Arithmetica, cum demonstrationibus Jacobi Fabri Stapulensis. usica libris demonstrata quattuor, Epitome libros arithmeticos diui Seuerini Boetii, Rithmimachie ludus q t pugna nueros appellat

31쪽

Issi Differ ia nritam pia atoriam e tisiue cadon

m N immamersiamticipvicesimam iram se sibi meadem nta portio differetierado ad driam v q.ssint aggregari quada-egatum ru.li sicut imgadmςquod idem est.Sobocvltimum numeris et eode ingenio inuentis.visita senariusinixi mi bine et Alpe minora et e maloia si est b re quinat inreuius dria ad alit d.qua censi est eemitatent' edisteretiadadb miraris ad quinaristiqua ostiat essequat artumntips disserenabad uequia dupla differetiebada:ideo erit binarius.est ita me adfduplus.sed db per 'cepti deni sunt reper sinam primi b c simul sunt duplus ad a.igis et b c simul sunt duplus ad d h.quare que Mortio eulisterene ad inferciuiam ea in aggregati b eo aggregatum d h.ergo per vicesinisquiram sim cit quod fit ex e in d b Φrum q6 ex fui b ciergo per septimam huius tres quadrati numerorsio b etesimi qua propositi sunt inueniri possibiles.quod est propositum.

CHumerum quadratia inuenire: 4 cii quadrato dato numerum quadratu 'minat. 13

CSudimo danisnuerus quadramsa:qui divisibilis sit in duo equalia.cutus medietas litb.latus usit eius sit evit*d binarius. quia ergo fit exu in b:equae ei quod fit ex e in sererit a vicesimas taseesidie amorino aliter medius inter binarium et b et quia d binarius est numerus primus: et u prima quarti editat tacete est b:mad coicinit in buri mastremi dinuerabit b.cia iussidebmiedietas utrimnsieri cirrepositi sint finaior et g minor:quouqdriuatatbeth. dicost quadratu deeranu numera Quadrarum ur numero quadrato a additum. Rem differetia fet g e binarius et 'positus ex ipsis per damprimi est h.et quia ex binario inb per hypothesm sua ergo per septimam butus ina texd eretia laterstinc positu ex ipsis a est Miadorato* d et u Drat' ergo uadultus quadrato dato api uinunierum quadratum d 6 est a positum.Sed esto se indo ut sit quadratus a assignatumsed

in duo equalia partirino possit .cii ergo binarius eum no numerenet sit binarius numerus primus: ergo per primam tertii binarius ad tinnierit primus.quarest decimaquintam terth binari' Gerabit inferiorem numerum quadrato a. unitate dempta qui stib.cuius medietassit ciet maior eo nitate sit volva quadratus iteret quadrat'c sit fidico ergo quadratum e fidares si quadrato ac tum est f quadratus Nam quia ebis re unitate 'stituit a tergo per decimaoctauam primi quod fit ex e inseca eo q6 fit exstin driamo maioris partis adici musi est ei qs fit ex maiore parte in se. cedit igitur quadratus o quadratum taueri e in quadrato dato a.nam differetia d et e erat unitas q6 est spositff.

Si quadratus in quadratum ducatur:yduces quadratus.Si ρo in non quadratu i Φnon quadranis Pueniet. Unde pueli quadratus quadransiri numeretapin secundum

quadrarum numeram.

Sint moaetb duo quadrati:ducaturiva inbet ueniat civicoeee quadrassi.Nam P correlarisi quarte huius inest et best unus a portioalie medius.sit ergo ille d.quia ergo ad et biut 'tinue a pori alas:er stri imas tam secundi quod fit examb:e usi est ei qui fit din sciat quod ex a inhxducitur elicitit igitur emiadratus.q6 interituri indo:sita quadratus ethnon quadratus:duca ruri3 aut bes amentate ino e non esse quadratum.Nam sic esset quadratus p sedam oram vice es te seciandi lanis quadrati e in medius proportioalis inter a et b.quare in aprimus sit quadratus adeam huius et beri ratus. est stra bypothesim. Lorrclaria dis duabus pub' satis pstat.

Quadratus non quadratum: tam non quadratum numerat.

Namsi ponar possibile quadraiustam quadrata:*m numerare:ergo per primam diem indei

Si cubus incisinam ducatur:qui producetur erit cubus.

Sint ad duo cubi:τ ducatura inbet Meniat lcoeesse cubum. moenuatus cubi aduobsitoin quadrarum lateris udine. manifestum est dete ee proportio ales inter unitatem et a.eter dues instasina toties bin casia multiplicet esc6mb.perdecimaquartam quarti quot medit ortovies erat intermitatem et artori demersit interbete . sunt ergo duo medii interproportioales utebet ea fuit fg.in ergo b fg esuit quattuor numeri a porti tales:etb primus per hypotbesim sit cubus: erao rundecimam huius et equartus erit cubus.quod est propositum.

Si in non cubum cubus ducatur:producetur no cubus. Ex quo liquet * si cubus ocubum numerempm foem cubum numerare.

si catura cubus in numeramb iis cubum et amentat c:dico e non esse cubum. Issam si emductus ponatur recubus:manifestum estut in precedenti perdecimamquartam quarti quot medii a portioa Ieserat intermitatem eta:totidem esse interbete.unt ergo similiter duo scius et g.quia ergo es fbstina 'tin proportionales: et c est pontus cubus.ergo per undecimam huius: betiam erit cubus. ath per pothesimpositus non cubus:accidetitam traiiiii Dothms.quiagitur indeidueeturino erit cubus. Nod est propositum. correlarium satis ex bae et precedenti cognitum est.

Si non tabum cubus ni ci et foem non cubum eunt numerabiti is

32쪽

ponar numerari se, euin:p penultima qui νdueetur erit cubus, at positus in n5 cubus nouam ipsum numerabit fm cubui marest um cubus numeret:m no cubsinster inq6 interitur.

ι' ESi qua rati comunicantilatera quom comunicabunt.simo quadrati sint incommensurabiles: a latera ipsorum in comensurabilia erunt.

CSint ab duo quadrati et clat areotarus b: daeo primo ii quadrati abeFieant eteora latera eo eoicare.na si c P no coicinnergo per duodecima terra nec quadrari ab costabunt. ex opposito igitur 'ntis si quadrati incabunt et eo*lateraedicant.di sedo si quadrati ab noncolaminem eo latera coicareara sic disterac Sicant citaui snsierus eos coiternumerasit sit metremo enumerate ergo pustes materii primi etia numerat mel qretia elisierat d:d eande vicesimatertiansierabit ex b. si ergo latera sunt comanicillia et quadrati coloni: quare es oppostosmissiciu rati ne unicat neca latera comunitabun quod est secundist et totum propositum.

gitauius prima pars ut precedentis punia et sectu da vi precedentis secunda patescunt.

ii CSi quadrati ab aliquem fumi proporta tan* quadrati ad quadratam illum alis

quem: quadratuin esse necesse est.

