장음표시 사용
401쪽
SI latus erectum Quadi alitis duplicetur extra
Quadrantem , es per eius extremum per pendicularis dueatyr Oi ea erit Qua diam
Sit Quadrans ABC. cuius latus erectum A C. eiu mduplum Ac ac per punctum lc. ducta fit perpendicularia XL. fit etiam Quadratrix semkirculi MCT. Dico perpendicularem HL.esse Quadratrici A. v. Wr,r.r. Asymptoton autem vocamus similitudine eius quae ducitur in Hype bola, apud Apollonium ti a. con. prop. I. quae videlicet quo magis produci tur magis ad Hyperbolam accedit,nec tamen unquam cum ea concurrit. Primum igitur quod Quadratrix quo ulterius producitur,eo propius ad rectam XL.accedat,ita demonstratur. Producatur basis Quadrantis BA. quantum libet in P. ac perficiatur semicirculus
BCF. t eat quolibet puncto I. Quadratricia in basim pr ductam
402쪽
Cutul ac rei hi proportiopromota.
ducta demittatur per dicularis IX. & ducatur AI. itemq. perpendicularis IH.hinc producatur Quadratrix ex I. in T. etiam mouebitur punctum concursus I. in T.& AI .promo uebitur in AT.&ductaTS.ad AΚ. perpendiculari,ascendet HI. in ST. vi constat ex destriptione Quadratricis. Duca tur TV. ad latus Quadrantis productum perpendicularis. Constat HAXI. & SA VT. este parallelogramma, quorum aduersa larera aequalia sunt. Igitur aequalia sunt SA.Tv. Item I A. XI. majQr autem est SA. quam HA. m uor igitur etiam est T . quam IX. Igitur propius accedit puniactumT.ad rectam Κtaquam punctum I. Mod in alijsquique ostendentur: Id autem primo probantium erat. Quod vero numquam concurrat Quadratrix cum pem pendicular ΚL. ita essicitur. Concurrat, si fieri possit, in punct'D. &ad D. ducatur AD. secans circulum in E. (secabierautem, nam cum angulus PG. sit rectus,etit angulus Dri R. acutus, ideoquearcus EC. minor quadrante Ierit, ex descriptio ie Quadratricis, ut Quadrans BC. ad arcum BCE. ita recta AC. ad rectam AΚ. sid AC. est dimidia ipsius A Κ. igitur BC. dimidius ipsius p . sed etiaBC. est dimidius ipsius Bch. umicirculi : aequale igitur
sunt arcus BC E.&BCF. pars si torii m. Quod si abiuradum. Non igitur conci rent udratrix & perpendicularis X D. Quod erat secundo loco ostendendum.
ES i duatas superioribus propositionibus constat si adrisistinens principio, ac sine carere am ideo primum ua esum non habet, quod bases madrantis S prima perpendi
cularis in unam lineam coinc dent, qua flectionem ei mere nuen possunt 3, Iimo ideo caret quod duae, basis madrantis S ultima perpendicularis At paralleia, uiamque is conrar sum in In P conueaeire non possunt. Rursus mamine
403쪽
ova ratrix non est figura rectilinea, non
Hyd Quadratrix non sit figura rectilinea , apertius est quam ut probari debeat. Sed quod neque Circulus, aut Ellipsis ita probatur. Sit enim, si fieri potest, horum
alteruter; erit in figura i . ae huius, MD. producta eius diameter g cum tam CE. quam ipsius CE. parallelas bifariam diuidate igitur in recta MD. est centrum figurat; sit in puncto A. secabitur ergo bifariam diameter MD. in puncto A .aequales igitur erunt MA.& reliqua semidiameter versus D. Quod est absurdum, cum infinita sit pars diametri ab A. versus D. de finita ab A. versus M. At non esse Parabolam, aut Hyperbolam ita demonstramus. In eadem figura i . adi huius, dicatur MC esse Parabolata, aut Hyperbola, erit proculdubio ipsius diameter, atqueis axis recta MD. cum tam ipsam CE. quam eius parallelas intra figuram ductas bifariam diuidat; cui cum parallela ponatur XL extrema perpendicularis, ea producta cuin Quadratrice convcniet. Quod est absurdum g est enim Igitur quadratrix non est Parabola, aut Hyperbola, Quod est praetet ea demonstranduin . ,
iatur, madratricem nactum alium habere ecebis moddum , prater eum quem illi trisuit motus puncti , in quos fidiameter Naadrantis es perpendicularis ad latus erre um Odrantis intersecant: neque vitam punctum in ea linea reperiri, quod concursus isse non est Mi re basim malis cis inter aeta recensendam, cum dicatum esse ara
404쪽
,s Curui ac recti proportio promota.
