunt tres quartae qternarii. siciniportio supertripartient quintas primus comes est. s. prim dii est. 8. S sic de aliis speciebus huiusmis. Eodem trios cedi pol per hanc regula in singulis speciebus alioru generia sequenti uini moi portionibus. Habitis aut primis numeris cuiuslibet speciei talium oportionii: secundi Stet alii aequarii in eisdem p portionibus p cotinua multiplicationem eoriam facile inueniunn aula τε tur. Ness duplatis sient secundi. triplatis tertii. quadruplatis quarti: S sic deinceps sine fine.est enim regula verissima multipliciuS ubmultiplicium numerorum eadem S similis est proportio. unde per hanc viam qui vellet procedere: faceret plures terses nitearorum quae essent eκempla istarum specieruna: Ied haec lectorum ingenio pariter ω enitio deisibenda relinquiuius l
24쪽
PARS SECvMDA DE PROPORTIONIBUS
Caput quartu dem niti plici supparticii larid et iis spebus Syprietatibus.
torii pluries ultra una tmei' parte aliquotavi. s. ad. 2.na binari' pluriesco pari
tineturiqnario: quia bis S renian et adhuc unitas qest medietas binarii. Si, ' et
militer se hiit. 7. ad . . S. 0.ad. . Sc. Hui 'gnis haec una ponitur Pprietas ad ἴiopiis nonii librii ordaniit ines.* multiplices supparticularescotinue nascatur ewiparib suo tis ritica. ordine a quinatio cede tib'. Hui 'ro est.quia anquinariti nullus est nuem sta Ἀκcedes suos minores pcederes. post quinari ii aut cotinue sequiitur a resta lipportionabilesad pessis in suos iseriores. Diuiditur aut hoc genus primo pili nitas spes κpte multiplicis variatas nite.
qiunt: dupla superparticularis tripla superparticillaris Se.q sic diffinititur. Dupla sup Dupl/sina Particularis portio estiuerus maior cotin es minorctoisi biso una eius parte aliquot g Iel '
de cibus aliis spe by ubalternis. Dianaqlio iterudiuiditur Pisimitas spes specialissimas Eph. suae variata seκ denotatoe partis aliquotae sta cecut secudit naturale ordine numerorii ut suo subdiuidue Perius dicebatur ita p. r. hui' tractat'. sic dicedo.dupla sesquialtera: dupla se 'tertia duι -iiδ' prapta se quarta dici Sinai tripla sesquialtera tripla se tertia: tripla sesquiquarta. Ite qdrupla sesquialtera.quadrupla es quitertia. quadrupla sesquiquarta Sc. quarti perii dimnitiones eκpκimo dictis subalternis SeX diffinitioib'secii di p.nuper allegati facile quis obbris,
colligere pol. Generatur aut sitieiu uturn ueriois istarus perti hac unica regula obser ignis cita Data. et in crualibet spe urin sicoHes sena es niter is denotatiois partis aliquotae. quod uDIato vel triplato aut quadruplato secitdu eκeetia specie subalternaeppositae: S unitate luperaddita resudiat prim 'duκ tali spportois. ut dupla sesquialtera ocedit re binario duplato Sunitate apposita .ut. .ad. 2. dupla sesquitertia oritur a ternario duplato initate. ut. . ad . . sic de aliis spebus huius subalini. Simila tripla sesquialtera fit, binario triplatocii unitate.ut. 7.ad 2.tripla sesqtertia e ternario triplato adium etia unitate. utio. ad . rcipia sesquiqrtaeκqternario triplato Sunitate .ut. I .ad. .disic de aliis speciebus triumlinii i speciali iIimis fiat pcest 'sine sine. Habitis aut primis niteris euiuilibetpportioi pdictaei cotinua eoru multiplicatione .i. duplatione triplatione c. iuenietur secta di niteri S tertii Sqrti in eisde speciebus oportionii. siccoseqnter istititii.&poss3 qui vellet hic formulas istiniiportionsi e dictis facile describere. Caput quitii de multiplici sit perpartiente spebus Syprietatibus eius muli ire VLTIPLEX superpartiesyportio es nunaei' maior minore totii cotinens supparival 1 pluries Scit hoc pluresci'ptes aliquotas eiusde denotatidis eκ qui byno fit qui iii hi naps aliquota. H. s. ad. 3. S. ii .ad. . Sc. Hui'gnis haec uni capprietas est. IV:
ij, multiplice, suppartiete i ab octonario pricipiu habet deide alios nileros
