장음표시 사용
391쪽
D diametro spiralis eam intra mad n temdescriptae quam purialis,parallela ducatur tangens ipsam spiralem ; & a punctor contactus sinus spiracus dueatin is erit omnium sinuum spiricorum maximus t r e
Diametro spiralis AB. initii QSadrantem ABC. dcse, prae, ducatur recta HG. parallela tangens spiralem in D.& ex D. ducatur DI. finus spiricus. Dico DI. esse omnium sinum spiricorum maximum. Ducantur enim quilibet alijsinus FE. NO. supra infraue sinum DI. secantes Spiralem in E.& O. & tangentem GDH. In Κ.M. Cum recta H DG. ex hypothesi tangat spiralem in D. in illo . . solo puncto tanget. Cadet igitur et sui , tota GH. extra spiralem. Quare chimedis . punctum Κ. erit extra spiralem: est autem punctum E .in linea is urali, maior igitur est FΚ. quam FE. totum quam parssQuoniam autem ex descriptione parallelae sunt DΚ. I F. ite X F. & DI. parallelogrammum est DIFΚ. aequales igitur 3 s. Afin. sunt TF.DI .sedΚF. maior est ostensa quam EF. igitur DI. ' maior est quam EF. Eodemque prorsus modo ostendetur DI. maior quam No. &quam quilibet alius sinus spiricus. Atq; eadem omnino demonstratio succedet,si ABD.
ponatur quaelibet pars spirat ut euidentissimum est. Igutut si diametro spiralis M. Quod erat demonstrandum.
392쪽
x Curvi ae recti proportio promota. THEOREM A VIL PROPOS. VII.
Ecta perpendicularis aci linum maximum,
a puncto ubi is spiralem Madrantis, aut partialem secat, eandem spiralem
Contingit. s .ii . Sit Quadrans Al C. Spitalis Quadrantis A DB. quam licet DI. sinus maximus in D. a quoad ipsam DI. ducatur perpendicularis GDH. Dico quod recta GDH. lineam spiralem tangit in D. si enim non ita sit, secet eam, ac transeat per puncta D. E. & ducatur EF. ipsi DI. parallela, secans AB. in F. cum recti sunt anguli ad I .ex definitione,&D. ex suppositione , parallelae sunt AB G H. id est,IF & DE. sed & parallelae sunt EF. defin DI. ex hypothesit igitur paralle-I . i. logrammum est EFID. aequalia igitur sunt latera EF. DI. non est igitur DI. maior quam EF. ac proinde non est omnium sinuum spiricorum maximus: Quod est contrae hypothesin. Idem manifeste contingit in spirali partisti. Igitur perpendicularis elic. Quod crat demonstrondum.
THEOREM A VIII. PROPOS. VIII. SPiralem in eodem puncto duae restet nom
Sit linea spiralis ADE. in qualibet circulatione descripta,& contingat ipsam recta H DG. in puncto D. iungaturque A D. ad principium spiralis; centro quidem A. interuallo AD. circulus dc scribatur CDB. qui secet prinis. is et O. decipium circulationis A C. in C. & ducatur AΚ. ipsi AD. ibis A ei perpendicularis quae coibit cum contingente H DG. rn G.
393쪽
Dico non posse duci aliam contingentem praeter H DG. quae spiralem tangat in D. sieni potest , ducatur, dia sit LDΚ. quae coibit cum A Κ. non in IE puncto G. alias duae rectae H DG.LDΚ. Ista, ipatium compraehenderent , fit in pun et o Κ. quod , vel cadat inter G. & A. puncta I vel ultra , ita it A Κ. sit vel to- ci, tum respectu ipsius A G. vel pars. Con- stat e ijs quae demonstrauit Archime V des propositionib. I S.Iy.ao. de lineis
. . spira ibus, cum contingentes sint vir l
que R DG. LDΚ. tam rectam AG. quam rectam AT. esse aequalem arcui CD. aequales igitur' sunt AG. AΚ. pars dctotum, Quod est absurdum,Non ergo tangelii rectae HG. LΚ. Spiralem in eodem puncto D. Quod erat probandum . .
