장음표시 사용
41쪽
m 1s R i a Ln i 3 I It II quadratum .arenitas reportio ibus bu portionibus aequatur unitati arabsimul:igitur xnitas et et bhraggrinata stituat quadratf.Sid si diuidascinduas portio amitate visates:inc stipe id mobinario maiores' portio sola τnitate maior erit maiore portione b et minor eqlis maiori. stania ergo eas iuxta portimus hin inceret duo oreses ab ira terim adnueros itate divites dispositi. ergo tui ni aggregati per eadem tricesim imiam sori efficient quadratum.at unitas et ille portiones strmum tau a b et camir illa simul aggre in sinter primul quadranam.et ita de quolibet alto arguanetab ortu do mones mittate disιates ut inceptum esto duos ordines. Ah quia seques impar ab inferiore in ranario distanideo eius mior portio maiori inferioris equabis:et maior sequet eadem inferionis maiorem unitate supgredies.sic clarum habebis Spossis. Et exi ac cognoscie q6 in terisoauditio is missice ex aptivagora abducit aristoteles suis quadratis 'sequeter adsuetos ima pares nund mutares m:sed inqdraros relincire.binem impares quadrato*gnomonas appestari.
Si pares ab unitate sibi coacciuetur:coace amsaboibus crit altera prelogior. ipares ab mtate athleid eistet quotquot volueromicomaetbsimuI:ee altera ptelogiore et albi et c.sti ter a b eivd.et ita osequeto.ngm ipses dequalia divido: quoumas medietates bine reias iliuic ordino m si decimiloctauam huius illi erant dupli numero* ab Initate seriatim mementis indines illi a nitate is naturalem numero* seriem amuntingo pertri Imaquartam se duo primamri laetetmostasi ,ὲmul coacerarat a mnasti altera parte longiorem. at illaequalis
Ei dispositis imparibus ab unitate duo primi pommimi prugans:ac post illos α
tres: poli quos xo quattuor siciv deincius sci in naturale numerorum augmentum: qui *ducetur erunt arbi.lanis* cuiusti bapiuncto*lmpanum numerus.
naturale augmentsi numeros dico duos pmos aggregatos facere humrculus latus quadratus' g.q ni oper 'ceptis em totus eum numeri via et biot sinti parri miramn eniimparem vocortor igitur impares sub eo sunt de
illi simul aggregati ostitu uta inpari hinc stetisti mparissuma ' Not mirares in s.ut ergo vitiinus t quia cni stolus
C lamen ab unitate dupli:sum pariter pares tantum. ο
42쪽
porti datisi:y vicesimam duius octari sunt pares.et in binarius ins ab mirareat ii simis pinusi ergo per vicesimasotam quarti quicum amis vir eo Dao vltimo ustiis numerabit in aluis in ordine illo* parium allaedensi positus.quare est quilibre mr par que milias impar mutaten nuerat:ydiffinitio illacteouerit pariter parat . nullus Pter eos stipariter par p3a amn deturalius: mrar per mediaret e medierasoni et tu.ci ita donec occurrat 4 possit aptius diuidia qui si fuerit impar quid vicesimaternam βminuerabit extremum nerit nactus datus pariter parasitis poneba-.a aut rueritvnitas:qinus duplum ruit binarius: ipse erit numeris a nitate duplis.
3ο CSi pariter par in pariter parem ducatur:yducetur pariter par.
CSint aethduo numeri pariter pares:ducatur uter inviterim et ammtat dici esse numeram pariter parem.Na si cnon sit pariter parmumerci ergo eum quissim impar si possibstest qui sit'ini ergo d impar numerat couctum ex duobus aetb inseductis:ergo perquilam terino parcoicae cum altero a aut b.numerabit ergo coiterquitat numerus:det amittiquidadponi ruri arrindecimaternam huius mi impar numerabit igitur impara a b numerum so paruersiaron.qolimpossibile.tu nigitur enumerabis ab impari: qui in per duodecimam huius sit par: pdmininodia constati pin esse pariter parem.quod es proponrum.
31 CQuiculi in immerat pariter pharmupsequom est pariter par.
si Sit auarito parique numerat binissim numerustico bestinui rerum pariter parem nam ubesset nuerus impar en positus tu numerare mone et ansierus pariter para uod e tra dypotrem. erit igitur b numerus par: qui st non fuerit pariter par numerabit eum aliquis impar.quare item impar ovi cessinatertiam ptimi numerabit a numerum pariter parem. q6 est impossibiv.manifestum est ergo nullum imparem numerare b.quare per dininitionem eiu pariter par.
3, CSi sumatur quotlibet num pariter pares ab unitate Rcedentes: s onitas cumcis coaceruata numerum xximo pariter parciunitate minorem efficient.
si Sit unitas: et a b c d eordinea cedetes pariter paream comitas ab ed ut aggregata iniunt numerum unitate miorem cinam o vires monam huius quilibris verisi est duplus mederis: qre senuens est ratio precedens duplicatus.1tasecudus ab unitate sullatea o:qua nitaset a minus sunt octi ea duplicat .ergo min' uno. b.quare unitas aetbminiis viis ebdupli :regoc.4re mutas ab et eminus v Od. e um vnitasMb ciet d simul minus movici est xpolitu.
