장음표시 사용
21쪽
ti et u sfrem uinumus ergost diffinitione eius V est numera si ausi maltiplicat iunitas in Oreb iiseete in Met sus quoties unitas in v toties u inget gia d. sunt illis unitas dea prime proportiorum
ut remitas lis diat te inpint13ales.sire sicut intextremos at 'tinetur bc duo me de proportioonales.sin int a remitate 'tinetur duo eb et interdi et unitate itide duo g et u medii proportiona quod est propolim.
inter minin duoru tui mero p remitate numen proportionales equales nuero ναα-nt: inter ii os quom totide cidere necescies.
si Meest coueria predetis vissin unitate et a cabat di et e duo ineri cestinue proportiovies et in mirare et o radantu oti de mede proportifalas vico intacto tome cadere. si a m quoties unitas indtoties bin dissi h in seduci'producete et v ine u in se protracet seto et laducit in e et g produceta et v eo ergobriu et fiat manifestsi erit pseptima et rara scole sinptinua priaportide et u habudeinde eo bin fetilath et uin fetitatecostabum preptima lassi via ad bitabo cete ad cadentita duo inmb et e medii proportitates infa et o mead moda cadiebat inter unitate et aet intermistamnetvuiuod es propositu.
CSi fuerint quotlibet numeri cominue proportionalis:mimissi quos duo et duo . p, pr mi numerannim eadem proportione proporuonales erunt.
si tabeo numeri timeamortiocles at vero mimi quos duo et duo proximi numerissime guico essessimae proportio a ima moeni huinula proporrict mimos et u i ter tua be numerates smin bednuerat eosdem dat a septima pini essint ptinue propontales: q6e proposita
Fumeros diuersarum proportionum sumema quoruni biniset binis numerati mi i.
mmi: sint cormnue propornonales.
Eriolo sume n fieres diuersapproportionsi a quo*binis et binis muni numerati sint proportioales di Lapio abnuerostatra se pinosa quide inaiordet, minore quo* copositus site deum inomo nona tertii Eprimner dueo binis et proueniar det bina et proueniate etaine et fiat fere in se et fiatmper sesuma primiqproportio a ad beate addet fadetano cadbete e maius aergopnonasce in fensa die u eaddet sadsvte adaque non est vi bada.nacbessent eqlesnem vista b.na per primbui' et esset innua proportionalitas c ad a et a ad b pruine e et a costarent. est itam proportio g ad fausta propornoe fade et e daapio ergo mini insiquenmierrit dedisti, et munr Genumerate Let istis et minimst que numerat fg et M l.dico hu l esse cotinue proportio ales. nam p x rertii bine facit h. et m fad etan eo h et e biunt'in sua pro uiae muniergo v eandem 16 b in f producit laei ergo is ad b res ad equarene ad b.et MVide educis in f ad producosi Lia fest misi et a maior ergo et octava semeriti ad utan* eadi bara bin fiscitu et ein t facit i. santiis tu di e time proboitionum mimia binis et binis numeros diuersa in proportiona sumpi nectati:qs es proposita
gSi inter duos numeros quoiubet cotinua proportionalitate sumSintainter utrum eorum et minim quem omnes numerat tondem assi Mari necesse cst.
si tabed nsieri conmieptin ovibales quo u in tu eiu inuetus mimusque numerat:dico quot nectitati e proportitales cavat inea et v ndecorenue proporri5ales cadere ine a et e et ineo et edint fg d mimi quos abi ciet edi bini et bini numerBarsit fg bo nona inius cotinue in eade Proporti Maadb ortinat .attemisi quos fgris dbini et bini numerat sint ut duo lare mino quenumerat bcina aestit inore correlarium x tertiis eunde numeraret quare et di de eorress larisi umimus ab eis numera malais minore q6 est o bis eat eode ars uneto test mimus eue numerat be detexeoMMoemrmimstque maineratulere minimsique numeris abcd.atm 'duemimeret a b c d posti est vile est mimusque numerat ut Sint Merea metu misi propinionis a ad baemo si x imitan merat fet furauemnet perided numerat heth et lesedin m.quare poetaua laedi afue sunt 'tinue prNouioalesare et odi erat in iteat inest et v sunt di e duo medii pro ottiona suta intera et esumduo tu et inter dete duo tande medii proportionale. estpropositu
CSi primus ad secivadu tast tertius ad quartu quotcump inter primu et secundum totidem inrer tertium et quartum Opomonaliter medios cossistere necesse est.
22쪽
aliquis eorum vaemii.* si primus numeret uuimu numerabit et seamdu.
M: Et c d numeri connue a portionales et a ne numeret B: diuo nullsi eo tingerarem et cmsi estialia numerat b:c ena non numerare d.at* b no numem οπι inim'rtionis a ad b.per equa eni proportione que a portio e at, mea est bπ u e et ghypotbe .et eo itu 1babis a no numreare d Meeptis quattuor mimis in illa amatione d anto ut m.na oem βmus no fit unite' alioqui oes numeraret et ita a des prim' tultimus o quintibu resit contra se primi et prim nonumerabit m:quare neque a numerabito vimidi ad mi ta n equam
Si primus in temo quoties unitas in secundo: inter primu et tertium et inter vitarem et semidia numeri propomonales numero equales inuenienturi
,ia Omonales inuenistiuratotidie inter unitate et ereperiri. nnerabit b. unitas ergo numeret squoties ae in britem numeret g quoties bnsieratoresseret etia periuntur mede proportionales ut inter aer dimobete: quod est proponitum.
h la lCQi merint duo numeri contra in primi quotcum inter aliena eox et nil nisu quem numerat:totidem inter reliquit etvnitate propor nonales reperiri colitigit.
CSinteolra se primi aeteremimusque nummisit dedico u si inta et dicabsit be duo mosi tinue a portionales totide ea E intermitata et eretraesunt contra semimi et ideo in sua mortione mimi et v eum usque numerisergo se vicesimoiuarta tertii a nsierat o seretrum e. in ergo tones a in dquoties unitas inmergo per precedente quot numeri iniimuune intera et v Himsit tintinnuotidem continue proportionales inu sunsviter vinitatem et e secundat ivrodest propositum.
