Curui ac recti proportio a Bartholomaeo Souero Friburgensi in Gymnasio Patauino matheseos professore promota libri sex. ..

421쪽

moueatur sursum simul cum punctis; in quibus semidia meter AC. A D. AE. Quadratricem primariam secat & occurrat perpendiculari inis, seu sinibus in punctis O. I. s. 'describet punctum illud concursus lineam curvam HGB. quam Quadratricem disserentialem libet nuncupare, eo quod eius insis, utpostea ostendemus, arcui Quadrantis,&eius semidiametro sit tertio loco Arithmetice propor

THEOREM A XXVI. PROPOS. XXX.

dratricis Arithmeticae sunt aequales uni

bus Quadratricis dissertauia .

Sit in superiori sthcmate semicirculusCI' ius centrum A. quem diuidat latus AB. erectum super bilin C in duos Quadrantes ABC. AB M in primo sin uar aadratrices, altera Geometri a BF. pltera Ariminet via SH Ducatur semidiameter A D. secans Quadratrkem primam in L.& circulum in D. hinc perpendicularis DR d. secans hy inum latus AB. in R. &asterium Quadrantem in st chi occurratc L. recta in V. erit o. punctum Quadratricis Arithmeticat. Rursum ex L. ducatur ad AB. perpendicularis LV. crit ut BA. ad A V. ita arcu BQ ad arcum CD. seu arcus huius. BQ adaicumde. Quare si conuectatur CV.&producatur dum secet Dd. in Z. erit Z.punctum Quadratricis differen ' μ' tialis, atque ideo erit DR. sinus arcus DB. in Quadrantra CB. & OAsinus in Quadratrice Arithmetica B rccta vero OD. disterentia sinuum DR. OR.denique R Lerit sinus in Quadratrice differentiali BXYZ. des ipta per punctoaZYX. modo a . huius explicato. Dico RZ. rectam, esset x . huius. rectae DO. aequalem Quoniam parallelae sunt DO. CA .e- =' i' runt in triangulis DLO. ALC. anguli D. O.angulis A.C.& anguli ad verticem L. aequales, atqui angula igitur sunt

Fis et dicta

422쪽

ix Curui ac recti proportio promota.

' dicta triangula, quare ut CA . ad OD. ita AL. ad DL. sed ut A L. ad DL. ita in triangulo ADR. ( in quo positae sunt . o. DR. LV. parallelar Av. ad VR.&vt AU. ad vR. ita CA. ad RZ. ( atqui angula enim sunt rriangula CAV. A ZR V. ob eandem rationem, qua diximus esse aequiangula, , CLA. OLD.) ergo ut C A. ad OD. ita CA. ad RE. a quales igitur lanc OD. R Z. Eodemque modo ostendemus SY. esse aequalem ipsi EZ. atque ita in reliquis. Quod fuit probandum.

HIne euidenter deducitur iusserentias sinuum madrantis , dri esuadratricis disserentialis esse aequales i. bus madratricis Arithmeticae s nimirum rictam gae dimerentiam sinas Rein uadrante, orisnus AZ. in adratrice di erentiali, esse maalem fui RO. uadrarricis Art-rhmetica fies. aequales enim sunt DR. Re igitur ablatis Ra. ODO. qua modo octe a sum aquales , supersunt ZD. OR.

COROLLARIUM. II. I .

EX dictis etiam colligitur ratio qua altera pocteriorum malatracam ex altera describatur. Si enim recte Ce. Arsam ira moueatur eontinuo ad AB. perpendicularis utrinis . Ra. ST. TX. interceptis inter latas erectum, S uadratricem disserentialem m. aquales iCΗ. DO. EL. RG. ab area uadrantis , describetur madrat ix Arithmetica HB. Et contra F eadem m. modo dicto ita moueaturis rectis CΗ. DO. EL. m. aquales snt .RZ.ST. TX. Alcneabitar adratrix disserentialis M.

423쪽

LIBER UI. COROLLARIUM III.

DEnique etiam ex demon alis deduci posset, tam figuram ABa. latere erecto AB. linea curua rea. et basAa. contentam esse aqualem figura es BC. contenta linea cur--ΗB. arcu . adrantis m. dr recta CΗ. quam Auram AB aetasiguraΗBA. eo quod linea M. RZ.ST. TX. lineis HC. OG. IE. GR. item rectae ae. ZZ Te. Xb. rectis HA. OR. S.GT.

aequales sint sideoque trapeetia ab ijs conssima quaelibet aequalia snt, eadem ratione qua prop. superioris libri probata es, ex postgonis in circulo, atque elim analogis , ipsorum circulorum, atque HI sum analogia , atque aequalitas. Vnde etiam sequeretur garam HBa. madranti esse aqualem. Seduolumus haec tantam inn isse , ut ea, s libaerit, denso Frei cui amplius quam nobis otii fuerit.

