장음표시 사용
41쪽
vel ad eam, quae in dir bim ipsi constituitur: recta linea, quae a sectione coni ducitur aequid istans communi semoni planorum usque ad diametrum sectionis, poterit spatium adiacens lineae, ad quam sectionis diameter eam proportionem habeat, quam qua dratum lineae diametro aequidis antis a vertice coni usque ad trianguli basim dume, habet ad reflangulum contentum basis partibus, quae inter ipsam & rectas trianguli lineas interi jciuntur; latitudinem habens lineam, quae ex diametro ab ipsa abscinditur ad
verticem sectionis, deficiensque figura simili,& similiter posita
ei, quae diametro, & linea iuxta quam possunt, continetur. dicatur autem huiusmodi sectio ellipsis.
Sit conus, cuius vertex Α punctum , basis circulus B C; & secetur plano per axem, quod sectionem iaciat triangulum A BC ; lecetur autem & altero plano, conveniente cum utroque latere trianguli per axem, neque basi coni aequid istante , neque subcontrarie posito, quod faciat sectionem in superficie coni lineam
D E; & communis sectio plani secantis, atque eius , in quo est basis coni, sit F G perpendicularis ad BC; diameter autem sectionis E D: & ab E ducatur E H ad E D perpendicularis ; persue A ducta A Κ ipsi E D aequid illante, fiat ut quadratum Α Κ ad rectangulum ΒΚ C, ita DE ad EH; sumatur praeterea in sectione punctum L; & per L ipsi F G aequidistans ducatur L M . Dico L M posse spatium, quod lineae E H adiacet, latitudinem habens E M, deficiensque figura simili ei, quae D E id continetur. Aiungatur enim D H ; per- fra
puncta ipsi E M aequi distates ducantur H N, XO; p stremo per M ducatur P MR arquid illans B C. Itaque quoniam P R aequid illat BC: &LM ipsi FG: erit planum ductum per L M, P R aequi distans plano per F G, B C ducto, hoc est basi coni. si igitur planum per L M,PR producatur: siet sectio circulus, cuius diameter P R. Sest LM ad ipsam perpendicularis . ergo rectangulum P M R aequale est LM quadrato . quod eum sit, ut quadratum A Ic ad rectangulum B Κ C, ita D E ad E Η : & proportio quadrati A K ad rectangu lum B K C componatur ex proportione, quam habet A K ad K B , & ex ea, quam A L habet ad K C. ut autem A K ad Κ Β , ita E G ad G B , hoc est E M ad AI P : & ut A K ad K C, ita D G ad G C, hoe est D Mad M R . erit proportio D E ad EII composita ex proportione E M ad Μ Ρ , &ex proportione D M ad M R . sed proportio composita ex proportione E M ad M P, & D M ad M R est ea , quam E M D rectangulum habet ad rectangulum P M R . quare ut rectangulum E M D ad ipsum P M R , ita D E ad E H , videlicet D Mad ΜX. ut autem D Mad M X, sumpta M E communi altitudine, ita rectangulum D ME ad rectangulum X ME. ergo ut D ME rectangulum ad rectangulum
42쪽
gulum PMR, ita erit D M E rectangulum ad ipsum XM E. aequale igitur est recta-gulum PMR rectangulo XΜE. sea rectangulum P M R demonstratum est aequale quadrato L M. quare & ipsum X ME quadrato L M aequale erit . linea igitur L M potest spatium M O: quod quidem lineae E H adiacet, latitudinem habens EM, deficiensque figura O N simili ei, quae DBH continetur. Vocetur amtem huiusmodi lectio ellipsis: & linea E H , iuxta quam possunt, quae ad diametrum D E ordinatim applicantur; quae quidem & recta vocabitur; E D vero transversa.