ESita quadrarus qui ad alique numerari beam dabrat*portioneque quadratica diquabrario dico bella numersi quadratu naetrecto sunt quadrati pereor retarist quarte bulus inmus medius Iportilonalis interceto quisite .et qr que xportio e dea est a b:ergo per duodecima quarti erit unus medius proportiona. is inter aetb qui sit f.qzergoasbsunt Mortionales et a prim positus. quadratustergo perdecimat uius et btertius est quadratus: quod eu propositum.

gQuicuill se i 3 ad cubii sicut cubus ad cubii: ide ne necessitate erit cubuo.

4 Si ad a numersi cubum se habeat aliquis numerus ribsicut d cubus ad ecubsiti ico belli cubumna per correlarist quarte huius intere et o erunt duo mede sportionalemetis que Amtatio e ad d ea sit a ad h.erso per duodecima quarti cadent conmiliter duo medii Mortionales inter a et b: et a prismus ponitur cubus erit igituro b per.vndecima huius cubus quod erat dem5strandum.

CSi quadratus in quadratum vel cubus in cubum ducaturrilatus producti erit nusmerus qui oe latere minus in latus alterius producitur.

ESint primo duo quadrati a b:et latus ante: et latos hsitv.duearina ina inmensared per vectimaquarta bulus erit quadratustet eae in ditet mentat Lot ofesse imagonustu --i in sepequites eid fit ex finis ei sis flatusquamati eciserata vano inosint gelv irilaterae et i ets 'inhoucatltdpri decima pexadulus erit cubus. cofesse latus cum amreuiaMutit et e in seiducite erito nona quinti Hortio sed e coponta Hortuniis e tela ad Let M uersi exeindlit 'et redinis fit verit perea fi nona Monio adhe ostrae a portiorvi e vredi ad bis caddest sicuta adsesedet permutatio adb sicut e Det eade esset, aloe addet eo est igitur ortio fadbequalis Nortionibus a ad fete ad 'quare Miloni goriordinatis e quattuor nueris Cesd:q: que Mortio gade ea est fad h.ergo pricesimaquinta secundi idtinns erus dolicitur ex gin hete e fine fusiquid quadraist quare inicubi utatus 'quest tota propositL

i Si dispositis ab unitate numeris quadratis: portionaliter moest inter prolamos quosin sumantum stent omnes parte altera lon torcs.ci mussibet illorum ad illos idifferentiam lateri suo equalem esse constabit.

Sint e fg b quotlibetnsieri quadrati ab unitate fiter vi positi reo ero latera vianimes b eo nomeri pliter abisitate sumpti dico medios*portionales ius proximos quos. quadratos sumptos e Caltera pie logiores.dueo mi ita te in b et mensat li d est medius ornonalis inter e et fiet m eius latera unitas et blant sequalia solamitate distatimst diffinitione uestinera prelongior si reduco bine et luentati derit medius ortidalis in proximos quadratos fgat per ineri prius altera pte longior. et ita dereliqs ortionalid' mediis proximo*quadrator st quotquot nter allignati fuerit quadrat Dico praeterea differentiali ab quadratos equale essehlateri faet differentiata quadiato gesse equalec lateri gaetita cosequenter.qrmib superat unitate solamitaterintelligo ergo b diuisum in duas vilitates.et qab in se facit Rergoper decimatertiam primi b ductus in prime et secundam unitatem procreatequussed subiti acto qs ex bimmunitate remanetu.est igitur iubstracineius et fit ob in mamitate differetia ir ad fised et idem substracta est equaleb:* unitas in qu munum rum ducta idem faciaticonstat ergo id rilauerumdela. de lautem consimiliter ostenditurime ex mula sola unitate.diuido ergo elatus scilicet quadrati gin b emittaten .et quia e in se facit g et inem inherenitatem facit equas eg: per eandemdecimtiertiam primuet subsit acto eo qui fit excin vivistem remanet I. differentia igitur let gest quod fit clamitat et sedet illud est equale e per idem qd prius.constat igitur propositum de vitra a parte longiore Letita de quibustibet aliis argumentabere Similiter etiam ostendes differentiam uad e essevnitatem:et differentiam Iad fesse is et in adg e c. Istam cum b sola unitate superet unitatemfintellecto ergo b in duas mutares diuiso per deciniamsquartam primi quod fit ex bin alteram unitatum equale est ei qui sit ex illa in se: illa in alteram.sed

33쪽

iis Nisillamitatela se est Damasset et illa in in mirus et equalem

ratiamstat ergo detiam uadeessemitate.Similiter diuido e in diras paries inmitate et b:et qr per eande ein aquartam primi e d fit ex e in b-umusi inci qui fit ex b in se et estet distus stet exisinunitatem qui est latus b.constat ergo differentia ad fellabael ira perdere quartam primi desingulis ostende.constat ergo totum propin m.

Si sumannir ab unitate numm altera pane longiores proximis quibusa -iun iscus: dimidiis coniunctorum sumptis promitent omnes quadrati

Et parte altera logisvirus figuratis que modsi in iustiori fatisi in dico laeti alter UoorsisImrsumptos medimire esse quadratu imitillelm simul sumptos medietate esse quamatre et ita binos et Dinori strenuesvinpt quotquot essentimedietatere e tetragonici. Mam da per secimes partem Medentis monstratu est driam liminoris fessehriti laus fetia esse bructi sunt cir inposuisti equivi lutes Lergo a laesitaprimis est numeros uet Isimul iuptori medietas ais cognoscire equamistremo de Ir et i constita ostrum esse uer conmiliter dei et m combire Oreop di ferentia ad g per Medinte est e larus pq reper secunda primi concluditur quadratus gesse numeroν let mn iunctorum medietatem.

CNullus altera parte longior est quadratus vctoebus.

nauda altera pte longior uta esset quadratu:per diffinitione eius latera essent equalia. et ea Geta Iter apte longior elus laterasori unitate distare talemonia dctar etsi nib maior et e minor:4ae uae et quadra sit eius imagonicii latus mei mos fit ex bineest equale eid fit ex dinis: ergon vicesimas ta secundi b d c sunt con oportionales q6 est inossibileatam ciun b et e sola unitate distri inter v et c nullus eradit tuleras med .sed d dicat aduersiirso re equale b aut taesi ergo b eo estinue a portiona oportet bet cesse equalia os est citra hypothesimmi dicat dessetnaiozebet Gula ergo b ad d est a portio inous nsieri ad maiore:et d ad c avortio maiori ad minore.et ille ponsi redeboea sit ossibuerat dicaruulad utro et bete esse minore: ettstea ortiod adde maior ad minore et vademtoris ad maiorOet ponunt eme vocit mollibile estigua altera prelogiotiquadratus Uest primam deinde a alter apte longiore Messe cubitinantis possibile e sua altera ut elogiortubus eteius lation talus quid ebet minus cet quadruaebsit det quadratin esse erat flatus ain eo να-Mm quadratu situ.eri tento correlarii, quarte dui inusit inius. oui alta int detuest et pidevmaint e ruent heteto septima secividi et opportio bad finest da Ret g adlinet situ Mortio eadfra erit eadbet da u.et grex Dinffita et idem phypotbvim ex bincremopscsay

ruricesime laeseindierit Da bsti te ad feteti 1pmutatur ad elicui badf.ersit igit inter vetectaturae Mortionales gelu etsist intere et B.stidem duo vellatiet*bete uel erunt 'inctura biles vel retra sepini.si 'mmobiles csib numeret D eius quadrarstremo o vlaesin 1tertiam primi doenae numerus nster libetia numerabit d.quare dete erunt comensurabiles.at tfi qtbetcsunt corrasepmlbeleesse comensurabilesy duodecimst tertii estipossibile.ss a sit bete sint incomensurabiles pscdambulo bete sunt rubi.Sit sicero essent eomensurabiles vident q6 prius dete essent mensurabiles sis nouodecima tertii estipossibile.Siasileetdsint incomesurabiles ergoysesamihin'uteripe cub'quare ineb et cersit duo media studue a1 ruoalia si correlari si quarte buli at no mo duo u etunsi quide inscidere inedianisspma partemostrataemestipossibile costat igitur versi esse ἄν situm.

