장음표시 사용
11쪽
let proueniate. et a in se et proueniat et indet proueniat g. et me et a uentatb.per septimam huiusque proportio a adb:ea est f ade. et que cad dreal ad s. dein dircob incet A ueniat L: eriri uocratia
huius h ad let sicut fad e . at proportio fad e me quarurypomoni a ad b .estniator proportiolae cad d. ergo et proportio b ad k eade3 proportionis ader maior ena portione , ad g.cubad Sequetur cad d. ergo perdecimam Linuior est g. et qt fadevth ad k:st per tertiamur fadb: irae ad et qrgybatus est milio rh: ergo persc6am partem non emino derit proportio ead gQ eao R. sede ad k per octauam huius adequatur proportioni a ab e pri lati ad rertium:et ead g proportioni b ad P secundi ad quartu Est igitur proportio primi ad tertium maior q)secundi ad quartum qP proponitur.
CSi fuerit x portio totius ad totum iliator* detracti ad detractu in: erit residui ad oresiduum proportio malor Φ totius adtonim.
CSit ab totum et ab eo detractus a et residuus h. sit item ed aliud totum et ab eo detracius e et reinspaus d. stic totius ab ad totuc d a portio maior Φ adcidis ba de residui ad residuum malorem esse proportioem a b ad c d totius ad totu .duco mi a b in a et in b et pro iactitat es cuius detractus si te et residuus Lerduco idea bine et in det proueniat ghtcuius g sit detractus et residuus h. temducata inc et a ueniat k: substrahatur. k ab toto ghνrelinquatur l.cum eni per nonam pumi et fit e eductu alicuius numeri in onis partes alicuius totius requa sit et qui fit ex ductu illi' numeri 1 inde totum:totus es equabitur es 4 fit ex ductu ab in seipniab. etesiiden abductus ina a duxerite detractum e sper septinia huius que a1portio a b ad areadem eriles ad e. et ea ero ne que a b ad b: eadem es ad fietque ab eo: eadem es adgd.ctvted ad citias Vadg.et gly ad , vico ad P. et caduo numeri scue totas ab et a detracius: ducti sint in redem c d : era duxerit nunt erus a b ii umerii g heta numerum utper octauam que proportio a b ad areadem est sh ad tr. sed et cffe*ducatur ex amabzeti de xa inc P. per septimamqproportio ab ad ed: ead erit ea dir quare ut es adgl : ita et ea diddetractus ad detractum .per quintam igitur ut es ad gh: ita fabi residuus ad residuum et me gst proportioque a adtacrit proportio eadgna inor Oeola. quare perdecimam luminor est s. igitur et i qui 'stabit ex det differetia tr adg: maior erit b.igitur per eadem deciniam a portis sadhmiore numerum maior est Q ad i. at pro portaes adta bata est e cinx portioni es ad gh: arcet a poῖtioca b ad e d toti iis ad totum. Est igitur a portio fad b: si est ea dein oportioni b ad O residui ad residuu: maior proportione a b ad c d totius ad toti it n. quod est propositum.
CSi mo detracti ad detractu fiterit pportio maior in tomis ad totum: crit rcsidui ad residuum proportio mulcri totius ad torum. tax bis quo* pcrspicinini cis adit si fiterit x portio residui ad relinuta sicut detracti ad detractum : I portioncmocrracliad detractum esse tali eta sonus ad totum.
Sit a b aliquis totus ti uerus et ab eo detractus a et residuus biete d alter totus et ab eo detractuscet res uus P .sitina a de maior proportio ab ad ed.dico ha dominorem esse proportionem si ab ad c d. quia eniam e est 13 portio maior O a b ad c :per decimam nullis eco traminor erit 1 portio cad a. ed ad ab.esi itam maior erit xportio coad ab totius ad totu*cad a detracti ad detractu. per precedentem igitur maior est proportio d ad b residui ad residuum O c d ad ab totius ad totum. Intelligo i optimii nimierum ista m .ed tertium.et ab quartum. qrdadb maior est proportio. edadab:perindecimam eco tramior est proportio havd Saba demestitam notum totius ad tota maiorem e proportionem si residui ad residuum et propostrum. Correlarium pater nam si totius ad totum maior esset proportio Odetracti ad detractum: ergo per precedentem residui ad residuum maior erit proportio * totius ad totum. qre multo fortius residui ad residuum maior esset proportiso detracti ad detractum.qhiod est eo transpotheam .in autem totius ad totum nitor sit proportio u detracti ad detractum:ergo per presentem residui ad residuum minor erit*portio O totius ad totu, quare et multo fortius residui ad residuum minor erit proportio si detracti ad detractum. q6 est ite pira pothesim . eum ita xportio totius ad torum neq maiornem mino: esse possit si detracti ad detractum: relinquitur eident equalis.
Si primi ad scbm tuent proportio maior in tertii do quaniim: crit primi et lacundi ad secundum maior proportio in tertii et quarti ad quartum: ad primum vero minor in teleth et quam ad tertium.
abada minorem esse u edado prim si patetmassabadbet evaddponatur equales: ut q*portio ab ad brea sit c d ad d.ergo umulatim st tertia huius erit x porcio a b ad c d :que di ad d. e re se quintaque proportio ab ad edrea erit et aade residui ad residii una. quare et ii bad d. etcssimiles sinta adcetu ad dremo permutatim per tertiam que proportio a ad b ea est c ad d. quod e pira bypothesim. Si aut ponatur a b ad b minor et e d ad di proportio niaior:csi e d ad d sit proportio maior ur a b ad bergo per duodecimam butiis e d ad a b maior O d ad b detracti ad detractum .ergo per decinia terti 1eada maior rindui ad residusic evadab. quare multo potius* d ad h.est itam ea da sit maior et vadbtergo per undecimani minor est a ad c*bad o. Intelligo ergo quattuor numeros: b ptimum. d sesntiat me quarta:quia maior est xportis b ad d O a ad c:ergo per duodecima maior est b ada doc, oui mergo pundecimam minora ad bo cado. q6 est 'tra hypothesim .Helinqtufigie a portio ab ad brcsine pesisnetvmio iv pbata est ee possiti maioreeiportio ecdadd.qs est pnisi
12쪽
in equales: ,o et o c quales et coposita a b et e t=:silip a maior ridico ε ad e adlucreesse proportisciit in a b ad c d compositi ad compositum. laam cu bet di idem sint nuti. erus .c a tniaior c:per nonam igitur maior est proportio a ad b ur c ad d. ergo per duodecimam,h ἡ,ἡ--v r ς β u' b βψ p residui ad residuit ergo niator proportio ad tracri ad detractu in:* a b ad c d totius ad totaini. nam si a ad eret a b ad ed eadem esset D 1 opoytio' 'per quintam eadem ceta adc: et badd. citius oppomst demostrarum est.Si aut maioree badeo p. opo. tu aoc: erΚo perdecima Iertia esset*portio badd residui ad residust: maioria ad coma inodo ille iistia tuniem res in itur igitura ad cproportio maior adluricti scI ad ad iuctum:* a b ad c d eo ii pol tu ad compositiani et proporium.
i Si fiterit x portio primi ad scibili in alor * terni ad qualetu: mentin primus minorrcruo : erit secuta duo ininor quarto. ' V
CSint quattuor numeri: apriimis: bsecutusle tertius Id quartus:ssima adb proportio maior ω eadoret ut a minor c.dicob esse in in orsu P. nam cuc sit maiora: ergo per nona maior est a pomo eadb.*aadb. quare multo fortius caPb illa ozest proportio cad d. per decimam igitii id maior est b. quod est pro postitum.