Si fuerit duo numeri coicantes:quotcum inter altersi eox et mannisi ii eos nilaut tonde inter resiqusi et mmmu ab eis numerarii pun a portionales psillare nae est.
CSint ab Geri adiciuire omesurabiles et e mari a numeris et v mtinus ab eis ivmerat' dico quinimmoniam cadsit intercetb:totide radere intera et d.lia quot ea sit intere et M totide cadereine di et O.Sint mite et finimi in amortionea ad brergo a vicemnat atmii e in e facit in pervices lima quartia eiusserib facitd:ergopseprima scisiqproportio eadbeaesta ad ergost duodecimadui' quotem cadsit mress ortioales infe et bprima et fremitotide ea fit ineat dicitia et quartilet uerum ut eadb:lta a d.ergostmutati cadavi baddequare prande duodecima quotmod proportionales cadet inec et areotide eadent ineb et d.manifesta est ergo quotesim inter auis eo* et maxinisi eos numerante cadanti totide inter reliqusi et minima ab eis numera in cade festa, μα
gSi ab uno principio duo ordines numer amortionata numero equalid sumans qliotcunae inter primum et altem extrem e totidem inter extremos medii securiun pportionein proninorum a premo a portionales erunt.
gyncipiat ab a ad o unus ordo numerora continue proporis ausi et ab eode a ad glacumrus in mero qui de equalisi:dico quot me de proportionales continebuin inter a et or totidem conneri intero et g fm mportione pro morsi apumo.cotineant ergo b c mede Pportis ales inter a et oret e s medii proportionales inea et g:totide eotineri di etsi est uiter dg fm proportione braq6 ostendit capio enil li mimos proportionis bad e et duco h in oes illos et timno ex una pateteret ex altera ore fiant I pq r per septima secutitillinuo sunt etatinue propouionalestsi milueti pq r.et per eandeque prosportio baderea est mad p. deinde ducauinae et fet prouenianis trierunt v per semima secundis ad leti ad usicut adp:poqe qad r.etper octauam eiusdem ne vaduri laeti ad s. quarcni adplicui I ad s. et qr p fit exd line uime ideo per octauam secundi p ad tut d ad latituare ut m ad p. sunt iginar continue proportionales inpia et qrdi etsi eris ad tetra mira ad pip qet qad r.est ergo econuersor ad q ut v ad ri ergo permutatim r aduri Q au t. et quia iterum q ad p vit ad s et ergo permutatim et ad imposuiuare posui ad tetrad verunt in eadem proportione. et quia que proxportio madum inii meto ad metmaol probata est ripad s. ergo vina diu: ita et ad taergo ramutatim que proportion ad mea est mo t.ergo per duodecimam diuus cum interm et i contineatur unum medium proportionales p sminta proportionem ni ad p: itidem continebit unum medium proportionale intern qtecumst proportionem ad possit x. et qrq fit exhin fetu exit insper octaua primi erit pruportio et v vthadu:q remm p. siuulgitur rexqvcontuiue proportionales m
23쪽
Omninim iis id in Mi qu portione sunt mim Sint ergo a b c d quotlibet numeri preve
-ahcd quotli trimini continue mortionales sua portione mirimi .e fuero termi pro --rus a ad vino dirisino: abcesse pultae ad d. Ram si aliquis numeraret 'positst exa b c et d. os preo in coecabit cime aut feritergo altius numerus eoiternume Me aut L et compositffae is cerv4tim remo gnumerate aut fra positum ex a b c et nvinerud et ut eripe et si umerat binc Pei' decutianosia te amo perincrematertia primignumerabit bre c. o et g per quinta sedimurn abita resin Mos infestinianumerare laeto permulta huius sum contra se primi istiurgminierat uola imos estimpossibileaid ergo copositus ex abcested positus ad os necessario pati visuiuod inpro uti tua diequo malictavcommunice reliquisargumetare
Em quotvi animum stamni in sua proportione minimi: qui ex omnibus compos ismmr ad quemlibet eorum erit primus.
Mideo est inurunctus eo politusex duobus contra se primis ad quelibet Orsi per nonam terrai in primus p prece mi quilibet numero*in sua Homone millimori ad compositae reliquis es primus et o copositus ex illis pereantie nonam ad quia1 livortim tiumeroia et compositii res urses prunusaruare ad queu tiliorum erit primus: quod est propositum.
Et tarint duo muneri contra se primi: temum eis in connnua proportionalitate ii odiiungi est imposubiici
er Namsi tuseisinootinusiportionalitate adlugeretur rogopcrprima burus primus et sessoumcomensura es: quare no erunt contra se primi quod est contra hisos eum et propositu.
CSi duo numeri contra se primi numerent alios imosfm numeru a neutro conlin 1, mimoarum illis quom in continua proportionalitate non adiungetur temus.
sitima brumin contra se primite numerus nem ab an b numeratus fimque a numσα cohnumreetvmico non esse sera ineontinuaa portionalitis numeris eradadiungendtameni sit aliqtris esto ille fuit per octaufistadia portio emoria ad veritur god ad via ad b.et absunt oratra sie primi quare poricesim terrariam in sua sportione nimini et per tecima nonam eiusdem quoties anumerato totiesbmunerat fait ore equalienumeret somita b numeret opine et in απ per septima fecitndiqpωportio vostraestem galuare et qaadbaea est ego g. α abibati sunt in illas tuo nemini .iitur si decimanonam seindi a b numerategequalidi numerabitigi fauernianeropa aut b numera m quod est contra Nothesim.
sim numeri proportionalis iuerint in sua propornone minimi: non erit extremi ad x aliqum proportio que primi ad secundum.
