장음표시 사용
11쪽
Da A C ad C P; ct avrecedentiam dimidia , ut EB ad B C, ita EC ad C D. est enim A E ipsius εAC dimidia. quare per eonversionem rationis ut E E ad E C,ita C E ad E D. Commune auferatur, quadratum scilicet E D.J Est enim quadratum C E aqaale rectang Io e D C and cMm qaadraro E D : σ rectangultim E E D ag Ie rectantulo B D E und eum E D quadrato. 3 re sublato communi, relinquitur rectangulum in D Crectangulo B DE aquale . Rursus quoniam rectangulum B E D aequale est quadrato E C, utraque auferantur a quadrato B E. J Nam cum linea e C bifariam Iecetur in E , algae ipsi ad tar linea C E; rectantulam a P C, Er quariatam C E aquassa sunt quadrato A E. rursus qAadrato B E aqualia sunt utraque rectaetala E E S,E Ε ae . si igitών ab ipso B Equadrato aequalia auferantur , videlicet rectangulam T E D, π quadrasum C E a relιnquitur rectangulum ABC rectangula E B D qaale esse.
BEAT Aad Zproportionem compositam ex proportione C ad Dex proportione E ad F. Dico C ad D proportionem compositam tabere ex pr portione A ad S, es proportione F ad E.
FIAT enim proportio D ad G eadem, quae est E ad P. & quoniam proportio Α ad B Composita . est ex proportione C ad D, & proportione E ad P, hoc est D ad G. proportio autem composita ex proportione C ad D, & D ad G est eadem , quae Cad G. erit ut A ad B, ita C ad G. Rursus quoniam C ad D proportionem habet compositam ex proportione C ad G, & proportione G ad D. sed proportio C ad G demonstrata est eadem, quae Αad Bi& convertendo proportio G ad D eadem est, quae F ad E. habebit C ad DProportionem compositam ex proportione Λ ad B, & proportione F ad E.
LEMMA' VLSINT duo parallelogramma AC , DF aequiangula , quorum angulus 2 fit aequalis angulo E . Dico ut rectangulum ASC ad rectangulum D EF, ita se parallelogrammum AC ad D F parallelogrammum.
Si enim anguli B , Ε recti sint, illud perspicu E constat: sin minus, demittantur perpendiculares A G, D H. & quoniam angulus B aequalis est angulo Et & angulus ad G rectus aequalis rectoaa H: erit triangulum A B G triangulo D E Η aequi an-lulum . quare ut B A ad A G , ita E Dali H. sed ut B Α ad A G, ita rectangulum Α Β C ad rectangulum, quod A G, B C con tinetur: & ut E D ad D H, ita D E F re
ctangulum ad rectangulum contentum
D H, E F quare permutando ut rectangulum ABC ad rectangulum D E F, ita rectangulum, quod continetur A G, B C; hoc est parallelogrammum A C ad rectangulum contentum D II, EF, hoc est ad parallelogrammum DF.
12쪽
SIT ιν angulum ABC: fitque S C quidpans D E π suadratum , quo fit ex C A, insuale sit rectangulo FARDico iam iungantur D C,S F,lineam B FiUDC aequidi antem esse.
HOC vero manifesth patet. Quoniam enim ut F Α ad A C, ita est C A ad A Ei & ut C A ad Α Ε, ita B A ad Α D: erit ut F A ad A C, 'ita B A ad A D. ergo D C, B F inter se aequidistantes sunt LEMMA VIII.
SIT triangulum AB C, traperium meia D EFG; ita ut AB C ungi ius angulo DE Ut qualis . Dico ut rectangulum RS C ad rectangulum, quod continetur utraque ipserum D G, E F πD EJς esse triangulum ASC adtrapertum D EFG. ' DUCANTUR enim perpendiculares A Η, D X. Et quoniam angulus ABC aequalis est angulo D E F; & qui est ad H rectus aequalis recto ad Κ: erit ut B A ad A H, ita E D ad D Κ. sed ut B A ab A Η, ita rectangulum A B C ad id,quod
continetur Λ Η,B C: & ut E D ad D Κ,ita rectangulum,quod continetur utra que D G, E F & D E ad contentum utraque D G, EF&DK. est autem trian. Agulum ABC dimidium rectanguli contenti AH, BC: & trapezium D E FG B dimidium eius,quod utraque D G,Ε F & D F. continetur. ergo ut rectangulum A B C ad rectangulum contentum utraque D G, E F & D E, ita est triangulum A B C ad D E F G trapezium. Quod si A B C tr. angulum sit, & D F parallelo. grammum, eadem ratione fiet, ut A B C triangulum ad D E parallelogrammum, ita ree angulum A BC ad duplum rectanguli DE P. .