Cum fucat proportio primi ad sco in maior in tertii ad quartuim ct compositum et g primo et secutrdo cquale compostro cx temo et quarto: primum tertio maior esse
Is CSit Rad b niaior proporgo * cad d:et ii uerus copositus a b equalis coposito e d: dico a ee maiore fconceptaoem .alioquin si iequalibus inequalia adderetur:tota fierent iri equalia. quare equalis ea a portio a ad b: et cad d q6 Uelrptra hypo desis in. ne P erit c maior a:et a minor .nam per preeedentem b scos essex minoro quarto aper concEttonem itur aer, duo minores simul sumpti minus sunt Φ eo duo maiores simul.quod 'ite* eu pira Vppot periina. relinqtur igitur a ee maiorem c et pωyomum.
Si prunuo tueret maior tremo: et corii positas ex primo et seciando equalis coposito ex terno et quarro: maior cur proportio primi ad scim Φ renii ad quaretum.
Et ec est 'ucris precedentis. Sit vi prius a primus nereus malore tertio: et copositus a b equaliaco posito c P. dico maiorem ec a ad b*portione d= ead d. Ramqr a e maior eret a b et c d equales:em binino: d.noncni esse potest bequalis P. nanra piis aetem equalibus additis:tota non fierent equalia. nem et bina toro . nam percoceptionem q6 fieret ex aetb duobus maioribus plus esset.quod est traprpol delim . et cu sit maior cetrgo 2 nonam proportio a maioris G d: maior eu O proportio cad d.0et cubden ultra russsim inord: per decimam igitura adb maior propcrno Ba ad P. quare multo foratius in cad d. quod est pro post tum.
io si Si qlio Ilibet numero* ad totidem alios fuerit una proportio: que vivus ad unum ea otin ad omnio par itcr acccptos crit proportio
si Sint tritici ilibet niteriret diei frori demate. Misita add:etbaderet ead proportio a. dico que proportio a a d:eade, ee totius ab e ad tolli d e finam facite ex salhuius cognoscis tres anceo dies cecque aut maiores aut minores aure quales adsucs sequetes. Si aut sui te simiores: quora parsuri pies erit a ad d tota Is vel pres eri r b ad eretc ad Lergoo quarta et quinta primi sub disiunctione quoties oportuerit repetitas erit totus a b c tota ps vel ptestorius d e fimota pars vel ptes a ad d. quare eade 3 criti portio a add: et totius abc adde LPist sint tres a ficederes eque maiores quia et dNpomoaado: ea est bate et cad L ergo P prima bui'n yportio dada: ea este addi et fadciorellavsvel preodada: tota vel tore est eadb et fadc. per quarta igiret quinta primi sub disiuctione dites a opus fuerit repetitas quota Ps vel ptes est dada: toraus velutes est des ad abc.qre q.pportiodada:eade erit rotius d e fad totii a b c. ergo p prima bulus ci a portio a ad d: eade tonus a b c ad totum d e Lq6 it est ν positiain. Si o singuli singulis sint equales: statim advivate oceptione si equales numerosequalibus addas totos fieri equales: idem efficies. est italu totum propositum notum
ij Sist: crint quotlibet numen alii in pni cundem numerum pluiue in cadcina portione sumptu ex ircinop eandem cssc proportioncm necesse est.
quda portio 'alitatemqtre est quocies sumptis quotlibet numeris ad alios totidein cotinua .pzortio ualitate sed titibus: cocludimus ut illoν proportio extremi ad extremum rita do extreti si ad extrem si proportio cita es e quid a sit sit cotinua Nportionalitastrum dictii est. et hec equa prepouior alitas bifaria formari potest pn o directerordinem re .ut se hunc ut modum dixero: Rcuta ad baladad e. et sicut b ad e: ita ead s. st sinita ad cntad adfν quo eque propo: tionali ratis ni odo h. ponitur presensi positio. Sedoso formas indirecte pueris vomine.visi dixeroque inpouioa ad beaeste ad Dei lii ebadceadade. ergoque ea adc: ea vid ad Liquo quide eque proporti5alitatis
13쪽
modo seques pones ipositio. Sint ergo a b c quotlibet numeri in corinua amorti balitate et directe se hnico ad totidc ef.vt sicut se heata ad but ad ade.et sicut badcritae ad ridico cide3 eda portisenem a ad c et d ad fina qr q a portio a ad buri cst d ad c.st ymutatim Π tmia huius q proportio a ad dea est bade. α*qpruportio badceaevie ad frigis yeade 3 tertia P mutatimqxporrio bad e:ea est c ad s. are et que a ad d.cum itamque proportio a ad P ea sut e ad stergo pinutatim per tot iamque proporrio a ad cicadem est d ad 'quod est propositum.
Et quotlibet numm totidem aths in directe proportio ales fuerint: extrenii quom ii in cadcin proportione proportionalcs erunt.
LSit a ab b ne ad Dei b ad c vid ad e ouerso ordine proportionales: dico a ad cut d ad s. Duco enidine et in fictaminiat sib: te infer proueniath per septima hui' 'proportio eadfeadem est gadhquare et que a ad baea deni cst g ad D.eiqi d et e multiplicat Dp octava q proportio d ad eci ea est lγ ad kqre et Obad c. et qrg fit et om c:ethree in steti hy octaua primi alternatim latex fine: ergo per octava Duiusqproportio Padf: ea est gad h. Hryprecedetem struta ad b:itagadb.etvibocuta dad h. ergo ut a ad Gita gad h.et cu proportio g ad x monstrata in eades proportioni o ad ferit igitur via ad ci proportiod ad Lquod erat demonstrandunt.
Si lacrit primus ad secudum: sicut tertius ad quartu. Item primus a quintum v L sicut ternus ad sextum: ait sicut primus adstoinet quin tuata tertius ad quartum et
Ei fitent primus ad secundum sicut tertius ad quartu fueritin primus mannius: i . numerus compositus cr primo et quarto maior erit numera coposito G scdo et tertio
Sit ab primus numerus: csecud': de tertius: quartus. si tinxi ab ad Gita eadfersit ab illo*e quamior numeroz mavisnus. dico compositum ex a b er se maiorem este coinposito exect d ricu enima di sit mari inuo est maior e secudo: quare per scsam huius d e maior squarto. et esi ut a b ad citia o ea di f. ergo P mutatim per tertia in butus ut a b ad d erita c ad s. sed cu a b sit maxim' per i ypothesi inestinator P e. erso per se danI butus et e maior fest ita in filio* minimus .esto ergo b differeritia a ba dic et e differentia:d ead f.qr sicut a b ad O eta batus est e ad Let a adequatur e et o equatur Lergo et a portio a b ad P e ea est a ad P detracti sc3 ad detractum. ergo per quita3 huius ut a b ad d cista b ade residuus ad residuu.qrey sciam duius cis a b sit maior d eretia b est maior e sunt ita. b eis maius d e.quare it a b et stria ius e et P e si a et b simiai per coem coceptum equatur toti a b. est iram com spositus ab cir primo et quarto maior composito ex e et desectio et tertio. est propositum.