WSint a Beoontinuexportionalis in sua Minone miml:dico eat nullsi esse ortione et aadb. Si enisu alio esto lueo.qrogoa adbstruit ad mergo pinutatia av e sicut baddi. eter ab c sunt in sua amomone mimiaergost quinta hui' ac sunt trasepmi. quare u vicesim terra in sua sportio emisi quarendemnanonarius ansierabit b:etensierabit visualriat nansterat b: mabnuerate. nam ea mavortio quare pervice atertiam primι et a numerabile:-sitammae erant contra septim.hoc igitur possibile et propositum.
Si quotlibet numen in sua proportione minimiton alios numeret fim nunIeru i a neutro illius proportionis numeratu: no erit alius cum illis connue .pportionalis.
24쪽
,ue si Si sumamur numeri ab unitate connue proportionaleominus corum numerabit vltimum nisi sin aliquem in illa sine dispositorum.
LSint ab c defraunieri corinu exportioales ab unitate: vico nulla eoit numerare 'nissim alique in illo ordine politop. namqr quotiesvinitas in a toties e in 'ergo per diffinitionem e numerat f 3a.Ironi qr ut unitas ad arita d ad e .elut a ad butae ad Lergo Per equaxpouionalitatemri vinas adbita adf.quoties ergo mittas inb:toties in Lperdiffinitione tofonsterat flasmb.etqrum preequa yportionalitatem per vice unamprin 1 secundi vi unitas ad c: ita c ad s. quoties ergo miras inc totiescin 'quare esiuitierat aes in sciet qrmostratus est dii umerares umb: ergo alteriistini per octauam primi b numerat f scem d.et qr etia e mostrariis est niterare fistam arullematim a Gerabit f scisine est iram osteii suiu ab ede numerare fultun finalique in illo ordie posito Utra impositii.
ij si Si numerorum ab unitate contume proportionalisi secundus ab unitate sumi numerus primus: nullus numcrabit ultimu nisi aliquis in ordine antecedentui.
CSint ab eo numeri tinue ab unitate alporrioalas: eta numerus us. dico*nullius numerabit D:nisi alies precedentis binomine numeropa b c d. Si mi alicis alius numeret o sit equi meret in scomLqr ergo anue spmvs merato P ciue de infingod quaria terreansierat eaut Littergo vi numeret e intelligo Maor nsieros: cfl Get sit per precede em a in entremus in extrem mucit detesidemducite infmedius inmedistae operuicesimiquintam sedi via ad eritas cibansieraterer eis numerat c.numeret ergo snsierstesram Meaderones vel gnae rabub: sit 3 id scrib.pide quom tande die des gauidnuerare δ:qrea non ensterus pnius. e trabrpothcsumatas aut dponar eqlis ararguine taberis P pmusam reliquos e e equales iis qui sunt in orate ab ed:etasonta.
, CHumcris ab unitate proportionalibus si aliquis primusvltimum numeret:secun dum quom abunitate numerabit.
CSint a b c d sttinuexportioales ab unitate sitae e numerus primus quin sieret divulnimico i i enumerare a scom ab unitate.Siente primus nonnuerata:ergopprimu terisse erit primus ada .etcsi quoties unitas ina toties a sit inb:ergo ascem se numerat b.quare per undecima terra best stili ad e.etcst quoties unitas in a toties bsit in cist b nsserat clarata a.quare per decim1 e est pinus ab c.et irex quoties unita sin a toties cin tuergo e numerato fecitdum a per eadem ergo decimamre est primus ad P. non ergo e numerat d.quod est oppositum positi.
, si Si numerorum continue proportionalium primus de setando et vltimo milatur :que proportio fuerit residui secividi ad primu ca est minui ritimi ad copositum obn
siciit mirad enitanni ad c d tibii adab:ergos vicesimanis idibit mussiquissit bitiabo posti fiexe fedetab:sicut dii ius tuo* ad ab unum ho*. Meugnequetur edet ghequetur alnersos hequabitur ei equar ergo dii reuerold.ablatis mi equalibus ab equalibus:residua nite qualia. qte ergo que proportio i d ad a baca erith laad ypositu ex olbus precedetibus.qo est propontuni.
Capropositis duobus numeris sumplisin quotlibet scom proportionem eo* yportionalibus: si minor in minorein et maior in maiorem ducanir et i ductorum dirarentia per differetiania positoia diuidatur: ibit numerus qui ex omnibus aluo coaceruat.
CSint ab et ah diuo nunieri ethbeo*differetiaret sint cvides e flet fg: quo imber in pnnua a portione abadab:ducaturina bine detiueniat Im,item adinsget a ueniat in siti differentiat metioniani erus nan.dico insinni diuidatur sebb:differetiam primi adscrem mire egnum ex ebe figeopositum. Ram ex ab inde fiat lo et ineffiati petinfg fiatiq.m perderem1 primim ni ex ductu ab infgrenua est ei quod fit ex ductu abethbin e sidenstera fg:et ex ab infg fitlq:et a dineudent in.ergo ex obiit fgper tabem decimst situq. preterea intelum quatimor numeroset ab primum
a b sectiost e flexiij et fg quartsi et M st proportio ptimi ad stam ea inter ad quartaesi h vicesima quintam secti di quod fit ductu a bin fgprimi inviti si:equst est ei qui fit ex ad ines medio in me dium.atetiiod fit ex abius gestiq:ergo quod fit exa hine festiq.at rho fit ex toto ab ine festi prergo per decimam prinii quod fit ex h D in e fest qp.Et eade psimili. arsectatione:quod fit ex b bιia deest poret incoesto M.quare per nonam primi di bin toto egproducitnm.ergo per sextant petitioneni primi si productus lini diuidatur per redem numersi b b:redibit prior numerus es.s erat demonstrandum. Quarti elementorum Arithmetices Iordani finis.
25쪽
pportio sup alia qualibet addere a portionesn dicitique es illa
o nuara Gam componat. dissum a porridis ad aliam:votarur illa Pportio qua cadm supra rcisquam abundare dicitur .
Quod addit a pomo primi ad scom sup xportione tertii ad quartu:est i*portio que vi inter pductum a seimo in quartum et iductu ex secudo in ternum.