naodo pares modo ipares subsequiitur Sietaeratur. Cui' ro est quia an octonariit nul 9 est dabilis niterus tale oportione hiis ad alique minore pcedentili: Stii post ipm multi Smniti sequuturn ueri qui h molyportioesiue nititur. Diuiditur aut hoc gen tripli Dureos. spes. prioi subalfnasilinitasvariatas eκptem stiplicis. ut dupla suppiles tripla supplicet meat ite adruplasuppiles Sc.q sic diffinititur. Dupla suppliesyportio enue19maior cotines mi πψPu tuure toria biso plures pie ei'aliqtas Gqbyno fiet una psaliqta .cosimilli diceretur de alii rq μ '' subalternis sequentibus. Secundo diuiditurqlibet species subalterna per infinitas specesvariatas e nil ero partiu.m dupla superbipartic s.dupla supertripartiens dupla super mihi iquadripartiens Sc. Ite tripla sup bipartiens. triplasi ptripartiens Sc. Simila quadrupla niti. DPbiparties. quadrii pia sulltripartiens Sc. quaru specieiu facile darentur diffinitoes sic
Dupla urbi partiens yportio est maior numera cotinens minore bis S duas et 'partes Da pulsis liquotas no facientes una aliquotLSsieXcrescerent tres tales pies est dupla sopiriparties
25쪽
ctae . illo quaelibet proκimo dictatu specletu subalternatu diuidituri insanitas specia: lissimas variatas e denominationibus partium .ut dupla superbipartiens tertias dupla superbipartiens quintas dupla superbipartiens septimas Metera. Item dupla supertrimitiens quartas. dupla suptriparties quintas vel septimas Sc. Ite dupla supqtiadripartim, quitas. vel septilina Sc. Simili tripla sirpbiparties tertias. quitas vel septimastic. Ite trista lupi riparties quartas vel quitas S c. Ite tripla supqdripti e quitas vel septima Sc. Simili qdrupla sup biparties tertias .vel quitas. vel septimas c. Ite quadrupla suptriparries quartas vel quitas M. Ite drupla sudquadripartiens quaeis. ves septimas dic. clauarii specierit dissi niloes facile eκ dictis igeniari possunt hoc mo .dupla supbiparties tertias P; portio est num et' maior cotinens minore totii bis S duas partes ei 'lsu duae tertiae minoris .vt. 8.ad. 3.b si sint duaequite esset dupla supbipartiens quilas .vt. I 2.ad. s. si duae septimae: esset duplaiybipartiens septimas.H.i6.ad.7.M.Simili diffiniretur aliaru3 specie rup denotatatui vitaql .aus aut velletquenire cuiuslibet speciei id ictis minae ros primos hac victatur regula facillima. Cui iislibelrportio is multiplicis supparticiis ispecie specialissima prim 'comes est num et 'denotatiois partitiquit imo x fertur in illa sue: deide si ille dupletur aut tripictis aut drupletur scri coditione specie subalinae primo diuisae S tenso tot unitates ad datur quot' est num ei ' partiti significat' specie sub alterna scdo loco diuisa: resultat prim' duκ talis a portiois .ut sipponatur tripla suPbi2 ties septimas prim 'comes est T. 4'triplato flui. ri .ec additis duab'unitati bycostat. 23 qest prim dia talisiportiois. S sic fiat inoib' aliis spebydine exceptioe . tuc primis it lis numeris duplatis aut triplatis aut qdruplatis aut aliter multiplicatis pueniet se dio tertito quarti niteri in eisde oportionib=mite de aliis multis. Vnitnmod describe di formulas istaria specierui: si s vellet eas facere Sedria multi sunt ipeditio tardi genio ad faciedas supdicta syportionid sormulas: quas arbitrio eoru reliquim 'imp pce dcteu decreuim 'hic addere quada nuerorii sorma quadrat. stoib aliis formulis di facti, ficiendis equaleat. ait Letoimiponsonu 1equalitati, nucti eκeptates valeii ueniri. magna formi logitudine sua a sinistra in deκtera habeat i prima linea naturale serie uesroruabunitate .secuda linea sub ea icipiat a binario dico tinna ei' additionercedes. tertia linea icipiens a ternario cotinue Padditione ei peedit. quarta per quaternarios quila per quinarios Sc. donec tot stant lineae subscriptae quot sunt numeri in prima linea .sic seuadet sorma quadrata Oim lateriequalium talis. MLCngitudo tabulae.
