Curui ac recti proportio a Bartholomaeo Souero Friburgensi in Gymnasio Patauino matheseos professore promota libri sex. ..

51쪽

Curui ac recti proportio promota .

. ad DO. Quare eum sit ut Iu Ord Mc. ita D ad DC. di pus ad Iu Q. Fchol minorem habeat rationem quam DC. ad D O. ex aqualitate, minor eriti H ratio M id MN. quam DR. ad Do. in diuidendo minor ratio aeq. ad , NM. quam RO. ad OD. Quod est absurdum, cum ex et s. huius , maior huius sit ratio ad N I. quam 'O. ad OD. In hoc problemate his psimus principium Archimedis, chvrdam ef-st arcu minorem , taugentem eodem maiorem, quod si ideo minus Geom tricum videtur, saltem idem momentum habeat, quod multa Archimedis propositiones ex illo fonte deriuata, quibas cum fidem hactenus nemo nis; si iem etpnetror abrogarit, neque noctram 8sdem natalibus ortam , tanquam juriam quisquam rejciet.

THEOREM A XXXI. PROPOS. XXXII. TAngentis maioris arcus , ad tangentem mi

noris, maior est ratio, quam secantis maioris arcus ad secantem minoris. IN Quadrante ABC cuius centrum A.diameter AB.mai ris arcus BF. sit tangens EB. secans AE. & minoris arcus BG. sit tangens DB. & secans A D.

Dico maiorem esse ratio em

EB. ad DB. quam AE. ad AD.is. r. Cum enim in triangulis rectangulis A BD. ABE. maior sit angulus ADB. externus interno huiu, AEB. minor erit ratio BD. ad DA. quam BE. ad EA. & permutando , ac conuertendo, maior erit ratio EB. ad BD. quam AE, ad AD. Quod ostendendum erat.

PROBLEMA II. PROPOS. XXXIII.

Quadrantem ita secare in duos arcus, ut sinus

versi aequalem, minorem , maioremve ra

52쪽

tionem habeant, quam aut secantes eorumdem a .cuum, aut sinus recti complementorum, minorem vero quam tangentes eorumdem arcuum, si maiores

cum minoribus comparentur. SIT Quadrans ABC. cuius centrum A. diametri inuicem perpendiculares, AB. AC. Sumatur primum recta AH. a qualis rectae IC. & ducantur perpendiculares ad AC. rectae I D. IE. secantes peripheriam Quadrantis in D. F. erit AH.

sinus rectus arcus.BD.& AI. sinus rectus arcus. BE. at vero IC. erit sinus versus

arcus m. dc Het sinus versus arcus DC. qui duo posteriores arcus priorum sunt complementa. Dico eandem esse rationem sinus versi I C. ad sinum versum I C. quae est sinus complementi IA. ad sinum complementi HA. Cum enim aequales sint AH. IC. addita communi ,.Pron. AH. aequales erunt I C. IA. vi igitur sinus versus I C. ad sinum versum IC. ita sinus rectus IA. ad sinum rectum HA. vi vero IA. ad HA. ita secans arcus DC. ad secantem arcus cliuakEC. via Clauio demonstratum est. prop. 22. desecantibus. xk.de an-Igitur ut sinus versus I C. arcus DC. ad sinum versum IC. a gentibus.cus EC. ita secans arcus DC. ad secantem arcus EC. Sit secundo sinus versus CI. maior sinu recto HA.addatur communis IH. Quoniam duabus lineis inaequalibus maioriCI minori HA. eadem quantitas II . addita est,habebit per t. huius, primam huius I C. ad C I. minorem rationem quam IA. adHA. & quam siccans arcus DC. ad secantem arcus EC. quam ostendimus modo eandem habere rationem quam I A.

Sit tertio sinus versus IC. minor sinu recto HA.addita communi HI. eodem modo,ex prima huius, demonstratur 1 maio- i. huius. rem esse rationem HC. ad I C. quam I A. ad I A. aut quam si cantis arcus DC.ad secantem arcus EC.

53쪽

a. Curui 'ac recti proportio promota.

hrixi Deniq; cum maiorem habeat rationem tangens arcus DC. ad tangentem arcus EC. quam secans eiusdem arcus DC. ad secantem arcus EC. secantes autem dictorum arcuum in duobus prioribus cjsibus aut maiorem,aut aequalem rationem ha-is. s. beant, quam sinu, versi eorumdem arcuum, habebit tangens arcus DC. ad tangentem arcus EC. maiorem rationem,quam Het sinus versus arcus DC ad I C. sinum versum arcus EC. Igitur quadrantem ita secauimus ut &c.