Et ec do substraherea portionea a portionciet 4squisam proportio minore proportioe a maiores vi stracta relictasinqua hic Miam proportio is a. ovisenoi unus. Sint quattuor numeritas ni tbsecsimasa tertius, d mari ut sit maior proportio a ad b d ead dietoa in d fiat dimetob in e state Dico Pportiδem qua addit et ad binu proportiam e ad d:inrised est intere et f.duco eni3 it b in det tut*Men Ibinc facit 'et indiscit Mergops amasecisi si proportio cad d:ea est fad g.et quiastino afficiet bindrarit g:ergo per octaua scibi ea digri a b et qr possiaesta adb maior Nportio cod; eergo et eadgnavior a portio*fad; areo nona secisi e maior est Φ festi ramis diffinitionematois polite exs obuius hisita ortio ego et posita ex .pportionibus ead fel f g. addit ergo Mortio e ad gyportioem e ad fisust amor rione to gluare et Wortio Ead b eade xpors nonem eadfaddit supproportionem eadu quod est proposito. Id AEM mi dismuestu temet nvnorepto uione de maioresubstracta relita fit differentia mportio maior: it ab ea demas mior et id totiestat Ose relicta sit aut substracte equalis aut ea mi Lilam cognoscere propinerit 4ties proportio minor merit in maioruet qua insust superaddet minore ma vltra iustaddat.
Quo abutimi proportio primi ais tam super proportionem tertii ad quartum: eo , abundat propomo primi ab temum lup oruone scii ad quamina. Ite* Pportio quam ad tertium super propomonem secundi ad primum.
Sit eadem potesso praemineo fimo qua Morti eme adfabsidat proportio a adb sup ottionem cad meadeat rarae si rea ad c sup portione b add.Scto eade3 qm a portione absidare vade suu 1 portione bada. timsi patetinamaadbprimi ad in maiore avortio ineatio terra ad quam ni ergo P duodecimam fecitdt maiores proportio a ad cprimi ad tertiit:* b ad o seredi adiquamam.la ergo a primum cscsm bternuid quartumret argumentare per precedentem et ridebis propositum. Samiimi Iiter patri:nam quia a ad binator Peadd:ergo per undecimst cudierit vade maior Obad rufac ergo D primum es dum btertium aquartaret argumentare per precederem rei facile videbis propositium.
Et addat aliqua a portio super alteram cstum ratia sup quartam: erit vi copositas prima et quarta composite cx rc liquis sit equalis.
I priusq= ad xpositu demolirandu veniemusrvolo demostrare quo pacto proportio sportibi addeda linet dico ombent a ducto expino terio uni' proportioisin primst altiustet ex secido in scomes ex duabus illis xporuoibus 'posita.Sintenta ad bete addise ortiora:quas volo graddere vim ex ipsis possia pilare.durae in aetatueniat id in veta ueniat s.di proportionem ego gre estponia exappombibvsaadbete ad O. coeniit tin, et amentat 'et per septimam sinista portio ambaeaeste ad Let per octauam eiusdem sta portio cadu:πιε fadg.et Asortio eos ponitur ex proporidibus eos et ad mare et ex proportioibus a b:ete adduiuod inredebatur.Nunc ergo ad demos radivna possinu amus. Sa ergo ut Orsi proportioa adibaddit suo armortione eaddictaddat propomoe adflastiportione gavi .dico ergo proponioem possia ex proportio ibusa ad begadh: remiis proportioni posite ex proponio ibus ead die ad Loueo migina et inbet fiant sis et bini, et fiatii per septima ergo fimit aduncula adb.eiqibin glacitu et in v facit m:pere demuom sicut g ad h. are erit preportiolaum posita exmortissibus a ad belgad . prias etvltia fiduo cinit in Irletium: et eniatnlolp:quio septima seredieriit propornoales sini vportioeo l.u mmergo nado sicut i ad li:et o ad p sicut it ad m:ergo per equa prisor trioalitatem n ad p sicut lo n.quare equales sunt proponioes Pad m et ii ad p. in duco in let Mueniat qr ergo ii fit ex e in is qeydriltper octauam ergo seredi estna et scut cado.yteqrladusscuta ad braddet ladu supproponioe ne ad vina adhaddit suu eadem proportionem cadd.Intelligo ergo qttuor numerosi triclo.et quia lino facit*et uino facito remosti a tu est:ersopprima huius qado eliq6 addit a ad hiud proportionem e dinminem proportio addite adfiaps ad ea uste ad si orti net ad o sust i uionem g ad h.at proporreo o ad p est ut g ad i q ad O est ne addit e ad finu gad ri: ergo qadpplus exqadoreto adpequata portioni eo Dein ad evidicinest equare oletnaopequati adm polite pma et vin et ad postituit ex sinat tertia sic ira. structu estpropomni
Si inequales a portiones uni addanar:erit addita* et 'positam eadem oria. ε
Suε adb quecum proportio:tatae ego dete ad foueamornominequales ne ado maiori et ead minorraddatae proportio eadd proportionia adb:ssim pontaiportio pavet addari tenta,mortio eos eidem proportionia a bet proueniat possis rad s. dico eadem redis retia proportionis p ad qad momonem roset est pro minoi se addad proporti deme ad LPMoenicina et inti et proueantat gdaetbin et proueuiatu. per septimam seredierit proportio gadhuta ad heteth ad irvte addquare proportio g ad tr est 'postra ex proportioib' a ad b et e ad d:atin eoo proportioni p ad O.duco item eiing inh et iii uret proueniat I min proportioucriper seprimam secundis diu.et duco findet
26쪽
a ad brae Latin eadem proportioir ad s.at citi ad net gavla padstematurieti l oz rads adinvicem equariir: et laon superat lado proportioeo ad n .erito ad noria pad tradi spzo τα--L: posti intinniadne queriirco decim ad oequetur proportioni eadfmhec otamostratas i et proportio m ad n sudet proportionem in ad o in Proportione o ad merit ergo eadem proportiso ad n disterem cadi d et e ad sproportionum sco additan et 'posita*.quod est propositum.