basiae madrantis inter centra uadrantis, punct ma uadrismeis in dicta iam, intercepta. Nam punctum atricis in bas neque in , cum ibi Rese basis suadrantis , O prima perpendicularis non secem ,sed concurrant ' ne eesse potest, cum alio modo quam motu intersctionis linea
uadratrix non procreetur. AEuomodo ergo veteres referenu Pappo Colocrionum ob. q. p. Io. s ab ileto, CLearao in comisanent. in o. elementorum prop. q. de m aeratrice , demam
fani basim saras atricis, va reuera nec est, nec esse pate , esse tertio loco proportionalem ad peripheriam uadransis, es eius diametrum e Vereor admodum ne illud The rema ali re proponendum sit, hoc nempe modo, in quo in Ierit quia reprehendi posti.
SI ex centro Quadrantis, in quo descripta est
Quadratrix, alius Quadrans describatur intra Quadrantem, qui aut ipse, aut eius tam gens Quadratricem secet: non erit eius basis a cui Quadrantis, eiusque semidiametro tertio loco proportionalis: si vero neque ipse, neque eius tangens Quadratricem secet, erit eius basis arcui adrantis, & semidiametro tertio loco propo
tionalis . Sit Quadrans ABD. cuius cenrrum A. basis AB. latus erectum AD. Quadratrix DF. centro A. alius Quadrans AGF. describatur,cuius basis AF. qui Quadrantem ABD. aut secet sita peripheria in reaut sua tangente FL.in L. Dico non esse ut DB. ad DA. ita DA.ad AF. Ducatur enim in prima figura perpendicularis I I. in secunda tangens FL. in dicatua ege ut DB. ad DA. ita DA. ad AF. sequetur in prima
405쪽
trima subtensam HI. esse aequataem arcui HR in secunda tam gentem FL. esse aequalem arcui I E quorum utrumque est absumdum ; Quod quidem quia tum a Pappo li b. .prop. I 6.tum a Cl vio iustius prop. q. de Quadrarruce demonstratur, eo lectorem rhSecundam partem propossitionis ita probamus nos ex prima. Sit Quadrans A DB. cuius centrum A. basis AB. latus er ctum A D. Quadratrix DE. adrans AGE. cuius basi A E. qui neque ipse neque eius tangens EL. secet Quadratricem . Manifestum est eum ita se habe re, ad ipsam Quadratricem, ut ipse totus intra Quadratricem,
Quadratricem cadat: alias enim aut ipse, aut eius tangens arcum BD. secaret, ideoque ex prima parte huius,non esset tertio loco
proportionalis. Dico esse ut DB. ad AD. ita AD. ad AE. Si enim non sit eadem ratio DB. ad AD. quae AD. scilicee AB. ad AE erit vel maior vel minor: fit primo maior;fiaraque eadem, ac sit ut DB. ad DA . ita AB. ad AI. erit AI. minor quam AE. ( nam cum sit ut DB. ad DA. id est ad AB. ita AB. ad AI.& maior sit ratio DB. ad DA. quam AB. ad A E. ex hypothesi,maior erit ratio AB. ad AI.quam AB. ad AE. ideoque minor est AI . quam AE. ergo d scriptus Quadrans AMI. cadit intra Quadrantem AGE. sed Quadrans AGE. cadit intra Quadratricem DE. igitur
406쪽
s yre, Curui ac recti proportio promota.