Comnis numerus cuius medietas est impar:est paritar impar. Tes Irem zzzu im umerare et esti H e alius irar re an scommvim deme
n brae ear minatim que datici eam adeat in olantur metis pWalius a binaris fiat bina inmmo ad binarium et in ad in puc rem: rarius πω media: b IVabit taliare et o numerabit imparem cia ergo oper να-Beniam massis par. ζα Gozan merat, set, ni imparem rumiivitierat:quare si dismi ema est Pariter impari quod est propositum,
' hab hea I a ad O.seo ehinaruis impariter est indicu b ripariter impar.ergo in Insieratin a reuerum d stam impare. ergo p Udmmam re d est impar
poteria emar; ex x φ huis es inter impares per penuuimam huius in covest par Ste tertius Irix ala pares qui A. erue pariter impar
non erunt pariter impare tuod est totum propositum.
si merorum pariter in anumtaindis ira
' erunt equales.quod est propositum.
44쪽
pino sc3 impariter parium eius m linemtili dirum in quod fit reti in differream g adhin quia it per eandem nonam pumi ni) est quod fit ex is in d et in differentiam h ad oti m Mex bis Laddit igitur qd fit ex b ut hiust eo fit ex b in v tertius impariter parium sua securum um AEqs fit
ob in differ m adb.so differetiali ad hi inta esse ibata est tabiffereti ad adigis igite vria illo*impariter parili .et ita 'sequerer e nonam reliquis exmies .Et ex hoc facile dem brabile eito sedampnit. dlibet illoπ duplatus tε est detum duo ciresi siti sistiti.o p tenta 3 eius nprimi* duo medii 'istere tui sunt m circupositi Iraequali intuallo ab eis distates pariter accepti.
x gQueinnas numcrat impariter pamidem inam est impariter par.
a quicum nsieras impariter pariqui numeret b.di eo b esse impariter parentimam quia a par numerat b:ergo per duodecimam duius berit par. o fit ut quoties a minerat bettones medietas a numeret medietatem b.sed medietas a cli tu impariter par est pari igitur o duodecinia bulus et meo dietas b est par sed et alids impar numerat a numerum impariter parem:igi r idem numerabitb uricrematertiam primi. est igitur b per diffiniti m nummis inpariter paradiso est propositum.
1 CEi pariter impari impariter parillae pariter par sup binanivn ptisatur: ppolim
CSita quicum pariter imparices aduigar hquaesim imparit par aut pariter par suo binarim nime compositus.dico e esse pariter imparem.nanima est pariterampanei medietas est par et quisti est impariter par*er tricesim eptimam huius: eius medietas est par edietas Mir b et mediis Amul a sesam huius ostitusit numerum imparemini numerus ex medietate a et medietate b pstitutus ei medietas compositιαigia per triremas tam butuse est pariter impar.etlinargumetabere si pariter impari additur numerus pariter par sust binaruim.quod est propositum.
3 CSi pariter imparcs nuero parcu piugatis:ppost ' crit pariter par vlainparie pari
CNam quia cuiuilibet tu medietas est impaser quartam ius compositi medietas erit par. non est igitur compositus per i Reesima tertiam huius tiariter impariquare a sufficieti divisione erit aut pariter pari aut impariter par.quod est pro stum.
Si pariter impares numero impares coniugans:componetur panici impar.
Ram quia cuiuslibet ili appariter imparum mediistasini pars et sunt innumero imparuigitur per quintam durus illo medietates coaceruate osti it numerum imparem. 'positi isis medietas est impariergo per triccssmarinium duius:eompostriis est pariter impariquod intenditur
si Si diti essi pariter pares insupra binarium sibi coaceraeninexim costitutus
positus albicld.dico feei pariter parem.nam daabed sinit pares: si primanipulus fest pariet qr sunt a b c d pariter pares supra binaritimae medietates stant numeri paresaddite ergo sumi per primam duius 'stilusit par .et qr d tricesima sedam dulus a b c d simul aggregati minus sunt stetergo fest minor riate est pinus pariter par postvr igitur e non est pariter pariet cum eius meditatas stiparetergo pertricesimaseptimam huius:est inpariter par.quod est propositum
Castanter impares fini datu nucium parem inuenire:qui pium faciat paru parem.
gint primo ansierus par fim quem iubemur parit impares tales qui onsitur iuuenirerat et idema ut pariter pariquot ergo sunt vilitates in artot strenuo pariter impares ab unitate quo medietas sit dicissim Ixinius ascevelido pariter pariet si intere et d liti te patuis pariter inpar:circa Ohinc et inde sumo pariter impares fini dimidium a i tot oes sint sumpti fim numerum a. iuuin inferioresae MersuPiores e Lquia enidest par et no est parie impwPer tricesimaqvitam huius a mi pares hie et in egete sunt pariter impares.quare et gem ut diurant anserod.rim senter diadem uno pari insposito poste se4tur 'et uno interposito postgsratur eat aequi dis abuthicet indecet sis numero P.ergo u scdam pinig et e simul sunt duplum pariter paris dinuare g vicesimanonaim huius g ete insulit pariter par.et u eadem sesam primi et f simulaumdumum d eiusto pariter parissunt igitur pariter impares simul sumpti m numerum a so gIe te squadruplum d: et dupla duplo adv.quare pervicesimanonam huius clgicissimul sunt parit partaesumtih m qis fit ex apariter parmino pariter parem.quare P tricesimam huius:4 inde Mucitur est pariter par.quod Myest propositum: quo adlis Hista non fit pariter paracapio quecunm numerumpamerear maestemquolare curam deat pariter impares:Wbleiote et sumo duplumvid ni g.quietia pervicemnanonam ius est pariter parisint v si hiulci resi strepariter impares. inde captol plus: qui etiam inpariter par.eth mcirrepositos pariter impares.sInter capio o duplum let circisomos pariter impares ni pet doctoties eo. νων quo in Mamus pariter impMes acceptos Di numerum darum arquos quia die totideaccepi dico numerum exbte die fidiste pariter imparibus: possiste e pariter parens .et situ pariter par acceptus duplus o Uiaeniper sdiam primi eo simula utitotum g dupluma.et etiam pereis be: tum s dupluma trure1dIetbie sim si tumidumst g. sed per eandem sesam primi f. Otum ι duplum φergo biod eis Umm o duplum ὶ.sed tristumo duplum tu eademscdam.igitur bsedes blem met plum edet periadem sc6am n p rine duplumo.igitur bsedes V kmnpsimul et turn minq. sper icinnianonam bulus est pariter par.sic. constar propostrum
45쪽
CEo m datum parcni: pariter impares summet linipariter parem iunctipsti mat.