s C broportiones minores mioribus siue equb' addite: minore a pornone plavit
Clita proportio minor b:ete minoid:et emior fidi proportionem posita aciniorem apio portione 'posita bet cet proportio exce in ore mee propor noeexd sit ite proportio sequalis pro Itioni fidico proportionern ex eg:minorem ee proporti de ex fg. Dumsi pamam est uies absint inequales et D ut maiora sit ergo b differetia qua absidatb ustaret proportio ex badditaentu et ex gaddita e Muper pcedente eade erit driau ad i et b ad a.sed b est maior a in propon ectu maiori in de proportio met eaderoe modi abis proportio em oposita e ed e maies 'proportione polita exce.qs in pnij.Srem dive nisi das maior stellini disteretias ad ruet posita v fg siti retexe si M o. per perederem eadmi est durarentia fab e et n ad Oam fmaior este in pu porti emisi et ii proportio posita ex fg:maiore proportioe opposita ex ea; mea de proporti demetuescim.
Datas proportiones an mullinis terminis cotinuare.
CSinta ad b.e ad d. et ead sedate proportioes in mimis terminis:quas in proportloalitate 'tinua in mimis numeris assignare iubemurico pio mimst que iistera th e qui sit g.et quoties b e in g:toties sita in b.er per septima secudi tuncq proportio a adb:eaesthadg.et quoties e est in Nioties sit dulla per ea dean septiniam eade erit proportio eo d et g ad Itierat ergo duexportiora a ad b et e ad O in prinua a porrioalitate innumerio b g Ir:et etia inniimis numeris.nasi in inoribus re possint ditinue sit ergo ut in t v x.per declin1nonam teria b sinter et i nsierabit v.quare et st corret aristoicesime arte tert4 g mim'ab eis nsieratus cita numerabit v.no sunt igis lux inimi hoc pacto 'tinuatim po f. et si e numeraret aliqties fret caperem l quem sm rude numeraret f.quare u septimasecisiq; portioeet fad e:eadem ectu ad l:Min addita eet tertia sportio in ptinua a1portionalitate et in mimis teris 1nmunis qui ea prer causam tmediate adducta.atqrhenonnsierat ricapio mimum numersi que numerante et liquissim et quoties est in m sam inde numerum 'ginti et hino. Item quoties e R restitim toties scomis eo numerum sit fin p. et persepuniam seindierito adnaeuid ad Ovesscuta ad b.etnaon si te ad rem ad prucule adriere tres a portiora date sunt in tinua ortioaliatate innumeris aut in adrninni ad p.reetiri in mimis numeris.Gllassignaretur maioresister ty pcr decinianonam seindi b etc numerarent r.ergo g mimus ab eisnueratusu correlari vicesime quarte terruetia numeratr.etcsi queat portios adlaeasstros: ergo pmutavin ea portis sadrea inti ad s.sed g numerat retergo tr numerat s.ctetis 3 per decimanonam terni e numerat mmare et ni mimus ab eisnsterarus p correlanuvi caeme arte terra numerabit s.nomtigisqir sty inimuillas Iportiones punue retinetrari ponebas.quare nulli tales erit: ter onmp. est ypositum.
CNumeruin propositum per partes inequales sm assignatas a portiones continue
rassumerus datus is ee debet qui per numerum proportoes amignaras in mimis 'men ' diuidi possit:alioquin in eo partes assignatis proportioibus rndetes inuenire eri imposlibrair rego nΗ i, is erus datus arqueamomum est diuidere in quattuor ut eo nequa diuM ad sinam sudupla b scda ad tertiam sesqualea et tertia ad quartam sesquiit 'tiniis per Pimpere' 'portiones sa dupla sesqualteat et sesquitertia in mimis terminis qui sint b cu mium torus' i s
ex diuisione Uuenies .duco die o e in f et Fueniant g d la I qm p primam ieredipti di mine ori . btiones citheomitari ut gadnvibadcleth ad irrito eruadi ut vade.umper imam pimi quod fit ex ductube in De quae ei quod fit ex ductu be edi et dein Lerperi rumpet dinem pmiducto b e in f fit alip reuertitur Mest ergo a diuisus in quattuor partes inequales s b ut in ptimisHor, Frioiralitate proportiones assignatas princies.quod est propositum.
gQuotlibet proportioeo quocum ordine connuate:eadem proportionem piutinit. i
er ς oumo in uuabus iportioibus inedemsi est.Sint ergo ab mecum due optiones rea dupla et binaliaet continuetur ptimo dupla sesquaue inminerisfoerita vidit inamomo precedar:τ
27쪽
mis figurandibus quis 4xpornod olea est ea Letque de ea est vade.ergo Pindirectora potti malitatemque a pomodo mea Evadi .addita ergo viri. eat e Pporride cadurerit tota portio e mequalis Mic ad Latarporuo addequar proportionicati mergo et proportioni cadpropositumaei sive quan or amoettidibus id derideras adiuuatibus tribus adinvicem punitatis soemere madea ammeni demostrandi modus est.
Qim duo* composito p proporno que est unius ad alterum: est ex laterum suoruat, latia alterius composita proportionibus.
CLatera ν positi viretur numqui in stimicem ducti: 1 possis uesit.Sint ergo duo 'positi a b.et latera Mic dec quid Gaius et v minus.et latera a b sint e ste 4de maius fiminus.dico a portio a Ghstpositam te expuiportioibus eade et da df. comit malus tersi a: in f minus laterum bre ueniat gar tua eri e in v facit a:et e in f facit g:emo u septim1 secubi que oportio d ad f ea est a adg.et quias inclaviget fin e facit btergo prado septimam que proportio cade e stgadb. at proeportio a adb stituit proportionibus a adget gobremo et ex propomoibus eade ad ad Lquod
CSi numeri continue proportionalesin totidem alios panue etiam proportioaleo
ducanturaet qui inde prouenient continue proportionales erunt.
si mala b c numeri olimae proportioales itide τd e falsi totide edtinue proportioales:et ducard iah- et proueniat Meteinbet pisumiath et fine et proueniatu. dico productos gliue prinue proportioas , - vim in lateragmost: et latera sint ed: et latera usint se:ergo se precederem proportios ad be- collat propouidibus d ad eta ad D. et proportio hadu ex proportiolbus e ad fetbade.syptoporti ones eos bad Credem sui proportio ib'vade et aadb:ergo et proportio hadlae illis stas: eadef- est pinportioni gad h. e cne proportio gaudea inhad Ir.es dentonstrandum erat et propositum. R d e e b
αHumerum ita diuidere ut q totius ad maiorem portioncm:ca maioris ad murore iv Norno cst impossibile.