PROBLEMA III. PROPOS. XXXIV. Uadrantem ita secare tu duos arcus, ut tam secans maioris ad secantem minoris, quam sinus rectus complementi minoris, ad sinum rectum complementi maioris, maiorem habeant rationem, quam arcus maior ad minorem. Fiant omnia quae in duobus primis casibus prscedentis propositionis. Dico maiorem esse rationem I A. ad HA. item secantis arcus DC. ad secantem arcus EC. quam arcus DC. adcia1r i, arcum EQ Cum enim, in primo casu, sit ut IA. ad AH. id est te secantia ut secans arcus DC. ad secantem arcus EC. ita I C. sinus vcla, huiu, sus arcus DC.ad IC .sinu versvin arcus EC.maior autem sit ra ,s. tio HC. ad I C. quam DC. ad EC. etiam I A. ad I A. & secans arcus DC. ad secantem arcus EC. maiorem habebunt rati nem, quam arcus DC. ad arcum EC. J Arum Eadem,ac validiori ratione,in secundo casu: cum maior sit ratio IA. ad M. item secantis arcus DC. ad secantem arcus EC.quam HC.ad IC.& HC. ad IC. maior quam arcus Dinis. s. ad arcum EC. maior erit ratio I A. ad I A. & secantis arcus DC. ad secantem arcus EC. quam ipsius arcus DC. ad arcum

54쪽

THEOREM A XXXII. PROPOS. XXXV. SInus recti duorum arcuum, quorum aut uterque

minor est tertia parte Quadrantis, aut alter tertiae parti Quadrantis aequalis, alter minor, maiorem habent rationem, quam arcus complementorum, si maiores cum minoribus comparentur. Sit Quadrans ABC. cuius latera AB. AC. ccntrum A. in eo sumantur duo arcus inaequales BD. in inor DE.maior,sitq; BD. minor tertia parte Quadrantis, & BE. aut aequalis tertiae parti Quadrantis aut minor: & ducantur ad ooppositum latus Quadrantis perpendi- B, eculares DH. EI. erit AH. sinus rectus arcus BD. & AI. sinus rectus arcus BE. lItem erit arcus DC. complementum arcus minoris BD. & EC. complementum arcus maioris BE. arcuumque DE. EC. lsinus versi , C. IC. Dico maiorem esse A

ad arcum EC. Nam si BE.sit te tia pars Quadrantis, erit AI. aequalis ipsi IC. Si vero BE.fit minor i ruastarte Phinaruris erit AI. minor quam Ita ac proinde Au. pars ipsius 'I. etit multo minor quam IC. Quoniam igitur IC. maior est , quam AH.& addita est utrique quantitas aequales, imo eadem HI. maior est ratio CI. ad AH. quam CH. ad AI. & permutando maior ratio CI.ad CH quam AIq.ad AI.ideoque maior AI.ad AH.quam CH.ad CI.at CH. sinus versus arcus DC. ad lC. sinum versum arcus EC. maiorem habet rationem quam arcus DC. ad arcum CE. Igitur AI. ad AH. maiorem habet ratio nem quam arcus DC. ad arcum CE. Quod erat demonstran

r. huius. 3 o. huius. II. s. Diui tred by Go le

55쪽

Curui ac recti proportio promota. THEOREM A XXXIII. PROPOS. XXXVI. SEcantes duorum arcuum inaequalium, quorUm aut uterque sit maior duabus terti js Quadrantis,

aut alter maior,alter aequalis ; maiorem habent rationem, quam arcus ad arcum e si maiores cum minoribus conferantUr. In figura superioris propositioniε sint singuli arcus EC.DC. maiores duabus tertijs Quadrantis, erunt tam EB. quam DB.minores una tertia. Vel sit.EC duae tertiae erit CD. maior una tertia, ac EB.vna tertia, BD. minor una tertia. Dico maiorem csse rationem secantis DC. ad secantem EC. quam a cus DC. ad arcum EC. Nam superiori propositione ostensum est maiorem esse rationem IA. ad AH. quam DC. ad EC. sed vi IA. ad AH. ita secans arcus DC. ad secantem arcus EC. Igitur maior est ratio secantis arcus DC. ad secantem arcus EC. quam arcus DC. ad arcum EC. Quod fuit probandum.

THEOREM A XXXIV. PROPOS. XXXVII.