CSistierint quattuor numeri a portionales: quod sub extremis continetur equale iscit et quod producitur mediis.quod si producta fuerint equalia: erunt et numeri proportionales.
Lyd sub extremis contineri diciturqsex extremo iii extremum producitur. Sint ab co quattuortiumm proponio ales: itavrq Proportio stadb: ea si te add. dico primoq)fit exardes illi ecquale ee ei quod fit ex b in e quod sit f. Secundo si quod fit ex a in d: equale sit ei qo fit ex b in e numeros tuos esse 'portionales. petimum patet: et vi dictum est ex ductu a in d fiat e . et ex ductu b in e stat fi quos dico me equales. Duco enim v a inb et proueniat g. eri r per septimam huius gade vi bad O. edet quia exa inb prouenit galternatim exb tria prouenit g. et etiam ex binc prouenit Lergo iteu per septima insadr via adc. ct quia via ad bita c ad det ergo permutatim per tertiam via ad c: ira badd. qua regad fur badd. et probatus est etiam gade vi badd quare e eis quou adgeside numminiecit proportio una: ad inuicem sunt equales. quod est primum. v reterea dico si e et f ad inuicem sunt equales tabc esse proportiora ales. nam eue et funt equalesti pius sed eos est proportio una. et quia ut dictum Fg adi via adc:et g ad evi b ad d: erita ad evi bad P .ergo P mutatim per tertiam a ad but e ad d qo est numeros a b c d aes eminuicem preportionales:et secuduiti.
Dibus ii umeris proportio alibus d sub eximia is continetur qium ex inedio in se isa ducis sunt eqlco. Q u illi eqles fuerinta res stin numen crunt ptinue ypor sto ales.
iit a in Cequale esse eiqis fit ex bine. v c d fit b iii sciequale sit et qd fit exa in c tres numeros a b cee cotinue proportio a linia Numam partem probas per primam partem precedentis po b bis aut quecunm numerum ut de qualemb. ct scdam partem per pcedentis secsidam partem: ..e ut deni ostretur est difficultas.
CSi fumi proportio primi ad stoedum maior * tertii ad quartum: qui et primo in linquartum producit: maior cli producio ex scam do in tertium. si a ductuo ex umom quartum hi maior: et proportio prum ad secundum maior crit.
14쪽
CPositis duobus numeris an sit tmiuo cu illis continue spornonalis: pascrutari.
si aris ergo duobus Geris ponatur eoo tulibetque voles secstissetque duc in se. :si retinuus a ductum scdmoliaue numeret nurnerus scom quia1ductu numerabiterit tertiustiuerus ino ui proportionalitate ipis pervicesimanisextant adiungedus.Su reliquusa ductum Finaliaue numerution numerabit per eadem nullius ipsis adbibebitiar strenue proportionalis.
Eadem facilitate vi pateat.nam datis tribus numeris duesecsidsi interetiaeetsi primus numereta dumimplar aliquem:isfm quem productum numerat in per ricesima quintam ad quem metius ut prinitis adsecudum se habet.Tt si punius productum fini aliquem non numeret per radent vicesima quintam nullus tertio i roportione primi adsedin adiungetur.
4t Smindi elementos arit metiere jordani finis.
Elmerus primus dicitur: l non babet partem preter unitate .comon positusvero qui habct alium numerum ipm numerantem .sComensuraubiles siue costates vocatur:quos coiter aliquis nucrus numcrat. Cotra se primi aut edictitur: qui a nullo coiter numeratur excepta sola unitate. Di mini xportionis diciatur numeri minimiunter quos inuenitur illa .ppornor Ummius numcrus pnna ustad oem quem non numerat est primus.
CSit a quicstae numerus primus:dlco a ad queem v nume* que numerat esse eoniensurabile atγcoicante et ipm et quee in alim que non numerat esse pira se primos. timsi patet ita ita aliquem numerumi meranti In m seim aliquoties sti tum numerabitiquarei a seipmetalte* tinerabit: erit uti in perdiffinitionem comensurabili satin eoicans ait . Stam patet: iram si a aliquem numerum non numerat nullus numerus vini v eoirer numerabit: alioquin numeraret a:etano esset primus. quod in ira hypothesiimp duraui non litura τnummis quem non numerat sunt stra se prinu et a primus ad alitin quod est ses
χ somnis numerus compositus: ab aliquo ptimo numeratur,
Sit aquissim numerus rempost russductus ex bine. aut ergo bauic est misissetet sic de eo hetur propolitum .aut uter Fest copo itumq6 asscistat ergo be edi emit uteri detest compositus:fiatit vexfmg.siit .vterin eop est componius:baerone in inmutumnumM decrescentaq6 este Strapetitionem et utipossibile:nisi deueniatur ijdem ad numerum quem nullus alius numer itideueniemus igitur tadem adaliquem numerum quo nullus alius numerabitet ter hoc primu Mui eum erit pars partis:ergo et pervicesima internam primi erit ills totius. are pervi initionem partis numerabit ipm totum quod est propositum
3 omnis num crus aut est primus:aut a primo numeratur.
CNam omnis numerus aut est primus aut compositus.atqui per precedentem omnis numerus eo positus a primo numerae olfois numerus aut estpmus aut apino numeraturiq6 inredit Mositio
Φ CSi aliquis numerus primus numaum ex duobus a ductam numeret: necesse est cviidem alterum eorum numerare.
CSita numerus τductus ex b inerme numeret nummis primus o frem ridico numeru prima dnumerare alte*duo aut e Gesto non numeret brdico spm Geraree.Intelligo mi primu numerad:s com buerrium cciquanti e.quia q6 connet sub extremis v et mequa est ei os connetur sub med esb et c.ergo perscrudam partem vicesime quinte secMudbee sunt proportionales.mque proportio daob:ea ut eade.ssergo b fuerit maior deteria et e maior cot demosseatlae se inde scisi cognoscitur. Detractis ergo quoties fieri poteritdete debet e relinquantur fet g.eritae pertricesimam primi ut quota parsurpartes frelicta lud: tota pars vel partes g sit ci* si freticia sit pars d:eus o Mnsierus primus fest ita quota ergo umias in cndreota pars gestine.ergo per septuna primi quota pars unitas est in Mista pars derit incinumerabit igituro istm c. Et hostfrelictus sit partes mestvnitates Hostensum emetiore partes erit g ipius cicapiam ergo una unitatem in f quesit rima partem ab gquefithret argumentabor ut prius per septimam omi.quota pars hvnitas est ad P. tota os est ad ergo per septima pumiri pars havritotadad e. quare ite*d numerat GHtio sid maiorevibperscfas insiste est maiore.remq*portio dabbinde est eade:stuprimas letiaque amomo badu: deerite ad c.quare quota pars v artes best admota os vel Ptes eade.Uxuido stoete in illas
15쪽
partes:manitem est eni tum d sti numerus piimus una parti si b eisnitate .capio ergo na partist bque sit stet una patitue et stig:dalgi equora pars funitas esto tapars gestipsius c:ergo per se pnna1 primi quota pars f unitas ad s: tota pars d est ad cinumerabit igit d ipsuc q6 iter si expositii
CSi nil mem a duobusa ductu tertius numerande alteri illox erit comesurabilis
Silanmmerito ex bine arductus que nutriereid: dicod alteri numero ubaut cesse comensurabilem nam aut dest primus:aut copositus.st primus .ergo pG pcedente alter stem numerati quare ais rori eou erit 'mesurabilis. si olims:ergo per secunda huius ab aliquo primo numerae de qui site. ae nutrierat drnumerabiteti apemcestinarum2 primia: Quare e per predentemimerabit haut cet creetia coiternumeret d:sunt perdiffinitione det alter duo*bauic quos coiter eidem numerus numerat comensurabiles: quod intenditur.