LX quibus constat, rectangulum ABC, si quidem D F parallelogram Cmumsit, aequale esse duplo rectanguli D EF,si merissit imperium, aequale ei, quod utrasve DG, EF si aDE continetur .
EST autem triangulum ABC dimidium rectanguli contenti A Η,B C.& tr, Apezium D E F G, dimidium eius, quod utraque D G. E F & D Κ continetur. I
13쪽
trapetisi DEF9 Amidiῶ est να anguli,quod utraque E F,m ct ἰ a Pr eontinetur. B Emo ut rectangulum A B C ad rectangulum contentum utraque DG, E F &D E,ita est triangulum ABC ad DEFG trapeEium d Ex ante dictis enim eou
ghar,ur rectantulum AB C ad rectangatam ex A Hσ a C, ita esse νectangulum exi 9,E FO D E ad rectangulam ex D G, E F ct D Κ.quarepermutando at rectanguintam eis B C ad recta uliam exae G, E F σ DE , ita μectangatum ex se H ct EC ad rectauxiam ex DCLE F ct D I ,σ ita oram dimidia, hoc est triangulum ABC ad trapezium D E F G.
C Ex quibus constat rectangulum A B C, si quidem D F paralleIogrammum sit&c. Sequitur hoc, quando triangula- AB C parallelogrammo, vel trapecto D E FG sit quale. quod etiam demonstrastur ab Eatocio in eommentari s in quadragesimam nona primi libri Apolloni' Qviare et erisimile est in Pani verbis hoe loco nonnulla de derari.
SIT triangulum . BC;ου producta C a ad D, ducatur, ut tantingit, recta linea T HS cui quidem quid, ansducatur AG, si meia Z C qui stans A F. Dico ut quadratum AG ad rectangulum Z G C, ita esli rectangulum DFH ad Fadratum F a.
R PONATVR rectangulo B G C aequale rectangulum A G Κ; & rectangulo B DFH aequale rectangu lum Α FL: S iungantur B Κ, Η L. Quoniam igitur an gulus ad C aequalis est angulo BKG; S angulus D A L in circulo aequalis an-r, gulo PH L: erit & angulus G Κ B angulo F Η L aequalia. ergo ut BG d G Κ, ata L Fad FH. est autem ut A Gad G B, ita Η E ad E B: &ut HE ad E B, ita H F ad F A. ut igitur Α G ad G B, ita H F ad F A. sed ut B G ad G Κ, ita alia quaepiam linea L P ad antecedentem P H. quare ex aequali in perturbata ratione, ut
A G ad G Κ, ita L F ad F Α . ut vero A G ad G Κ, italem.In xx. quadratum A G ad rectangulum A G Κ, hoe est ad re-eeelmi. Elangulum B G C: & ut L F ad F A, ita rectangulum LP A, hoe est D F Η ad quadratum F Α. ergo ut quadr eum Α G ad rectangulum B G C, sic rectangulum D FH ad F A quadratum. Sed licet illud idem etiam per compositam proportionem demonstrare Quoniam enim proportio A G ad G B est eadem, quae Η E ad E B, hoc est H F ad F Α; proportio autem A G ad G C eade, quae D E ad B C, hoc est D F ad F A: erit proportio composita ex proportione A G ad G B, & ex proportione Α G ad G C, quae quidem est quadrati Α G ad rectangu- Ium B G C, eadem quae componitur ex proportione hi P ad F Α,& ex proporti E ne D E ad F Α. haec autem est proportio reisianguli D FH ad quadratum P A.
COMMENTARIUS. A PONQUR rectangulo B G C aequale rectangulum A G Κ: & rectangulo
DFH aequale rectangulum A F L .) Pesiderant-feνe omnia hae in cyraco codice a 'tia nos supplevimust illud vero ita intestigendum est, xt phodueatur A 9 ad Κ; ct at rectangulum A GK rectangulo BVC a sale ; ct νασαι prodacta A F ad L, farrectangulum in F L aquale re tangulo PFH.