26쪽
PARS SECUNDA DE PROPORTIONIBUS
In haestitur Drma quaelibet linea ad prinia coparata est yportio multipleκ ut secuda linea ad prima est di ipla.tertia tripla .ciri qdrupla. S sic Toes spes multipliciu oportio et stipis nil Ite dimissa prima linea: alibet alia ruseqns ad suffiκimo pcedete est supparticularis
oportio.vitertia ad secuda est sesquialtera. qrta ad tertia sesquitertia. quita ad quarta seri quarta. di sic deide poes spes supparticulariu Ite quit a linea ad tertia. vel septima ad qui Eupliciita. vel nona ad septa rara.&sicco sequerer poesipares: Oste dent singultis spes sup bipartietis p portionis. Simili septima linea ad quarta. Noctaua ad quinta. S decima ad septima ii yy Sc.declarat spes suptripartietis. Si miri non linea ad quinta Sindecima ad septima. Stredecima ad nona Sc.eκpluat singulas spes superquadripartictis. Ssicycedi potadocs spes tertii generis jestiportio superparties. Ite referedo quinta linea ad stelida ut se mutupuitima ad tertia. vel nona ad quarta. vel undecima ad quinta Sc. Pac ditione binarii habes supparticubimus oes spes duplicis supparticularis. Simila coparado septima linea ad secud1.vel da
cima ad tertia. vel tredecima ad quarta Sc.padditione ternarii tuentem' oes spes triplae superparticularis. Similis coparemus non uordine ad secudii. Stredecim uad tertis. Ndecimvleptirnu ad quartu Sc. padditione quaternarii:ostendem'oca spes quadruplicis superparticularis. S sic colaque ter xcederetur poesm s multiplicis superparticularis ierat quartu gen 'iportionis aequalitatis. Tade ad habedas singulas spes specialissimas quili generisqdest multipleκ suppartiens .coparare oportet alias lineas ad alias I pdicta Vr eae
forma. na octaua linea ad tertia. Sindecima. di quartadecima. decima septima. ad eadetertia S siccoseqnter: additione ternarii aliae multae eMibet niteros singularu perii mrtiplicis superbipartietis tertias .ut dupla. triplioc. Similis ad quinta linea duodecima Ndecimaseptia. vigesima fecitda: N Geteraei additione' narii referatur: ostediit oes spes multiplicis superbipartietis quitas. ut dupla. tripludita Simili ad quarta linea referendo isti, uvndecima. S decim aquinta di decimanona Sc. perladditione quaternarii: habem 2 singi in.. Ias spes multiplicis supertripartietis quartas. Si miressi ad quinta linea tredecima. S deci Euperiricinia octaua.di vigesima tertia Scipadditione quinarii:erut oes spes naultiplicis suptris partietis quintas. ut dupla tripla Sc. Eode modo si ad septima linea decima septima: di vi gesima quarta, trigesima prima die. per additione septenarii referatur oste dent singlas species multiplicis supertripartietis septimas. ut duplam triplam Se Consimiliter si ad quintam lineam comparena usquartana decimam. di decimam nonam.&vigesima quari et g. tam M. per addstionem quinarii habebimus singulas species superquadripartietis quint .vt duplam triplam dic. Itide si ad septimam lineam resseratur decimaoctaua. Suigesima quita. Strigesima sed a Sc. padditione septenarii appebuties spes Oportois nam plicis .sup quadripartietis septias ut dupla tripla Sc. Patet ergo praedicta numeroru forma si bene in longuo latu augeatur: facile intuentib9 demonstrabit Olmpponsonuitia specialissimam numeros.vnde arguitur maκimaei' utilitas pariterati dignitas. qua propo Supraesterno indignud imus eius notabiles proprietates hic apponere et sunt numero qui BGeta. Prim apprietas et oes numeri in hac forma diametraliter aut diagonaliter a primo agu .a,si elaolo ad tertiit descendentes sui numeri quadrati. na quilibet eoru resultat eκ multiplicato eduoru equaliuadinvice