Dato altera parte longiore: alium ab eo altera parte longiorem inuenire inius ad in illum sis proportio que quadrati ad quadratum.

Sita harusnsiems altera pte longior et eius maius latus sit bunin' polite:sit d duplus ad bete pius adcre quadrat'd sit stet mus rub eo quadraonis quo Gerus unitate mior sit bet pleatem idis, inter feta sit tameni perseeunda parte vicesimequarte l)ulus oria fet trest d:et dria trad gestmεems eo minor unitate ideo dala uad bd equalis d.et in duad et e sit binarius: qifiduplubile, ad tina per correlarin septime sc6i duplato*:minlesunt drie.et est ex o in se fiat fet ex o in bina risi qui est diis eius ab e fiat duas ad drqr sit drias ad uel uadi, si est dupla ad diret posterum emerith reliquus usterus d fit ex d in e. duco ις gin ζ 4 numeri solamitate distare sunt posui:fiat. linempte longiorque dico esserque querim'in areni binbet fiat mret cinget fiat n.eriti ppoctaua se in Nomol adm q gad b.et per eande etia ramortio nada que g ad di quare ea est 6onio lao m quenada a b in v film: et excins fir deo P nona quinti erit 33portio m ad n posita exi, rnon ab ab e eth ad g et Od in seminet din e facit b erit a portio fad d qd ad equare et qb ciet da a portio f adg coposita est . ousonibus f ad hequali b ade et v ad Mergoseonio mad n equar. orti ovib ad soda pereormariti quaret ebui' inter fit sestvnus sporno navis nimi' erit unus limiliti monaul medius interm etn 4 sttoo sit ergo o ad nncut m ad O et n ad a sicut ad m. ergo per equi mortionalita uindirecta erit Iad oscut o ad a. rapio ergo insportione lao ones numeros ineotinua Plintionalitatemunos 4 lintrep:mani semen retpesse quadratostra siesi sportio r ad qrael ad oret 4 et ad p ea est o ad aetergo P equa Pportloalitateque a portio r ad pqua ii ad quadratum AElada alteraparte longioris ad altera parte longioreq6 est; intil.

Odi ilumen ab istinae M portionales disponatur imium ab unitate quadratu:atm is uno intermisso tertium s preesse quadratu quartu vero ab unitate cubum et mob'irundistis quartu semper se cubumsseptimu autem quadratu in cum M. quinin septimu semper esse quadratum cubicum est necesse

34쪽

QMdratus cubicus est quadrii ad pariter est et cubus. Nostraenimitate et be des si bulmn

o p:vel quotquot voles numeris coliminis unitate1 ortionalibus hec statim ex cinis et undecunabulus cogi iolci renivnuas inutiis et quadrat' est et cubus. t operdecim mus cerit quadrat' e et Pundeclina crucubus-t per eande deciniae uerum er re quadratus et uera perdecima: me est quadratus gerit quadrar .Sed et qrdest cubus o undecini aget aerit cubus 4 verutri do stat i, sentimus ab unitateuiuare septimus ab mirare quadratus e cubi Ωιs.et ira cotinue procede simu on des demotas, di modum istin

CSi numeroru ab unitate connuexportionabit secuduo ab unitate fuerit quadra

omnes erunt quadrau. et si idem fuerit cubus: erunt et omnes cubl.

Drima pars patet.nt per pinissa etia terti' erit quadratus et da secsidus est quadratus p decimaduius tertius ab imo ii est quartus mani est quadratus.et per missam da tertius est quadratus o intermisso quitus erit quatitatus. et ita deil NM quare numero* ab uni meeStimie a portionalium si i Adus est quadratus oes erunt quadrare. Seda pars mostratur. G siseestous fuerit busaeum quone nitas in secstdo totres seinous in tertio.fraus in se d est cubus peti ducet remst:quare si deciinamsexta huius tertius erit cubusaei per fimissam quartus etia erit cubus. et perindecima huius aquolibet tilorsi assumptus quartus erit cubus.atiuis cotinue sumptis frumentumconstat ira si secadus Umici bus omne cubos esse.

CSi pro ainom altera parte longio* vnus in altu ducas:rueniet altera pte longior

LSint a et b duo hunc in moda alma parte logiores et medius inter eos quadratus sit crut' latus sit deto pervi im2quartadulus erit differet in inter aete et intere et b. ssima minoris altera parte longioris latus alter ste.erit pomaius evnitate.et ero in se facit cet in e facita erit Mortio cadatanis dadriSitue ut ex o instat berat funitate maior .adoas ita ιν eada et sit copolitus gNrex din e M a ex f in e fiet Mut facile P decima primi ostreatur in numerus f numer sid solamitate supereter da fine faciis et dine facita: erit per octaua secundi ea a portio gad aqvisadd. edet pseptima eiuste et labade sicut fadd:quare et ba enculgada.quare pmutarib adsis Ioarcada:ergo priceFslmaquinta secundiq6 fit ex bina datis altera parte logioribus equale est eid fit ex gincat 4 fit ex ginc est altera pte longior u diffinitione: cfigetcsola unitate differat.*ssit copostmox acie et odia a ab ipso quadrato e sit d:a qua dum tuta v numerus e additus a in copositione sola distat Ultare. costat igitur mamost qui νducetur ex b in a esse altera parte longiore.et propositum

CSi punii qui pte altera logiores cu duplo quadrati inter eoo costitust 'postant

mentet quadrat' cui' radix erit ne minoremioris et maiore maioris laterib'pstituta

CSintent aetb duo quicst in proximi altera die longiores eteoram ius quadratiis cisin delintera iuera prelogioris aret e flatera altius aurea ore longiorisb.dico o si ab coponatur c si di is e tot si aggregatu H g esse quadratararius radix est coposita ex det Lia p. cestinaquarta ius e estorias aderabad et ergopsecunda primi copositum exa et best dimisi ad Lat duplae in ab duplo eiushe erunt eius quadruplsi quodddem postis est g. attuor igit in e Wussit g at quattvornite est quadratus cum producaε ex duobus in seductis trire pomus est quadrat Argoodecimaquartam plantis et g in quadrarus.ercas quadrarus quamus' madc quadratae: ergo per terna huiusmportio latis gadlatus e erit dupla.atcile sit radix ceto et scirinpositi radi illime.eisopsin a primo et faenui sunt duplu elateris aquare radix quadrati gest posita ex det freto est M usi.