Si es c pacto qui nilervs divideres dicerer diuidi fim proportioena bntem medisi et extrema.
cita*,pponit nulIii numerum fim propo moeni bnim inmisi et extrema diuidi posse. Ram si alio inmodsi diuidi potestisit ille ab d sit diuisus in ad minorem portio et ob maiorem: sit mutabaddibula d badia d. traho ab malori portione ob numerum coequalem a d. tqt que proportio ab adob:ea AEdbadad. et quia ad et de equalis:stqproportio totius a b ad totum ob ea est ob adde detracti ad detractu ergo u quintam seindi q proportio a b ad o baea est ad ad c b residui ad residust quaret eadem deme h. are it qproportiodbadocet ea est ea ch capio iti de equalecb.et quis Mutdhaddciitad cadebet de equae eb.ergo licui badde totus ad toturita de adde detracrus ad detram aurarem quintam secundi mutob adde totus ad totumniae Badeerinduvabre uum quare it simu momentatione detractoee ab ebterit residuus ad residuum perinde ut
totus ad totumatin hoc ibit in infimi rus per quartam petitionem e impossib se certe est ergomnemn aliquem ita dividi non posse.
Ius merum ex duobus constatem inuetur cicuius ad maiorem proportio addα supproporuonem eorudem data proportioncminus.
Sint ab misi intiportionis v tria maior et b minorret sumo differentia a ad b numerus et maior proportiost ad bbbad illud numerus stitutus ex duobus scyaetbque dico minored e proportio adamaiorem eius portionem v sua adb proportio assignata: site spolitus ex be. quia rei proportio a adbprimi stam maior est Obade tetra ad quartii:ergo P primam site declamite seindidaub proportio malin ea ciet per sesamatem eiu erito ada proportionisor Oeob. Messe sumtexbet edria a adb:equabis ipsi a.ergo vada proportio minoZOgadb. expositu. Sitsctour minor sit opomoa ad b*bad cicapioque rim numerum malorem a qui sit d:a quo destra se alae et res uni tueat intelligo edetractitabat breui uil.etqr maiores oportio dabatotius ad totum *fade tracti ad detractaeergo a decimatertiam secti dumaiores proportio ead brendui ad residuust da atomis ad totum.etu a maior est proportio eadbΦd ad a.ergo se duodecimam eiusde maior est proportio eod Obada. quare perandecimam eiusdem eritproportio vade minor a ad b.etine spirituatinete maior sit fistriremeetflitnsierus stato numerum ex duobus et fostituissee quem querimus lissumitas: eo alique numerum vigine et tentarbs et inoet proueniat Dei in f et proueniat per septunam incidi que a portio ead d et d ad ' siris esto ad hetho laetin per nonam mi quod fit ex gin e et inseques ei qui fit ex gin Ptergo h stitui rex duob' miseris hol quare λ est talis numerus qui queritur.
Duabus at portioibus inequalibus a politi: tertiam reperire que duplicata: insore 13 tu maior et maiore trusior.
28쪽
st octauam teredi m ad but e ad sequare et ut . ad k.Si ergo i portio ni ad It ex duabus 2pouloibus minori assignate equalibus stituta:sit nutiora portione badlqureo alique numerum uto:qui in seduc mducatp maiorein D et minorem aute qualem m.et dico proportio em o ad fine cuius dupla maior est proportioec addet minor proportioea adb.nam csis in se faciatus et oin se faciat p:ergo Dea que in principio tertie proponis huius drilaostrata sinit est mortio oos addita ad seipam.quare et prop-iopadh dupla ad proportio O ad Latcupsit maior bammtiopadu per nonam lacilolmaior est in proportio ij ad u.quare et proportioe ead P.et ea proportioni ad la minor est pro moebad I etia et proportio padu proportioni quideo ad fassignate dupla minore cieat exporti had Ir quare et proportionea ad bet propositu.atst proportioni ad lumior est proportio e Dadisu ergo ulay differetiam adn. lucent proportion ad Irerite lis proportioni badi .et tue era aliquensiere ut o qui ductus in se moueat p:maiorem quide V sediminoreni met argumerabor ut prius proportioopadia dupla quide proportioni dat eo ad finaior est proportioe hadu quare et proportioee ad d. et minore mee proportione ii ad Irmare et proportione hadlet proportionea ad b. it est a possin Dic mattende ubi non facile possis inuenire numerum sinitIemoitunc ducit in hin se et inhelitrah in se donee oportune talis numerus tib occurrat.
gQualibet proportioem in duas diuiemqua* onasti data proportide minor .