SCIRE oportet hoc theorema tres habere deseriptiones , ut sapias dictum est in ellipsi: vel enim D E convenit eum iatere e C supra C panctum , vel in sese C , veι infra cum
LINEA igitur L M potest spatium Μ O: quod quidem linea: E H adiacet, latitudinem habens E M, deficiensque figura O N simili ei, quae DEH cominetur
THEOREM A XIIII. PROPOSITIO XIIII. SI superficies, quae ad verticem sunt, plano non per Verticem, secentur ; erit in utraque superficierum sectio, quae vocatur hyperbole ; & duarum sectionum eadem erit diameter: lineae vero, iuxta quas possunt applicatae ad diametrum aequidistantes ei, quae est basis coni, inter se aequales erunt , & figurae trarisversum latus utrisque commune ; quod scilicet inter sectionum vertices interi j-citur. Vocentur autem huiusmodi sectiones oppostae.
Sint ad verticem superficies, quarum vertex A punctum: & secentur plano non per verticem, quod sectiones faciat in superficie lineas D E F, G ΗΚ. Dico utranque sectionum D E F, G H Κ hyperbolen esse. Sit enim circulus BD CF, in quo fertur recta linea superficiem describens; ducaturque in superficie, quae est ad verticem, planum ipsi aequid istans X GOK; & eommunes sectiones ipsarum sectionum D EF, G ΗΚ , & circulorum sint F D, G Κ , quae & aequiuistantes erunt: axis autem conicae superficiei sit recta linea L A Y circulorum centra L, Y; & ab L ad lineam FD perpendicularis ducta producatur ad B, C puncta ; perque BC, α axem planum ducatur, quod secti nes faciat in circulis quidem rectas lineas X O, B C aequidistantes, in super ficie vero ipsas BAO, CAX; erit X O ad G Κ perpendicularis i quoniam& BC perpendicularis est ad FD; & utraque est aequi distans. Quod cum planum per axem ductum sectionibus occurrat ad puncta M, N , quae sunt intra lineas: plane constat ipsum etiam lineas secare in Id, E. ergo puncta M,E,FI,Nerunt di in plano per axem & in eo in quo sunt lineae ipste: & propterea MEHNrecta
43쪽
recha Iinea erit . constat etiam puncta X, Η, A, C in eadem recta esse: iteque. B, E, A, O ; quod sint in super te conica, S in plano per axem. Ducantur ergo a punctis Η,R ipsi H E ad rectos angulos lineae Η R, E P; perque A lineae M Ε Η Νaequidistans ducatur S A T :& fiat ut quadratum A S ad rectangulum B SC, sic H E ad E P; & ut quadratum A T ad rectangulum o TX, sic E H ad H R. It
que q uoniam conus, cuius vertex A , basis B Ccirculus, seratur plauo per axem, quod sectionem facit triangulum ABC; secatur autem & altero plano, secante basim coni secundum rectam lineam D M P, ad B C perpendicularem, quod sectionem iacit in superficie D E F lineam, diameterque M E producta cum uno latere trianguli per axem extra coni verticem convenit; & per
punctum A diametro sectionis E M aequi dis ansducitur A S; ab E vero ducitur E Ρ ad rectos an .gulos ipsi E Μ; atque est ut quadratum A S ad rectangulum B S C,ita H E ad E P: erit ipsa DEFfectio hyperbole ; & E Ρ recta linea , iuxta quam possunt, quae ad EMordinatim applicantur ;trasversum vero figurae latus HE. Eadem ratione& G H Κ hyperbole erit, cuius diameter H N: recta linea H R, iuxta quam possunt ordinatim ad H N applicatae, & H E transversum figuraelatus . Dico praeterea H R ipsi E P aequalem esse. Quoniam enim aequidis antes sunt B C, X O: ut
A S ad S C, ita erit Α T ad T X; & ut A S ad S B, ita AT ad TO. sed proportio A S ad S C una eum proportione A S ad S B est ea, quam habet A Squadratum ad rectangulum B S C :& proportio A T ad T X una cum proportione A T ad T Oest, quam habet quadratum AT ad rectangulum X T O. ergo ut quadratum A S ad rectangulum B S C,ita quadratum AT ad rectangulum XTO. ut autem quadratum A S ad B S C rectangulum, ita HE ad ΕΡ: & ut quadratum A T ad rectangulum XTO, ita H E ad H R . ergo ut H E ad E P, ita E Had H R. aequalis igitur est E Ρ ipsi H R.
