장음표시 사용
411쪽
eluctam,seu pirallelae ad AC. secantes lineam BE. illa in I. ista in R. item sinus XD. arcus ΚB. & BS. tangens arcus BL. Quoniam o. est punctum in Quadratrice, erit ex de
scriptioneQuadratricis,ut arcusQuadrantis BC.ad arcum ΚC. ita BA. latus erectum ad AN. rectam, & per conue sionem rationis ut CB. ad BΚ. ita AB. ad B N. & cum latarriangulis ABE. NBI. rectangulis ad N. & A. etiam communis sit angulus ad B. ut ideo aequiangula sint, erit ut si . r. BA. ad B N. ita AE. ad NI. ergo ut BQ ad B Κ. ita AE. ad NI. & permutando ut arcus BC. ad rectam AE. ita amus B Κ. ad rectam NI. aequales autem ponuntur BQ & AE aequales igitur erunt NI. & BΚ. Rursus eum DB. sit sinus
versus arcus ΚB. maior erit ratio AB. ad BD. quam arcus Immd .hu-
CB. ad arcum B Κ. & vi arcus CB. ad arcum BΚ. ita AB. ad NB. ex descriptione Quadratricis, igitur maior est ratio AB. ad BD. quam AB. ad BN. minor igitur est BD. quam BN.quibus ablatis ex AB. maior est AD quam AN. Pron. Igitur cum in triangulis atqui angulis ANO. ADΚ. ob rectos ad N. D. & communem ad A. sit ut A D. ad DΚ.
ita AN. ad NO. maior autem sit A D. quam AN. maior e- rit X D. quam No. cum ergo recta IN. Ostcnsa sit aequalis arcui ΚB. arcus autem ΚB. maior sit sinu recto ΚD. dc diis
412쪽
o 1 Curui ac recti proportio promota.
No. Cum ergo punctum o. sit in Quadratrice, erit punctum I. extra Quadratricem; atquc idem ostendetur in quolibet alio puncto Quadrati icis intra Quadrantem. Insuper cum, ex descriptione Quadra tricis , sit arcus CB. ad arcum CBL. vi recta AB. ad A M. crit ut CB. ad BL. ita AB. ad B M. sed ut CB. ad BL. ita CB. ad B Κ.(nam positi sunt aequalcs arcus BΚ. BL. & ut CB. ad B Κ. ita ostensum est AB. ad BG. ergo est ut AB. ad BM. ita AB. ad B N. aequales igitur sunt B N. EM. Quare etiam aequales NI. M P. ( nam in triangulis rectangulis BMP. BNI.cum aequales sint anguli recti ad M. N. At ad verticem B. & latera BN. BM. aequalia etiam erunt latera MP. NI. sed recta NI.ostensa est aequalis arcui TB.id est BL.ergo etiam MP. est aequalis arcui BL. qui minor est sua tangente BS.& tangens BS. minor quam M R. ( ut enim AB. minor ad AM.maiorem, ita BS. minor ad As R. maiorem,in triangulis aequiangulis ABS. AMR. ob angulos rectos ad B. M. &communem ad A. Quare etiam MP. minor est quanta MR. caditque punctum P. inter M. O R. cumque R. sit in Quadratrice , erit punctum R. extra Quadratricem i atque idem ostendetur in quolibet alio puncto Quadratricis e tra circulum: Igitur recta EB P. tota cadet extra Quadratricem , praeterque in puncto B. illam igitur continget Quod erat probandum.
SI lineam Quadratricem recta contingat in
puncto ubi circulum secat; anguli quos cum latere erecto Quadrantis facit linea contin
gens, inaequales sunt ; & is quidem qui ad praecedentia constituitur est obtusus, qui adsequen
413쪽
Sint omnia quae superiori propositione,& recta EB. pr ducta tangat Quadratricem in B. Dico angulum ABP.esse obtusum, atque ideo ABE. acutum. Nam vi MA. ad AB. ita R A. ad AS. maior autem est MA. quam AB. igitur maior RA. quam AS. Cadit igitur plinctum S. infra R. intra Quadratricem,cum punctum R. sit in Quadratrice: sed adhuc punctum P. lineae contingentis transit supra punctum R.cum sit extra Quadratricem,ergo multo magis punctum P. est supra punctum S. maior igitur est angulus ABP. angulo ABS. at ABS. rectus est, igitur ABP. obtusus est, ideoque ABE. acutus. Quod erat demonstrandum. II. a.