CSupiis quotlibet numeris primis: diu crsu ab illis numeria primu esse necesse est'.
CSint ab equo tIibet numeri patini:dico altera ab ipsis esse. eo enitium erit primu insecuti si et Pueritat metterti si in*diici si ery ieiat e: et si esset quartus mucere ipssi inadiduci sie: et ita deinceps et quia priores semp erui partes parti sultimi Moucti tergo peruicestitia terti 1 primi et diffutitionc: oes illi numeri primi numerabit Iti nisi .pductu:cul ab unita trem: et sit totusa duetvshqui aut in psimus Ioed costabita possisi. aut cdpositus: qui si iret rc post tus: persecundi huius ab aliquo primo numerat qui sit g. et cising sit primiis et nossi a lids pdlctoumam si aliquis p ictou: numeraret sciani numeret detra etsi e ut os msu est Ner duodecima primi numeraret residuur numer' lay via irastein quod evi impossibile:constat igis alisi ab ipiis isse num primst.
CSi fucrint duo numeristra se primi: qcum numerat altri: est ad reliquu primus.
PSuita et bytra septimi et enumeret amicob et cesse 'tra se primos:alioquin si enumerat haut alius qiit cumb et cicum idem pervicesima tertia primi numeraret a: no essent a et b contra se primi quod est contra I pol sim.
CQui Q num crat numeros contra se primos: et ipsi sunt ad inuiccni primi
Sint ab numerates eo numeros cona se primos: a qui decet bipssid:dico abee cotra se primos nam ii sint comesurabiles sit e eos coiter numerastita ergo enumerabit a etia pervicesima tertia prinu numerabit c. Idae etiam numerat b per eade numerabit d.nosuti glecti contra se primi: quest contra hypothesim .
e mum cruo copositus ceduobus stri mei spina se primis: aduuii misso ς est pinus
Silli aet b numeri cotra se primi: et eo poli Iterdito cadHriimeon esse prim si .nam siti tamen murabilis mi eou ut ii uero a: numeret igis eos aucis mi merus ut d: da ergo P numerate et a detractst: ergo per duodecima primi deiij numeriit brestdus. nota tigi rab trase primi qs est cotra post tu.
Si duorum numeror timui ei in ad icrnum fuerit primus: ct qui ex ipsis produci e
Sint ab duo numeri quo*vterm ad c siti mus:et sit d*ductus ex alii b: dico desse se nisi adc.n1 sic et desset con esurabiles: alii se os me coiternumeraret:qulcii numeraret d*duci si ex duobust3a
et b: st quarta hui'coicabit alteri eo*: qd y septima hui' e ipossibile .no iram ect d intomesurabiles
si Si fuerit duo numeri pira se pini si ex alto i se ducto Iducis ad reliquii erit pila'
CSilitarib trasep mi:et a in seductusyducat emico cesses mst ad b. capio dequalea:et davterma et dest Mimus adb: ergo per edente qui fit alno est pnius ad h.sed qui fit exa in se: equar ei qui fit ex a in ungitur qui fit ex a in se est primus ad b.quod in propositum.
Si fuerint duo numeri contra se primu qui ex cis in sex ducent ei ut stoiniuste pes si iidem in G,ductos ducan fici qui inde a ducetur crunt corra se primi. Siccs deinceps sipuncipia myductos ducantilr: P ducti cri inrita comm cnsurabiles.
Omniarib cotra se primimum feta in se et fiat ciet binis et fiat mico eo esse cotra se primos. Item dico si a ducas incet fiat C et b in det fiat e sintere feein comesurabile satin cotra se primos. et stiteraduxeris aine et b in si quisducent esse cotra se primo stet hoc quoties feceris ita euenire. primu patet: nam perpmissa quia aes prinius ad bere fit exa in se:per pcedentem cest pnius ad bet quin e est primus ad brid fit ob in saepertadem cest primus add quod est primu reterea da terina et cest primus a brigitur per decimam equi ipsis producitur est primus ad b. quia igiee b sunt contra e primitet v producitur exb inse:per precedentem e etia3 est primus ad v.eum ita in uterin duorum bust primus aderi monstratum est igitur per dicimam squi fit ex ipsis scilicet ex D in d est primus ad diei ita si cunae series xcedat coclude.et hoc est frem. Ex huius prima par te cognoscis:tetragonos mox latera incommaerabilia sunt esse ilico mensurabiles .et ex secuta uesseras in comensurabiles esse quare latera sunt in comensurabilia. et cotra demostra repromptu est si latera sunt i5 mensurabilia:retragonos et tesseras esse comensurabiles. Ut sint ab latera cemensu rabilia rectetragonusa:ete eius tessera.d tetragonus b:et fetus testera: qilia ab sui comensurabiles:ergo ense rus editer eos numeras quisug: qui agnumerata: ergo pervicesima tertia priminu Gmerate et Ner quia et ilignum orath: per eandevicesima tertia numerat det f. sui iψε tetragoni eorsute et tessere es adinvicecomen iurabiles. sed de his bactenus: quouin zo huius ubi denumeristum quadratis tum cubis agetur exactissima determinatio futura est.
16쪽
i3 CSi duo numeri ad aliquos duos uteri ad utrunm fuerit punivoret aui ex eis producitur ad productum ce taliauis mi otimus a
i Sint ab prim adcet primi abd:et ainbfiate et excind fiat f.dico e et fesse intimset rimos. G - - qt Nerin numerus a et di inprimus ab c per oecinia bulus e in primus ad c. et qr uerit mer m a et b est primus add*ergo per cande e in primus add.estitam Herm duorumcdmostratus primus ab e qua re per eandem decima sproductus ex illis est primiis ad N quod erat demolirandum.
34 CSi fuerint duo numen contra se primi minorae de maiore aliquoties detrabatur raut relinquetur unitas aut numerus ad detractum primus
e Sint a b et e cotra se priniirabiliatorie minor detrahatipede ab aliquoties: sit substractus a et residust baie ob aut esse unitate aut esse num primst ad suam absit comensurabilis it dimovico Ismensura.qid numerat edulcemnat eruam primi etiam numerabita.αqr etiam immerat b per nona Primi numerabit totum ah.no erunt igitur ab et econtra inprimi: est contra repothesim.