B Quoniam igitur angulus ad C aequalis est angulo B Κ G : & angulus D A Lia circulo aequalis angulo F H L. Ex vigesima prima tertij Elementorum: μην
14쪽
Erit S angulus G Κ B angulo FHL aequalis . a Nanque anealus M C avulo est aquatir; quod E C, F e r equid,stantes sinst. ' F H . J Sequitur .enim ex iam dictis stria ratam L , i S si x simile esse o quoniam angvias ad x angati FH L est aqvialis . in aemonstratam it; σ avulus L FH aqualis angulo Lais G, hoe est ipsi B si R . X. ιγ retiquus reliq- aqualis emit. Haec autem est proportio rectanguli D P II ad quadratum P A. I Ex quibus δει, u rectangulam B in Had Dadratum F - eandem habeas proportionem , seam quadratum eis ci ad rectangulum Bb C. quod quidem oponebas demonstrare.
15쪽
APOLLONII PERGAE ICONICORUM LIBER I.
I & corpore vales, & aliae res tuae ex animi tui sententia se habent, bene est: nos quidem satis belle habemus. Quo tepore tecum Pergami fui,animadverti te cupidu intelligendi conica, quae a nobis conscripta sunt. Itaque misi ad te primum libruemendatumuereliquos deinceps missurus, cum animo ero tranquilliori . non enim arbitror te oblitum, quod a me accepisti, quid scilicet causae fuerit, cur ego haec scribere aggressus sim, rogatus a Naucrate Geometra, quo tempore Alexandria veniens apud
nos suit: & cur nos,cum de illis octo libris egissemus,maiorem statim in his diligentiam adhibuimus. Nam cu m ipse Naucrates qua
primu esset navigaturusinos ea non emedaVimus: sed quaecunque sese nobis obtulerunt,conscripsimus,utpote qui ea postremo esse mus percursuri. Quamobre nunc tempus nasii, ut quaeque emendamus,ita edimus.Et quonia accidit nonullos alios ex ijs,qui nobis- cu suerant,habuisse primu & secundum librum,antequa emendaretur: noli mirari,si in quaedam incidas,quae aliter se habeant. Ex cto aute libris,quatuor primi huius disciplinae cotinent Elementa: quoru primus quidem coplectitur generationes trium coni sem numn ear u,quae Oppositae dicuntur;iteque principalia ipsarum accidentia a nobis & uberius & universalius, quam ab alijs, qui de ea re scripser sit,elaborata. Secundus liber tra fiat ea, quae alti net ad diametros, & ad axes sectionu, & ad alias lineas, quae cum sectione
non conveni ut,quae a Graecis α - τητω appellantur tum de alijs dis. serit,quae & generale & necessaria utilitate ad determinationes af rut.M- aute voce diametros & quos axes,ex litic libro cognosces.