THEOREM A XXII. PROPOS. XXIII. '
SI Quadratrieem recta linea contingat in punia
isto ubi circulum secat ea coibit cum basi Quadrantis cui inscribitur : Si pars dictae basis inter centrum circuli, & contingentem erit
aequalis arcui Quadrantis. - Sit inadrans ABC. cuius centrum A. basis AE. latus erectum AB. in quo Quadratrix descripta DBG. cuius baissis A D. quae quidem extra Quadrantem producatur, eo Id modo quo decima R v et . et quarta pro, positione, M huius d
414쪽
Curui ac re sti proportio promota.
Quadratricem hangat recta FBE. Dico quod recta FBE. coibit cum basi AC. producta verbi gratia in E. &quod
recta AE. erit aequalis arcui Quadrantris BC. Primum euidens est, angulus enim BAE. rectus est ex suppositio. 5 s. huius. ne,& ABE. acutus ex demonstratis, coeunt igitur A E. V 'on m Quoad secundum, AE. non est aequalis arcui . propide BC. erit vel maior vel minor sit. Primum maior, & su Seir. An matur EN. minor quidem quam AE. maior vero quam, ', peripheria BC. & arcus BP. diuidatur bifariam in L. d ,3. s. ctaque AL.secet tangentem in L. ideoque eius partem BP. 3 3- bifariam, quapropter & ad angulos rectos. Erit igitur ut' ' BA. ad AE. ita BΚ. ad ΚA. sed BA. ad NE . minorem, ma- a. s. iorem habet rationem,quam BA. ad AE.maiorem. Igitur BA. ad NE. maiorem habet rationem quam BΚ. ad XA. . Cum igitur circulus sit BC. & in eo recta BP. minor di si metro, poterit duci recta AF. ad productam contingentem chim. BF. ita ut pars eius FI. inter circum ferentiam, & prodi ctam contingentem, ad lineam IB. iungentem terminos B. I. habeat proportionem, quam BA. ad NE . Cum igitur sit FI. ad IB. ut BA. ad NE. erit permutando ut FI. ad AB. i. s. id est A I. ita IB. ad NE. sed recta IB. ad NE.minorem habet rationem quam arcus IB. ad arcum BC. est enim B. arcus maior quam subtensa IB. S arcus BC.ex suppositione minor quam EN. ergo FI. ad AI . minorem h
het rationem,quam arcus IB. ad arcum BC. & componendo minorem habet rationem FA. ad AI. quam arcus I BC. M. Miui. ad arcum BC. sed ut arcus IBC. ad arcum BC. ita ex de
scriptione Quadratricis I A. ad AB. id est GA. ad A M.
ergo minorem habet rationem FA. ad AI. quam GA. ad ducta B M. tangente ex B. in M. A M. Quod est absurdum , cuin FA. sit maior quam GA.( cadit enim F. extra Quadratricem, ex suppositione, cum I E. tangat Quadratriccm tavium in B. & G. est in Quadrattice & AI. minor quam AM.
415쪽
BC.& sumatur recta EO. maior quidem quam EA. minor coimedi, vero 'uam arcus BC. di a puncto B. ducatur B quidl- stans ipsi AE. Rursus quia in circulo BC. sumpta est BP.: diametro minor,tangatque B circulum in B.&minor sit. ratio BA. ad EO. quam BΚ. ad XA. ( est enim ut BA. ad ,. . AE. ita BΚ. adXA.&BA. ad AE. minorem quantitatem maior est ratio,quam BA. ad EO. quae maior posita xst s, potest igitpra centro A. duci quaepiam recta Av. ad Bht, dias, tangentem circuli, ita ut S R. inter circulum BC.& ductam ris,et
FBE. intercepta ad lineam BV. partem contingentis,inter ductam &contactum,habe t eandem rarionem quam BA. ad EO.Secet autem ea leae ducta Quadratricem in T. tangentem Quadratricissi, S. I circulum in R. tangentem circuli in V. Quoniam igitur est ut S R. ad M. ita BA. ad lEO. erit permutando ut Sp. ad AB. id est ad A R. ita BR ad EO. sed BV. ad EO. maior est proportio quam arcus BR. ad arcum BC. nam tangens B U. est maior arcu BR.& EO. minor arcu BC. ex hypothesi igitur maior erit ratio S R. ad A R. quam BR. ad BC. sed est, ex descripti ne diadratricis, ut BR. ad BC. ita BY. c ducta TY. Whpendiculari ad AB. ex T. puncto Quadratricis 3 ad BA. Igitur maior est ratio S R. ad A R. quam BY. ad AB. sed BY. ad AB. maior est ratio quam XY. ad XA. ducto sinu RX. arcus BR. id est quam Rr ad RA. igitur maior est ratio S R. ad RA. quam RT. ad RA. maior ergo est SR. quam RT. Quod est absurdum cum sit minor. Nam S.est a
in linea tangente,quae vicinior peripheriae existit, quam Quadrarricis punctum T. Cum igitur AE. neque maior, is
neque minor ut quam arcui BC. aequalis erit. Quod erat qdemonstrandum. s
416쪽
o s Curvi ac recti proportio promota. THEOREM A XXIII. PROPOS. XXIv.