POTERAT etiam hoe modo ostendi ; ut quadratum A S ad rectangulum RS C, ita esse qώadratum T ad XTO rectangulam . Quoniam enim aqaidi stant BC , x O rerit ut C S ad S A, ita a T ad T e . Er eadem ratione ut e S ad S B, ita A T ad To. ergo ex aquali ut C S ad S E,ita X T ad T O. ct ideo ut quadratnm C S ad resta stil&m C S B, ita quadratum X T ad rectangatam x T O . sed propter similitudinem triangulorum ut quadratam e S ad quadratam S C, ita quadratum e T ad qnadratum T X . quare ex aquati ut e S quadratum ad rectangulum B SC, ita qώ-νatum e T ad rectangatum XTO. atque est ut quariatum M S ad rectangatum BSC, ita H E ad E P : σ kt quadratum AT ad rectangulum XTO, ita E M ad HR. ut ergo M E ad EP, ita E H au HR. aqualis igitur es Em ipsi H . me theoremae sum non habet, propositaem antem idem est, quod etiam in rribus f perioribus : simialiter enim O appositarum Iectionum principalem diametrum inqώιrit; ct lineas , iuxta qu 'fiunt, qua ad ipsam ordinatim applicantur.
44쪽
SI in ellipsi a puncto, quod diametrum bifariam dividit, ordi
natim dum linea ex utraque parte ad sectionem producatur , &fiat ut producta ad diametrum, ita diameter ad aliam lineam: recta linea, quae a sectione ducitur ad productam, diametro aequia distans, poterit spatium adiacens tertiae proportionali, latitudianem habens lineam, quae inter ipsam, & sectionem interij citur,d ficiensque figura simili ei, quae continetur linea, ad quam ducum tur , & ea iuxta quam possunt. Quod si ulterius producatur ad alteram partem sectionis, bifariam secabitur ab ea, ad quam arplicata fuerit.
SIT ellipsis, cuius diameter A B, seceturque AB bifariam in C punctos & per
Cordinati in applicata ex utraque parte ad sectionem producatur, quae sit DCE
a puncto autem D ipsi D E ad rectos angulos ducatur D F; fiatque ut D E ad A B, ita A B ad D F: & sumpto quolibet puncto G in sectione, per G duc tur G H ipsi AB aequid istans,& iungatur EF;deinde per H ipsi DFaequi distans ducatur HLi& per F,L ducantur ipsi H D aequi distantes F Κ, L Μ. Dico lineam G Hposse spatium D L: quod quidem adiacet linea: DF, latitudinem habens DΗ deficiensque figura F L simili ei, quae E D F continetur. Sit enim linea A N, iuxta quam possunt ordinatim applicatae ad A B ; iungaturque B N : & per
G quidem ipsi D E aequid istans ducatur G X; per X,C ipsi AN aequi distantes XO,C P; per N, Ο, Ρ vero ducatur NYMOS, ΤΡ, aequid istantes ipsi A B. aequale igitur est DC quadratum rectangulo A P, & quadratum G X rectangulo Α Ο. Itaque quoniam ut B A ad A N , ita est B C ad C P, & P Τ ad T N. aequalis autem B C ipsi C Α, hoc est ipsi P T: & CP ipsi T N, & B P ipsi P N aequalis erit. ergo A P recta-gulum aequale rectangulo TR, & rectangulum XTipsi TY. quod cum rectangulum O T rectangulo O R aequale sit, commune autem N Ο : erit rectangulum T Y ipsi N S aequale. sed T Y est aequale
T X , & commune Τ S. totum igitur rectangulum N P, hoc est PA , aequale erit rectangulo Α Ο una cum P O rectangulo. quare P Α rectangulum superat rectangulum Α Ο ipso o P. est autem P A rectangulum aequale C D quadrato: rectanguluque Α O aequale q uadrato X G, & o P ei, quod lineis O S P continetur . ergo C D quadratum superat quadratum X G ipso O S P rectangulo . & quoniam N linea D E secatur in partes aequales in C puncto,&in partes inaequales in H : rectangulum E H D una eum quadrato CH, hoc est X, G aequale erit CD quadrato. ex quo sequitur, quadratum CD superare X Gquadratum rectangulo EHD . superabat autem, ut monstratum est, & rectam
45쪽
sexti. s. quinti. II. huius.14. sexti.