Cum fuerint duo numeri contra se primi ci minore de maiori quoad pol metracto: residuia a prius detracto detrahatur cotinua boc pacto detractione facta: vnitate res linqui nccc est.* sivnitas residua fuerit:politos nileros incomtiuratules te pueruet.
Sint ab duo numeri cotra se βmi:a maior et bmior:detraharinbaba quoties id fieri p5t et minquare qui detrahae quoties potanuero b.et ita continue hoc pacto detractio quoad poti dico primo tande reliciti iri unitate.di eo sciso et aboc pacto eotinuata detraciide relicta sit mirus datos merosella corrase primos. primu p3.nam detrabar bdea quoties potet reuem residust sit alme relicta minus eb.et stiprecedente aut munitas aut risierus primus adb.avntruscos atq6amoni&stnsieras pinus adb detrabolpin quoties pomus ab ipso bet relinqtur mi Meq6strv.quod4dem perpereentesiae es mirus aut nil erus prim' ad siniterus βmus adespmdetrali ab ciquare aut semn decrescet numer' dando minore ad primu fini exigentia peredetis: tretinetur irasq; est primὶScsmps. nasia eth sunt eomesurabileside numerensierabit tot si et detractu.marest duodecim1 primi idem merabit residusi numerusso mitateqoestipossibile q6quidem clarius Pcipias ne sidera.stia et bnnt mesurabiles orcino eos coiternumeretisubstrabarcub ab aquoties pol et reliquare ne sit unitas esi numer' d numeret b nfferabit oeni numeratu ab b p twmi: quare torsi detracte ad a et inerat etia avt pontii est. ergo aduodecima primi delia numerabit residuus ci numerus te mltate q6 estipossibile.etae sitnsier' ronuerat totus et detracto batumino P uodecima pmidetiamnerabit e residumdetradas ergo quoties pes edeb ε relinquas risi e in unitas argumetare ut pilus numersi d nutrierare e mitate.si vero e sit nsserus consisto ipsum numerabit, et M ae dedo in qncssae dabiturumiasipa monumerabit:q6eininossibile.Et ex hac demoth inioneinrest oppin iurabili si alter ab altero quoties pol stibiis affut residuus residustulis coemensura huc
1 6 CDatis duobus ni uneris'coicantibus:maximu eos numerante Inuenire. Minam
feta est * ois numerus duos quoscunm numeras maximu eos minimnae nuctabit
CSint ab duo numeri coicantestaniator et b minor: ostia est maximanum ipsos meritem uenire.Sieni bnsierata:αbseetia numeret ipse est maxim 'eos numeris. Umbris numerat a detrahae baba quoties plet nil relictus cid sinueret vir ων ipse e numer' in alno nueret bereadae ergo iterae abb quoties plet sit revictus oderit minor cisi numeret dirim beta ipse epelirum attino numerat uno decrescet numerus in infinitsi nec decumbes ad uni mper edente aet bellant cotra se primi tande devenies ad alique qui an relictu numeret qued primu im meo esse maximii num eos coiter numerante. nasi eo natior ponat accidet Ouuodecima primi maiorenunierare minore: est ipostibile. Ex hoc correlaristes notum.ponarem ab numeri eoicantes et bminor substracis ab a quoties pol et relictus ciui e substi actus ab b quoties potet mictus o 4 s stractus ab e nictu relinquandi eo erit maximus numersis aeth per psit Vrnis ure numeras ah.
Dicognsierared maximst numerante.R migcitide numero d: cum olanmneras scim numeret de eo veram est propositit .si est alius ab d no erit maior v. navno esset mammis munerus numeras a b versi potius g.erit ergo minor de necessitate:qui danun erat b. emo P mccii tertiam primi numerabit totuni detracta ab a.et eum etia numeret a:per duodecima primi numerabit reuduu ciet eum numeret e pervic matertiam primi nismerabit totum detratasta numero b. et cum numeret brer per duodecimstprinii numerabit residuusc3duiuod est propositum.
. ιν Propositis quotlib3 nuens adiuice ppositis max mu eos coiter nuerate reperire.
TSint ab equotlibetnsteri adinvice possitispositsi est maximanum eosnsierante inuenire Inuenio ent per dente maxime numerMea et Dentd eam nerate ille equi petie alioqui si dabis
maiore accidet si duodecimst prinil minore numerare maiore.siastid nonumerat tam osse innumerata bensierat a b.etiimnaensterat abneor Maria precedetis numeratu malumnum eos numerante .ermo det e sunt 'mesurabiles.inuenio ergo P precedente maninsinum numerante ceto dsit eque dico esse maximu numerante ab catast sit quire. Quis malo Ze eos coiter numeras: is sit f. da ergo snumerat a b v eorrelarisi precedens numerat d ma amsi eos reumerante. da numerato et etiac perpositu:ergo peride correlarist numerate mannisi eos Gerante. ars ponis maiore.nsierat
igis maior minore:q6estipossibile.relinqvir igiture esseniannianumrante ab e et propositu.
17쪽
gQuilibet duo numeri in sua proportione minimi: sunt contra se primi.
Sint ab duo lineri insua*poitione mimit dico eos esse contra sepmos nausint 'positi sit eois eo* nissura e d nsieret asin d et time st septima labi et aapolito d ad e ea est a ad b. at clid sit minor aete minor b non erant a tb in sua auoulone minimi:quod est contra pontum.
Humen quilist et in sua proportione minimi numerant quoslibet in eadem propor in none sumptos minor minore et maior maiorem equaliter.
Sint aetbmimi insua oportionera maior bini notasint eiusde proportionised:c quide maiorvminor dico a numerare ectb numerared ualle.naqruta ad bita cado: ergo permutati per tertia seindiri gade it ad ad h.quota ergo pars vel ptes esto ad c tota pars vel Ptes est bad P. st tota pars constat amolire aequalrnsierare cetb numerared.sitote partes ergost tricesima ptimiqr toties erit alne quouesbindat quota pars vel ptasaren aserint incitota paravellites bremanebulind.substraho ergo quoties pomum a Me et detracissi te et residuus Lumilis substrabo quoad possum b de det detractus ingetriaduus b.m ergo ansierateret b numerat gequalie at*fin eunde numersi.ergo per octav Isrei que portio a ad bea est ead Mergo rq proportio cado totius ad torsi:melle adgdetracti ad detractii .igitur 2 quinia secundi et sportio e ad d totius ad touin: ea est fad b residui auresiduu.quare iterumqproportio a adb: ea est fadd.at cum fetbi elicta sint minora aeth: no erantitam a reb in sua proportione minimi equod est eontra ergo quoscula in sua prosportione minimos ceteros ut dictum est numerare.