P Ropositum sit idem aliter demonstrare.
Sit Quadrans ABet cuius centrum A. basis Aet latus
quo Quadratrixeu secet in B. puncto in quo eandem adratricem tangat recta FBE. co quod recta FBE secans AE. basim Quadratricis ic. E. abscindit rectam AE. aequalem arcui Quadrantis BC. Inscribatur eidem Quadranti spiralis ABH. quae, ut patet ex descri-18. huius. ptione,transibit per B. in quo puncto Quadratrix spiralemi contingit. Cum igitur, ex hypothesi recta FBE. Qua- . dratricem contingat in B. tota, puncto B. excepto, cadet extra Quadratricem ; & quia Quadratrix spiralem tangit in B.tota extra eam cadit,ac solo puncto B. concurrit: Igitur etiam recta FE. tota extra spiralem cadit, nec nisi puncto B. cum ea congruit:tangit igitur FE. spiralem in B. Maaxo. Spira . nifestum igitur est ex ro. propositione spiralium Archim Msmpra ' in , quod recta A E.arcui BC. aequalis existit. Quod erat.
THEOREMA XXIV. PROPOS. XXV. . t Iusdem propositionis alia demonstratio
Sit rursus Quadrans ABC. cuius centrum A. basis AC. latus erectum AB. in quo Quadratrix DBG. eum secet in B. puncto, in quo eandem Quadratricem tangat. Dico quod recta FBE. secans AE. basim Quadratricis productam
417쪽
ctam in E. abscindit rectam AE. aequalem ancui Quadranistis BC. Si enim AE. non sit aequalis arcui Quadrantis , sit eidem aequalis AG. ducatur Gyc. item spirales ABH. patet ex ri. huius quod XBG. tangi adratriuem in B. -- sed&poniturFBE. tangere eandem adratricem in B. duae igitur ΚBG. FBE. Quadratricem tangunt,igitur vir que extra Quadratricem cadit, ac in talo puncto B. conuenit; sed & Quadratrix spiraum tangit in B. igitur tota , puncto B. excepto, extra tam cadit, ergo utraque reeti FBE. ΚBG. extra spir3lem cadit, lato puncto B. conu pit,ideoque illam contingit in B. Quod est absurdum,non enim duae rectae spiralem in eodempuncto contingunt. EN Muinet, go recta AE.est aequalis arcui Quadrantis BC. Quod erat
Si perpendicularis ad tangentem Quadratri
cis ex puncto contactus ducta basim Quadrantis productam secet e erit pars dictae basis inter centrum Quadrantis,&ductam aequalis bali Quadratricis
Sit circulus HBC. cuius centrum A. diamter HC. latus erectum AB. . e diuidens a cum HAC. in duos adtan Z tcs HB. BC. ac
f illius suidem basis sit HA. I istius autenia
418쪽
o i Curvi ae recti proportio promota,
secans circulum in B. Tangens Quadratricis in puncto B. st BE. secans basim Aet productam in E. &ex A. adli E. ducatur perpendicularis BE. secans basim AC. productamis. Hon . in F. secabit autem cum angulus BEF. sit acutiis,&FsE. rectus. Dico rectam Ap. esse aequalem AD. basi Qua dratricis. Constat enim ex Pappo lib. q. p. 16. & Clauso p. q. de Quadratrice,basim Quadratricis esse tertio loco proaportionalem arcui Quadrantis , , ipsius semidiametro nimium ut BC.ad SA. ita BA.ad AD. Cum autem rectanguis tum ad A. sit triangulum FBE.& in basin FE. demissa per 8. s. pendicularis BA.erit ut EA. ad AB. ita AB.ad AF. at vero i EA. est aequalis arcui Quadrantis, ut igitur BC. ad M.ttaxi. s. B A. ad AF. ergo ut BA.ad AD.ita M.ad AEquare aequa-' i, Iessunt AD. AF. Quod erat demonstrandum.