Si in puncto in quo sinus spiricus Amnium
maximus spiralem Quadiantis, aut pyrtialem secat,recta eandem spiralem tang3t: ea erit dicto sinui perpendicularis
In puncto D. in quo Sinus spiricus DI. omnium maxu i - mus spiralem Quadrantis ADB. secat, recta H DG. Eandem spira-sem tangat. Dico rectam H DG. - esse ipsi DI.perpendicularem. Si - enim res non ita habeat, sit alia
l a quaepiam a-UR. iph DI. perpen- λ dicularis. Quoniam spiralem M -- - c ADB.secat sinus spiricus omnium maximus DI. & a puncto secti
nia D. ipsi sinui DI. perpendicularis ponitur XDL. ea
394쪽
, g rui ac recti proportio promota.
r. hesua. spiralem tanget in D. sed etiam spiralem tangit in D. re cta GDH. Igitur spiralem in eodem puncto tangunt duae a. huius, H DG. LDH. od est absurdum.Nec aliter procedit demonstratio inspirali partiali quod clarius, quam ut superflua repetitione indigeat.
SInus spirici maximo propriores maiores sunt
remotioribus. Sit Spiralis Quadrantis, auipartialis ADB. cuius tanus spiralis maximus DI.& constituantur primo inter maximum , & principium lineae spiralis A. duo sinus EF.GH. ille vicinior maximo, hic remotior . Dico sinum EF. esse datum possibile cui parallela sit A M. & ad utrum C, 1'. r. perpendicularis EN. secans MA. in N. &AB in X. ipsi vero EΚ.ex puncto G.ducatur parallela GOL. se cans M A. in O. perpendiculariter,& AB in L. manissestum est A M. iv. 'A' hq esse dimeticntem spiralis partialis A EM. cui cum paralle, la ducta sit PE tangens spiralem in E.& a puncto conta- defin. s. & ctus E. ductus sit sinus spiricus EN. is erit omnium sinum: spiri corum qui in spirali partiali AEM. duci possunt maximus. Quare maior et quam sinus spiricus GO. eiusdem
395쪽
partialis spirat, sed& maior est NΚ. quam OL. t Nam
cum aequiangula sint triangula ANΚ. AOL. ob tectos ado N.&communem ad A.erit ut AN. mavis ad AO.min .cem ita NΚ. maior ad O L. minorem tota igitur EΚ. maior est, quam tota GL. Rursus cuinatqui gula sint tria gula XEF. LGI . ( nam paraliciae hiris E L. GL. item EF. GΚ. ex hypothesi,& anguli ad F. H. recti erit ut ΚE. ad M. ita m. ad GH. maior aut ui ostensa est ΚE. quam LG. maior etiam est EF. quam GH. Quod primo
erat demonstrandum, et . . ID. lCadant secundo duo sinus spirici supra sinum spiricum maximum DI.& fiant reliqua,ut in prima paerte huius positionis. Eodem prorsus modo probatur 'AM. esse dimetientem. EN.omnium sinuum spiricotum partis AEM. maximum; ideo maiorem quam GO. Iam vero ( in quo differt prima pars a secunda minor est N. qua LO. Nam cum triangula AoL. ANΚ ob parallelas LO. m. habeant angulos ad N. O. item ad Κ. L. item ad A. aequales, sunt aequiangula ideoque ut A O. ad O L. ita AN. ad NN. & maior est Ao. quam AN. ideoque& maior OLiquam NΚ.. sir igitur ex maiori EN. detrahatur minor X N. &ex minori GO. maior LO. remanebit Ec maior quam GL. Hinc eodem modo, quo in prima parta proba bitur EF. maiis quam GH. Quod erat secundo loco dea
THEO REMA. XI. PROPOS. XI. SEcans minimae proportionis transit perpunctum ubi sinus spiralis Quadrantis maximus spiralem secat.
Hoc euidenter deducitur ex superioribus propositionubus. Nam parallesa tangenti Quadrantis, aut diametro is de linea Spira lis quadramis, ipsain Spiralem tangit is uno tantum spiralibus. C c c puncto: Archan.