16쪽
CONICORUM LIB. I. sTertius liber continet multa, & admirabilia theoremata, quae ut lia erunt, & ad solidorum locorum compositiones, & ad determinationes . quorum complura, dc pulcherrima & nova sunt. Haec nos perpendentes, animadvertimus non positam este ab Euclide rationem componendi loci ad tres, &quatuor lineas , verum ipsus tantummodo particulam quandam: atque hanc non satis feliciter. non enim fieri poterat, ut ea compositio recte perficeretur absque ijs, quae a nobis inventa sunt .Quartus liber tradit ,quot modis con rum sectiones inter sesen circuli circunferentiae occurrere possint,& multa alia ad pleniorem doctrinam, quorum nihil ab ijs, qui ante nos fuerunt, memoriae proditum est. coni sectio ,& circuli circun serentia ,& oppositae sectiones ad quot puncta oppositis sectionibus occurrant. Reliqui autem quatuor libri ad abundantiorem scientia pertinent. Quintus enim de minimis, & maximis magna ex parte agit. Sextus de aequalibus, &similibus coni sectionibuς. Septimus continet theoremata , quae determinandi vim habent. Octavus problemata conica determinata. At vero omnibus his editis, licet unicuique ,qui in ea legendo inciderit, ex animi sui sententia iudic
EUTOCII ASCALONITAE IN PRIMUM LIBRUM
CONICORVM APOLLONII EX PROPRIA
EDITIONE COMMENTARIVS. FOLLONIVS Geometra, senthemi Iodalis ebari me,
natur est 'Perga, qua 'Pamphilia civitas est , tempore Ptolemai Euergeta , ut tradat Heractius in Arebimedis vita. qui etiam scribit Archimedem quidem primum conica theoremata fuisse aggressum; e pollonium vero cum ea invenisset ab Archimede nondum edita. , leui propria fua edidisse . neque id vere , ut mea fere opinio. nam ct εArchimedes multis in locis velut antiquioris conicorum institutιonis mentionem facere via tur : s inpollonius ea scribit , non ut a Ie ιυο ιnventa. non enim uaxisseι , uberiiss ct universiai s hae do , aeam ab alqs tractata fuisse. Sed quod scribit Geminus verum est . e utiquι , inquit , conum diffinientes , rectanguli trianguli circum Imi nem manente uno eorum , qua eirea rectum angulum sunt, latere, G conos omnes rectos,or Anam in singulis semonem fleri arbitrari sani e in rectangulo quidem cono vocatam pa-
17쪽
omnis trianguli interiores tres anguli duobus rectis sunt aequales: ita Er in eoni δε-ctionibus; rectanguli quidem coni sectionem dictam, in rectangulo tantum cono contemplati sunt, secto felliret plano ad Anum coni latus recto e obtusianguli aktem coni secti nem in cono obtusiangulo factam demonstrartine , cst aeutianguliIectionem in cono arui angulo a similiter in omnibus conis iacentes plana ad unum eorum latus recta. quod Grantiqua sectionum nomina indicant. Verum postea e pollonius Pergeas universe inspexit in omni cono siam recto ,quam scaleno , omnes sectiones inesse ,iuxta plani ad conum d erentem inclinationem . qMamobrem illius temporis homines admirati miriscam e nicorum theorematum demonstrationem magnum Geometram ipsum appellarunt. Hac
quidem Ueminus scripta reliquit in sexto mathematicarum praceptionum libro. uodaatem dieit mani Ramfaciemas in subiectis fl-gurss. Sit enim per axem coni triangulam e R Ces d quovis puncto E duratur ipsi Or H ad aetatis rectos linea D E Fi ct per D F immissum Hanam, rectum ad ipsam A B,eonum feeet. rectus est igitur uterque angulus AE D , a E F r rectanguloque existente cono, est angulo BAC recto , ut in prima figura apparet, duobus rectis quiues erunt an guli B A C, Os E P. quare aquidistans erit Iinea
D E F ipsi a C:σ siet insuperficie eoni fectio pa-ὸἡ ' ς ν abole te dicta απὸ φ παραγ-- gras,hoc est ab eo , μ' ' quod linea B FHaa communis sectio ev plani feeantii, ct trianeuli per axem , parallela sit ipsi . C lateri trianeuti . Sed si obtusiangulus
sit conus, ut infecunda Mura, obtus videlicet ex flente avxu B eis C , ct anguia AE Frecto, anguli B AC, A E F duobus rectis maiores erunt ,σ non conveniet D EF cum ipse e C lasere ad partes , in quibaι est F e sed ad evi in quibus fant A ct E , pro Ita nimiram C A in D .faetet igi-Ηjoesto. tW δες νε pianum in superficie coni Iectionem te unde. hyperbolen ,dictam ἀπὸτ ὐπερβάλλε , Me eL1 ab eo, iad avuli B A C, E F excedadit duos rectos: vel quod DLF excedat verticem eoni ',s eum ipsa C A extra conveniat. Quod si Mariangulus sit eanus, hoc est acuto existente angulo Z e C, erunt anguli B M C, E F minores duobus rectis a ct linea E F, A C prodacta
convenient tandem in aliqua parte: augere , naque , ct in longius ducere conum possumus.