duo quilibet pro cimi quadrare in duplo medii inter eos altera pte longioris coiungaturi copossius cnt quadratus latuscp ipsius cx latcnb' ipson compositu.

si Sint ab duo quilibet proxinu quadrati et e medius inter eos altera parte logior et demulater dico quadratos a b in duplo c efficere quadratuut scuo latins erit copostrum exd e nam si vicestinaquaria huius ex disie fiete altera parte logior inter ara b: quare per nona primi minia eician. qs fit ex dinopolitin ex detquod dem copolirum sit g et perem eccub iand quod fitere in pontum de id est ing.etuemdgnona ex dete in glan*quod fit ex gins eritior quadratum erigi fiaetum a te et e brergo Otum a eth et e bis. uitente bis in semesesi a et semel cum b sumplfi seo illudi quod fiebat ex aet bete bis positin est esse Lest igitur squamatus cuius latus est g. et eas est postrem positum est ex d et elateribus quadratorsi a et b: constat totum propo tum.

CSi ad duos usin nueros unitate distates: oes numat ab unitate coaceruetur: i ex coaceruatione proucniet crit nucrus quadratus latusq3 ipsius coaceruato* marim'.

si Sint usteri unitate dispositis duos ordimus vade et douos densieros itare distate spmus hoc md unitas axe demetissus e momitas ab eo:et quadra enumerus f. dico quadratu fessetano oes numeri illore duo* ordinsteoacervati Signo mi oes quadratos iseriores fd lint dispositio ordine fgh litvnitas.eruing quadrat dreth quadraNisitas et estpmeunitatis quadrat'.yntelligo in m no pq medios altera ptelogiores et da pervicesima arta tus a favn est muriam adgest d. ergo poctavaeonceptionedria extremo*fgeed.re linar meis dilag ad ζ es unomiad Guest eb: et drisu ab l AEB aret drial ad unitate est aeonitas.addita ergo itate ad aremitates l.et additis di a dua si 3 'ad la ad a et dupla late i. adl:fier Ir.addita insupebur latron ad baeta et dupl1unitate i.ad Ir fiet b:etnnisspaddita de driati adgadeb:ba:a et duas rates: hoe est adv:fiet g.et diraeo dilag ad f ad d Ccb.b ara et duasvnitates fiet M er nonam igitur conceptione constat mtium demonstrarum.

35쪽

g silvicunm ex numeris ab unitate bis sumptis coaceruatur:est parte altera longior minusci laterum ipsiusaeoaceniatorema us . .

Cinnibulusui insteri bino omine sumpn mutas a b c d d simul aggreg r fiatin mi Medico reatura die udingi me inusin minus intus reum per predentEst Mictis nuctis addo e fiet quadrarus fi liis Dria a medio altera pie logiore est e. remoto igil numero e a quadrato f remanet altera me longicu meol' ita fet pro fi minore quadra Sed 4 remanet moto e est aggregat' duo assignato*altera diei or fit ex dineiumst quadrat rite 'per uesiviquartapstris dine minus emergo alter apte usiotis m in latus e dat o oiniis assignatos manis enuerus.'llat si tota νpo firma

Sit a Gerus quadrat cubicus cui quat is quadran Iarus lith:quamus vero cubi latus sit erdicob esse cubu3etc equadrata. ,r sim. eo mi bina et fiat dypalas deuembuet actibusim numerat m btergo p correlaria decimes timehulus b in cubus q6 est primst.Gevi o Rectitur te quadrat fici qr q6 sub celemmiis ebtinetur inest ei qs fit ex binis. er uvicesim se ream secundi e bestini continue proportionales sede primus estposuus quadratus. igitur et e per Decima huius es quadratusviem totum constat propositum.

Et fuerint duo immeri quadrati cubici: medius inta illos in continua proportiounalitatc ent cubus: duorum vero mediors uter in quadratus.

vini ariti duo ιν drancisin: qtatbsunt quadratist correlarist quarte duius e inter eos usmedius a poritonalis 4 sit c. ri m a et bsunt tubio idem correctarisi inter eosde runt duo medη νporarionalesqsint olealco ergo celle cubstet dete quadratos.casit esse cube declara . nam Duco ain b et nveniat Emath sunt cubufetia perdecimaseriam huius erit cubus et in acet bunt ptoporationalestergo a vicesimvenam serebis euhus fiet exc in se. quare fel quadratus ipsius c. elis tur squamat' euhic rq reclarus fui quadrati per medente si oebus es est pumiused d et e elis quamatos binc liqueti qr b e d sunt eotimie pre portionales et b primus est quadratus. igitur et tertius oper decima butus. Item a d et e sunt numeri amonionales et a primus est quadratus igit per eandedecima et eremus quamai .Est igitur tota opositio nota.

si Duos qdratos cubicos iuenirerint quos num quotlibet moesi xpornoalf sumas ,'

CSi duos qdratos cubicos iubeorsum ire inter quas quotlibet ineiaceat medo iportionales sumonstreosyportiolia es ples duobusripsis mediis:quos iubeor tuentroverbi ea si iubeor iuenire duos quadratos cubicos ine quos sint quattuor med4 a portionales sumo sex nueros cotinusipportioales ut ab c d cnquorsi per ordinesumatur bis dirimn:4 per sexia huius sunt etia*portionales quiequi decubi in se per ordine ducatur et proueniato petr stadico iramo et tesse Puootales quadratos cubicos.na cumgheterieri in seducaturo pq Poeter sunt quadrati: et qrgh et ceteri eoru se3 latera sunt6ornoales Ner quinta huius op et et ceteri eoru quadrati sunt oportionales.at cum g et nunt cubi ergo per decimasem huius o et terunt cubi . sunt igituro et i quadrati cubiti inter quos quattuor numeri p qrs sunt medii proportionales: est propos .

CDuos doratos cubicos xyire:ine qs nimios findatos nueros sume sit possibile

Sint datinsieri aetb:a positum sit duos quadratos cubicos luenire:inter quos lint numeria por 38 nonales fim a teria G b:sitae a binarius et b temari da mi inportiones semo suntvnop res ipsis mediis et aest binari Iovi medii inueniatur Fina oportet tres este ortiones. et dabes temtari ut inuenilrur medii scombop3 quattuor esse amortiones.Duco ergo tria in quattuor et eroueniate et stam eordino cotinue a1 moesinnsseriar defghuimn op qu qetru edente ponantur e quadrati cubicitet iugo atrii ex illis xportioid ut hic Rem quaenos et qternos omes:et debo d tres medios . orti Mus scynus aequa orti datitate.etsi si 'iungo tres exulis rabie equinu r qnos ordines et de m et g duos mediosi ornoales in qetr quadrat seubicos:q6estiposivi