Si fuerint duo numeri minuice primi ipsi erunt in sua yportione minimi. Lo
Sint aetbnsieri inulast primira maior b minor. dico eos in sua yportione esse mimos. ngsi sint ali elint in illa a portione munia sint ergo illicd:qtergo eo sunt in illa a portione mimi p pcedente numerabsit quoniuet in eade sortione minor minore et maior maiore equali f. niteret ergo enum ast me id numeret blacunia eundent numerae manifera est* enumerabit aetb: quare norunta et b contra se primi: quod est contra bypost eum.
Cpositis duobus numeris contra se primis si alter ducatur in nume* que reliquus no numerat productus quoin ab eoncm non numerabitur.
Sint ab numeri contra se primi et a ducatur in e et proumlat det b no numerat c: dicobno moerare d.Si ergo b numeret dinumeret ergo ipsum Fin e intelligo primu numeru a:secundu b: tertia e et quartae.qr ergo q6 cotinetur sub extremis ae emastest ei quod cotinetur sub mediis bc. ergo pervice 1quinta secundi que proportio a ad b:ea est e ad e.qr ergo a b sunt primi per precede teni sunt in sua proportione minimi:ergo per ante preeedente a numerabit e: et b numerabit e equaliter: quod est contra bypothesis.posite enim erat b no numerare e.
Ei numerum a duobus producturi tentus numcret: idem alterum eorum numes ritabit aut eri retrim commmsurabilis.
CSita numerus productus erebi nequed numerendicod numerare baut cautesse utrio comensurabilem Si mi alteri fuerit incomensurabilisve verbi causab: cii ergo bet dilat contra se primi et binc producat arergo per precedentillo numeraten 3 qui oed numerabit alpostius est d numerare a numerat igitur dauera eos. Si ita sunt fuerit incomensurabilis necessiario numerat alteruineo viri in incomesurabilis re nequit si fit ut aut niteret altera aut utrim sit 'niesurabilis et *positu.
Fumeros minimos: νm propornone numerox assignatoria perscrutari.patetq3 ex xyboc maximu duos numeros coiter numerante: fm mimos illiusa portionis traca are
Sint ab in aliqua mortione ropossin est mimos numerosiportionis a ad D reperire.aut enima et biunt contra semimi et tune pervicesima huius illi sunt insuaa portione mi ulminem aliiqrendi sunt.aut simi copositi et tunc per decimasextam dura quero maxiniti numera eos numerante qui sit cnsteretina moret bret tapsi timst ergo scole adeel lxportio a adbet vade.dico itam dete essenii mos eros in illa. ortione.sseni sint alii sint fetg:qrs et g sunt mi inlinitIama ortione.ergo sedecimanona huius numerua b:maior maiore et minor minore in eunde nuriterst qui sit b.intelligo ergo quattuor vitreos:e inime:sseeundsi: tertio: et d quartu.qr a cotinetur sub extremis e dret ide asiab mediis inmergostmoestaliquinta secundiqproportio eadfestes hadd.ergostmutati per tertia sceleade est pomo cadi et favo.sed spolis'mmi ord:ergo et e minorb.inc sic e est maxim' numerus numerstis a b p-eth positus est etia numerare ab: ergo h p correlari si decime laete l)uius numerabit e maiorso minore quod est inossibile.no dabutur igitur alii ab ipsis o e in illa Iportione minimi quod est propositaeet in hoc etiam correlarisi notum est.
Quilibet duo numeri minimos numeros sue proportionis maior minore et minor α maiore multiplicantes: minimii ab ipsis numeratum producunt. Ex quo constat mi' nimum que duo numerant: quelibet ab eis numeratu numerare.
Sint duonsieri ab multiplicates eo mimos suexportionis maior minore et minor maiore: dico ipsos mininisi ab ipsis numeratu νducere. na m sicut a ad b ita e ad d: ergo pervicesinaquinta lassi qui cotinetur sub naremis ad equus est eid continet sub mediis bequisite quem dico citemininaffab ipis numerat si . Si enisit alter esto ergo ipse fque a fri gyducat et b scdm b.pontis ergo ordine minis abhg:qrquieotinetur sub extremis agemaei qui corinetur sub medii obh. ergo pervice
18쪽
amducit flabing.eraost septim fecitdiqproportiodad grea est eadf.atcst cado sinithog: ergo unautatim sicut cadu:uadad uare simite adh:itae ad s. sedc numerat b perdecimano duius ergo et e numerat 'et spositus est minoremunierat igitur maior minore:quod est impossibile et prospositum .Et ex modo demonsti ationis pater correlarium,
iue C propositis quotlibet numeris inimii ab eis numeratu investigare.
CSint a b ed quotlibet numeritiquo* proponte mini nisi ab eis numerat si inuenire.quero primo inlnimst minumerat aetb:ον si a numerat b cerasi est besse minima ab eis numeratu etsi aetbsunt cotra se primimico viiii in alterii et qr illi sunt pmirergo si vicesima huc' erat in sua gyportione mimio precedente uis Mucius ab ipsis erit mimusque numerabsttiat stipsi fuerintcoicantes sumo per pcedente minuta si que numerat e su e: et conniv capij minimaque numerate ed sit fel minimstque immeris di festisque dicoeemittimst nume*que numerat ab ed.numerabunt erit eum P 23 prinu. et Q no numeret minore p3. na sint dabilisnuerus minor g que numerat ab ebsit luem et ergo ab numerit V.ergo p ccuretari j pcevetis emimus ab eis numerat' nuerat h. et qr et enumerat daemost idecorrelarius mimus ab eis nueratus risierat h.αqrfnsterat heid possis est etia i tinnsierare ergo per idem correlarist sminimus ab fet d numeratus numerabit .ath positias est minor smunierat igitur maior minore:quod est impossibile.
iae CSi minimii num a quotlibet numeratum aliquis primus numeret:cunde quo psiliqvcm illorum numerare necessc est.
LIn Niob' numeris mei lepper fr.Sint ergo ab duonsierite mlini ab eis numerat': etdnuerus pinus numerat se:dicodnsterarcavebb.numeretenta mi in sinumerat si estginta ergo per x hui'e est unusniimor ipomorsa adb numeras b.uic ne numer' pumqnsierat emducta obsnsieris aete.ergod quartabui dnuerat altern numero a aut si a costata pontuine vide. nan vicesimaquarta numerabit b. In pluribus aut constre ostiuitur.Sint bc quotlibet nacti dinimus ab eis nueratus:ensterus pnius numeras d:dico enuerare ab aut c.capio mi fin exigenti apcedetis ministi uniciique numerat ab d sit Dei in sinum quemimerat sc queexpcedeti manifestu Meed et iisteret e mini a d stl ni g d per i huius est unus iistero*Xportionis fad e et d numerat L Cumitam enumerus pinus numeret diducia ex duob' numeris e Nergost quarta uius ensierat alterum meropcg.si numerate costatriosust: si umerat gemost vicesimaquarta numerat L qtergo festmimus numer que numerat a b.nsieret ergo a minimst fla6m . 4-sepe sumpta vicesimaquartam hui' erit unus mimos Mortionisa ad bonumeras b.cum ergo ea barus si insterare sproductu ex duobus numeris adtergo per quartam huius numerata aut banumerataconstat propositumst hitide.namd numerat bt quare e pervice imatertiam primi etianumerabitb: α proponia.
sistam fuerint quotlibet numeri ad aliquem primi: et minimus quem numeran ad
CSin tabe quotlibet numeri primi addisum enimus numer me numerat ab sese esse primffadd.nasidest comesurabilis ad e ergo est aliqs numere eos coster numeras dat Lmenis sit nuerspmus cunuiuerere: ergo P pcedente usterabit ab aut cincst mansieret uno sum ergoab epim addq6 est contra l)ypothesim at sis sit tisierus 'positus ergo a scdam huius fab aliquo pmo numeraturd sit g:qui p vicesimatertia primi numerabird ete:qr ergo g est primus et neerate. e Eo p precedentensierabit ab aute et et ianunierat dato uni igitur ab etc primi ad d:quod in contra drpotbelli
is sumatur minimus numerus que numerant aliquot primi numen assignati ratiuab illis numerum primu: cundem numcrare impossibile est.