Vadratricem disserentialem delineare.
Sit semicirculus CSD.cuius centrum A. diameter C perpendicularis AB. Vae eum diuidat in
uos Quadrantes , quorum latus erectu commune A B. bases A C. AD. Conuert tur recta CA. circa verticem sint punctu. . - immobile C. ita ut in toto motu secet latus erectum AB. ascendendo per G. F. E. B. moueatur item A D. ita ut in toto motu secet perpendiaculariter idem latus erectum AS arcum Quadrantis
DB. ascendendo in X N. IM: HL. &c. Ita autem fiat g minus ille motus, ut quae ratio latens erecti BA. ad pa
419쪽
tem abscissam GA. a recta CG. eadem sit arcus Quadratis BD. ad arcum sectum DN. Item in illis motibus productae CG. CF. CE. occurrant perpendicularibus,seu sinibus( qui arcus proportionales abscindunt ex arcu Quadrantis in punctis Q . O. punctum concursus describet vestigio suo lineam curuam RQPOB. extra Quadrantem ABC. Et quidem quod concurrant lineae C. R N. patet,
quia cum angulus CAG. sit rectus, erit CGA.acutus,ide que&aequalis ad verticem ΚG acutus erit, est autem GΚ ectus , concurrent igitur Κ G Quod vero concurrant vltra Quadrantem ABC. ita probatur. Quoniam peripheria Quadrantis BD. & latus erectum AB. Q militer diuiduntur, perpendicularis NΚ. auferet ex latere ' recto rectam ΚB. minorem ipsa GB. punctum igitur G.cadet sub punctumΚ. ideoque recta CG. producta Dccurret ipsi NΚ. vltra AB. in puncto Q Hanc autem lineam Quadratricem Differentialem vocamus , eo quod eius bafis, ut postea ostendemus, sit differentia arcus Quadrantis, de eius semidiametri. a
THEOREM A XXVI. PROPOS. XXVIII.
SInus Q uadratricis differentialis basi vicinior
In fistura superiori, Quadratricis BPR. sint sinusΚ IP. ille basi vicinior, hic remotior . Dico Κ esse mai
rem quam I P. Quoniam, ex descriptione, est ut arcus BD. xr.hiis ad arcum MD. ita BA. ad AF. erit conuertendo ut arcus MD. ad arcum BD. ita AF. ad AB. sed ut Bh arcus ad aracum DN. ita, ex descriptione, BA. ad AG. ergo ex aequam litate est ut arcus MD. ad arcum N D. ita AF. ad AG. sed maior est ratio MD. ad N D. quam IA. ad XA. ( sunt MI. 1.18.nim I A. Κ A. sinus recti arcuum MD. ND. Igitur maior huius.
cst ratio AF. ad AG. quam IA. ad O. di permutaudo,
420쪽
is Curvi ac rectiproportio promora.
nueptemdo ac diuidendo minor ratio I F. ad FA. quam LG. ad(,A. Vt autem I F. ad FA. ita I P. ad CA. ( aequi. angula enim sunt triangula CAE PIF. ob rectos ad A. I.& aequales ad verticem F. &vtΚG. ad GA. itaΚ ad CA. csaequiangula enim sunt, ob eandem causam, mam Dila CAG. QNG. ergo minor est ratio I P. ad CA. quam L d CA. minor igitur est IP. quam X Quod erat d
I sic apparet basim E adratricisae erantialis esse omnium t rara suum , maximum et reliquorum maiores
Uadratticem Arithmeticam describere.
bit Quadrans ABC. cuius centrum A. latus erectum AB. basis AC. in quo Quadratrix prima seu Geometrico
BNF. Iam vero promposita linea motu triurectarum perficietur . Primo circa centrum A. tanquam cardine moueatur semidiameter A C. ita ut continuo Quadratricem
secet in vaMjs punctis L. M. N. &c. & erus extremitas C. Quadrantem CB. pe currat, per puncta D. E. R. B. &c. per quae ductae perpendiculares ad AB. nempe DR. ES. ΚT.quae sunt sinus comis plementorum arcuum DC. EC. ΚC. etiam continuo cum dictis punctis moueantur, denique recta CA. circa verticem C. punctum, in quo basis & arcus Quadrantis coeunt,