CH qiubet duos lapsiciales sista .remu in psinua ornoalitate mediist ee ncce est

Sint aetbnueri suas a Iessi :et latera a sint ceto:etlateratisinte et fidico inlaetbeeuntinu mersi in Qtinua amotiionalitate nuda aetbsunt sipes a diffinitione eius latera sunt a portionalia. ideo si opinio taudaea es ea v f. Mepmutari si a portio e ad e:ea est d ad s. duco ergo e in o et fiat - Meldae in v facitaret bin eunded facit gremo doctaualasimomoa ad te ad diet da iterae inofacit fete infracti Mergo mortio gadbvid ad s.sed .pbata est .pportio eade ut d ad fiergo propor- tio a ad gutgadb.ini rinter aeth Geruagmedius Amortionalis: erat demosti andum

a re est e5ueris edetis. Sintentaribdcun*Puonum inter quos sit c me di 'νporrisialismuo aet bladficiales e et ni es.capto eniden imos in iportionea ad c d qinimi perdeciman literisi numerabffla et cequaliasit virescrem etsist nee rabulcet bequalitiat vios aenigmanifes uitamenetia sub duobus lateribus de thetbsuh duobus e scotineas:aetbu diffinitione esses ficiales. Sed* sint similes p3.na qrperbmotbesim det enumerate et biscundum dinumerat estem petem numerate secunda futet sit si est. igitur perviccsimaquinta secundius eleg sunt proportionalesr0dsint latera integiunt latera b.sunt igilareb perdiffinitiones fidales si indest posit.

36쪽

s Sinta et b duo murat ales sinulas:daeo νportione a ad b esse q quadrati ad quadratii. na stante pinissam erit inter eos unus medius amomonalis d Ri c. Sum ergo tres mininisa in eop .ppomoeci sintve so prima butus det feriat quadrati.et cum Q a portIodade ea ita cietqe adfrasite ad bergo u a portionalitatest a portio di ad squadrati ad quadrat si ea est a ad b:s es propositu.

Φα CEi duorum numerorum proportio fuerit que quadris ad quadratum illos supcrustoalco similes csse iactasse cit.

1 CSi duo* superficialiu limitiis alter ut altam ducat:quadranis numerus petraduces.

CSint a et u suuficiales similesmucaturae a trib et mentat cidico cessequadratst.Nam si tricesima nona huius inter a et di est unus ni edius Nortio us d b-cotinue inponidales per vicesimas tarn secuntu idena est qui fit ex a m b et ex o in sciat d in se fit in quadruvi igituretcquod fit ex ainb:quod est propositum.

q. USI G ducru duorum nurn crorum Vnius in alterum producanir quadratus:ulos duos stiperficiales similes esse convcnici.

CDee conuertit precedente.visi ex alii b producatur c quadratusidico aetbese inplui Mesamius Ham pervicesimas tarii secundi latus tetragonicum e erit medius proportionalis inrer a et b.ergo per quadragesima a et b sunt superficiates attules: quod intenditur.

ue si Si duo numeri superficiales t fucrint similes: erunt et inter se similes.

Sint ab duo nil meri supfictales similese:daeoaetbesse inter se sinities. ii atrida ae similis cinea ete est unus medius proporti5alis qui sit d.et da bellam similis e inter beto similiterenus inemus proportionalis qui sit c.tairur per decima sextam quarti et inter a et b erit unus medius*portiotialis quare per quadragesima Puius a et v erunt supernciales similes t et propositum.

s CSi aliquis numerus in superficiat cinducatura prouenicns erit solidus.

Tviam superficiatis fit ex ductu numeri innumeris factamin nultiplicatione. qiu igitur ex ductualicuius in ipsum producetur mbus lateribus estinebatur cotinua tam multiplicatione. quare per distinitione erit solidus: quod into des aliari

j omnis solidus ab aliquo supeniciali numeratur.

Culani ois solidus per diffinitione habet tria latera quo* tertium ducis in prosueri ex reliquisa talis Oductus est supercialis.numera figitur Ois solibus aliquos si uri in Maerae.

CSint tria latera abc:et prinio exa inbfiatdtetexe indist mimas e. o ob ineffat et a inffiat solidus g. tertio ex a inc fiat di et ex b in v fiat solibus u. vleo tres solidos egla ex tribus laterib triplici mo creatos eosdeesse arm equales. Haqrali tib facit dicte inti facit Lemo uoctaua secundidad futa adc.ersollvicesimaqirint. secvdii dein d fit ex a fete inusina infracus et cino facite sunt i mr eg solidi eqtiales.yicq rex binc fit feterea incet bet ergo prande octauaque, orti ob ad Raea est fadn.ergost vicesimaquinta secundi iterii idem fiet ex a in feth inhaererest inffit solidus; et ex b in v fit solidus u.sunt igis solidi e et u adiuite equales sed et solio' eposit' inequalis solido g stutam sciam laete sunt solidie dies.sunt igis ut a ponebae tres solidi egiradiuice eometet. ostiu

innis numeruo a tribus num no numcratus solidus esse probatur.

si tabe tres nuerinta intrat d dico destinuitio soliosi. navela est pnausues 'ponsat posit ergo p quadragesimasexta buxus drunt i si erus in idim ducara ducet solidil:stem eostabit propositu. . Si asit sit prim' qt b nuerat o fm a linire numerst: ergo a quarta terre a numerat b: l altera νm quenuerat.quare b aut is fini quensierat est supiatalis erit ita in il prius d solio'.

s Sint a re b duo solidi: ssiatm c d e latera a:et fg b later ab .dico proportione a ad bella coposita ortionibus cono adgrae ad , duco enicino et mentatuet tinget proueniati. si nona igitur quinti proportio ir ad i coposita est ex proportionibus ead fet d ad g. et qr per quadragesimaoctaua 3buius si e ducatur in v et V in i proueniet a et b ergo per nona quinti proportio a adb ut v ad let e adhGd proportio tr adi monstrata est copolita ex cad feto ad g. ergo*roportio a a b composita est ex ς proportionibus cadm ad g:cte add:quod est propositum,

si si Si duo solidi siles alino duos equalit numere tallos quom solidos sises ee ncce e.

CSint ad duo solidi si inllesti meret de equalitervi secundsic.dico de paritere e solidos similes alligno ettim g blatera Met ut m latera b.dueom fingetameniatn et irinis Puentato. et qrdinii a d quadragesima octava durius facitaret mino facit b elli tam nina Fmh:eta in D me.ergo pricesie P matertia primi n est in o secundu productu ex e in h 4nt p.re similiteret: o est inb νm m et is in e fini ei n pereandie vicesimatertia oesi inempti,ducis exeium 4ssici et me in v facit pete uim facit Q. ergo Dduea,portio domu septima secundi ea est padq:quare et et fadurigo I. sed pinn facito et qino facit eri monstratu est.Sed issi est fingsi tum naetu in immo.ergop fg in se faciet di et qui inse

37쪽

facientelint ergo dete solidi et latera dfimipfg et laterae sum qui sedula probata sunt .pportio radiatrem dete sum etia milesviuod intorum propositu moram alii.

Inter quoslibet duos solidos stin es : duo numen in colinua proportionalitate

mcdh intercidunt.