CImpanter pares quotlibet reperire: qui coiceruati faciant pantcr parem.
CSupino a n simia dariis par sin quia positu est impariter pares reuirerquieoaremati plumam Parito paron:iuento p q- esimasextam hui' tot rin paris impares Q coaceruae pirituat numipariter parem:quilini bc de et duco alique pariter parem in ques eometatumidet g Ulr totid qui Primcesim octaui rus er sit imparis pares.atu nonam lymi id Mnt illo parit pare inbed et in positum exbcde.at copositum exbebe pre hypoth si in pal π pariergo stiri niam buxus quod fit pariter pare inde deest pariter par.illud aut estedpositussim riter pari duo gliu findatum linersi inuens. igitur effectu Monebat quo adhoc. si rustis dona ut impar com quem a postum sit reperire impariter pares qui commut pariter parem sumo per immedia remostrata impariter pares sciun parcin minor Uo a:qin aggregati stituat pariter parem sint.b ut d pariter par ex beeo aceraratus.sumos tertis pariter parem ab ipo: equide medio parit priinmisito.et Moin iis fab d costat exdifferetia d ade q est o pariter paret differetia ead sque e te pariter parmum in seque sit sedetis duplus.ergo p quadragenniam iram buius dria fadd et impariter parisit ergo opia illa pesco ergob egre impariter paresquipeisitur.nambesimuIrunt 'uibus additus impariter pars isti fuit sicut tinam mi differt nag ad Latio festia fictus pariter Prin vilat ergo torum prope tum demestratum.
Ex dato nucro: impane parcs ex quibus nactis in pariter parcilicias uiuinigare ,
Sit seno datus nureus par qui sit a scem quem iubemur impariter pares inuestigare:qui 'isien stituat inpariter parem .inuenio totidena parilehimpares P quadragesimasci tam bui 'quieoisicti stiritat pariter par :sint*bede.capio ga tina pariter impare post e.quiqr solo quaenario distat ab Tmanifesta est bedgstinui pIusee pariter pareb c de simili et minus duplo be de simul. quare oricesimanonam buius. aggregatus ex pariter imparthus bcdgno est pariter par et cupprimat,in'sti parudem erit a diuisio e aut pariter impar aut impariter par.duco ergo fiasiertim quecutim parte
parem in b c d petani math la I mrotide quot unitares in a:qui P tricesimaocrauata, huius sunt inax pariter pares.at aggregariam exbu Imrmeststium fit ex fit bedg sinsulse nonam punii.at sibcog simul stant pariter impar atricesimaociauam huius grepatus ex in Irim erit impariter par. et si bed gsit impariter parii dem accidet o quadragesin aprima bulus siem in habebitur xpositu. at o n a sit numerus impartiumo totidem pararer impares: qui aggregati P quadragesimaquarili huius erunt parit impar.etuos multiplico per que et pariter parem: et antemet totidem impariter pares se seicesima taliam huius.et qr ipi impariter pares simul issi sunt Otum quod fit ex illo pariepare in aggreganim ex pariter imparibus qui monstratus est pariter ini par.ergo per tricesimanon1 erit aggregatus ex impariter paribus impariter par quod est propestrum.
Quiotlibet impanter pares:et pariter pares su P binarium:sir iuncti: pariter parem soves impariter parem compintcnt.
Ilam olin medietates pares tantat spe simul: posti medietatem stilusi nemo p primam butus
compositi medietas est par.non est igitur compositus pariter impar.a diuisione ergo aut est pariter par aut impariter par.quod intendreamri
Caparua pares et Variaer pares stiliba inuestiDrci 4 piuta paris parem costituat. si
CSita nummis tussa QMdebemus aggregarepariter pares et impariter pares qui stituat parit paremininio totide in pares qui st quadragesimisama iussimul cogregati comtulit pariter par sint bet eat sit parit parque mi usit capio totidem prinue parit pares supra di dsint et ficeria est e rinilum .etfduplume.dico ermo impariter parcsbclet fetide pariter pares dete limul ostitiaerepariter parem.Mammbe simul stimiit daergo beetdsimul ritus te duplsio sedet peribe bedete simul ostiment fduplumeo Isin pariter par;igitur totidem pariter pares et totidem impariter pares quotastaetullt pariter pstrem.quod est propositum.
i, , -ns CScsm datu numerum pariter pares reperire 'ut di quotlibct impariter paribuo si
. - numerum imparata parem constituant.