CSi te mimus nuerus quensserat a b c quotlibet nueri fimi:dico nullsi ipsis βmsi alisi ab ipsis nue, rare e.na st darer ali ut d:qr ipsensieraret e.ergo se Geraret inj a b aut cuis est y hypothesint.
1ις CSum minimu:propositarii denotationum partes babente inuertire.
CSi propositaru partium viverbi cavit iusserede tertie quarte et sextexponisint minimsi nume*ptes illas ζfitem reperire.capio a b c d nueros partes illas denotantes quo*mimus ab eis usserat' sit e:nsieretae a minimue stam Dei b eunde frem Met e eundE stam sed eunde e smm u. altera at in ergo p octaua primi fg d tu numerabut e fim a b c d datos nileros:ersit ergo in e paries ab abed que et dico esse minimuin quo pres ille reperiatur.*eni paries illas habeatriam nossiem sed sino sit mimus sit ergo illelminor eo illas habes:et eius partes ab illis denominate lint mno parant ergo alternatim per octauam ab et partes Idenominare ninop no erat ergo e minimus que nux merabant a b ed.nam i ponitur minoraquod est contra hypothesim.
so CSumptis duob' numeris contra se ptimis quoni minore de maiori quoad potest detracto residua sit unitas:multiplicem citiuslibet eorum qui super alterius multipli,cem: solam apponatvnitalem reperire.
si Sint ab iisseri 'tra sedimire maior b mior metractombde a quoties pol relintne unita striositsi
est dare instiplice ad mlatamitare multiplice adbsupante. detrahom Mosi possum byriale detortalia et M totus detraco a strealis:4 quide estive aut mmplex ad ballire relictamitas et addo adbunitate quid et duco a totum bdeta veniat eque manifestuestra multiplice totalis a. meide duco
19쪽
aggrint' fh rumin ex ad bdised aggregari' fh superat torsi fg sola unitate b g. sed cst fg fiat ex dum a part laus et euibo equared fit ex duim a totalis in Dd per decima primi.aldaeis esse ee imittiplice ada et f. multi pilae ad b. igite multiplex adaequalis quide fg sudat f Vinultiplice ad D solamitate qas erat demostra si et propinae quo ab a pares.Sed rursum demos uanis est dabile esse multiplice ad bd sola h3τω uper multiplice adgraufero unitate abhiotauq sit det ducob partiale in totaia aer pro istate manifestu esse ee multiplice ad a.et duco iteru b partiale in a partiali equali aut multillae totius b et pro ruat fg manumsi est fg esse multiplice ad totu b. deinde duco b d in cunitate et tat g . qui sit quicum numere in vivitate ducas seipsuma, ducit g b est equalis toti bquare torus fbest mniplis adb.Sedes per nona prunis fit ex biluauinae eque e eid fit ex eodebpamallina et in ciet illed fit ex buriali ina:etb totali inc solamitate superadda illud fit exbptiali in aetine.iscitur ergo et multiplex adbsos defit exbpartiali in aetbptiali inc: sola addet unitate supere multiplice ad a qui fit ex b partiali in a ciquod est secundu et totum propositu.
Propositis duobus numeris corra se primis:multiplice cuiuslibet eo* inuestigare citius ad mutuplice alterius inistrena sit dato numero equalis.
ρος ab duo ituri lcriti alapiniquo cuiussinet iubemur assignare multiplice cuius duo ad multa Mal 'mdaronuero stricequalis. rapiorin exigentia precedetis multiplicta illidet multiplicebqlite addes super multiplicea solamitate et multiplico d per enuni dare et proueniat fied tam coemeniat Met qrtili est eine me indet unitate per nona prvuieto stiturus invisita estim producit amomisgad innuerus datus taetra asti pars det dys fiet sil=b pars e et e pars gergo uesimveniamia est pars fetbps g. ares et g multiplices sunt ad ab iniquos naerusamgnat' endria.Gp mu PMedente capere multiplice a dispadderet unitate instiplici ipius b. em a ceterendum m. Cetessissminor quoties potve maiore detract' no solst relinquatvnitate riterior fiat si Mactio quo min' per Medente operari posses boc md poteris operari.uatis eniab nums contra se pinis et e numero cui sit ea picta oria multiplicisi equalis et detracto b ab a quo nes polrcina ardet o detracto abb quoties pi reliqu' sit taete detracto ab d quotiespot maneat fet in tandemdecimaquintadutus reli irritur unitas sit ergo ut detracto fab e quoties poterit retis σmtas.stergo multiplex a debet addere supra multiplice b sumo alteru extremo* qui est in simipari ab aut fet sumashmultiplexetus claddar usupernuiltiplice eeti quo sitffimgduca 3ss indet nat bladaddet super multiplice emitate: Ggindu tum ille vel eius multiplice et u f. d pro ergo diro de b la remaneat in Ir ut Iit m et unitas equale b sito e in in v fim id ductus in b faciat ne cui addito motatoque numerabit dea derone et riviscom pdductus in a faciate: qui iust addit supcrmultipliceb qui litet Pitate.multiplico igit retet perenuine datu et producatur set id crunt mulisplices h ε a int se riny Pm cnume* assignatii servates.Tertii elemetop arit meticesIordani finis
I rueniat quotlibet numeri connivie proportionaleo: duo et duo proximi erunt commensurabiles.