Bainst penurima amint M ac, o iusissim sol orsi ad reliquii tana, Iateris ipsius adlatiis alitas tripli rata. Suniam ergo quamior niteros in a portione lateris ad latus. et qromi ad miartu erit amouio lateris ad lanis triplicata: illa erit eade Hortioni solidi ad solidu. ergo per Minina quiniquot media sunt inter punissetvltimum tot erunt inter solidum et solidum. at medias imio:ergo inter solidum et solio, itide erant duo: quod est propositu

Si fumiit quamior nuincri comite proportibalas: duo extrant cristit solidi siles. sis

Decest c5uersa precet elis.Sint ab ed inratruor numeri cotinue*portionales:dico a et O esse solidos simstes. mo mi es s b quattuor illius. omonis naunos si in assignans fide fuerint cum os am hui' exbmittubluina et deret cubi.quare solidi similes M. nisi stabit νpos Itu. Morro ui idem sint in e et d per quinta quarti sint contra se primi quare pervicesimili rete in sua Mpouioemimi et si decimano adiume equaliter numerabsit a et d. sed e et b cumo secunda bufu ni cubi ipi sunt solidi similem ergo itera per quiquagesim rimabuius aeto sunt solidi sim: Uest proposItu.

r uared solidi si mico Nortionea addesse propo moneta cubi adcubsi.qr se quinquage malam 1 huius inter a et diunt duo medeamortionalesaintergo illi hc: capio vi prius e fg binnia oportione mimos quop p sedam bul' costate et di esse cubos 4 si iide sint est dictis 'stat a polita si id inde empe quam uoalitateq sportis e dcubi ad c si ea die ea add:q6 iterueipontii

si unius ad altemm fuerit proportio tan* cubi ad cubum: quoslibet duos nuσ ssilinos solidos silurules esse necesse est.

e γα est uersa predetisqldeo inaesse covincis:*deon et si quarte hui' iniquossi imbos duo inscipiatur med4 a ortionales. is p duodecima quarti et tile illos solidos itide duo ui iacebsit mede amomoales. ergo p 3 hui' duo eriremi d erret solidi assignati erui solibi sitas: est a posuit

Cei fuerint duo solidi uni solido similes: ipst quom inter se crimi similes. ,,

CSint ab duo solidi similes solido cinico a et besse solidos inter se similes. Raqr a e sunt solidi in se similasrergo per quiqua gessimsecunda butus intera et e sunt duo meossa pomonales e sintde.etnmiliter per eande inter bete d sint fg. igitur P decimaseptima quarti duo similiterunt inter a et b. quarea et , per quinquagematertiam huius inter se sunt solidi similes: qo erat demostrandu.

Si fuerint quarnior numeri proportionales et duorum extremorum quilibet in s quadratum alterius ducatur: prouenient cubi abortim.

Sint ab eo quattuor numeri estinue yportionales vitive quadratina et squadratuo ducatur voine etai ueniat gela in f et Pueniat binico igitur geld esse cubos b et duco mi b in se et fiat letter e et Iriunt quadrati quop latera sunt ab erit per tertia dul'pportio e litan. a portio a ad bduplicata: quare inin , ad d: ergo pervicesimaquintam ineundi idem est qui fit ex bin ii et e in v.sed utiliit ex binuincimus b.qus avia exe indest grigitur gest cubus h. similiteraducatiir cin se et fiat terit per eandete huius orio Lad flain a ad b duplicata. are tan* a ad e:quare pervicesim.1quinta secundi ut prius idem erit qui fit extini et a in siqui aute fit ex e in t est cubus c: et qui fit ex a infest bs turh est cubus c: quod est pispositum.

lateribus siue latem xportionimus: lido* lamma binidinein investigare. ues

lore insolidis otinuis et discretis eandem veritati acci tirudine .si primo detur latera duequ5em villa in se inuice masc3 -'et tria alterius et inrement statimst quadragesimaoctaud biviis iurassi sumosi aure laterctoportiones detur copone per imit quinti lateruat portiones: siue eas per se quinti continua et mortio ex latera a portionibus eoposita per quinquage a huius aut et exeotinuatis coponetur: emipomo solidi ad solidiss siem nota erit lolido* babitudo atin totum quod amolitio pisponit notum Seni clemento* arithmetiem Iordani finis.

Br numerus in qui in duo equalia diuidi potest. Impar est in quo aliquap prinia pars est abra pantadditin supra parem unitate. banum numeroru

alius pariter pariatius panter 1pariet allus impariter par. 'Dariter par inque nullus impar numerat.'Dariter ipar est que quicunm pares numerat: cum foemipare numerat. In paris par estque quida par stri pare et quida fim impare numerarthediuo inter duos numerus dicitur: qui inter eos posinis equalie ab utrom distat. oesi dicunar duo numen qui no habetes alique interpositu: valeo habent ad extremos differenas. Derfectus numerus appellatur qui ex omnibus suis partibus coiunctis perficit 1r. B bundans dicitur:ad quem omnes sue parteo cisaratrimatus nab ore reperietur.Diminur' vero cuius partes coiuncte oes minus ipso constitutit.

38쪽

i CSi quotlibet sibi coacensentur pares: qui proueniet erit par.

Nam ex diffutirloe paris quoiqiistat abuture opitu i ,3 medietate. Moes eo*mrelatates usexti primi adinvicecomitata coarer ridimidui colusiuinti coaceriistus igitur cum in duo mira diuidi possit erit par: quod uitendebatur.

, CSi paret impar coniungantu compositus erit impar.

Manili ab impari feratur unitas insolimvmrate perdimnino ne superpare addata relindrae par.qui si addatural inpari ver edente compositus erit Par. i quiden ablata restit flatast totus per diffutitione fiet impar at ille erit4 parieti par costat. ratu est ergo pro me bati

x CSi impar impari addatur: proii et numerus par.

QRamst ab utro 3 eorum demanirmitas relinquetur duo pares qui per fit remissam costituent numera parem: cui quide composito si iungatur due ablate viurares que pare consimunt per eandeant remissam totus rursum euadet par. boc aute intendebat propositio.

Si mi parco numero pares sibi coaceruetur: totus ex eis cossatus erit pari

Cmesi nuctus quo eos sui iuri' sit par: in eo b nari' aliquoties sumes 4 toties p medentEbinario copulati erat pares. igie per prima ibutum ire siniui additi 'stituunt numm pareris inamos tu.ue CSi impares numero impares coaceruciatur: copositus crit impar.

CNam si unus eos omittatur per Precedente compositus erit parremo perseamdam si 'oosito addatur omissus Iparitotus 4 inde nascitur ex orbus compositus erit impar est proposit L

. CSi a pari detrabatur par: reliquctur par.

CHani si returqreriar impare idem cum detracto additus per secunda presentis emtuisset imparet quod est contra hypothesim. verum igitur est propositum.

τ si Et impar a pari tollatur: residuus ent impar.

CNam si residuus poneretur par: idem detracto appositus per secunda buius collituisset imparer quod est contra bypothesim. erit igitur verum propositu.

g CSi ab impari impar collatur: remanebit par.

CNam si remaneret impar: idem ablato additus per tertia bulus collituisset parem: at positus est impar.relinquitui' igitur par:quod est proposituna.