CSit manserus arsredique iubeamur reperire pariter pares: Quic si quotuvet in parisparibus 4 9s ut tantitissem v stituant numerum impariter parem.sumo pluo P quadrages Metauam dulus - impati per pares scinthmi sir stituat pariter parem: intinc de et stituant f pariter parentiet inmozo wx pariter pares postfst mansierunt dariid sint ghlal quos dico in impariter paribus cocyltinieret impariter par iamqrede stitu ut stergo ede et pshnauigdupuineis defet gniterum V dupliu s s.ctgoede et g apstitvsit duplum Det minus*duplstg.etua argumetabere psequcrercuerab
46쪽
plus -- plodat similitei eget lapius stilummi ob et minus plab sum dei Meps quare e de s h lil simul a vicem oriam duius non piumri pariter parent.ergo uquinquagessinam huius e b egd urinmul pstilusit impariterparem is est pispositum.
13 CGmnis numerus primus: est dissimulus.
si Ram ola numerus solam pari trahet unitatem: quem certum in murus eo pintuit. est igit vitalis perdiffinitioneni diminutus quod est propositum
s iliba pariter pandi nutus esse a batur.
pervice Donam huius ora talis vi de duplis abi talesumptis:que st xleegmasenam quarti nullus nilerabit nisi au4s in illo ordine sumptu sint a reice Minam hinus oes in illo ordie si ratarinti medetis inui' illo pii ciuia stat uir si dimilitidem ulli esse diminutumuis est spoliis.
s gQis quem numerat numerus aut abundans aut perinius:m abiima necesse est.
simia merus Placrus aut ab ana: babes tres dies b edeat: scdam tertiale sextam ducama in quecumpnumerum ut ine et Pueniat e.eris Mes tres pres fi lint fg d. redem scda tertia sexta. quin q amomo b ad a ea est fad ei ergost mutatis D ed fri a ad risue ad avigo ere marinac ad gula ad e. ted ad am h ad et ergo et Pinutatim d ad O via ad dire tergo tres numerib eo totidem fgh in eadetportioe vi que vir a ad eargo putrestinam istabib ed sumi ad fgh mulcae in eadem Monioeq a ad tarunc M.ti eo simul ad fg h simul ut a d erergo pinutatim bed simul ad avt fgh simul ad e.ergo si b c d si nutabia dat sust arethgdstrabsidabiriuo eos bed 'isiciens ei uni Mitidem et fgh pistaediiciet e rast fgbpisscte ui ei utricum est 'ceptio habeat aliam par Mab ipso denotatamque est unitastea adde predici adiuncta facit totum absidare sua cierit lare quieti talis quem numerat aut abundans aut pfectus:abundans.quod ei propositum.
CQuicunm perfectum numerat:est diminutiis.
simam uis qui numerat piscindiminutus non sina diuissone eruauipfectus aut absidaus: quin est ofectus aut absidans p prece entem ille querum nfferat est absidansae ponitur stfectus non est igitur perfectus aut absidans.relinquis igit queadmodum sponitur rediminutus. G est situ.
ετ gHumerum imparem abundantem inuenire:curus sumpta * pantu niaxia:a posito
si γα videtur stapponere aliquem imparem es ab datem: qs et verum est. Sit ergo a impar nolit qui niaxiam partium sumptaν imparis abundatis denotare dctet et D quie in imparium abudans quin inminoramum in aliquElniparem numentat impar maiora quio quinquase ametuitam dui' erit a Bostasitat maior amonquero ausi.et vasit in a posito.inde sumo impares venotantes quotquot volo supra arim ut a sti denotanta mnusinuo invitatem a postio-- possedissutimc d e et duco a in e et menteria inarsi Udecimam durus et v in a ductumrete invitimumaeductum:et illaritimus o lusu vicesimatertiam primi hebit pres denotatas ab a ed e. induco in ipm totumb.sit in ruducrus f qui Pundecimam ius erit imparam et a quinquagesima intam huius erit abudans.qabest abundans et babel ptes denotatas stricen tertiam lavaede et et D lltcst assumpta* os denotata ab a habet minorem denotationemvir pontus est a rim demi sminimus per peeptio em ps Myolata ab a est iam sumpta*R3 scem ac d eri is mana. eui sata
s Si alio in nuciis primum ductus plactu numerum ouxerit idem in eo minor an et se non numerantem ductus:yducet numerum abundantem.
si Sit b numerus βmusreta ductus in b educat ed Mnsierus ductumsit*d minor b nee mimeret aet ducasur ito a in d et aenia te.dico e numerum abundet .milius etsi in alium ductus mera ebit quo*aim non numeret ut si fingi eat cintelligo fprinum a scomburiunn et g quaris
ajcta duri supponis ib nsserabit g. - ρα 4, nullus in alisi ductus inerabit e
a ualter non numeret et ideo si aere primus rem haberet cima et bet unitatem ut ea sua meta et fu unitate distarent.at nulli sunt primi unitate duutes nissesnarius et diarius:inmrteat auersi eo esse par Iet alto imparem: et ois alius parabinarios meo innis.quissim igit sumeretur subdi eaut reta aut ipmnueraretialioquindicarur non distare mutate solam triptitui insericiant incis. non habebit et esstnisses et unitatem.aryductus ex illis toties habet in se maiore e quoties Pirus a in infiniunitas et smul minus facissitu e aliqueastvnptustergo fetet mirus non puit tofecta. erit emo a positusint ergo eius partes et Fquest vicesimatertium primi numerabunt ea ueret femo im frem v et i et redem partes P idem etia numerabunt evitas mi et maritin per septimam secunditer metuam e bdiu ire addimaeum ergo esupet betb innumeris asset umiteriae gnumeros d-ιd innumero metue dico es minus Φ a fg.m Most ni dirurAEt eo b macule ad o Lergo ut caderetuso tumetbhaddi detractus detractumemoresiduus as in nrinduum victorus avetorumate maiorestemnaret a famaiorn.igitur a spartes in me addite addi: plus Munt* e t igitur e numerus abundans. Nod erat demostrandum.
