장음표시 사용
31쪽
quadrifariam ab axibus oniugatis De Focis Ellipseos.
Propos ii VIII. Ex dato in ellipsis perimetro
puncto tangentem ducere. Hopositio VIII In utroque axe , utrinque prinducto ad occursum tangentis , continue proportiona les sunt distantia ordinatae a centro , Semiaxis , distantia tangentis ab eodem centro. Corollarium Si a puncto contactus ducatur Ddinata ad alterutrum axem erit quadrato semiaxis aequale rectangulum sub distantia ordinatae a cenistro, sit semiaxe producto ad occursum tam gentis.
Proposito x nox majore producto ad Ocursum tangentis, si a puncto contactus ducatur ad eumdem ordinata Dico segmentum majus ejusdem axis esse ad segmentum minus , ut axis productus, ad portionem, quae producitur. Monitum Apollonii methodus in focis invenien
dis . Quid sit figura quarta pars ejusdem, in
sensu Apollonii is Veterum . Recentiorum methodus in determinandis focis. Propositio L. Si super axe majore , tanquam diametro , describatur circulus is per extremit,tem minoris axis ducatur tangens, quae circulo occurrat in puncto , a quo demittatur perpendicularis
in axem majorem rectangulum sub hujus segmemtis aequale erit quartae parti figurae atque hinc inventio soci. Propositio ML Rectangulum sub duabus an-
32쪽
gentibus , ab utraque extremitate axis ducti , cab altera quavis tangente intercepti , aequatur rectangulo sub ordinata a puncto contactus ejusdem, 3 sub semiaxe conjugat , ad eamdem tangentem producto. Corollarium . Rectangulum sub duabus tangentibus , ab utraque extremitate axis ductis, aequatur quadrato dimidii axis minoris , seu quartae parti
Propositio XIII. Si ab extremitatibus axis mcantur duce tangentes ab alio quovis puncto tangens altera utrinque conveniat cum duabuso liquis , tum ex focis ducantur rectae ad puncta γά suum anguli in utroque soco erunt recti. Propositio XUII. Iisdem stantibus , si ex puncto intersectionis harum rectarum ad contactum ducatur recta haec erit tangenti normalis. Holositio XV. Iisdem stantibus , si a soci ad
contactum ducantur recta ; hae cum tangente a quales angulos comprehendent. Corollarium . Si corpus luminosum statuatur in
uno soco speculi elliptici reflexio fiet in alterum
Propositio XV Si ex secis ellipseos inflectantur duae rectae , convenientes in quodam puncto per, metria hae simul sumptae sequantur axi majori. Corollaria I. in Vulgaris methodus describendae ellipsis per motum continuum II. Si duo soci ita mutuo accedant , ut coal
scant in ipso centro ellipsis desinet in circulum. . III. an ellipsi triangulorum isoperimetrorum maximum est isosceles. III.
33쪽
IIII. Aliter tangentem ducere ex dato quovis puncto in ellipsis perimetro . V. Atque hinc rursum ostenditur aequalitas amgulorum incidentiae, reflexionis. De Diametris Euipsis. Proposito XVII. Datis axe maiore 3 diametro utriusque tangentibus, quae se se invicem
cent, terminentur , altera ab axe, altera a diametro , ulterius productisu Dico , triangulum factum a duabus tangentibus, Waxe , aequari triam gulo facto a duabus tangentibus, diametro . Corolloria in I. aliae triangulorum, e trape.etiorum aequalitates deducuntur. II. Quaecumque diameter bifariam secatur a centro ellipseos.
Propositis XVII Stante eadem constructione , si a quovis puncto sumpto in perimetro ellipseos, mcantur parallelae tangentibus: Dico, triangulum ti- Etum ab hisce parallelis , Maxe , aequari quadril ter facto a tangente eiusdem axis , eique parallela intercepta ab axe, diametro . Proposito XVIII Stantibus iisdem , ut supra, nimirum axe, diametro, tangentibus, 3 parallelis; Dico , triangulum factum a duabus parallelis , cdiametro, aequari quadrilatero facto a tangente hujus diametri , ejusque parallela intercepta ab axe,
Corollarium omnis recta linea , quae intra elii, psim ducitur , parallela tangenti cujusvis diametri, bifariam secatur ab eadem diametro , cui proinde
34쪽
. Propositio XX. Quadratum ordinatim applicatae ad diametrum quamlibet , est ad rectangulum sub segmentis uti quadratum alterius conjugatae est ad quadratum primae diametri. Corollaria. I. In ellipsi quadrata applicatarum ad quamcumque diametrum sunt inter se, uti rectam gula sub segmentis diametri. II. Diameter ellipsis est recta quaelibet per centrum ducta is utrinque ad ellipsim terminata.