. Cei par impari substrahatur: reliquus mi impar.

C Ram si rinduus esset par:substracto additus 2 prima huius costituistet parer quod est contra possitum. relinquituriginir proposituni verum. ropueri Nare P ine tones eri - ρου Viparin 'cio quoties unitas in mitiplicare at unitas in eo ponte ei se innumero paruergo P quarta huius tu, imparesinuero pares simul additi dismum itinparem:quod est rotum proposmim.

CScimpar in imparem ducatur: qui producetur erit impari

CIRam multiplicatus impar per diffinitione toties erit in producto quoties unitas in multiplicate ini pari.at in illo vilitas est in numero impari. igitur per quinta huius illi impares et mimeroqui impares simul additi costituent pruductis imparem:quod est propositum.

ii CQuemcul in par numeral:cum esse parem necesse

viam par numeraso diffutulone pol in duo equa diuidi in cuius medietates a numer' secundE que numerat ducas Ner nona primI eu de priγPuctumducit.at id numer' ut altera medietatu duri' a1diicti a ducit dinii id.igre a ductus ut 4 por in duo equa priri a diffinitione est pariq6 via posivi.

,, Quicunis imparem numerat: impar est

si ponas in d eum numerat sit par aer precedentenumeratus erit pariquod est contra hπothesii qui igitur in numerabit si quis numeret: erit impariquod est propositum.

. si Si impar imparem numeret:scamini an imparem cum numerabit.

simam scimpar numeraret impare secunda parem:ergo auemati perocia primi par numeraret eunde secunde impare quod se duodecima huius est Uossibile.verum igirur propositta

t, si Si impar parem nummin secundu parem eum numerare conueniet.

CNam n impar secundu impare eum numeraret:ergo p undecimam huius totus esset impar .at positus inpar.accidereti tam contra hypothesim. relinquetur igitur propositum

CSi parem impar numeret:dimidium quom ipsius numerabit

si Mam a impar parem numerem re premissam secumst parem eunumerabit.eum itam omnis pax medietate habeat impar ergo ille per illius medietare multiplicarus per octauam et nonari pzimi producet totius medietate munerabit igitur impar tumnumerati dimidhu:quod est xpositum

- Si niurias inar ad alique num ment prim':ide quoin et ad eius duplu erit pri'

s Gmnis numerus per parem multiplicatus: parem produciL

39쪽

Si dispositorum ab unitate numeroru scauldu naturalem seri emromisi dupli suae , smantur: proueniet omnes paresab unitate:eruntae parium code ordine sumptc queet inmaeronim.ab unitate dispositorumpor noncs.

siniis moniusteros ab unitate secundu ruralesericin iras ab ede hquo per orbine sumo du plosso limn tiarico primo pares ab mutareremo esse acceptos.sci sido et proportiones sunt nu. me almulate disposito via ad unitate m Meadb:d ad Ceaddet fadertales esse per ordine in mine parvini: πν adgrauabbet diret ita teteria . primsi paretinam primo duplos esse pares mari si incum quilibet eorum in duo dimidiaque equa sunt diuidi possit.Et inno sus alius ab aeatis stipare test mistusnSi aberet medistin turmeris: et si haberetvust coincideret in aliquo ignato oris est ergo oes pares fuisse acceptos.Secundsi patet.lia que a portio a ad vi ea est unitatis ad saergo emutati permetruso sibi da portio a ad unitate: est ba g.Ite ebadu: ea est a dogo p eandeq b ad area est uad h.et ita si eande consist ede et tot si simu cludes*positu.

gSi numerox ab mutate naturali me dispositorii: duo et duo consitive colungatur lim ora spares a nitate.ipsoruin impanu proximi quissi: crunt contra se primi.

insponat ordo numero p ab unitatem eo n naturaIeseriem:coimgamrm quicu duo et duo pris primo omnes ab mitate fieri instres.stsomo quos duos a unos esse contra se primos. patet.na quimiam duo rems in naturali serie numero* P diffinitione sola unitate bi stative eo alter est par et alius Uamast lator simul additi P secunda huius toin constitusit impare.Sed et nullussu impar preter illos sicco stat alioquin no posset ille impar diuidi in pinas partes qua*vna super altera addit mitate quod est contra diffinitione.aut si diuidas costituetur ex duobus numeris in naturali serie numeror; pro mis est propositum.Secundu patetinacimiois impar ab unitate addita unitatemnitate substractahabeat cirrepositos pares:etois par tiraepositos impares ab eo sola unitate distures percoceptione igitur dria quorsicianae mimo impariu est binarius. at binari' est numerus prinius cst a nullo alio nsiero preter unitate numeres. additus igitur binarius d est ni me primusvm costituet primsi impare numen primum: dquidem binarius nummis mus additus ternario numero ma primo: per primateriai costituet num ad alteriimprima.Itide et per nona terra a minet aberriet ita de quibuslibet duobus mis ostendere placile est: estpropositu.

Ei numerox ab unitate .pportionaliu secundito abvnuare fucrit par reliquos oes pares Me:et si idem ment impar: reliquos itidem iparcs csse necesse est.

mssisinous est par da numeras ab unitate se6usnsserabit tertisset tertius quarta:Min deiceps qua rest uicesimJtertia primi lasus d est parnsierabit oes reliquos. sunt igit relici oesse mio elima hui' pares questa posust quoad hoc.etsi sesus est ardanueras ab unitate: io ipse in seductonsierabit tertisset pervicesima quinta stat tertius Rumuod quarta et ita deinceps.igitur per usi decima huius eorum quilibet erit impar:quod est totum propositu.

Inter quostibet duos numeros quo* Vterin par est aut victas impar: unus est me radius * si unus merit medius virul pare aut impare esse necesse est.

Ita fixum fuimit paralyn simul additist prima huius costituunt numersi parem.et stuleris fuerit impara tertia huius idem etin ita miluus sumae medietas P scdam parte secunde primi ibia erit Gerus amo illi numeri indistincta diffinitione.igie numer' ille erit inter illos medius. Sisin psita siliis divisit minius a prima ostria sine primi ideo muta est tan* illi stincti d eta sit par eoinest

duri' sta itere rapa seira uis et rctiquusat si viter eo*lltipar pseptima eiusde et resiquus quod est prispositum.

Inter parem et imparem vel nullus est medius vel duo: et si duo fiterint inter eos μmeoq:alterum parem et alterum imparem cssecoumcitur.

CScvnitate di interit parati pipara inter eos nullus intcidet medius. et si lius cun udistiterint ripara et inar b: dico in aetheeduos medios. Psecvndabui aetbricii paetustinum mare ut eat per nona eiusde diuidi poterit in duos unitate distates 4ssnto metuos dico p tertia primi inuis histare aetb.quare perdiffinition summe do q6 est primLSemodico*a intera et diluit duo modulosi esse pare et in impar Lia si duo vide interiam medii vidi finitionesnitate distabsit.quare eos alter erispar et alter impar.eoluneri igit de Pseoambuius constituerit impare. at ab coniuncti per tertia primi codiruunt eandiaquaren alter uerit par per nonam huius reliquus erit impar.etii alter fuerit impar per octavi huius reliquus erupinquod est propositu.