THEOREMA XXVIII. PROPOS. XXXI.

BAsis Quadratricis disserentia lis est aequalis

excessui, quo arcus madrantis in quo describitur, sua semidiametro maior est.

Sint eadem omnia quae duabus superioribus propositionibus. Dico basim Aa. seu CH. Quadratricis differentialis Ba. csse aris qualem excesiui,quo arcus Quadratis BC. suam semidiametrum AB. superat 3 seu rectam Ca. esse aequalem arcui Quadrantis AC. Est enim ut AC.

ad HC. id est ad Aa. illi aequalem, ita AE ad FC. ut paulo post ostendemus 3 di componendo, & per con ve sionem

424쪽

i Curui ac recti proportio promota

ii et ore. Amem rationis, est aC. ad CA. ut CA . ad A F. sed Vt CA 13. & Cla- semidiameter adrantis ad AF. basim Quadratricis ita oui 1 hq arcus Quadrantis BC. ad semidiametrum CA. igitur ut et ' a C. ad CA. ita arcus Quadrantis BC. ad eandem CA. ae-'- s. quales igitur sunt recta a C. & arcus Quadrantis BC. est autem Aa . excessus quo Ca. id est arcus Quadrantis superat semidiametrum CA. Quare patet id quod propositum

est.

Quod autem sit ut AC.ad I C. ita AF. ad FC. ita demonstratur. Si non sit eadem ratio AC. ad HC. quae ARad FC. erit vel minor, vel maior . Sit primo minore idemque fiat ut A F. ad FC. ita AC. ad quampiam minorm ip-1 . huius. laCH. verbi gratia ad DO. (est enim maior quolibet sinu sequente DO. FI. ΚGo erit igitur ut A F.ad FC. ita AC. ad' DO. sed ut A C. ad DO. ita A L. ad LD. ( atqui angula ex s. i. nim sunt triangula CAL. ODL. ob angulos aequales ad ', i verticem L. & alternos ad D. A. & O. C. inter parallelas comi. DO. CA. ideoque ut C A. ad OD. ita A L. ad DL, estis. huius. igitur ut A F. ad FC.ita A L. ad LD.sed AL.maior est quam cy, AF. & DL. minor quam CF. inaior igitur est ratio A L. ad

' I D. quam AF. ad FC. sed & probata est aequalis . Queodest absurdum; Non igitur minor est ratio AC. ad HS.qua AF. ad FC. Sed d icatur esse maior . erit ergo AF. ad FC. minor ratio,quam AC. ad CH. Fiat igitur ut AC.ad CH. ita recta quaepiam Ag. maior quam AF. ad gC. ( sieni indiuidatur AC. ea proportione quae est A C. ad CH. in g. puncto, cum maior sit ratio AC. ad CH.quam AF. ad FC. erit maior ratio Ag. ad g C. quam AF. ad FC. cadet igitur punctum g. inter F & C.si enim caderet in ipsum punctum F. esset ut AF. ad FC. ita AG. ad GC. quod cit absurdum,& contra hypothesin: si inter puncta F. A. esset minor ratatio .ag. ad G C. quam AF. ad FC. quod etiam est absum dum & centro A. distantia Ig. describatur arcus I g.secans Quadratricem in L. ( secat, tautem, cum continuos, huius. Qui drati icis radij augeantur in Quadrante, quare si non secaret

425쪽

secaret esset Ag maior semidiametro , quod est absurdum, cum secta sit semidiameter AC. in puncto g. Quoniam aequales sunt M. AL. item A D. AC. a centro ad circumferentiam , erit via g. ad gC. ita AL. ad LD. sed ut . adgC. ita AC. ad CH. ex hypothesi, ergo ut AL. ad L D. ita AC. ad CH. sed ut AL. ad LD. ita AC. ad D O. ( ut superius probatum est, ex similitudiue triangulorum CAL.ODL. ergo ut AC.ad CH. ita AC. ad DO. aequales igitur sunt HC. & DO. Quod est absurdum: maior enim est HC. id est Aa . quam DO. id est quam RZ. Igitur cum AC. ad CH.non sit aut minor,aut maior ratio quam AF.ad FC. erit eadem. Ideoque Baiis Quadratricis differentialis &c. Quod probare oportubat.

THEOREM A XXIX. PROPOS. XXXII. BAsis Quadratricis Arithmeticae, semidia meter Quadrantis in quo describitur , dc arcus eiusdem Quadrantis sunt in medietate Arithmetica ; quorum differentia est basis Quadratricis disserentialis .