Duorum arcuum inaequalium, qUOrum uterisque sit minor Quadrante, aut alter minori differentia Quadrantem excedat, quam alter ab eodem deficit ; sinus versus maioris, ad stinum versum minoris maiorem habet rationem , qUam tangens dimidij maioris ad tangentem dimidij minoris , & chorda maioris, ad chordam minoris maio

rem habet rationem , quam secans dimidij maioris ad secantem dimidij minoris. Quod si defectus fuerit aequalis, aequalis erit proportio, si excessus des

elum

56쪽

ctum superet, aut uterque arcus fuerit maior Quadrante, minor erit proportio eorumdem sinuum versorum inter se, quam tangentium , & chordarum. quam secantium.. IN circulo ABG. cuius centrum E. diameter AE. secans circulum in A. sit arcus maior AC. minor AB. illius chorda AC. huius AB. illius sinus rectus CH. huius BD. secantei diametrum AE. in punctis HD. erit HA. sinus versus maioris a cus AC. & DA . sinus versus arcus minoris AB. sitque primum

utervis arcus minor quadrante. Dico maiorem esse rationem

HA. ad AD. quam tangentis dimidij arcus O .ad tangentem dimidij AB. & maiorem AC. chordae ad AB chordam , quam secantis dimidij arcus AC.ad secantem dimidij arcus AB.Pr

ducatur DB. quantum libet, & accipiatur DF. aeqvalis sinuit C. qui cum sit maior quam DB. cadct punistum F. vltra B. extra circulum, & connectatur AF. erit angulus ACH. dimidius anguli AEC. id est arcus AC.( produAis enim rectis BD. CH. in circumferentis puncta T. I. angulus ACI. in sistit arcui AI. qui arcui AC. est aequalis, & Angulus ABD. arcui AΚ. a

quali ipsi AB. & angulus ABD. dimidius anguli AFB seu arcus AB. atque in triangulis rectangulis CHA. FDA. posito

sinu toto CH. aut FD. illi aequali, erit HA. tangens anguli HCA. id est, medietatis arcus AC.&cius secans CA. Item DA. tangens anguli DFA. &FA. eius secans. Iam veto, quae proportio HA. sinua versi arcus AC. ad DA. sinum versum a cus AB. eadem est HA. tangentis Aanguli HCA. ad DA. tangentim

anguli DFA. nam utrobique est proportio Tqualitatis : sed angulus AF D. minor est angulo ABD. minor est igitur tansens anguli AFD. tam gente angula ABD. Igitur maior est proportio I A. tagentis anguli HCA. ad DA. tangentem anguli DFA. x quam

57쪽

s Curvi ac recti proportio promota.

quam ad tangentem anguli DBA. sed vi HA. tangens anguli HCA. id est dimidi j arcus AC. ad DA. tangentem anguli DFA. ita ostensus est HA. sinus versus arcus AC. ad DA. sinum versum arcus AB. Igitur maior est proportio HA. sinus versi arcus AC. ad DA. sinum versum arcus AB. quam HC. tangentis anguli HCA. seu medij arcus AC. ad tangentem anguli DBA. seu medij arcus AB. Sed sit arcus AC. maior quadrante, & ducta EG. perpendiculari ad diametrum AE. minor sit arcus CG. quo quadrantem superat s quam arcus BG. quo arcus AB. disserta Quadrante. Rursus cum sinus I C.ut maior qua DB.cadet punctia F. vltra punctum B. extra circulum; eodem prorsus modo quo prima parte huius, ostendemus HA. sinum versum Arcus AC ad AD. sinum versum arcus AB. maiorem habere rationem , quam HA. tangentem med ij arcus AC. ad tangentem me dij arcus AB. it ni Sit secundo arcus GC. arcui GB. aequalis, ideoque rectae DB. HC. a quales, cadatque punctum F. in laesum C. Dico eamdem esse rationem. II A. sinus versi arcus AC. ad DA. Qnum versum arcus DA . quae tangentis anguli HGA. id est medij arcus AC. ad tangentem anguli DBA. seu medij arcus AB. Nam cum in triangulis rectangulis aequales sint sinus toti I C. DB. erit HA. tangens anguli HCA seu dimidij arcus AC. & CA. eiusdem ista secans: item DA . em tangens anguli DBA. seu medij arcus AB. & AB. eiusdem secans. Vt igitur HA. snus vcrsus arcus AC. ad DA. sinum versum arcus AB. ita HA. tangens dimidij, ad DA. tangentem dimidij. In super sit arcus GC. quo m-

58쪽

ior arcus quadrantem superat, maior arcu GB. quo minor a Quadrante superatur: erit HC. magis distans a diametro , minor quam DB. quae minugdistat. Igitur sumpta DF. aequali ipsi HC. cadet punctuin F. inter D. &B. erit, rursus I A. tangens anguli FICA.&DA. tangens anguli DFA. qui cum sit maior, quam angulus DBA. minor erit ratio tangentis I A. anguli FICA. ad tangentem anguli DFA. quam ad tangentem anguli DBA. sed vi HA. tangens Anguli HCA. ad tangentem anguli DFA. ita. HA. sinus versus arcus AC. ad DA . sinum versum arcus AB. Igitur HA.tangens anguli HCA. id est dimidij arcus AC. ad tangentem anguli DBA. seu medij arcus AB. maiorem habet rationem, quam dictus sinus versus HA.ad sinum vel sum DA. Denique sint arcus AB. AC. uterque maior Quadrante: AB.minor & AC. maior: erit recta DB. vicinior diametro maior quam I C. sumpta igitur DF. aequali ipsi I C. quae cadat inter pun- 'cta D.B eodem rursus modo quo pr xima parte, ostendemus maiore me se proportionem tangentis dimidij arcus maioriS, ad tangentem dimidij minoris, quam sinus versi arcus maioris ad sinum versum minoris. Iam Vero, quoniam in primo casu maior cst angulus ABD. angulo AFD.maior erit secans anguli ABD. recta AF. secante anguli AFD. Rursus, cum acutus sit angulus ABD. quia ADB. rectus ; obtusus erit ABF, ideoque A F. maior quam AB. maiorem igitur rationem habebit chorda CA. arcus AC. ad chordam B A. arcus AB. quam se