de quib' paulo post dicem'. Secudaiprietas. in umerosqdras .iptimatos in hac sorma circudant alii niteri dictito lateti aut altera ptelogiores:qui tu traductu nisteroru Inequali used yκimorii in naturali ordine adstipos.Ciresidates diculurnumeri politi labet supra vel de κtrorsum et sinistrorsunt ad alique quadratu.ut circa. v. sit ' a'pricia. c. G.l2. SciTertia I prietas et duplato quotlibet numero quadrato atm superadditis es duobus cir dantib'Iongilateris resultat inde alius numer 'quadratus. ut duplato qua tertiario sepadditi' binatio et senario longilateris fiunt. i6. quietia e quadrai'. Colari .Pprie.
talptietas et additis duob qdratis yκina istimul cu duplo logi later comunis iteri resultat nuci'qdrat ut additissimul. .et. 9.cii duplo senarii sivi. 2 .ie numer' quadrastin uita proprietas in hac tota forma quadrilatera et qualibet eius parte quadrata s 1'pi in4.
27쪽
sedullis ut semel. m. est ideqd vigesies. ro. Ster. s.faciut. s.simi noulas. s. similli minoris ter septies. o. it. 28 o. sicut decies. 18.ec sic de aliis multipliciter eveptis .Hacten' igiem Jlh4ti de Oib generib speciebusiportiois maioris in equalitatis. qb totide corepodetri
qm di, lim diuersitatest minoris te qualitatis: Nisub multiplicis oportois spes ut sub dupla sub tripla sub qdrupla S ce Species subsupticillaris sunt subsequialtera subsequitertia subseqqrta dic Species subsuppartietis p portiois siti subsupra parties subsuptriparties subsup quadripties Sc. Species subnam plicis supparticulatis sui subdupla sesqaltera: sentertia: sesquiqta Sc. ite subtripla: sesqaltera: sesqui stertia Sc.ite subqdrupla sesqaltera insquitertia Sc Species uno submultiplicis suppartietistitit subdupla supbiparties suptripties supq driparties S ci ite subiti pia sup biparties suptriparties Sc.ite sub qdrupla supi biparties stiptriparties supq dtipites Se.&χ libet istarii specierit diuiditur ad huc diuinitas secundu varias denotatioes partium sed haec ota statim cuilibet nota iunn Caput. o. de origine proportionum neqlitatis ab aequalitate. io ST pinsincosideratioe dignit videtur olidere quo oes equalitatis species ab aequalitatis primordiis pereatur. noticia .n .coparatim specieru alicuius ge
:ό' noticia singulare ea rude multu eoferre solet ad clariore par itelliis. E tentia que ad modii porphiri' circa pdicibilia fecisse coperitur Post singulo
ru declarati oes addes quissipdicabiliuesparatioes Oaatois in equalitas ab aequalitateycedat rationabile est .sicut. n. unitas se habet adiueros oes:sic se habet aeqlitas adiporotio es es: quia aliariboim origo est Sis ξ deide inter genera eqtralitatu cita ordo origis seruatiir.qus tequalitatu pria e multiplicitas: e qua inaediate oritur supparticularis Oido pio eideὰκ superparticii lari superparties: ite e superparticulari multiple superparticus Pomo' M latis .denim e superpartiete multiple superparties. Sed hoc est itelligedii ob eruato tali ordie: quod ereprima specie generis pcedetis:pcreatur pria species generis subsequentis.&e secunda secitnda. S e tertia tertia. S sic de aliis: quod verti est in Oib generibuspportionii sese colaquetibus ordine subpposito. ergo de prio ad ultim si per media cotis nue ordinata: eκ aequalitate oritur Ois equalitatis species. Pro ista aut successctione origis igQ pN pportionii haec unica regilla di infallibilis su Scere potest et descriptis tribus arq libynu
., is ' ' bubuscussi in una serie: subscribatur, uero primo alius nuerus sibi aeqlis. deinde