Sit b data proportio:propossium sita alteram propor nonem datam invuas xporuore diuiderer quavvnius ad alteram differentia sit data proportione b minor. capto p primam butus d fferetitiani proportionis badaque sile.Sic sit eqlis aut maiora oportet cmitioremeeb.esipdiffvntioeine in proportio qua bladaret Ppouioema.quare et aauteque aut ni ulto fortius minor edi b.inquasta prego duas proportiora dividar mille erunt minores a.na eius pies. Quare et obferetiavit urs ad alteram eu ea sit altius partis portio in suo alteram addit minor erit altera partium:quare intor toto a.quare et multo fortius minor toto bisum inquastam diuideresa: berct propolitu. QI stiportioc minor Mainu opprecedentem proportionem aliqua cuius dupla sit nisi orc et minora. sit in illa duplata proportiod.capto*Priamo ada P primam huius et sit equa dico reminorem rastipi in equalis:cstb c equerur Mergo D queest maior Gine equali b maiorem proportio pstituis*M .noe ergo edifferetia a d q6 est trabypon)euminisse in maior bmuo fortius dere maloie otitionem primul bete.quare maiorem proportio insita:qdit ineno esse Miama ad υτ ptra hypothesim.Helinquie ergo proportio me esse minorem proportionebat quia Dueproportiones dete equatur proporrionia: intelligo proportio alii illas diuisa mere dico dis mariam illa pso dad e quesit f eedara proportioned minorem nam nesset equalis b: cu b et d maiorem 'stimet proportiotiem v avt dictum est erravers maiorem primeret anuare et detriquare non in driadade et pidems non potest esse maior b.costat ergo propoema vi Holut Osiriore diuisam et xpositum.
Si tres nucii ptinue a portioales: tribus aliis punite ppornoalibus comparetur: extremo* ad extremos ,pomoeo punitate crimi tan* medioru yportio duplicata.
Clint a b e tres numeri 'tinue proportioales:item o e stres ale tinue proporti5Ma.dico a1 portioi: es a ad O et e ad foedinuicem 'tinuatas:equari proportionib ad riduplicaterauco mi e in a et in d et a ueniat g h-et findeta ueniat itieritin per septimam seest i proportio gadbvia add:et ad tu per octauam eiusdem ut ead Lattar proportiones a ad d et e ad fadinvicem otinuare per g b iret si te a huius addo proportioean a ad d giportioni c ad fdi reo a in e et a ueniat l .et di in f et ueniat m.itrarnifestu est proportionem ladmpstituta esse ex proportioibus gadbeth adurat. ipsis simul suptis equari.deinde duplo proportionem di ad eaddendo per tertiam huius proportioena b ad e sibi pi dum tendo sc3 b in se.et quia a b c sunt stinue proportloales: p vicesina sextam laesidi mentet I : et duce e in se et si eadem vicesima sextam secstdi a ueniet in quare duplata proportio b ad e equae proportioi I ad ni me adibata est equari proportioibus g ad ', et V ad la scimportioibus a ad d et e ad fadinvicem continuatis.quod est propositum.
CSi quartuor numeris connue proportioalibus alii totidem countse proportioalesapaptentur: erunt proportiones extremorii ad extremos pluae tan* proportiones mediorum ad incolas cotinuat
CSint albicld:quattuor numeri tinuempori alas:et et figit, totidem alii 'tinue proportioales, dico proportionem copositam proportio ibusa ade et daddequari proportioibus prinuatis bad fet cadg.ptinuatis sadea portioibus bad fete adstri in predenti factumo .pseptima et octauani incudi hec ex tertia huius micesimaquila secundi cognoscitur vi precedens ex vicistinasexta.
i CSi quotlibet numeri ad totidem alios compar r:proportioes eo ς quolibet mosumptorum eandem proporaonem componunt.
29쪽
sim insistiseriam Duivit reum est .slateria et bimo numti lictet, duo ale aut duobus finals comparens inuo eadem a poni Sem Noniam essera a ad b et e ad d et cx eao d et a ab b.Si minuerius imite tirales: haim se notum in.Sintersi duo priuii edit ei ualas interset et duo securi inter λα soli tres me alas et unus inequalis. desto proportio a adb maior proportioecavd factoa adbprimam. ortia Iegdd lasanit et it a b tertian Iete add quartam.et quia iptuma ad bolima addit sup eo D scdam mi addita ad b imia supra e ad d quamin. ε o o tertia dia 'posita
a bri cado mima et quartaequar reposite ex eo deta ad hiscinda et tertia.quod int edebae. Idem quoques minis efficies.Sintate earesnseri qui paret frud Loico eandem compositam es a b c d et eadfret ex codd; aadbIrie ads nam per immediate mostrat si ea venie posita exa addet cado et cado et aadb:ergo Morti de eos viri. addita:*portioesost equales. enu Handum.dimit eadem compositant exa ad brete ad stet ea dretexe adsta ad hi et eaddalam per nullmostrate eade et Mortio coposita exa ad hete ad Detexe ad se et aadb.ergo ortione cadi :viri adiecta si uia1pornoesa ad bie ad fiet cod.item eadfra ad bIetcaod:apinuicem
mitiales sis onebas Iduniciet ita alias binatioes a re adiuultibus trib' qttuor expedimita conlaqueter. Quinti elemento* drumetiem Iordani finis.
Btera numσος diciatur:quoq; multiplicatiocinumeri 1 duciatur.Supsimi alis appellas nummis:qui duobus lateribus continetur. Solidus o qui sub tribus:ex quo* prenua multiplicatione habet a creari .Quadratus est nummis iuplacialis equalibus lateribus coletus.Bltera parte longior:est cuius latera sunt in lia sed sola unitate distana αubus est numerus solidus equalibus consistens in lateribus.Sumles diculur numen stue supficia Ies siue solidi:quovlatera surit proportionalia. QEi tres numen fuerint in sua proponione mimi: duo extremicrunt quadrati.
Sint a b c tres nsieri cotinue proportioales in sua a1 portiSemimi:dico a esse numerunt quadratffatin sint ocella nummam quadrarum. Aa per septima quarti mimius medius a portioelis inea et unitate qui sit dret sinter unius inec et onitar qui sit e.quia ergo quoties unitas in o toties d est ina:ergo dii seductus multiplicat almydiicit a. ista quadratus.nam det delus laterasiuit equalia Et sit etiam quoties miras in e tot rese est in ciergo e in se duenisa ducit ciquare cetiam quadratus. quod est propositum.
ESi sumnt quattuor numeri in sua proportione mimi:duo exircini crunt cubi.