rg; psi erit igitur in superficie festio , qua appestatur
γιπίας, hoc ei ob id, quod dicti anguli a duobus rectis descianti vel quod est sis diminutus quidam circulus sit . e u hunc quidem modum antiqui ponentes secans planum per D E F ad rectos angulos ipsi A E lateri trianguli per axem eoni , σ in per diserentes conor, Er propriam in unoquoque sectionem : at Apollonius ponens conum , ct rectum σ healenum , disereti ipsius plani ocea a diseren
18쪽
IIappellatur sectionis. Itaque in omnibEs sectionibas ponit lineam x L ad rector angulos
esse ipsi basi trianguli ABC. Verum si E F a uidistans sit in C , parabolen fieri K E L
fectionem in coni superstete; si vero convenias eum latere a C extra verticem coni, ni in
D, sieri ipsam M E L fessione hverbolene quod si conveniat intra,fleri feEtionem ellipsim,
quam ct θυρεῖν vocant. Generaliter litar parabola diameter valdistans est Ani Iareri tri. anguli. hyperbola aure, ct ellipsis d ameter eam es convenite perbola quiae ad partes ver ricis coni,ellipsis vero ad partes basis.Scire pwarerea diad oportet parabolen, perbolen ex eoru numero esse,qua in in iιῶ augentardat ellipsim non item.tota enim in se ipsa vergit, sicuti circulus.Cum autem plures editiones sint , ut etiam Us inpollonius in epἰctota scribit.'optimu fore iudicavi ex multis,qua oecurreryt, manifestiora colligere:in ipsius ver bi/ quidem, ut legentibus ad hae faciaior pateret adit Asmeorbam vero in commentar- , ut Par est,disserentes demonstrationis modos explicare . Besae in epistola dicit, primoι qua tuor libros huius dociplina elementa continere t quorum primus quidem compιemturge nerationes trium coni sectionum ct earam , qaa opposita dicuntur, ireque princ palim tuarum accidentia, hoc est quaeAngiae ipsis in primageneratione contingunt: haber enim ati uadam consequentia. Heundus autem liner tractat ea,qua artinent ad diametro scP ad axes sectio m, s ad illas liseas, qua eam sectione non conveniunt, qua a Graci συμπτον ι appellantare tum de aliis disserit , qaaes generatim , ct necessariam utilis rem aferunt ad determinationes . determinatio autem duplex est, ut manifeste patet: at
tera quidem post expositionem, significans quid sit illad , quod quaritur et altera vero pνο- positionem universalem esse prohibens, qua declarat quando , G qua ratione , ct quor m dii , id quod propositum est , fleri possit , ut in vigesimo feeundo theoremate primi librielementorum Euclidis . Ex tribus rectis lineis, quae aequales sivit tribus aliis datis, triangulum constituere; oportet autem duas eiusmodi lineas reliqua esse maiores, quomodocunque sumantur: quippe cum demon stratum sit omnis trianguli duo latera quomodocunque sumpta reliquo maiora esse. Tertius inquit Conicorum Liber continet multa , π admirabilia theoremata, qua ad solidorum locorum compositionet utilia erunt. planos locos antiqui Geometra appellare eonsueverant, quando nore ab uno duntaxat puncto ,sed a plaribus problema escitur. at si quis proponat, Data redis tinea terminata, invenire punctam , d quo ducta perpendi Iaris ad datam Iineam , inter ipsius linea partes media n portionalis eonstituatur. locum eiusmodi voc int Geometra, quoniam non unum duntaxat est punctum , quod problema scit, sed locur totus , quem habet circunferentia circuli eirea datam rectam lineam , veluti eirca diametrum
descripti .si enim in data re Ea linea femicirculus deseribatur ; quodcunque in circuns rentia sumpseris panctum, ct ab ipso perpendia marem ad diametrum duxeris , quod propositum est, sciet. Simiaiter autem data recta linea , si quis proponat invenire extra ipsam punitum , a quo linea ad ei s extrema iacta inter se a3 Ies sint o ct in hoc non unum duntaxat est panctam , problema esse iens, sed loeas , quem continet linea, a puncto medio linea data ad rectos angulos dacta. nam si data linea bifariam fecerar, ct ab eo puncto linea ad rectos ducatur angAlos, quodcunque in tua sum feris punctum , faciet istud, quod proponebatur . Simile quiddam ct ipse e Pollonιus εν ἀναλωμένω τοπερ scribit.