Quadrans A MI. eiusque tangens IM. cadit intra QMdratricem,secatque suum quadrantem verbi gratia in o. di Quadratricem in N. ergo ex priori parte huius AI. non .est icrtio loco proportionalis. Quod est absurdum. Sed ratio DB. ad DA. ponatur minor, quam DA. ad AL fiantque eadem . ac sit ut DB. ad D A. id est, ad AB. ita AB. ad AP- erit AP. maior quam AE. c. nam cum fit ut DB. ad AB. ita AB. ad AP. minor autem sit ratio DB. ad AB. quam AB. ad AE. minor etiam erit ratio AB. ad AP. quam AB. ad AE. ideoque maior est AP. quam AR ergo descripti Quadrantis AQP. basis A P. cadet ultra punctum E. & vltra tangentem EL. secabit igitur arcus QP. tangentem EL. verbi gratia in R. ideoque cum tangens EL. cadat extra Quadratricem,etiam punctum R.cadet extra Quadratricem, ac proinde Quadrans A QR s cabit Quadratricem in S. Non igitur es AP. est te tio loco proportionalis aicut DB. & scit id ametro A D. exprima parte huius. Erit igitur basis AE. Quod erat ,&co
Ex dictis manifestum adstricem nan Aa D
qua vere neque emat, neque exta e poteΗs ad circuli
retragonisnum eo ducere , sed suamet essentia i aia qMam si
habitudinem habeat madrans interior qualem Modo diximus , ita ut eam neque sua peripheria, neque sua tangente fecer, erit Zm uadrantis bases arcus primar= uadrantis, idiametro tertio loco proportionalis . Ueteres t men e m basem Quadratracis , motu, qui ad eam peruenire non potes , desierant f repexisse videntur ad punctum quoiudam in bas madrantis , ad quod linea motu pretunita, seu potius punctum smem Donis motum continuo magi accessit,
ac tandem propius quam ad aliud usium punctum, quod mbas de gnari pulit . tia vi s vel minimam molem haberentilia, tandem Ase contingerent. diuo pacto. O nos tum is a hac
407쪽
tiones adiscemus , BASIS notionem assumemus.
THEOREM A XVII. PROPOS. XVIII.
Uadratrix spiralem tangit in puncto , ubi is utraque duadrantem secat.
. In lemicirculo CBX. cuius centrum A. sint descripta spiralisABG. de Quadratrix HBF. secantes semicirculum dictum in puncto B. a quo erectum est latus Quadrantis
rum descriptione . Dico quod quadratrix HBF. spiralem ABG. contingit in puncto B. Ducatur, AE. secans spiralem in G. & QuadratrF-cein in F. Quadrat intem in E. & FN. s cetBA. perpcndic lariter et Erae, ex descriptione spiralis, ut BA. id est, EA. ad AG. ita arcus Quadrantis BC. ad arcum EC. & ut M. ad NA. ita idem Quadrantis arcus BC. ad arcum EC. ex descriptione Quadratricis ; ergo ut BA. ad AG. ita BA.ad AN. aequales igitnrsunt AG. AN. At vero in triangulo s. rectangulo FN A. basisFA. maior est quam latus NA. eris i p. r. go m. maior est quam GA. ideoque punctum F. cadit s ura punctum G.Idemque in quolibet alio puncto Quadratricis demonstrabitur: Tota igitur Quadratrix cadit extra spiralem , ac cum ea in solo puncto B. concurrit. Quod erat demonstrandum.
408쪽
3 s s Curvi ac recti proportio promota. THEOREM A XVIII. PROPOS. XIX.
Adius Quadratricis in Quadrante vicinior
basi, remotiore minor est. In Quadrante ABC.cuius basis AC. latus erectam M.