v g Si numerus in alium ductus fretum ves abundantem pduxerit anquelibet ab eo numerarum dumis abundantem producet.
47쪽
numeret .dico in aduenas indouolnsierum absidantem.nam quia a septimam secudi et a portioba deaeste adriso b perbr ti bimnsterat disgitur eteni me rabul.east positus est Prectus aut ab Pa .imurn quinquas imaquintam huius et e abundabit.quod est propositum
Esum dispositi fuerint ab unitate num pariter parco qui plucti lacciant numerinis co
primum Garemus in illum ductus a ducet numcrum perfectam.
CSuimitas et a b c d Otinue dupli:qui e vicesimanonam huius erunt pariter pares:et coaceruatus eis et unitatent equi pona felle primus et dextremus partum ducat in eoim aggregarum et a ueniatndico freti rerum piscium manifestum estini mereniat emam pini alb c d duplos suptos si numerare riniosco me gdhut sc3dnumeret f me: cstam gibscfinh:et ascrimh.quoties Munitas md toties e in stet quoties unitas in e toties s in f .mare et adiuuate vicesimasecsida fretet equa FPomoalitate quoties amo toties g in Det d idem quoties D tu o toties o in Let quoties e in toti hin LDinctore pressunt e gd ad D qtexnitas ave ad P. P tricestinasti ambui uas et ab et cismi min 'sunt Uuated sit d.quedde unitas est pod molata per conceptioem abd.ergo e Fh simul mimis facilit funa eius pie dc notata an unaerod pars aliis denotata a numero diuste. sunt igitur eg d la simul minus sin numero e.at unitas a b c et di sunt tan*σigitur es b la unitas a b c d stimul im sunt sicut f si ast fplures partes non habeat:constatu diffinitidon ivini s numerum esse perfectum sed* nullam aliam habeat declaratur.nanisi hoc sit possib&numeret ergo Minumerum fR6mn mente est mus quinuerat 'numerabit ergo per quartam imi ni aut n. quare P vicesima quintam leoidi reliquus eo* numerabit d.et G a se cudus ab unitate sit numeruo pinus: ergo P vie esuriasextam quarti quieta niterat dest ali 4s in ordine precedentium: )tcba.allistrenuerat isti instet si blafiunt et si asc6mla partes seoprepositas et ut dictuni est.cens at ergo nullum alium a potctisnsierare sinuare pdicti sunt oesiue pari .et ipsi simul mostrati suntlym conlplereat Psicere. contat ergo diffinitionem numeri perfecti ei grucre: fnup istere perfectum.quod est a Positiam. Septimi elementorum Brtihmtriccs Ioadani finis.
me numerorum ex unitatu dispositioc ppendunar. Est aut dispositios prima in longum tui:al aera in longum et latum: t a io in logum latum
et atrum. Cuius unitarum dispositio in longum iiii cst: lincans numerus dici aer. In lamni disponiatur supficiales luscaribus undique 'clusi:quo*mitares directe et ad scit ad alias cmilalco habciat distatulas. Eu, fit dupliciter sc3 vs ut unitates unitatibus directe adaptetur:vcl cap insuallis opponatur:itavi singilauordinum te mi in lateribus reliquis ci cipiatur. In altum io dispositio solidoruest: coaptatis insimul mystcialibus rex quo ς lateribus directa sibi appositis solidorusuystcles creae constitutatur si Numerorum in superficie dispositorum: quidam sunt mangularco Ina habentes latcra: alsi quadrilatcri:alh pelagoni:alsi pluriu latcrum. Quadrilatcroru aut quidam latera opposita habet intutastasia: quidam minimcisi Numerorum aurem quo* latera opposita sunt cqui distana: alii ola latera babent equalia et tetragoni diculur.ath siquide lascra habent unitate distantia et parte altera longiores vocitu aut amplius et dictitur autoporcs. Humerox in altu pposito pdii tersas esse bases co ginquoruda mangulas atq; quadragulas: ct ira de ceteris. Domin Oim quidam haesiit latera simul applicata: et dicunar pyramides. quidam baboet latera: queelli insimul tendat: non in pucniuuet curte pyramides appinans. quidam habent latera equidistana et equaliter σecta:qul iustiorem et inferiorem supeficiem habent similes.Istoria quicum habcribasim viangulam:serratiles vocans: 4 quadrangulam et ipsi in longum latumlet alnim equaliter disteduntur: cubi diculur. quicumv so bases babuerint pentagonas dei agonas siue plurium laterum:et latera equid stantia erem:colune nominentur. Eois numerus triangularis:ma habet latera c qualia. Est manifestum est quctibet irriangularem ex numeris ab unitate ordine corinuo dispositis:ella coni positum:atin latus manguli esse strici numerum.