Datιs duabus rectis lineis in plano, punctisque datis, ου data proportione inaequalium linearum, potest in plano circulus describi, ita ut lineae, a datis postis ad circunferentiam circuli inclinata, proportionem habeant eandem datae proportioni.
Sint data puncta A, B; proportio autem data, quam habet C ad D: sitque Cmaior; & oporteat facere illud , quod propositum cst. iungatur AB; & ad partes B producatur: & fiat ut D ad C, ita C ad aliam lineam, quae maior erit, quam D; sit autem E D. rursus fiat ut E ad A B, ita Dad B F, SC ad G. patet igitur lineam
19쪽
lineam C proportionalem esse inter D & E D: it eque G proportionalem inter AF, FB. quare si ex centro F,& intervallo G circulus ΚΗ describatur: circuit serentia Κ H lineam A B secabit. Sumatur in circunferentia quodvis punctum H :& i ungatur H A , H B, H F; erit H F ipsi G aequalis: & propterea ut A F aa F id, ita H F ad F B. Sunt autem circa eundein anguium H F B latera proportionalia. ergo triangulum A F H simile est triangulo H E B:N angulus P His angulo H A Baequalis . ducatur per B ipsi AH ae- quid illans B L.&quoniam ut A Fad F Η , ita est H F ad F B; erit prima AF ad tertiam F B,ut quadratum ΜΑΕ ad FH quadratum. sed ut AP ad F B, ita A H ad B L, ergo ut qua- dratum Α F ad quadratum F Η, ita I
ΑΗ ad B L. Rursus quoniam angu Ius B Η F aequalis est angulo FI A B :& angulus A H B angulo HBLaequalis; coalterni enim sunt: & reliquus reliquo aequalis erit:& triangu lum Α Η Ε simile triangulo B H L. quare latera, quae cireum aequales angulos, proportionalia sunt, videlicet ut A H ad H B , ita HB ad B L : & ut quadratum Α H ad quadratum H B, ita A Haci B L. erat autem ut A H ad B L, ita quadratum A F ad quadratum F Η . ut igitur quadratum A F ad quadratum F H, ita quadratum Α Η ad quadratum H B. & iccirco ut A F ad F H, ita A H ad H B. sed ut AP ad FH, ita E D, ad C, &Cad D . ergo ut C ad D, ita Α H ad Η B. Similiter ostendemus omnes alias lineas,quae a punctis A,B ad circunferentiam circuli inclinantur,eandem proportionem habere, quam habet C ad D. itaque dico, si a punctis A, B ducantur lineae ad aliud, quod non sit in circunferentia circuli, i psa. rum non eandem esse proportionem, quae est C ad D. nam si esse potest, fultum iam illud sit ad punctum M, quod extra circunserentiam sumatur L eo enim intra sumpto, idem absurdum sequetur I & iunctis M A, M B, M F, ut est C ad D, ita ponatur Α M ad M B. ergo ut E D ad D, ita quadratum E D ad quadratum C; & quadratum A M ad quadratum M B. ut autem E D ad D, ita posita est AF ad FB. quare ut Α F ad F B, ita quadratum A Μ ad quadratum M B: & ex ijs,quae proxime dicta sunt, si a puncto B ducatur linea ipsi A M aequid litans; ut A F ad F B, ita demonstrabitur quadratum A F ad F Μ quadratum. Sed demonstratum est, ut A Fad PB, ita quadratum A F ad quadratum PH. ergo linea FH ipsi F M est aequalis . quod fieri non potest.