III. Praeter eas rectas, quae Iranseunt per e
trum , nulla alia recta linea potest esse ellipsis dia
IIII omnia , quae ex primaria ellipseos pro prietate , respectu axium , deducuntur Theoremata , traduci etiam possunt ad duas quascumque di metros coniugatas A. V. Hinc pariter sequitur a. Quodlibet perim, G punctum, alicujus diametri verticem esse; II. Quamlibet reclam , per aliquod intra librem punctum ductam , alicui diametro ordinatim applicatam esse; III. Diametrum unam non posse parallelam Lia ordinatis alterius coniugatae, nisiis ista vicissim sit parallela ordinatis iunis, Propositio XXI. Si diameter aliqua bisecet suta tensam ductam a vertice diametre alterius , ad quam demittatur ordinata ab alterno vertice , ei, que parallata per punctui bisectionis ; erunt in proportione continua semidiameter, distantia ordin tae a centro is distantia parallela: ab eodem
35쪽
cumque diametros ab alterfils earum verticibus ducuntur, dividunt ipsas diametros in eadem ratione. ., iDe mutuo iametrorum Euipseos inter se cum Axibus comparatione . Propositio XXIII. Si super axe minore , an quam diametro describatur circulues ellipsis iata erit extra hunc circulum , quem tanget in extremitatibus ejusdem axis . . Corollarium . Si circa utrumque axem describanitur duo circuli ellipsis tota erit inter duas iracumferentias . . M i. Propositio XIIII. Iisdem stantibus . si a centro ellipsis describantur alia circulorum circumferentiae concentricae , quae transeant per differentiam duorum axium Dices, quamlibet circumferentiam secare ellipsim in quatuor punctis , utrinque aeque dissitis ab extremitatibus duorum axium . Corollaria. I. Intra quadrantem ellipsis diametri omnes sunt inaequales. II. Diameter omnium minima est axis minor maxima est axis major. III. Reliquae eo majores sunt axe minore, quo magis ab eodem recedunt. IIII. Diametri , aequaliter ab axibus remotae, sunt aequaleS. Propositio XXV. Si a verticibus unius conjura tionis diametrorum ducantur ordinatae ad duas diametros alterius conjugationis quadratum cujusliber ordinatae erit aequale rectangulo sub segmentis alte
36쪽
37 Prepositio XXV Axium quadrata sun ut sui pia aequalia sunt quadratis cujuscumque conjugationis diametrorum simul sumptis Propositio XXVII. Iisdem stantibus, dum diame. tri minuuntur in recelsu ab axe majore , vicitum conjugatae ipsarum augentur. Corollaria. I. Axis major ad minorem habet , Frem rationem , quam diameter quaevis alia ad
II. Diameter qua libet axi majori propinquior. majorem habet rationem ad suam conjugatam quam diameter altera , ab eodem illo axe reminitor , ad suam conjugatam . . I. Propinxio XXVII Iisdem manentibus , ex dua. bus quibusvis diametris ellipsis, illa, quae minor est
majorem parametrum habet. Corol L Parameter axis majoris est omnium minima parameter minoris axis omnium maxima. II. In recessu diametrorum ab axe majore parrametri augentur III. Parameter minor est diametro , ad quam resertur , ab axe majore usque ad eum locum , in quo parameter aequat diametrum suam est vero major , ab eo Ioco usque ad axem minorem Propositio XXVIII Data ellipsi , invenire suos axes suos socos, parametros axium. Propositio XXX. Si rectae sibi mutuo occurrentes , sint binae diametri erit rectangulum sub segmentis unius , ad rectangultima sub segmentis alterrius, in duplicata ratione ipsarum diametrorum .i Propositio XXXI. Si ex rectis, sibi mutuo occurrrentibus , una quidem di diameter, Waltera sit
37쪽
38 ejus ordinata ; rectangulum sub segmentis prioris
rectae , ad rectangulum sub segmentis alterius, erit in duplicata ratione ejus, quam habet diameter ad suam conjugatam.