Sint a ble d quainror numeri tinue proportioalestin sua proporti deminimi.dico acubum esse aliud 'um esse.Nam P septimani qtiarii eriit duo medii proportioales inter a et unitatena qui sitite et insist duo inter det mitatrem qui sint getb.et quia quoties unitas in e toties e in Dergo e insea ducit Let quoties unitas ine toties sin eremo e in fiasiquide q-draist Iducit a. est igis acubus. et per idem quia quoties viastasing toties gitii remo glit sexducit d. et quoties unitas ingloties indiurgos in Q suum quadratum:xducit dat re etiadcubus.quod est propositum.
OOis qdrati ad quadratu cin tan* lateris ipius ad latus ali ius*portio duplicata.
Esroportio cubi ad cubii: est tali. lateris adlatus triplicata. unde manifestum est uiter quoslibet duos quadratos unu:ata ine cubos duo a portioalis media 'sistere
CSint diis cubia et b.et latus a sile:et latus biit d.firme quadrat sic et squadrat sid.inter quos ex demostratione precederes in unus medius a portioalis quini g. dei fiduco ei ne et cmsi est miremet cinget mentati tredin fet certilina uenireb:et dingetiueniat h. nani se sui est ex precedetieandicino proportionem eadget cadd: et eadem gadfer cadd.sed Pseptima secadia ad bri eadg. areneadu:et per octauam eiusdem vadκ cadd.et per septimam et euadbris ad Lure ut cado.es igiturquelibet trium proportionum a ath had hi et ad balteri equalis:atres equaris ead d. di proportina adb pstat ex illis tribus.est igie proportio a ad b tan sportio cado triplicata. Et correlarium exmodo demdiu ationis cognitum est et propositum.
Quoς latera xportioesia sunt quadratos a portiocles ce:atin si quadrati a portionales sunt:ci latera a portionalia esse necesse est.
30쪽
O CSi cubi fuerint propor noaleo: m et latera yportionalia.* si latera Morti oesia fuerint:cubi quom proportionales crunt.
CSit hypothesis ea q priusso gi d h-cubi numerop et taSed a pars bai' patet bucendo a bertinue proporuoales in o e s suos quadratos qui P primam Prem p cedentis sunt 'tinue avortioales et puemctgdhqaludecimam quinti sunt tinue proportiovies.stis est stam.Et φma pars declaras Ram per nonam quinti proportio g ad n 'posita est ex proportioibus d ad e et a ad b.et a portio h ad hcbposita proportiomuse ad fetbade.eissa ad bet ad cno sunt ornoabiliam de Iergo a adb maior sit proportio Φbad c:ergo per quintam qumri maior erit vade Pead Lergo per eandem quintam s ad d tuta exo ad e re a ad D maioribus a portionibus erit maior O d adii. no sunt is dg d la proportionales.quod est 'tra bypordesim et totum proponrum.
I simo abudat quadrat ' super quadratu est nuerus ex lateribus ipso coaceruamsct fin laterum differenuam multiplicatus.
CSint aetb duo quadrati: aniator Iethminor.sitire larus aret diutus b.dico numerum quo a sustatb:esse numerum quia creae ex Ductu differetis cad o in coaceruatum c d. mi coaceruatum c d ene diuisum in c maiorem numerum:et o minorem.er quin o decimiloctauam pitu quod fit ex o in se:cu eo quod fit differetiae ad incoaceruarumcd: usteuci quod sit cinis.sed Bexe i se est quadrata maiusa:et qd fit din se est bquadratii minus:δb quadratu minus iustas ab aquato maiore in eo nuero 4 fit exesia c ad d in coaceruata ed. sidat δ lay b in eode nsiero.*6 lai positu.
8 CSi quadratus quadratum numeret: et latus suu latus alterius nuerabit.*li latus a latere numerabitur:et quadratus a quadraro numerabiis.
u CSi cubus cubum nueret: et latus ipsius latus alterius numerabit. et si latus recrat latus:er cubus cubum numerabit.
gQuod deminutatis modo ostensum est die decubis dem strandum a ponitur Elmapspontis mcthsa porreoalibus in cubos si correlaria Marte buius vi puta predetis eos infresi vestra.
Trium numerorum connue proportionalium:st primus fuerit quadramouertium quom quadrarum esse necesse est.
CSint ab e tres numeri otinue proprotionales: et sit a quadrariistico ere quadratum.sint inio emimi inoro oortioea adb perdecimKnonam tene P numerabit a. ut pLd smin ete etiam per eadem numerabit c.cuperhypothesim eadem proportio a addet bade sit ergo e mg.emia a ponHauadratus:Mergo eius latust .daenidinis est rium din' Mysci,a3ptemviremesenesciud bis sunt tinue proportioales.etynonam quill ypotrioa ad cipposita proportioibus vade et fadg.ermo ora ad but vade:erit badcvt fadg.est ergo Padi vi adg.ergoymmatim dans strute ad Ierto per duodecimam quarti inter e et g tot media proportioalia induitquot intero et bature ores cadit Dinsi medium a portioale:igiret intere et g cadet u sit et qrexe inspositust sim ciergon in extam lagundi extrinse fiet idemc est istaec quadratus. oderat demonstrandum.
CSima bscso quatilior iisteriotinue proportoales:quo astinus si imbus .dico P qirartsi recub siciit eruel f g b quattuor in eadem proporti de minuσiit per scdam dui' e et b rubiaet et e cubuer sttu correlari u quarte huius duo proporrioales rodotiioalitatem que a portio e ad n ea esta ad DPergo Pmutatu i qmportio e ad a.ea vid ad p. inter e et a ibati sunt ee duo in i .emo a duodecimam quareth et in V etd duo list erat
ii si Quadratos tres inuestigare:quo*ptinue sumptopiisserenue sint equales.
simite duotum iussibet numeri .adoarine cuilibet nuerovi b.firma positus ex bciet ex aetb fiato et exega et inbfiat Vetu.et ex aetbmoliante et Let ponarur numerus lim g equalis numero erilia vlgsitenuatis f.quia eme et lini sequaturiet exstino fite:Midcxa in v fit limi g. sed gaequatur faui fit exhind:ergo residusti et in perdecimam primi equeeste id fit excind.quare unona eiusde3