sub seculo superiore scribatur, uerus alius copositu in primo di fecitndo superioribus denim sub tertio aequaliuscribatur alius nurn erus aggregatus eκ primo qualium S eκ secundo duplato di ex tertio simplici per talem ergo modum subscribendi Muribus aequalibus crescut alii tres in Pportione dupla conatinuatI: N ex tribus duplis simili mosubscriptionis orititur alii tres in proportione tripla sese consequentes &ὰκ tripla quasdrupla disiccosequenter per oes multiplices. ut clare ostendere pol haec rma. I. I. r. . it.bri, Similiter permutat ordine numerorum ultipliciu: stat maiores numeri pre r. a. q. tidliciuin scribatur minoribus P eande arte subscribedi ex dupla portoetii uniterori t. s. q. ligo in edtinua oritur sesquialtera.&eκ tripla sesqtertia:&-qdrupla seMquarta. Ssic . . is
zr poes alias spes supparticulariuiportionii erit cotinua gnatio eκ multiplicibus ut hic.
permutatis sed ordine suae origi itisua situ descriptis nascuntur multiplices superparticulares seriatina .uteκ sesquialtera dupla frum iuuiari quialtera. Neκχ'ilitertia dupla sesquitertia dic. viciare ostendit haec forma. - . 6. .l9. a. io . Tande eκ superpartictibus numeris ordine quo geniti sunt
panista partietes singulas pessinglis coparando. ita*χκ superbipartiete nascitur dupla superbi Partiens: Neκ supertripartiente dupla supertripartiens dici ut hic per tria Gempla.Dsa ligus by COOu
28쪽
PARS SECUNDA DE PROPORTIONIBUS.
v. . I6 2 s. q. 9. . s. s. i. , Relinquitur ergo eκ dicto processi veram ' a '6 16. Φ. III. 2 s. o. i'6 esse regula supradictam de continua origine proportionum ab equalitate si ad ultimam nequalitatem. Caput. 7.de resolutione Olmiportionuiequestu est ad equalitate. VI A vero siciit in antra lib' ita Set mathematicistis res ewquib coponitur in eade resoluitur: coleque ergo eritiem equalitates cotinuas reductiones usi ad equalitate placere: quaten'fortiori argumeto certissim si relinquam' qd deprimam equalitatis ad maliapportione plibauimus. Et in hacpportionii reductioeeade via elidem passib sicutigress i sumus regrediemur s. unaqua priequalitatis yportione ad ea reducedo aqua poeiserat pdoctrina capituli pcedetis hanc obta. . vero xportionii resolutione etiavnica hac regula copraehendimus. R descriptis trib'nu solutidio, metis tequalib'in qualibet ymnicte colligatis: si primo numero subscribaturali'sibi e portionum
qualis.&secudo supponatur residuit substractiois primi a secuta lapiore: sub tertio vero numero inibatur ille numerus qui remanet subtractis primo simpliciosecundo inferiore duplato a tertio superius descripto per hanc ergo artem subscribendi proportio dii Iupla reducetur ad equalitate: Stripla ad dupla Squadrupla ad triplaevi P hic. l. q. lolapportionib'vero supparticulatib'se'altera resoluituti dupla: bsessitertiari. I. . o. ων , impl2Ssesquiqrtaiqdrupla .ri clareolidet eκepta supio is cp. reppetitan hic. . particulari . 6. .l9. ia. 6. Sintiliter in proportionibus superpartientibus res i. r. . i. suppar . r. v i . . st i l ducuntur omnes species ordinate ad superparticulares, suo perbipartiens ad sesquialteram. supertripartiens adlesquitcrtiam Scelere. ut hic.'. s. s. i6.18. 40. Pariformiter multiplices supparticulare resoluutur Ordiate e .is.liis. 6. . . lis .ia. ad supparti lares aquib'oriebatur.s duplastKaltera: ad se uita tibi,
qui altera: S dupla selquitertia ad sesquittia: Nuc de aliis rimo strat epta equentia particulari 6. o. 2D 9. 2 l. s. i6. 36. i. t Poliremo singulae species mulis pilaium sui ue . . . . s. a.' 46 i 6 o. perpartientium resoluuntur per eandem artem ad species superpartientium a quibus oriebantur.ut dupla superbipartiens ad suuperbipartientem S dupla supertripartiens ad supertripartientem Scetera ut hic.