Tmitabed quotlibet Merieontinue proportitales:dico abesse comensurabiles. ste et bc etcd. Simianueret b manifesta est a reb esse comensurabiles et M q proportio a ad b ea est b ad cet c ad di- b-d.quare cd stabit propositu ab:b cie d:esse comensurabiles. at si a non erat ut pollibue est maribes in sua proportione mimos.nasi aetb essent in suaνportiolle mininuessent odecima uisite adinvice primi et per decimisonas numeraret quoslibet in sua proportioneret f4 Pπι Baadb:ea est bade.aergonsieraret bβm cetra septimisq6enipol ite et era oppquin possit et tergo a et bin sua Novione mimi .capia ergo p vicesimatertia 3 rerisses mimos in illa Omoire et pre miniscina eiusde numerabsit a b Fim eunde numerii equa ir ut fimstet con urbe et eddunt igit ab:b eret edadinvice conmensurabiles: quod est propositu.
siet merox cotinue a portionaliis duo extremi fuerint coicantes erit nuerus coiteroessumae maximus. 4 oes numerabit erit maximus curemos numeras. Ex hoc collat et Gliquot xportionales uti duos coicantes cecideret:totide inter utru* coxet manimi numera eos coiter numerante cadere necessc est.'palain fit cita maximos qui binos et binos numero* proportionatus coiter numerat esse connue yportioalcs
CSint ab ed nsieri 'tim portoales quos a d extremi sint eoicatesmico pino alique esse mi mersi eos oes cottrensierante.scso maximlinst oes numerate ella maxima numerante extremos.cuenid edente ab coicent etsist beeteo:capi opis tene maxime nuin numerate abdate:et maxi insinuerante beta sitfet maxinissnsierate editi t&ponooeblimrinos in saportioea ad bet per 23 tertiletis eiusde e fg numerabsit ab c md: et gnsierabitu iu.sumo ire maximst nunt crante efdsuletina numer refigd sit in ore vicini Utertiam terru Insierabile et in fimb.et iterulnsierabit f in Retm numera glasm per. 1ρ.tertu et ni sunt diueransieri abbh.nasside essem binis produ* leprodneeret g et hine producit et uisis producit det uper J8. terte sunt contra esse77 -p-duo mina terni cotra se primiq6 est contra hypotbesim.sunt ergo let in alii
ab d tergo huminierat Iet me qualidinumeret ergo ipsos sc63nciper.M.tertii est maxinius Pos
20쪽
numeris quietiden perii3.puminumerabit ab cd:qs est pumst in proptae mimae. Et perdecima septimst tertii nerit inuetus maxin iumerus numerus ab c d auodno corresaristicae idet maiorenumonui aerariemuror Letqrh denotat nini 1 me ergo Pi prumnsierus d fit ex binsequi lito notat nil, e. et qrdetis denotate in aetergo prande a 3 numerus qui fit ex bino diua denomitiaeti nain aderone qtu denorat ninni et min ergo pervicesima rem1 primitiunare' qvi Meelaui sequi sit phenotati in Metetistetrir inominat Elud: igie per eande numeraris 4 fit exti in peiusue denotat nuid. numerat igitur numersiastem et numereth inr.oqrnu sunt adinvice prunuerso per duodecima tertii qetr sunt cotra se primi quare pervicesimamrine in sua amortione inimier cori clarist igitur vicesimeterite euasdesteir una et absita id stamina rimanum numeranteae ld.eirigiturn maxiniusnsimas numeros ad extremos numerisquod est secundu.aptimsi corre larisibinc cognoscit .namqtide numerus binnimproduciti ea. ergo per septima primi ae Inerunt cotinue a1portionales.et pcridem lin rem syzoducit m S detergo P gmneret continuem monales quare acut inter aeto cadsit be duo medii a Portionales si intera et ne ut duoel. et inter detrica dunt gin duo medii oportionales sin totidem ii 1 portionales ine duos effitanus et totidem interutrum eo pet maxima eos coiter nurnerante: Sestpιimst correlaria. screm vero binem notu.nam mper vicesimatertiam tertii et decimanonam b in e infra in s a ducit ab ea ergo per septimam secividiabe et efflant corinue oportionales; est secundu correlarium et propostis.
3 CSumeros diuersarum proportionii sumere: quorum mannat comuniter binos et binos numerantes sint continue proportionales.
CSi iit abiisteri contra se primi:a minor et binaior et alnsea ducate et inhamutat deth in sepros ducat viper septima scindi q proportio a ad best eitcad d. et 2 octava eiusde itera qu portio a so bea est vade. sunt ergo ede cotinue proportioatcs duco stat ne et fiat fet sudet fiat greritina septima seindigadis sicut d ad c.quare et sicut babaeiqretpτoportio a ad beaeste ad detergo per Essecundieto sit exa indequii est et q6 fit ex b in c.atq6 sit ex a in o positu est esse g.quod ergo fit exhinc est set fit ex e in a est Lergo p eorre arist vice metertie tertiic est maxim numerus numeras fg.Item duco dine eta ueniat brqr ergo Dinaxducit Set dinexducit h. gopseptima scit q*pomoeadae est dadg:et proportio eadano est vi bada.nae et biotust et Pars equarens: quod est laol bile. ergo sportio badgno est o mos ad Lyte qa abstant corrasepnii et e producit ex binie. igis eumdeclina tertii est pinus ad a.suutigi reeta in sua a portione mimi.atdnuerat g ma et ideo niterat
is fgdinumeri diuersapiportionu quo*m 3umte de binos et binos ratur numerates sunt ptime proportionales:quod est proporium.
4 CSi numerox continue a portionalium duo extremi sunt contra se primi: nt ota illi in sua proportione minimi
CSin tabe eotinue proportionales quo patellat cotra se primi: dieo tres niter osabeesse in os in .pportionea adb.nali lint tres insores fuit De Dur pincessina prima seli et equa proportionalitate proportio a adcea est ad fet a et ephypoitesim sunt contra se primi .ergoym msstertii sunt in susiportione minimimunierat ergo numeri a e per decimanonam eiusde numeros det innatores sest amores quod est ipossibile.
, si Si quotlibet inueri mair in maa portioe mimi ipso* duo extremi aut pira se
sillae einc Suersa predentis.Sint ergo abe in suam mone minimi: lcoaete esse contra semos. sIaete sint coicantes erit erus alibidem Plecumst dui' eos oes coiternumeras dino quos qtabe sunt tres nueriinequalesmsierabit intres diuersos lineros. umeret ergo a me et bfm fete fini g:per septimo secundie fg sunt in eadem proportione cum ab cet citant minores ab cutpote sunt eorum partes no sunt igitur a b c dati minimi r quod est contra hypothesim
simumeros quotlibet νm' data proportione minimos iucstigare.Ufi manifestu eiu ex duo* in aliqua yportione minimox primo in ambos et scio in sereres. et ex eodepino in illos tres eo eae scibo in ranu: quattuor Ptinus mala illius xportionis intenim os.* si primu hoc pacto in omnes ducere pergis et lacundu in ultimu:quotquotlibi ierit in aliqua proportione minimos efficies.s IluusHortionis mimia vicesimatertia terri reperiatur sint abi duco a in se ea ueniat ceta in s ...
beta,ueniat det binis punientate per septima et octaufflasi tres Gerit deerutcontinuesportio f s b-- - unales et o duodecima tertii extremice sunt cotra se iniquare per quarta bin' illi tres niseri sunt in a. ae . instipornone mimi.Reduco a in avios et proueniat fgbet bine et*ueniat iret eadero nefghu e o sunt eo tinue a portionales et e remis et lacontra se pini et ut Qttuor in sua proportione mimi.et hoc . . processumium sex septe et quotquot voles reperiaturi correlari ex modemoitrationis cognitii est. -b---
CSi numen cotinue ypornonales in sua proportione fuerint mimi: quotcuque inter extremos fuerit medii ronde inrer utrilin tremo* etvnitate Pportioalcs ce puema