CSint a De unitates balis triangulitaba icietae extremitates.dico ergo insectavo ordieculus ex imitates sunt deiurant pauciores unitates.nam i toti deni fuerinx in ordinibus acetve:latera ad et cemanteddistari infimitates in utromordine equalle distantasicae non cocludent triangulum. pauciores ergo erunt in ordine d e.eretis Otum distat a ab b ith distat a ab d et cab eisi ergo ooninar fiota ab equora dabe:distabit fabod tumeabe.eti Ognina abd.si ergos non fuerit potima postas fuerit b unitas mediarcti distent a ab d si tum a ab bterit longitudo inter a et f*ta inter a et o et inter feto ut ampluas:sicin uates et adstinuicem et ad alias non equales seruabsit duritias. quod est impossibαωrdo ergo de minor est ordine ac unitate.et eadem rone vi ordo sequens minor uno
48쪽
precedes donee cxtrellisi sit vinitas. et strideo totidem erunt ordines quot in basesunt unitates: p3 retroagendo unitate esse prim si potentia triangulii cui due adiuncte secundu claudunt triangulum: cui secundo tres ad due facient tertisi:qr semper est mirate ii ator precedcti. et ita cosequenter inmnatura cin numerer u progressium stem propositio et correlariu nota sunta
, C Si a quolibct man lari numero latus suum d cinnatur: relinquetur triangulus ipsi ocsccia dcndo proximus.
g Triagitius m Igulo descend cdo proximus: est iustatus latere alterius est itate minus .atria gulo ergo a b substracto latere a D: duo q) relinquis tria gulus ipsi magulo a b descedendo proximus ua qr tria gulus a per Medente Dabet tria lateraequalia: et sequetia sola unitate vincentia. substracto Ggo latere aber sit reliqua lateravnoco tractiora.bet immutat si ordines s munitates se decresculpue perco.r Iariu precedetis rei,duu esse magularc. et qm latus eius ita revincia lateretri aginabeognitu est: patet relicist tria gularem esse proximst descedendo tristgulo a b:q6 est propositst.
1 e sommo triangularis duplicatus: Panc altaa longiorem Mat.
CSumatura et b duo triagii lares equales: adiiciarm lateri c trianguli a d extrema unitas tria lib. itide lateri stria guli b adiicias e e errema unitas tria it a: fietit in duo latera mirare quotlibet Iastus a tri agit Iop a er b superatia .etsi addis aptasae hoe pacto medios ordinesvnius mediis omini alterius: fient per tertiam pri irat eo positi ordines sibi mutuo et extrcmis ordinibus e fet e d equales. vcrbi ea vi si ordine sequente latus e addis adaptas. ordini sequenti mairate d. qr eni per correctarissprimehuius ordo sequens latus e tanta distat ab c u tum ordo sequens unitatev distat ab d. ergo pertati a primi illi simul iuncti equatur ordini o d. et ita de aliis mediis ordinib' si qui moesi resicti sunt tunc ergo copletus erit quadragalus cuius latera opposita erunt equalia et ob hoc e cui damna. viqi latus e sequale esse nio strata est lateric d et mediis:ergo unitates lateris b d equidi ab It unitatibulateris a ciet si init iter qr latus b d equatur Iateri e amarunt latera triangulo u equaliani et mediis ordinibus: latiis e fcquid istabit lateri e P. et m latera b d et e a opposita et equi distat a Dulatera trianguloru assignato*: et duo reliquae fetcd sinu liter opposita et equi distati a quorum qiwdlibet reliquo alior si unitate sunt maiora. patet se diffinitione to sanguia ab d e ex duobus equa libris tria gularibscostitutant quare et ex tria gularim o duplicato esse altera pate longiore: quod est proponist.
4 si Cuiuslibet altera parte longioris: medietas est mangularis.
Et te est eo uersa precedetis. Sit altera parte longior quieunae ab e et unum eius loramus latus a b. dico eius medietate esse triangulare. latere enim Iongiori a b detrabo untiateare ec secundo oris dine duas:de o tertio tres:dee quarto quattuor. et si plures sunt roteosequenter austra quotus orbo ille fuerit ab unitate: per correlarisi prime huius totus dinamia ut a e fest trian raris.et peri nior continue minus uno relinquerea rem ad mitatem:relictus est triggularis. sedetur detracti lame sequatur residui lateris b. nam larus se superabat rarus gb mamitate: sedet gesuperat lares s evna unitate .cquantur igitur g b et f Gquare et reliqua unius reliquis alterius cum per primat uuis omnis trist gutaris si equitas et totus trigonus a e stoli trigono a b g equalis. est igitur datus altera parte Iongior in duas medietates diuisus qua* quelibet est triagularis: quod est proposius.