et li iri Fatet ergo qua uniformiter se habet in proportionibus: si
is dis Lis 18 4 luergressus ab italitate: siue regressu ad eande P grad idibis, bimedios inter κtrema qsiit pria aequalitas diniaNima equalitas si esset dabilis inuetis bine potia tame ordo supradictus faciensima Pgressu bi regressu: videtur ratios cottai supparticulares.ut duplacbsesquialtera ab aequalitate distare , supparticillares. ad satillaeiedu huic dubitationi dabim aliam retulfi de origineo resolutio a portionu nequaliti ad aeqlitate: quat ad multiplicesti sit particillates duiaκande aliis aut nocurabimus. Regula haec est.Oisiportio duor fit. extremorunuetorii ad inuice coponitur eκPportioib' illoriaeNtrem Oru ad mediu vel innsbis a ad media iter eos repperibilia ideol illai portio e maior qualibet istatu sicut tot sua et stirparis parte: ac perinde illae remotior ab aequalitate siste partiales. Et quia iter nueros Ppon η . tionis multiplicisse pes dabile mediiihfisa portione supparticillare maves plures adnueros tremos ideopportio multipleκ resoluitur insupparticillaretan lin priore r.
Modus titistius resolutiois talis est a portio dupla eNceptis binariora unitate in se
perest resolubilis iditas prias supplicitiaresqsiit sesquialterai sesquitertia. quia sepuertatrema duplipportionis est dabilis aliquis nuerus medi ad unu inrem sesquialtertiad aliud sesquitertius.ut inter. a.di Φ.est ternarius sesquialterad. a. S subsesquitertius i. re is
ad ais ita in ossius aliis duplisifallibiliter. In aliis vero multiplicibusqlibet eques pecies: soluitur in peedente multiplice S in illa supparticularema tali multiplici nascitur se indu regula pcedetis capituli ut tripla resoluitur in dupla di sesquialtera di quatruo pia in tripla. Esesquitertiam disic de aliis quia interoiaeκtrema tripleiportionis dabiDisjtigo b Coo
29쪽
la est mediu talesiportioes obseruans ad einrema ut inter. 3. S. i. poniturisnatius duo plus ad unitate res subsequialter ad ternarisi. Sinter. . S. stlantenrema druple Proportiois cadit ternarius triplus ad unitate: di subsequitertius ad quaternarisi .eode mos Inrisa ad do P deretur inoibus aliis eNeptis ista rudiatiar a portioni multipliciu . Hic fecisseis iniunia 'sine tramide oportioibynuerati Stoti prion raeitroductiois arithmeticae Iibro:
nisi quoruda musicoruo platonicoru dubitatio frequens absolui posset O pdictis qrutent sepi'pposito aliquo numero quot nueri supparticulares possint cotinue ad illum se m Q iii in data speciae illi' generis ut post binarisi quot possunt dari tesquialteri cotinue seco sequentes: post ternarium quot sesquitertii. postriternar in quot sesquiquarti S c. Hui questiois solutio eκ doctrinapcedentis capituli pendet ubi dictu est ipὰκ qualibet spciepportios multiplicis pcedit aliqua species p portiois supparticularis ordine derii a disti dupla sesquialtera .eκ tripla sesquitertia .e qdrupla sesquiqnsa di e Nucat eκ illa doctrina duo