396쪽
386 Curulae recti proportio promota
punctor at vero per illud punctum transi secans minimam ex caeteris secantibus ad suum arcum proportionem habens ,& in eodem puncto sinus spiricus cmnioni in Qua- . Mius. drante maximus spiralem secat : Igitur secans minin aeproportionis transit per punctum ubi sinus spiricus in drantis maximus spiralem secat. Quod erat &c
I duae secantes, utraque aut ultra aut citro secantem minimae proportionis ducantur: remotior ad suum arcum maiorem habet rationem, quam propinquior -
In Quadrante ABC- sit secans minimae proportionisAN. occurrens tangenti CN. in N. & ducantur duae aliae secantes A M. propinquior, A L. remotior, utraque citra secanisi AN. quae secent Quadrantem in punctis O. P. D co secantem A L. ad suum arcum PC- maiorem habere rationem quam secantem AM. ad arcum O C. Describatur intra Quadrantem Spitalis ADB. in qua sinus spiricus Mime omnium maximus DI. secans senalem in D. transibit se caus Amper punctum D. Igitur secantes AM. AL. spiralem secabunt citra punctum D. ut in punctis G. E.per quae ducantur finus
o. lanusi R spirici GH EF. erit GH. sinus spiriacus maximo DI. vicinior , maior quam EF. remotior. Quare ducta
EΚ. ad FE. perpendicularis , aut ipsi AB. seu CN. parallela ipsam, HG. secabit in X. interpuncta G. &H. ideoque ipsam GA anter puncta G. A. videlicet in R. maiorque erit Ain totum quam pars AR. Iam veto cum in triangulo
397쪽
MAL. bas ML. ducta sit paralle
IaER. erit ut A L.ad AM. ita AE. ad A R . maior autem est ratio A Ead AR. quam AE. ad AG. igitur maior est ratio A L. ad AM.quam AE. ad AG. sed ut AE.ad AG. ita
arcus CP. ad arcum C O. Igitur maior est ratio AL ad A M. quam arcus CP. ad arcum Co. & permutando , maior ratio secantis A L. ad suum arcum CP. quam secantis A M. ad arcum Co.Quod primo demonstrandum erat. Idem omnino sequitiir,si veraque secans cadat supra AN. vi manifeste patet ex figura. Quare si duae secantes &c. Quod erat ostendend um.
THEOREMA XIII. PROPOS. XIII. DAxa siccante , quae non sit minimae pro portionis , potest duci alia secans quae
eandem habeat rationem ad situm arcum, quam data ad filum . . In Quadrante ABC. sit secans
data AEL. occurrens tangenti CL.in L. quae non sit minima ration is,cuius arcus PC. Dico posse in Quadrante duci aliam secan rem quae eandem adsitum arcum rationem habeat, quam 1 inans A L. ad arcum PC. Sit in Quadrante descripta spiralis ADB. in qua sinus maximus cui parallelus ducatur sinus spiricus EF. Scκ C E. ad FE. perpeudicularis , aut ipsis C cc a AB.
398쪽
5. Set d. g. a. huius. d. huius
388 Curui ac recti proportio promota.
AB. CM. parallela EG. secans spiralem in G. & ducaturAG. recta oceurrens periphcriae Quadrantis i n O. & tangenti in M. erit CM. secans arcus OC. Dico tangentem A M. ad suum arcum OC. eam habere rationem,quam habet secans AL. ad arcum PC. Nam cum in triangulo MAL. basii ML. parallela ducta sit EG. erit AM. ad A L. vi AG. ad AE.sed ut AG.ad AE. ita arcus OC.ad arcum PC. ergo ut A M. ad AL. ita arcus OC. ad arcum PC. & peramutando , ut secans A M. ad suum arcum GC. ita seeans AL. ad arcum PC. Quod erat demonstrandum. Manifestum autem est quod punctum D. cadit inter puncta G. & E. alias enim si utrumque punctum E G. caderet aut citra, aut ultra punctum D. haberet remotior secans ad suum arcum maiorem rationem, quam propinquior; quod est absurdum, cum ostensa sit utraque eandem habere rationem. Quod etiam inde constat, quia sinus spiricus FE. minor est quam DI. ex 6. huius , quar perpendicularis EG. secabit ipsam DI. in Κ. inter puncta .