1 gQuilibet duo tria tigri Lares protulit: tetragonum constituunt
TSit ut in precedeti ab ge qui cuncti altera parte longior qui per eandem diuidatur inbghet eas di ostri igulos equales. erit ut a e sit latus tria guli e a fet ritus b a altera pte longioris et sust opposituIeg maius intere a e et sequetibus ordinib intrat inmmoto ergo latere a e remanebit bb equale lateri hirurget g b. et ideo quatuor illa latera adinvice distantia:quo ergo perdiffinitione relictum est est tetragonus. sed et ammoto Latere a e ab trigono a es per secunda buius relinquis triangularis tria laria es proximus:quare et triangularibbs sibi equali proximus. constat ergo tetrageniis dir gb ex duobus proximis tria gularibus:quod est propolim. potest quom et id esse notum quod tricesimoquinto capitulo me Trithmetices diuus affert Seuerinus omne retragonu si ei proprium latus adiiciatur aut ab eo detrahatur alteraeparte longiorem fieri. Nam cum tetragonus omnis unudi qua in latera equalia possidear: si cuipia unum catus adiiciatur efficientur latera unitate distantia porro latus vitum a quopiam detravatumrelinqia et platera unitate distaria: quare utrobioe facti erunt altera parte longiores. iQuo fit iterun proximi mitin altera parte logiores a medio tetragono equali differentia distent. Ram equali latere substracto et addito.
. si Laterexposito numeri magulans summi muciure. Unde manifestu est si datus fit numeriis impar summa triangularis proli in re siparis pro time maioris subdit plum in ipsum impare ducatur. et 1i numerus sit par: summa triangularis proueniet si paris medietas in imparem ducatur proxime malorian.
Sit a datu latus cuiustibet numeri triagularis cuius summa querir:duco a in b proximu numera maiore et per diffinitione proueniet altera parte Iot glor cuius b maius latus erit unitate maius a mi
49쪽
nore latere et lam e traguli cuius summa reis. quartia ergo huius summa triffguli petiti est moldietas altera parte lon oris inuentiriam constat νpontun I. si Corresaria demori atione conclusionis adiuuate decima primi notu est.ri ecu cormario suo pratim Hressionis demostrat.
si marius totus est religione sacer α a z pninagor se magis et Sacerdotib' olim in areanis mirrum in modum ueneratus. et Tristoteles pythagini co*symbolis insistens corporea magnitudine ipsum. uniuersum perfectu astruit . ipsum trinu sit imo vero trii si est:qr ipsum perfectit q6 prioa ytagoras coperit ut numeris: numerorum mysteriis. λιc ergo suscipis demonstradum omnen, merum perfectu esse trigonum.Nam per tricesin1secundam septimi quotcunm nueri pariter pares numerata unitate coacemari ejiciunt numerst proximo sequente pariter paret unitate minore qui quidem proxime sequens pariter par per vicesimanonam septimi est coaceruator si maximi duplus: quare totus coa latus est impar. at per sexagesimasqnΠuors numerus perfectus gignitur ex coaceruatione itatis et pariter paria quoties coacerua est primus qui ut dici si est o vicesimanona septimi sola unitate distata proximo pariter pari qui ad aggregato*maxinast duplus est.ergo maxi mus aggregatorii subduplus paris numeru aggregato* impare pro cinae sequeris: in ipsum impare dumis per prima partem correctare precedetis costituit numerst triangulare.est igitur Ois numerus perfectus tria laris atm trigonus:q6 est propositu. Et eius latus P precedetem et correlariu prime duius erit ille impar omnibus coaceruatus........ . . . . . . . .
si somnisnunacriis par media sui parte multiplicatus tanto minore summi pducit inomncssummeque in ipso sunt coaccruate:*tum sua ipsius medietas.
Dec ex analyticis numerorsi depropia est.et exsclaparte correlaro inpioris coctussonis adiuuate nona primi et coi dignitate mitate in quemn numera ducia: ipsum Axducercistari cognita esse pol.
CSi sumantur triangulares ab unitate: duos primos impares ct sequetes duos pares atae ita ulcissim duos et duos uia pares atin parco muclliri necesse in.
gQuia emper cormarisi prime bulς triagulares creatur ex niteris ordine cotinuo ab initate dispositis et unitas pnius est potetia tria laris et potetia impari addita igis numerosequin dest par eomniet a coci clarisi primebuius fim triangulare et per secunda septimi impare.erunt ergo duo prinis maguli nsieris hoc pacto dispostiis ista res.Sed et sti tertius numer' est Uar et cu precedeti triagulopidem con clarisi costituit manguisset pcedens mostratus est iparrergo Ptertia septim tertius tria gularis erit parietor quartus ab unitate nil erus est par d cum pcedeti magulo pari se idem costituit quartum mangulum.ergo quartus tria Iaris per prima septimi est parierunt ergo duo sequentes pares et iisdem rationibus mostreis tur duo sequctes esse impares et vicissim alii duo sequetes pares sci sine difficuItate catum apparebit propositum.
Si post Vitatem sumantur numeri mangulares: inter duos a duos disiunctim: erunt que inter numeros ab unitate naturali 1 me: sumpte proportiones.
CSitismus tria gularis post irate aetve defordine sequetes lirmunitas et g Viriasieri ab itate naturali serie*cederes:dico exportio ga nitate ea esse, vicisthadgea essed ad cretquela ad dea esses adta rima cededo in bis di filictim:iniuis vero eoiunai. nam P precederem aesti par de pares: deipares:et spar.sumoeni quattuor pares ab unitate 4 sint glaim et nimii inter eos ini pares sinthno. et mgd est binari'est latus adest ternari'.et per correlarinprimebui'b latus bet lilaresce in latus det Italuse et o latus hemon quarta huius sint, facit alter apte longiore dupIsiaci hinum pisth tus ad tacet ni ni duplsidet uno nupta erati. per eandeo in Induplsi Lqr ergos in v et It in i, costiruunt duplu ad stet ad b.eritergo per octaua secundi utque Nportio Ir ad g ea sitvuplibaot uvidased et badas duplus adstibdupla per corresartu decimedi arresecstdi sicut eo uduplossi duplus ad duplum.ergo sicut uad g ita b ad a.et per ide sicuti ad la ita d ad ci et sicut in ab i. ita fabe. tinguim sim sumpti ab unitate cotinue pares: ergo se declina octaua septimi est a portio boarigad unitate id aderi badset fadevtiradd quod est propolitum.