sequutur ad pmllsa qstione respositia: primu est et post numerii qui nulli est dupl'nuli sequitur sesquialter. quia talis no habet medietate Spost numerii qui nulli est tristi 'nsili 'dati it sesquiterti': ea de ratio e quia ille no habet terti apte . di similita ter Postuum erv.qui nulli est quadruplynodatur aliquis sesquiqnari'. Sc. Secitdu est. posta lique numerui dupitriot sesquialteri cotinue subsequiitur: quot' ille fiterit inter daplo sup aliqua radice no dupla.d tot seritiitertii quotus numer 'dat 'fuerit iter triplas sup radice no tripla di tot sesquiqiti quot' suerit numerus datus inter quadruplos supeli. mplum radice no quadruplari lic de alii simoici ueris in lallibiliter. Vt supunitateste radi nulli dupla: prim' dupl' est binari' post queunt tam reperitur sesquialter. s. ternari'. scdsdupis est quaternari' cotinuat 'post binari u .adque sequutur duo sesnil salter s. s. o. S. 9. terti' dupi' est octonari' ad quem sequiitur tres sesquialteri. Lia .is. S. 27 disic de alisa
in infinitunt Eode ino posset quis pcedere in niteris dupli supternariti. suo quinariux Glum sup septenariti. c. sutra dices no duo lae. Ite supunitate Φnulli e tripla prim tripl'
est. 3. postque un' tantii datur sesquiterti'. s. g. secund' tripl' est. 9. postque reperiti turduose 'tuteriit. s. a. S.I6.terii 'tripl' est.27. postque dabiles sunt tres sesquitertii. s. 36.48.S6 .Scin infinitia .code mo posset quis edere in umeris triplis sup binariu.qviternariu.quinariti. N alios qui sunt radice io triplae. Item sup unitate'q nulli est'indrupla prim' quadrupl' est. . que sequiturvn'tati sesquiquari'. s. . scas quadrupl9 est. i squi habet post se duos sesquiquartos. s. 2 o. S., . terti' quadrupl' est 6 . qui post se has et tres sesqquartos. s. So. looS. ias. Sc. in infinitum .eodem modo posset procedi sundinarium. ternarium.&quinarium.&alios qui sunt radices non quadruple. predictorii sequuntur κempla tria. s. in sesquialteris sesquitertiis S sesquiquartis.
linee superioris in qualibet figura talis est SOim aliarii lineam sub ea descriptam visitionis pria figura est oportio dupla in olb'sus linetis.i secunda figura a portio tripla. in tensa. b. - lx di vplβ Sessida Pprietas inum agulares in qualibet dictam figurarii hst sola,ns, F- tate maiore multiplicitate binieri lineam pdictaru . Hangulares prime figure sunt tri
sibi ... si u i fida ir pli in tertia quimpli. S sic de aliis Oibus. Satis ergo merit, pleno
discursu Oi3pportionunuerat tu qui oes sui termini depdicam et ad aliquid sub illo genere subaltem o qd alias posui myste dictu ad aliquid scam qualitate di in duas species aequale Sinaequale stati diuisim' puenisse rim ad cotinuatione plurisiiportionum eiusde speciei in tri, aut quattuor aut plurib' numeris sese coseque tib'.q cotinuatio DPortionalitas appellatur. de'ira dispeciebysuis ac Pprieta ista' insequeti libro secudo es
30쪽
PARS SECUNDA DE PROPORTIO Xmus.