In eadem figura superioris propositionis Basis AH. Quadratricis Aritineticae AH. differt a semidiametro Quadrantis CA. recta I C. quae aequalis est rectae Aa. basi Quadr tricis differentialis Ba. & semidiameter Quadrantis CA. differt a recta Ca. quae est aequalis arcui Quadrantis AC. differentia rectae Aa. quae est basis Quadratricis differemtialis Ba. Quare euidenter probatum est quod propon

baturo

PROILEMA IV. PROPOS. XXXIII.

Vadratricem quartam , seu diuisuam describere.. Sit

I s. dian. s. s. 18. huius. so. huius. gr. huius. Diuitia d b, Cooste

426쪽

ic Curui ac recti proportio promota.

Sit Quadrans ABC. cuius centrum A. latus erectum AB. basis AC. circa centrum A. immotum moueatur sursum semidiameter AC. secans continuo arcum Quadrantis CB.& circa punctum C. tanquam cardinem fixum moueatur sursum recta Qq.ita ut continuo secet i tus erectum AB. ea ratione quo AB. secat arcum Quadrantis,liunctum intersectionis duarum inearum AC. O. describat lineam curvam NXLMB. Hanc libet Quadratricem quam tam , seu diuisivam krrorvisamis r nuncupare, eo quod non tantum quadrando lineariter citculo, sed facile prae ca, teris diuidendo, accommodata sit.

COROLLARIUM

SA. ad AG. eam in easdem rationes BC. O BI. a tranei ursum motis AD. O CG. Qui dant r.

THEOREMA XXX. PROPOS. XXXIV.

RAdij Quadratricis quartae a basi remoti

res vicinioribus sunt maiores. Sit Quadrans ABC. cuius centrum A.latus erectum AB. basis AC. & in eo quadratrix quarta IN. modo & notis superioris propositionis deseri pia, cui accedat Quadratrix pruma seu Geometrica Bo. cuius basis Ao. quas secent semidiametri AD. AE. AF. illam in

427쪽

punctis T. L. M. istam in punctis P. M . inanifestum est quod CG. CH. CI. dc perpendiculares PG. Q H. RI. expunctis ubi prima Quadratrix secatur a semidiametris

AD. AE. AF. cadent in eadem puncta G. H. I. cum tam linea, CG. CH. CI. quam perpendiculares PG. QH. RI. dividant rectam AB. eadem ratione qua diuisus est arcus Quadrantis in punctis D. E. F. perficiatur Quadratum . A CXB. circa Quadrantem, & producantur perpend icut res GP. H R. in S. T. V. puncta lateris erecti Quadrati CX. Dico radium A L. radio AΚ. esse maiorem. Nam cum aequiangula sint triangula CAΚ. GPΚ ob aequales ad ii' i verticem Κ.& alternos CAΚ. GPΚ. inter parallelas AC. i. GP. erit ut CA. ad A Κ. ita GP. ad P Κ.&permutando Vt A. c. CA. id est SG. ad GP. ita AΚ. ad PΚ. & conuertendo sit GP. ad SG. ita P Κ. ad ΚA. & componendo ut GP. cum SG. ad SG. ita PA. ad A Κ. eodem modo ostendemus esse, ut H cum H T. ad F T. ita Q. ad AL. Cum autem ma- xo. huius. ior sit GP. quam lamnator erit GP. cum SG. quam HQI , pronunc, cum H T. quae ipsi SG. cst aequalis . Igitur maior est ratio '' i compositae GP. cum SG. ad SG. quam compositae H cum H T. adHT. Quare maior est ratio PA. ad A Κ. quam QA. ad A L. minor autem est PA. quam Q . igitur minor: is. huius est A Κ. qnam A L. ( nam si aequales erant PA. Q A. cum PA. maiorem habeat rationem ad A Κ. quam QA.ad A L. minor esset AΚ. quam A L. multo magis sequitur PA. exi- ' stente minore quam QA. ipsam A Κ. esse minorem quam A L. Atque eodcm inodo ostendemus A L. esse min rem quam A M. Igitur radii Quadratricis, dec. Quod fuit probandum.

COR OLLARI V M. I.

HInc colligitur basim quarta madratricis esse minia

mum omnium radiorum,

428쪽

i i Curti erecti proportio promota.

. 6. . f. s. a.

EX dinis etiam apparet TC. esse minorem quam LC. FLC.q od CM. nam ut PA. ad . ita GC. a. CR. sed PA. ad AR. maior ect ratio quam A. ad AL. ut in propositione mensem maior ergo ratio es GC. ad CR. quam A. ad AL. sed ut A. ad AL. ita HC. ad CL. maior igitur es ratio GC. ad CV. quam HC. adCL. minor autem FGC.quam ΗC. subtendit enim GC. angatam acutam GHC. O ΗC. angulum obtusam es . m triangulo HGC. Igitur ob , timem allatam in fine propositionis TC. minor eu quam LC.