Cai tres continui triangulares stant anni qui sub extranis continenirent altera pane longior: cuius laterum maius erit illorum trium medius.
CSint ab e tres continui triangulares eteorsi latera o e fisitae g uno maior Loico q6 fit ex a in e esset altera prelongio iacus maius latus erit b. qrabe sunt tinui magulare fremon corresartu prie Fh - huius deflammeontinuaserie numero*sumpti. et q2 per quarta buiusdine costituit dupista dao- I rego si dest parque admodsidie est: medietas bine costiniit a. t per idem medietas sitie costituit b. et medietas fing costituite.aasit desset impar numeraret a medietate et is bFmmcdietate e. et sicco sequenter medietata parium inares numeraret tri 1gulares. ergo per octaua primi adiuuate correlario decim uarie secti di exportio fadd:ea est bada.et qgaderea est cadb. et qrabe mitteontinue sumpti tria lares:ergoycorrctariti primebuius bruperata Otum est e.sumo ergola uno minore bimanifestucsth superarea detum est d.et quo absidate superbest fiet quia bada sicut fado dilani bada.et sicut detractus ad detracturita residuus ad residust.eriter ut sicut badaitae ad biotus admisi: quod igit fit exa inco vicesimaquintas idimi est tum qs fit exhin b. at manifestii st fit ex bin besse altera partelongiore.igitur et is fit a inciest altera sit elongior cuius maliis laterii sibiliorum trianguloru medius.et propositum.
50쪽
par et impar: et coposito respis minor addaturiit in ex his confecto minor adiiciatur: erit ut cum primoria primus sit par: sequetes sim impares tremorii primus parci sequentes impares ac sic danceps dii pisci auadrati parium et quadrato orremi impari unetragoni magulares ic metur.
ESitit a re b numeri primi post unitate par et impar binarius so at in te ruis 4 iuncti facine mi
addito aliatd item ceto coponente cui ad arcet fiat fatide et compo nigete addaturget D. dico primo a esse parc et b impare et ed imparesarem e pares et g b impar . amicte parem et bimparem est hypoti)-qrccopoli itur exa et h:perseeunda septimi ema in impari et mo constat ex a pariete impari per eande secunda dest impar. et me contrit exco duobus impar us e per quarta eiusde erit par. et qrs constat ex cete impari atq; pari persecunda eiuste fest impar et per eande erat g et i, impares:q6 intendebae. Secndo dico dupla quadrati a terminare tetragonita triangularem. terminare mi tetragonic si triangulare est esse latus quadrati qui pariter est et tria gularis. 'patet folia munitas duplicata costituita et abis iunipnas suum perficit quadrata:duabus igirmitatibus adistata suo quadrato et unicum suscipit med in scyb: cuius differetia adaest unitas .et vi per septima sexti quo abundat quadratus b super quadratu a est quod fit exunitate in b et as L sed b et a simul sunt uno maius quadrato a Qui duplus erat ad a.igitur quadratus best uno malor duplo quadratia. sis et M duplis quadratia in quadrata b cum sola unitate distent oucuper diffinitione altera parte longiore quadratus a qui est medietas in quadrarsi h per octauam secundi Aiducit illius altera partelogioris medietate. ergo per quarta butus quadratu a in quadrata D producit trugularem. et qr proaducitur ex ducia quadrati in quadratii: ergo per decimaquartam sexti idem erit et tetragonicus.esse ctum est ergo q6 dicebas. Tertio dico quadratu dextremi imparisi terminare tetragonira triangularem.sumo mi quadratii equi situ et quadrati, o qui sit Edico luduplicatu excedere uno l. nam quadratum c duplicatia per decimaquintam primi est tanΦ o tu quadrati a et pisi quadran b. et quodi fit ex bina quateretqr per eande decima quintam quadrari destu tum cinsectam se et ainc bis: sede in se est latum per deinς tum binis et at laeta inbbis. et ainc bis est tali per nona primi tum in se bis et alii bbis .ergo qs fit exd in se est et tum quod fit ex bin se et quadrupist quadraria et quadruplum inducti a in b.sed cum duplii quadrati e sit monstrariorum nuptum quadrati b et duplsi quadrati aet quadruplfi quod fit ex ainb:et secunda parte huius quadrat sib excedatvno duplum quadrati runt ergo vi duplum quadrariccStiliciis quadratii b ioco huius et quadrat sid tinet dupla quadratia ceteris omnibus cost milibus excedat reo quadratii d. duplii ergo quadrati e in quadratao perdiffinitione producit aItera parte longiorem cuius longius latus excedituno quadriitu P. tui lictergo dupli dimidius qui est quadratus uin i quabraist o producit illius altera parte longioris dimi Dium per octauam secundi qui per quartam huius est triangularis et cuius latus esti quadratus extremi imparium qui et idem per decimaquartam sexti est tetragonus. et hac ratione de sequentibus molire id quod propontii est ostendere: et omnino constabit propolitum.