imaginatIone seqtiens diuino illo opii sculosio de vera de religioe secreta philosophsca Palidit dicens auctoritate hilarii bi patre es unitas: in filio aequalitas: S in spiritu sancio Vnitatis aequalitatist conneκio increaturis auteniolo' inaequalitas. Inaequalitati qua st in rie species reperiuntur: quia solus dei filius cuspiritu sancto ab utroq; edente sic geni tatus est a patre suo: ut esset vera Sypria imago ui ibilis dei primogenit' ante Cena creatu litio. ram: ut Paulus a pol olus dicit resten i spledor patris S figura substatiae eius adaequans pa S uo sautern apsectionei omnib' essentialib' perfectioib'.quibus duot' per osa etia similis e spi ius e ritus ictus adequas sui pricipii a quopcedit pfectione. ideo nimirii ponitur unitatis aeqlitatis. coneκio dicituri ne κus aborti sepducentiu Creaturaevero sic Pticipat diuinas tas. Nemoes: Q no ad equatur planis diuinis a quib9 emersit: sed loge ab eis distat nequa Cieaturaliter. undeno imagines sed vestigia diuinae trinianis esse dictitur. Ssi quadonome imaginis sacrae litterae ad creatura strasset ut in obliquo no in recto illud poniit ad significat duo itariea. sinaequalitate. tale est illud genesis primo faciani' holem ad imagina 6 similitiidine rarunt. npam. Sillud e3echielis de agelo apostata te adeo tu signaculti similitudis iquit dei. Ne L Mur Et sicut imaginatoe pictagoricaeentiae creatura tu specieb'nueroiu. similate sunt quia in ubiui pradati sitis pfectioib'Ocediit: sic eade usa speciebus aequalitatu diuersis coparari pos et i te adsut quaru qda Opius aliae vero remoti' accediit ad aequalitate diuinali planarii. scindita a in reduci me vi aure luis ibide doctor P sequitur creaturaru aequalitas ad diuina aequalitate qua a ibi, tu est polsibile nittitur tendere. ut pote quia otiis adaequalitas ab illa suma aequalitate P in citri , id celsit: ideo nimirusi in ea de sititerii resolubili et quia uniuersa a pleri emeti pluiparat Maudui est c9Hie sit et homus eκ inclinatioe naturali couenit ut nihil placeat tu creaturis: quodno aliquomo iniitetur illa luma aequalitateqest dei filius: quo verbo dei facta sunt omia. Et adducit augu. ibi eκeptu de&nestris arcuati Lyri si duae solae in aequales iu&ta se ipsas positelint stati intuitu aspicientiu offendiit dii plicentcphoibus: Opter deffectu aequali tatis inulla est. si vero tres tales vel plures fenestrae sint ut ponatur gradati aequales vel duae laterales miores iuκta media maiore: stati placet illa structura fenestrarii quia ibi est aliqii H vestigiu aeqnalitatis. Na inter fenestras inaequales lini P portioes aequales. s. res vatis eωtremis ad media . Hoc inquit nullus artificii quatuc sic ingeniosus aduertit in edificii talibus: qiisa decubit icti natis ad terra oculis: nec unde res pendeat e coelo videt: sed tantii fiscotetur respodet: sic deberi fieri fenestra C quia sic habet ratio artis haedificatoisileti no aliter: S sic haedificia pulcra sunt Nno aliter: ideo sic facta placet S aliter facta dis ci huisitiplicent. Multa P alia notatu dignissima in pdicto opusculo adpporticesct forma si ite, piis tib iroruptinctia siniisim' ille vir diuinitate pleri' latissime psequitur. unde conuenienses aritot risuladmias numeroru&ad Oportionalitates traseam'. Primi libri arithmeticae finis.
Tibericcundus troductiois arubnactice de so rimis
nueralit' ait dei portionalitatit' eoru habet igi duos tractat' sicut pcedens libet Tractatus primus denumeris habentibus similitudine figuraru geometricar quae propriae formae numerorum dioentur. habet capita tria. Caput primum denumeris linealibus d superficialibus.
Untitas discreta uel numerus licet paria ra
tione habeat a continua quatitate siti genus subalterniqitalitatis ab ea distinciu: haec tii duo gener hiit magna iter se couenientia in multi Lbparadopprietatib'ut inpportioib':pportionalitatit': diuisioiL9: partibus ali ' Qqψε quotis Saliis nidis canino aeque priori ritudini S magnitudini coueniunt: sed prius sectius S simplicius multitudini,deides attributionem
ad ea couenires barii magnitudini. s. lassidua liqua ronen uerale HOIuo argumentu .. . , clari minue figliraque viriso qualitatib'cois c. nab numeri aeque alcyluphcIes cor stilao ompora si purabiles sunt: sed niteri puri' simplici': namdeminuerit cotingit inriti linea munis rap