gulo O S Ρ . rectangulum igitur EH D rectangulo OS Pellaequale. Praetereatacitin sit ut D E ad A B , ita A B ad D F: erit ut D E ad D F, ita D E quadratum ad quadratum A B, hoc est quadratum C D ad quadratum CB. atque est quadrato C D aequale P C A rectangulium, hoc est P C B. ut ergo ED ad DF, hoc est ut E H D rectangulum ad rectanguntin D H L , ita rectangulum P C B ad C Bradratum, hoc est rectangulum P So ad quadratum OS. sed rectangulum H D aequale est ipsi ΡSo. rectangulum igitur Dri L quadrato OS, hoe est quadrato se Hesi aequale: & iccirco linea G H potest spatium DL, quod adiacet lineae D F latitudinem habens D Η, deficiensque figura F L simili ei, quae E D Fcontinetur. Dico insuper G H productam ad alteram partem sectionis ab ipsa D Ebisariam secari. Producatur enim, occurratque sectioni in puncto U: dc per V ipst G X aequid istans clueatur V in& per inlucatur Z aequid istans A N. Quoniam igitur GX ipsi V Qest aequalis: erit G A quadratum aequale quadrato Uinqua- loratum autem G X aequale est A X O rectangvio: & quadratum U aequale rectangulo A dZ. ergo ut O X ad Z Q, ita co ad A X. & est ut O X ad Z Q, ita X B ad B a. ut ergo Q. A ad A X, ita X B ad B & dividendo ut u X ao X Α, ita X Q ad deB. aequalis igitur est A X ipsi in . est autem A C aequalis C B. quare& reliqua X C reliqua: C des de iccirco G H ipii H V est aequalis . linea igitur G Hproducta ad alteram sectionis partem ab ipsa D E bifariam secabitur.
THEOREM A XVI. ΡROPOSITIO XVI.
SI per punctum, quod transversum latus oppositarum sectionum bifariam dividit, resta linea quaedam ordinatim applicetur: ipsarum diameter erit, priori diametro coniugata.
Sint oppositae sectiones, quarum diameter A B: seceturque A B bifariam in Cpuncto , Ac per C ordinatim applicetur CD. Dico C D diametrum esse coniugatam ipsi AB. Sint enim, iuxta quas pollunt ordinatim applicatae A E, BF; & iunctae A P, B E producantur: sumpto autem in altera sectione quovis puncto G, ducatur per G ipsi A B aequidistans G H, & a punctis G, H ordina - tim applicentur G Κ, H L; deinde a punctis Κ, Lipsis AE, 'BE aequid istantes clueantur Κ M, L N. Quoniam igitur aequalis est G Κ ipsi HL: erit GL quadratum quadrato 1 ILaequale. sed quadratum GK aequale est rectangulo AL Mata quadratum H L tectangulo B L N. ergo A Κ M rectangulum rectangulo B L N aequale erit. & clan aequales sint Α E, B F; erit ut A E ad A B, ita BF ad B A. ut autem AE ad Α Β, se M K ad K B: & ut F B ad B A, sic NI L ad L A. quare ut Μ K ad K B, sic N L ad L A. sed ut M Κ ad Κ B, sumpta Κ A communi altitudine, ita rectangulum M L A ad rectangulum BKA : & ut N L ad LA, sumpta communi altitudine BL, ita NLB rectangulum ad rectagulum ALB. ergo ut rectangulum M L A ad rectangulum B Κ A, ita rectangulum N LB ad ipsum A L B: & permutando ut ΜΚArectangulum ad rectangulum N L B, ita ΒΚΑ rectangulum aci rectangulum A L B. est autem rectangulum ΝΙΚΑ aequale rectangulo NLB. quare & ΒΚΛ rectangulum rectangulo A L B: & propterea linea A K lineae L B aequalis erit . estque A C aequalis C B. ergo & tota Κ Ctoti C L: ω ideo G X ipsi , hi a qualis . linea igitur G H ab ipsa XCD bifariam . Reabitur. atque est ipsi A B aequid istas. ergo & XCD diameter crit coniugata AB.