eentrum A. sit Quadratrix BΚ. cuius basis AΚ. radijAD. AF. ille vicinior, hic remotior a basi AΚ. ac secantes Quadrantis arcum ille in I. hic in H. Dico radium AD. min rem esse radio AF. Si enim non sit minor, erit vel aequalis, vel miuor . Sit primum aequalis: ac ductis FG. DE. ad AB. perpendicularibus in triangulis rectangulis AED. AGF. ponantur bases A D. AF. sinus toti, erit EA. sinus anguli EDA. id est iAC. , GA. sinus anguli GFA.id est HAC. maior autem est angulus GFA. qua angulus EDA. nempe HAC. quam IAC. igitur maior est ratio anguli cor i. GFA. ad angulum EDA. id est; HAC. ad IAC. id est, ar- ij. ' cusΗC. ad arcum IC. quam GA. ad EA. Rursus cum exi . huius. descriptione Quadratricis sit ut arcus CB. ad arcum CH. ita BA. ad AG. erit conuertendo, ut arcus CH. ad arcum CB. ita AG. ad AB. sed ex eadem deser iptione,est ut arcus CB. ad arcum CI. ita AB. ad AE. ergo ex aequali, erit ut
arcus Het ad arcum IC.ita recta GA.ad rectam EA. Quod est absurdum; ostensa est enim ratio maior I C. ad Itaquam GA. ad EA. Sed AD. dicatur esse maior quam AF. abscindatur AR. aequalis ipsi AF. & ducatur RL. ad AB. perpendicularis, cadet punctum L.sub punctum E.malo que erit EA. quam LA. Rursus autem, ut priori parte huius,ostendemus minorem esse rationem GA .ad LA. quam HC. ad IC. sed adhuc minor est ratio GA. ad EA. quam GA. ad LA. igitur minor est ratio GA. ad EA. quam HC. ad I C. est autem, & cadem ratio GA. ad AE. quae
409쪽
arcus I C.Marcum Ita ut prima parte huius probatum est. Quod est absurdum, non igitur AD. maior est quam I F. sed nec aequalis , igitur minor. Quod erat demo
HInc colligitur basim finiaratraeis esse omatam radi rum minimum Ict reliquorum minores qui bas iuc
R Ursus constat disserentias radioram ct adratricis , Ocb draniis eo maiores esse , quo basi viciniores:
M DI. esse maiorem ipsa Fre. snequales enim M. M. illa minor , haec maior ex aequalibas AI. AH. relinqu-ῖ ----DIDI. FΗ. illam maiorem hanc minorem.
Sinus Quadratricis in Quadrante basi vici
nior, remotiore maior es i. si Sint eadem quae superiori propositione. Dico sinum Quadratricis ED. qui vicinior est basi AIC. esse maiorem sinu GF. qui remotior est. Si enim non sit maior, sit aequalis , aut minor: ac sit primum aequalis; ponanturque sinus toti re GF. ED. erit GA. tangens anguli GFA. id est, HAC. & EA. tangens anguli EDA. id est, IAC. & maior est angulus GFA. angulo EDA. id est HAC. ipso IAC. Igitur maior est ratio tangentis GA. ad tangentem EA. quam anguli GFA. ad angulum EDA. id est, quam anguli HAC. ad angulum IAC. id est, quam arcus I C. ad a r- cum IC. Sed etiam ex descriptione Quadratricis, , ex
26. primi huius Disit ipsed by Cooste
410쪽
Do rui ac recti proportio promota progressi superioris propositionis, est ut GA. ad EA. ita
Het ad IC. Quod est absurdum s probatum enim est esse maiorem rationem GA. ad EA. quam I C. ad IC. Sed ducatur esse minor ED qnam GF. erit ipsius tangens minor, quam cum ponitur aequalis ipsi GF. Igitur tunc multo maiorerit ratio GA. ad EA. quam anguli GFA. ad angulum EDA. id est, quam HAC. ad IAC.id est,quam arcus HC. ad arcum IC.Quod est absuadum s cum ex progressu prioria propositionis , , prima parte huius,constet esse ut GA. ad EA. ita HC. ad IC. Non ergo ED. ipsi GF. aequalis est, aut minor; igitur maior. Quod erat probandum.
HI ne eo at basim suadrare is esse omnium sinu maipsius madratricis maximum fretiquorem eramaiores, qui sui propinquiores fuerant.
SI recta ex puncto ubi Quadratrix Quadrantem secat ducta auferat ex basi Madrantis producta rectam aequalem arcui Quadrantis it ea in dicto puncto tanget Quadratri
Sit Quadrans ABC. cuius basis AC. latus erectum AB. in quo Quadratrix v B. i secans arcum Quadrantis in B. puncto : a quo ducta BE. auferat ex basi AC. producta rectam AE. aequalem arcui Qnadrantis CB. Dico quod recta Emproducta tangit Quadratricem in puncto B.sumantur duo qui bet arcus aequales BΚ. BL. vltra citraque pumctum B. per quos ducantur semidiametri A Κ. A L. secan tes Quadratricem, illa in o. ista producta in R. a quibus Punctii ducantur ON. R perpendiculares ad AB. pro ducta ma