Inter quelibet impae e et unitatem unus est moetasadem est maior lptas portio.. si inter unitate et ipm uo medi' eniteri quelibet tale nume* impare esse pueniet

Sit aquilibet impar et b unitam duo inter a et besse unum meoifi qui est maior portio a. dico etia. si inter a et b unus sit medius numera a esse impare. Primu paret.na eum a numerusipar supercib uti in numero par tot in ed est duraretia a ad b.et qr cest par diuida E in duo equa datos e.capio ergo numersi s cuius e sit differetia adb: que dico esse medist inter aetb. G da per conceptione disse rentia sabb costituta est ex bifferetiis a ad fet fad bret differetia a ad b site. erit ergo e costitutus eae e differetis sad b eius dimidio et d altero eius dimidio: ared equalis edifferetia est a-Lest igie

40쪽

fmedius iliter aetb.etesia addat unitate super et vferentia eius Quiritaleb: etes similiter unitate . supere erit a conditurus expomonibus e Lai f. in medius nummis mauu est piratio te minor costati tam inter in pare et unitate etiamsi mediu: eundem esse paris maior portione is est pluuii. Sc6m linter. st intera et unitatem bfitfmedius per finiinoema adfrid adstit aestate Minsed dii per me noem diffreetia a ad D 'possis sit ex differetrusa ad fetb ad Lilla inui duo ita dividi pomitterii paristillam numerus avnitate sullat a igitur per diffinium est impar.O est stomet totum pispositiam.

-- CInter parem et visitatem vel nullus erit medius:- duo minor v paris dimidiium. et si inter ipm et unitatem duo fuerint inci q:eum Me parem necesse M.

Sit aquilibet par et brattas:llant par Pleimeseques mutatem in solamitate di it: intera et unitatem nullia erit medius m nliseiusmitate distenti dico βmo ineaetb duos remedios minorem eiis paris dimidisi.Scino institera eciari merum et bunitawn duo medii piliterintiaee parem. a rimum Osiniturinam a parisrahunt ineb differetia est impariss ideo p parem et impar amitareditates per nonam huius partiri potest partiatur iram illa Miai nouas tales portiones.inc rapio cnumerum: citius quide minor portio sit dii etia ad b*er 'ceptissem maior portio erit miser. a adciat maior portio minor nuales 3t.capio ergontinerum tinue sequenterne ii sit v.differtilaenia ad d:minor erit mirare differ a ad c quare disserina ad d et e bini equites. stant igiture id medd inter aetb.et quiaper scdam primicest medietas det optet ad bi viuino et det ossae ob equitur Minoet d ac baddant unitat a ad cete ad his igitur ciminormedi medietas paris a. et boten primum.Srem declaraturinam si intera et unitatem b:sint duo medii Hed: ον esst minoit et dinator:driae adb minotis italedrialpius ead ea igis aes par et alea impar. abdite igitur simul per sinam huius 'stitusti numerum in parem:qui per 'ceptionem est differentia a ad b:cui sidde addideris unitatemrpstitues a.est igitur a par.quod in Rom.

a s CSi impares oes ab unitate disponantur et totidem post quelibet sumatur: quotus ipse ab unitate fitent: extremu ab illo numerari puellicitiet imit totus ab illo quovis ipse a primo idea stino nuerabiturasicae die reps. oesin in medio relicti crunt primi.

si Sint a b c d esses h liminiolp/qiris impares ab italeps ueter dispossciret quotcvrotulterius viae dico primo in stac to a d remari' est primo abunitate imparetquotus tine e ab unitate totum imparem post im accipia totides tertiummi numerarmetsi totum it post daecipias vi τites ai=n numerare.et 1 totum post guttiit aspis numerare.zim sequenter. Saomedios oesis bete Doliret ita eos ueterava esse primosci rimum p3mam dat a iustitus est iurat, interires post accepti impares et ipset sunt quattuor.quare inter a temarium et di tertium post ipsum sunt bere duo impares mederet tres differmee quale inparium eri timeo inar ad imparem differ est binarius:dries totidem quot sunt unitates in illi .sed tota Miad ad a popeeptionem bis repetitam: poni sextilis uibus disteretem tura in v mill ductus. Hucit totam at ipse toti differetie additus: intuit d igitur a numerat d.et mirer oludis a numerare Riunt enim qui 3 inimede impares et sex binared te equales:dupledde tribus primis.es Mias ad a e 'posita exilisset .ergo a pervicesimanitertiam primi illa numerabit.ata I ii meg ad se additus omisit; a igie numeratg.et si reter nuerabit l.4a orial ad a erit tripla Mied ad a. frater umerabito. da differetia quadrupla.et hae in modum 'sequeter.Screm p3.nam pino a non niterabit b:q uide detraeto a oeb. per duodecimam primi anfferaret binarium differoam residua maiors mutinem.q8 est imposistbile.nem uidem nsierabit nam i posubstracto dcineraret differentiam ca a.que est subinarius bio sumptumst substrahatur ab illa dria numerabit residust driam sciis dFie q erioni instinator scil3 minorem:et numma avnitatem.q6 est impossibile.Ita quoip. abis e et fet reliquos intermedios esprinios ad ainanissa Geraret e: substraho e ab g. et da a numerat gut ostreum e et e per hypoti inninumerum substractum:ergo per duodecimam primi numerat Priame adg:que e stituta ex duobus binariis. nuper mostrarum est impossibile. Sinter si numeraret fiubstraho fab numero gret rem diius erit binarius ut notum estiet a numerat g et detracrum fremo Merat residuum qui est binarius major minoretii. q6 est impossibile.Et ita oba b Gerare Mn msed intermedios oes esse ad b ismos. et enueraret et set intinctios adipia esse primos.habebisposimili ubi vi gumentalloeamon n. alip ita babes impares relictos 4 post alique toto* toti nomeniunt:ota 2 tridecimab ' eli e pnios.

CSi ab unitate impares coaceruetur: qui Mueniet erit quadratus.

CSit unitas:et suo ordine sequetea impares albiclo et f.dico ita temet apstituere quadrarum. Rem unitatesila et D 'stiruere quadratum:et unitatem a b et c.et ita 'sequerer quotquot straggregaveris. diui domi a primum imparem in duas portiones irate ditates: et certu est maiorem bistare viaitate ab vilitate et mist mirarere equalem: quas Pno ordine lituo iuxta primam mitatem erein est duos esse ordines ab unitate sumptos us p ad duos unitate d states mitatem mi blanonitensiret censemus ergo permcelimamrertiam sex renitas et due ille ponto aggregate intusti quadraia. at oue ille portiones equarur impari unitatem sequisi.miras igitur τὰ impar sequens multu tar bstituut quadratum.Item resolutost inmitat et binarium:cum binarius fit driabada: brefouia per nonam huius in duas porri nemqua*vna erit binariusset alea binariovnitate maior: id est equaa.q in prima unitate statuatur uno ordine iuxta portio es a.incertit duo ordines abunitate ad n uerosus 3 vilitate distates dispositi:erso per eadem tertiam et tricoimam seni illi simul aggregati sti tuai