D. I. quare paoducta secabit spiralem in G. supra DI. PROBLEMA I. PROPOS. XIV.
QV dx tricem in Quadrante describere, de
extra Quadrantem producere, atque toti circulo accommodare. Sit circulus BCDE. cuius centrum A. per quod tramseant duae perpendiculares BD. CE. secantescirculum in Suatuor Quadrantes, in quorum uno ABC. sit basis AB.& latus erectum A C. Conuertatur AB. circa A. centrum, tanquam verticem, ita ut punctum B. perueniat in N. d. eodem tempore linea recta coincidens cum AB. moueatur ex A. in F. in toto motu perpendicularis ad latus erectum AC. aut parallela basi Quadrantis AB. ita ut quae propo tio est CB. ad BN. arcum quem percurrit punctum B. ea
399쪽
:st lateris erecti O. ad partem AF. quam rcurrit punctum A. & in illo motu concutiam duae rectae AN. & per
pendicularis FG. in puncto G. concurrent autem cum,pmn, angulus GFA. sit rectus&GAF. acutus describet punctum concursus lineam curvam MGC. quam esse Quadratricem Dinostrati constat ex Pappo lib. prop. I S.& Cl uio ad ultimam proposit. 6. element. Quod vero ea tuta fit in Quadrante,ita demonstrabimus. Sit quodlibet punctum Quadratricis modo descriptae G. a quo perpendicularis intermedia secet larus erectum AC. in F. & diameter Quadrantis per illud idem punctum G. ducta secet Quadrantis peripheriam in N. puncto, a quo ducatur sinus rhctus NO. arcus NC. Quoniam, ex descriptione, est ut peripheria Quadrantis BC. ad arcum BN. ita latus er ctum AC. ad partem M. erit per conuersionem rationis,
400쪽
83o Curvi ac rem preportio promota.
ut BE ad . ita Aet ad CF. Cum vero C O. sit sinus Iemma.hu versus arcui Ne maior erit ratio AC. ad C O. quam BC. ad CN. Quare maior erit ratio AC. ad CO.quam AC.adi CF. minor igitur est CO. quam CF. Quare maior AO.s . r. quam AF. Vt autem AO. ad AF. ita AN. ad AG. (aequiangula enim sunt triangula OAN. FAG. ob communem angulum ad A.&rectos ad F. O. igitur AN. maior est quam AG. ideoque cum punctum N. cadat in peripheria Quadrantis, cadet punctum G. intra Quadrantem s atque idem demonstrabitur in quolibet alio H o partis Quadrantis MGC. . , Producetur autem hoc modo Quadratrix. M eatur punistum B. per C. usque in P. & punctum A . per C. usque in H. ita ut quae proportio BC. ad BP. ea semper sit AC.ad AH. &ducta AP. semidiameter per P. in L & perpendiciniaris HI. concurrant in I. s concurrunt autem quia angulus ad H. rinns,&HAI. acutus atque eadem ratione punctum concursus relinquens sui vestigium describat lineam curuamCI eam vocamus Quadratricem continuatam , quod eodem modo describatur quo ea quae continetur Quadrance. Quod vero ea cadat extra circulum , . i. patet , sumatur enim quodlibet punctum I. Quoniam ma-
ior est A I. subtendens angulum rectum ad M. quam AH. defin. is. & maior AH. quam AC. totum parte, & AC. aequalis ipsi AP. maior erit AI . quam AP. scd punctum P. cadet in phripheriam circuli, ergo punctum I. cadet extra, Idemqui ostendetur in quolibet alio puncto Quadrati icis productae eritque tota Quadratrix MCI Quadrati ix sciniis circuli BCD. Quod si in inferiori semicis culo alia deseri batiit NE R. eo modo quo in superiori cxillet totius circuali Quadratrix REMCQ Quod faciendum fuit.