De fectoribus, figmentis ellipseos. Lemma Si duas parallelas in ellipsi iungant duae rectae, quas secet alla parallela; hujus initiae aequa
Propositi XXXII. In omni segmento maximum triangulum habet verticem in diametro dividentabifariam assim illius . Et tam segmentum, quam triangulum bifariam ab eadem diametro dividitur. Propostis XXXIII. In ellipsi lineae conjungentes parallelas abscindunt segmenta atqualia. Et vicissum Propositio XXXIII Recta linea sectores aequales hinc inde a diametro sumpto , conjungens est
Propositio XXXV. Ex dato puncto rectam duceare, quae auferat segmentum aequale dato. Propositio XXXVI Diametri duae conjugatae I lipsim quadrifariam dividunt . Et reciproce Propositi XXXVII. Sectores ad verticem oppossiti sunt aequales . De Ellipsibus sinissibus earumque segmentis. Propositio XXXVIII. Super data recta ellipsim describeres, similem alteri datae . . Corollarium . Si minores axes sint proportionales majoribus, ellipses erunt miles. Propositio XXXVIII Si duae diametri secentur
38쪽
39 proportionaliter ordinatae , per unota sectionum ductae , abscindent segmenta proportionalia Propositio XXXX. Si duorum segmentorum proportionalium bases fuerint aequales segmenta erunt Inter se , uti eorum altitudines Corollaria L Si duorum proportionalium segmen, torum altitudines sint aequales segmenta haec erunt inter se , ut bases II. Et , si altitudines sint basibus reciprocae segmenta erunt aequalia
De Mensura Ellipseos Propositi XXXXI. Ellipsim metiri Corollini I. Ellipsis est media proportionalis anter duos circulos, luper ejusdem axibus deseriptos. . . U. Ellipsim metiri , ope circuli inscripti Prepositio XXXXI Metiri segmentum ellipseos. Propositio XXXXII Metiri sectorem ellipseos . .
Propositio Liatis duabus rectis, hyperbolam do.
' Propositio I Quadratum semisseos secundi axis, aequatur rectangulo sub abscissa is linea composita ex primo axe in eadem abscissa. Propositio II Determinare ordinatam aequalem semissi secundi axis Propositio III Quadratum ordinatae ad axem pri. mum majus est rectangulo parametri ejusdem axis, in abscissam. De
39쪽
Propositio V. Omnis recta per centrum ducta quae uni hyperbolarum oppositarum occurrit, debet etiam cum altera convenire utrinque ad hyperbolas oppositas terminata , bifariam in eodem centro dividitur . . i. Proposito' Si recta per centrum duEta, utrinque ad hyperbolas oppositas terminata bisecet subtensam pertinentem ad verticem axis , demissaque ad eundem axem ordinata, huic per punctum bisectionis parestela ducatur continue proportionales erunt inter se semiaxis , distantia ordinatae a centro distantia parallelae ab eodem centro. Propositio VII. Si recta ducta per centrum, ad hyperbolas oppositas terminata, ulterius producta bisecet subtensam ductam a vertice aristi Dico quadrata ordinatarum esse inter se, ut rectangula codirespondentia.
Proposito VIII omnis recta , quae intra unam hyperbolam ducitur, parallela subtensa , ductae avertice axis , utrinque ad eandem hyperbolam te
Corollaria I. Hinc omnis recta ducta per emtrum, utrinque ad hyperbolas oppositas terminata, est diameter ipsarum . :ΙΙ. in omnes illae proprietates , quae hyper bolae competunt respectu axis , ex eodem Theoremate traducuntur ad aliam quamvis diametrum
ejusdem hyperbolae . . III. Hinc Theorema illud iundamentales, quod
40쪽
demonstiatum est respectu aris, simili ratione e. monstratur de quavis alia diametro . Proposito VIII Quaelibet diameter non alias reis ctas , utrinque ad unam hyperbolam terminatas diis vidit bifariam , quam , quae ordinatim ad ipsam
diametrum apphicantur. Corollaria I. Si diameter bifariam secet rectam aliquam , utrinque terminatam ad unam hyperbo larum haec erit diameter illius ordinatae. II. Si recta aliqua bisecet duae parallelas , quarum quaelibet utrinque ad unam hyperbolarum sit terminata haec erit diameter hyperbolae atque transibit per ejus centrum III. Cujuslibet datae hyperbolae sive centrum ζsive diametrum aliquam reperire Proposti X. In omni hyperbola existi diameter , quae rectos cum suis ordinari angulos constituit , ac proinde est axis Corollarium . Itaque circulus super axe tamquam diametro descriptus , medius cadit inter utramque hyperbolam nec ulli ipsarum potest occurrere. De Coniugatis iamreris.
Proposito M. Recta per centrum ducta, parallela ordinatis alicujus diametri , bifariam secat diametro parallelas, ad utramque hyperbolam
Proposito XII. Eadem recta vices diametri comjugatae subibit , si limites, seu vertices eidem prinjcribantur ea lege , ut bisecta in ipso centro me'