cans AC. anguli ACH. id est dimidij arcus AC. ad secantem angula ABD. seu dimidi j arcus AB.

g. s.

59쪽

g dirui ae recti proportio promota.

In secundo vero casu cum CA. sit de secans anguli ACH. de chorda arcus AC. item BA secans anguli ABD. & chorda a cus AB. Eandem habebit rationem CA. secans Anguli ACH. id est dimidij arcus AC. ad BA. secantem Anguli ABD. seu dimidii arcus AB. quam O. chorda arcus AC. ad BA. cho dam arcus AB. In ultimis casibus moniam maior est angulus AFD. anginio ABD. minor erit secans anguli ABD. id est dimidij arcus AB. quam AF. secans anguli AFDi&quia angulus AFD. cutus est, erit AFB. obtusus, ideoque maior AB. quam AF. Igitur Minor est ratio CA. chordae arcus AC. ad BA. chordam arcus AB. quam CA. secantis anguli ACH. seu dimidij arcus

duorum arcuum inaequalium &c. Quod erat demonstrandum.

EX probarii castigitur , s Aus rectus cum secante eiusdem

reus comparetur , quoad maiorem vel minorem proportionem 3 idem de eo dicendum , quod de chorda dapis arcus, ac in priori casu maiorem esse rationem A s recti arcus maioris ad sinum rectum minoris, quam secantis maioris ad secantem minoris: in secundo aqualem: in tertio minorem ; Nam , ut chorda arcus

maioris, ad chordam minoris ; ita snus rectus dimidi, maioris, ad uu rectum dimidi, minoris. Cam medietas chordae nihil aliud si, quam fmus dimidir arcus: sed in priori casu , chorda arcus maioris , ad chordam minoris, maiorem habet rationem, quam secans dimidi, maioris ad secantem dimi minoris : Igi ursus dimidii arcus maioris ad sinum dimidi, minoris, maiorem habet rationem, quam secans dimidi, maioris , id est eiusdem arcus , adfecantem dimidi, minoris. In secundo vero casu , MIenditur esse ut sinum maioris arcus ad am minoris , ita secantem maioris ad secantem minoris. In tertio minorem esse rationem sinus a cus maioris, ad um minoris, quam secantis maioris , ad scan

tem minoris,

60쪽

THEo REM A XXXV. PROPOS. XXXVIII.

T, Vorum arcuum inaequalium, quorum uterq; sit minor semiquadrante, aut alter aequali, vel minori differentia semiquadrantem e cedat,quam alter a semiquadrante deficit; secans maioris ad secantem minoris minorem habet rationem, quam arcus maior ad minorem.

IN propositione 3 q. huius, tribus primis figuris, sit arcus

AC. maior arcu AB. ita ut uterqi sit minor quadrante, aut AC. maior AB.minor, ita ut excessus AC. supra quadrantem sit aut minor,aut aequalis defeetiit arcus AB.a quadrante.Dico secantem dimidij arcus AC. ad secatem dimidij arcus AB.mianorem habere rationem,quam arcum AC. ad arcum AB.Nam ex propositione 3 T.huius constat, minorem, aut aequalem esse rationem secantis dimidij arcus AC.ad secantem dimidij aracus AB. quam chordae AC. ad chordam AB. sed chorda AC. ad chordam AB. minorem habet rationem quam arcus A C. Co Laac. ad arcum AB. id est quam dimidius AC. ad dimidium AB. ergo secans dimidij arcus AC. ad secantem dimidij arcus AB. minorem habet rationcm, quam medius arcus AC. ad medium arcum AB. qui arcus secantibus respondent. Igitur duorum arcuum &c. quod erat &c.

Ossa vetere; arcussit mis arsimi quadrante, ficans maioris

ad minorem, non tantam minorem habebit rationem, quam arcus maior ad minorem,sed etiam quam complementum arcus minoris , adi omplement m magorii. Nam in quadrante ABC. s mantur duo areus M. BD. Hem; minor sim quadrante, quorummantes M. AF. in tangentem CB. incurrant, inPuncto