Loci igitur plani eiusmodi sunt. solidi vero loci appestantur ex eo, quod lineauper quasi oram problemata e sciuntur , a solidorum femone generationem habent, quales sunt onisectionet , ct complures Hia. Sunt etiam H loci .d superficiem dicti, qkibus ex
eorum proprietate nomen impositum est. Invehitur deinde Apollanius in Eucliaem , non, ut 'Panus, s ali nonnulli arbitrantur, quod duas medias proportionales non invenerit : siquidem Euclides recte invenit unam mediam proportionalem , non infeliciter , ut ipse inquit: duar vero proportionales medias ne rue omnino in elementis invest are aggressus est, ct inpollonius de duabus mediis proportionalibtis in tertio libro nihil inquirere νidetur . Sed veWisimile eLE Euclidem in alio libro de locis conscripsisse, qui ad manus nostras non pervenerit. Qua vero deinceps subi angit de quarto libro perspicha mut Uuintus , inquit , liber de minimis ct maximis magna ex parte agit. Quemadmodum enim in elementis didielmus , si ab aliquo puncto in eiseulam linea ducantur , earum quidem , qua ad concavam j s circuferentiam pertinent , maximam esse, qua per ceta truis transit; earum vero , qua ad convexam , minimam esse , qua inter dictum Pu
num , ct diametrum interis eitur i ita Er de eoni sectionibus in quinta libro inquirit. Sexti ,
20쪽
Iteque G proportionalem inter A F,F B. Gonἰam enim vera ad F F,ita eLF C ad Acyr erit permutaudo ut D ad C,ita E F ad 9. rursus quoniam ut E ad A E,ita D ad BF rex Iz. quinti, ED ad AF erit, ut D ad B F . sed ut D ad B F, ita C ad G. ergo E Dad A F, erit ut C ad 9 ,st permutando ED ad C,ut A F ad 9;eonvertendoque C ad DE, ut si ad . F. erat orem is ad C, ut B F ad G: s ut v ad C, ita C ad D E. quare veBF ad G, ita G ad G P: ct propterea cy media proportionalis est inter Og F, FB. quod
Sed ut A F ad F Η, ita E D ad C.) Proxime enim ostendimus E D ad C ita esse, ut BA F ad V, hoe est ad F Hipsi G aqualem. Ergo ut E D ad D,ita quadratum E D ad quadratu m C,& quadratum Α Μ ad quadratum M B. Nam ut E 'o ad C, ita est C ad Da ct in C ad D, ita poma est is Arad M E. quare ut E D ad C, ita a Mad M Br σ ideo ut quadratam Δ D ad quadra- stati atam C, ita quadratum A M ad quadrarum M d. vi igitur E D ad D, ita est quadratum . EB ad quadratum C, quadratum Ar ad quadratum ME.
Vt autem E D ad D, ita posita est AF ad FB . I Superias naque demonstratum es3, Din E D ad , F, ira esse is ad B F, quare re permutando ut E D ad D, ita A F ad FE. Et ex ijs Quae proxime dicta sunt, si a puncto B dueatur linea ipsi A M aequiui- ΕΩans: ut A F ad F B, ita demonstrabitur quadratum Α F ad F Μ quadratum.J Du-
ιών per A ad M F linea B N, qua ipsi a rar aquid ster. , erit ob similliadinem triam gulorum A M F, S N F, ut e re ad FB, ita a s uad B N. Irariae quoniam vi e F ad 4 seni. F B, ste est quadratum e M ad quadratum M B; ct sis quadrarum e M ad quadratum re erit quadratum A M ad quadratum ME, ut quadrarum A F ad FH quadwarum; 33. irati. Er propterea linea e Ar ad AsB,ut A F ad F H; convertendoque Ag B M a s ac vi F Had a F. erat autem a s ad B N, ut e F ad FP. quare ex aquasi Ar B ad B .i H F ad FB. sed est A M ad M B, ut a F ad F f ut F ad F H, ita H F ad F S. eeto se e g Jr ad Ag B, ita AsBME N. Quoniam igitur etrea aquales angvio s. primu A Ar B, M E N latera proportionalia sunt: erit triangulum e fas B simile triavolo .. sς xi af N B;Gr angatus B eis M aquHis angulo N M B. sed triangulorum M M F, A Favultis F A Mest a Malis angulo F M E; ct angulus ad F utrique eommunis. ergo ct reli aus reliquo equatis , ct triangulum triavgulo simile erit . quare ut e F ad F Ag, sexti . ita est F M ad F R. ut igitur prima A F ad F A tertiam , ita quadratum A F ad F si ζ'
i SI ab aliquo puncto ad circunferentiam circuli, qui non sit in eo- Adem plano, in quo punctum, coniuncta recta linea in utranque partem producatur; & manete puncto convertatur circa circuli cim cunferentiam, quousque ad eum locum redeat, a quo coepit moVeri: superficiem a recta linea descriptam , constanteque ex duabus superficiebus, ad verticem inter sese aptatis, quarum utraque in i finitum augetur, nimirum recta linea, quae eam describit, in infini-B tum