COROLLARIVM III. DEnigue sequitur manifes , complementa semidiam

THEOREM A XXXI. PROPOS. XXXV.

BAsis Quadratricis diuisiuae diuidit semidi

metrum Quadrantis in quo describitur , in ratione semidiametri ad arcum Qua

drantiS. SIT Quadrans ABC. cuius centrum A. latus erectum AB. basis A C. &in eo Quadratrix diuisua seu quarta . BN

429쪽

BN. cuius basis NA. Dico quod basis NA . diuidit mi- diametrum A C. in ratione Semidiamet, A C. ad arcum Quaedrantis Bet seu esse ut AC. ad CB ita NA. ad NC. continuetur Quadrans CB.in I. &sit CBI. semicireulus, ah ABI. Quadrans in quo quadratrix disserentialis seu secunda Bh H. cuius basis AH. & in priori Quadrant fit prima Qii ad ratrix R

sed H C. est aequalis arcui Quadrantis BC.c Nam cum AH. st Excessus quo arcus BC creuperat semidiametrum A C. erit tota H C. aeo ualis arcui BC. ergo ut arcus Quadrantis BC.ad semidiametrum AC. ita CN. ad NA Quod vero sit vi H C. ad AC. it .

NC. ad AN. ita probatur. Si enim contrarium asseratur, maior erit,aut minor proportio F .ad AC.quam NC.ad N A. Sit primum maior . Quoniam maior est proportio HC.ad CA. quam NC. ad NA. erit conuertendo minor ratio CH.ad HC.quam N A. ad N C. quare erit eadem ad minorem aliquam ipsa CH. verbi gratia ad DE. parallelam basi AC.&intei reptam inter arcum Quadranti S., 3 lineam quadratricis disterentialis, quae minor est quam CH. ( nam DF.sinus arcus DB. est minor sinu icto A C. est FE. minor quam AH. ideoque tota DE. tota CH.

minor est o ductisque A D. CE. rectis str.insibuiu per idem punctum huius Quadratricis Κ. ut patet ex descriptione harum linearum a8. &'3 . huius atque adeo sit ut AC. ad DE. ita NA. ad NC. Acti ut CA .ud DE.ita AΚ. ad N D. (ob similitudinem triangulta uirum CAΚ. H DΚ. ergo ut AN. ad NC. ita Am ad L D. 5cd A X. maior cesquam AN. & ΚD. minor quam N C. eigo maior est ratio AΚ. adΚD. quum AN. ad N c. scd est etiam cadem.

Quod est absurdum. Ggg a Sed

430쪽

xo Cumi ac recti proportio promota.

Sed dicatur ratio I C. ad CA. minor ratione CN. ad NA. erit igitvr minor ratio NA. ad CN. quam CA. ad M. fiatque ut CA.ad HC. ita A V. ad VC. erit Au maior quani AN.ssit enim esset aequalis remaneret minor ratatio AN. ad NC. quam CA. ad I C, si minor , minor esset ratio A V. ad VC. quam AN.ad NC. sed ponitur etiam minor ratio AN. ad NC. quam C A. ad 3 C. igitur minor esset ratio AV. ad VC. quam CA. ad I C. quod est contra hypothesin ex distanti AU. describatur a Dcus VX. secans Quadratricem divisiva in in X. (seca-bu autem, cum continuo huius quadratricis radij a s . huius. geantur in inadrante , quare si non secaret esset A maior semidiametro quod est ab sui dum cum secta ponatur semidiameter A C. in V. puncto ea ratione, quae est CA ad I C. J Quoniam aequalch sunt A V. A . item Ata D. a centro ad suas circonfercntias erit ut V. ad. C. ita AΚ. ad XD. sed ut A v. ad vC. ita ex hypothesi CA .ad CH ergo ut A X.adΚD.ita OA. ad CH .sed est etiavi A Κ. ad XD. ita CA. ad DE. ( ob similitudinem. triangulorum C AΚ. EDΚ. est ergo ut CA . ad CH. ita' CA. ad DE: aequales igitur sunt CH. DE. Quod est absurdum, maior enim est DE. sinus totus sinu partiali DF. ml. xv. & AH. basis Quadratricis sinu FE. igitur tota CH. tota hq μ' DE. maior est. Non igitur ratio I C. ad C E. minor est ratione CN. ad NA. sed nec maior, igitur aequalis ergo basis Quadratricis diuisiuae &c. Quod erat &c. i

PROBLEMA V. PROPOS LXXXVI.

HActenus nonnullas lineas protulimus,

quae sua potissimum basi, tetragonis os ipsa vero perlocha, diuisioni circuli ope

ram suam conferunt. Ad ultimum autem hoc munus multas alias excogitauimus i quarum tamen