46쪽
QVARE & B Κ A rectangulum rectangulla Α L B: & propterea linea Axlinae A
e ni idvertendum autem est in quintodeeimo , ct sexto det ima theoremate Apollonio propositumsuisse , ut fecundas ct eoniugatas, quas vocant, diametros inquireret, tum ellipsis, tum hyperbola , seu opposita-rtim sectionum e parabole enim eiusmodi diametrum non habet. Sed σ illud notatione dignum est , diametros ellipsis intra recipi: hyperbola verὸ , oppo tinum sectionum diametros describi extra. Oportet autem tineas, iuxta quas possunt ordinatim applicata, seu recta tatera braca - πλμὼ dicunt r lineas , qua ipsis aquidictant , ad rectos angulos aptare rordinatim veri applieatas, G secundas diametros non
omnino . maxime tamen deberent in acuto aetulo ap
plicari , ut long. alia, ct diversa ab eis , qua recto fateri aqui Upant, deprehenderentur. Post sextam decimam theorem dignitiones tradit eius , qvia fecunda diameter appellatur ispe=Miacst HIUM: qaibas quidem nos exsiguris iacem adferre conabimur . Sες hyperbole e B ,eatus diameterVC B P: linea vero, iuxta quam pose sent, qua ad ipsam B C applicantur , sit E E. patetigitur B C in infinitum augeri propter fectionem, ut sensum est in octavo tbeoremate . ted ipsa B D, qaa
subtenditur anguis extra triangulum per axem , ter
minata est . itaque si bifiniam fecta 5 D, i, F, Er a pancto A ordinatim applicata AG , per F linea a quid antem daxerimus es F Κ, ita in M', F i 'γF Κ aqualis , di quadratum H Κ varie rectangula D E Eo ejἰt H x fecunda diameter ; hoc enim Aer. posse perspicuum est , quippe cum H Κ extra sectionem cadens in infinitum produci possit a atque ὰ linea ins-nita eatlibet data linea agariis facilὸ abscindatur . punctum ainem F voeat centrum, O lineam FB, π alias, qua similiter a puncto F ad Metitionem ducuntur , ex centro appellat. atque hac in hyperbola, ct oppositis sectionibar. constat ergo utroque diametrum terminatam esse pprimam quidem per sese ex generatione sectionis, s cundam vero, quod media proportionalis fit inter lineas terminatas , videlicet inter primam diametrum , o eam, iuxta quam possunt, qua ad diametrum ordinatim applicantur . Sed in ellipsi id, quod dictum ess, no dum apparet. Itaque cum ipsa in se ipsam vertar instarcireuli, ct omnes diametrox intra recipiat, atque terminet: omnino in ellipsi, qua media est proportionalis intersigura latera , ducta Ae per eentrum sectionis , ct a diametro bifariam divisa, ab ipsa Iectione term natur . quod ex .s , qua dicta sunt in quinto decimotheoremate ostendere possumus. suoniam enim ut d Nmonseratum est , qua ad lineam D E applieantar aquia
47쪽
F Dr erit M D E ad in B, ita A B ad D F. quam A B media proportionalis est inter E D, D F. Gr iccirco , qua applicantur ad e B, ipsi TI E aquidis tantes, poteriant spatia adiacentia tertia proportionati ipsarum D E, eis B, hoe est linea a N. ergo P EIecanda
. . i diameter media est proportionalis inter E A, NIigura latera. Oportet aatem hae sesere etiam ob commodam Agurarum descriptionem . nam eam ina Males sint in B, D Ediametri; in circulo enim tantum sunt aquales o constat lineam , qua maiori earum ad rectos angulos duritur , ut hoc in loco D F, tanquam tertia proportionalιs ipsarum ΘΕ, sed, utrisque minorem esse ; eam vero , qua ad angulos rectos ducitar minori , ut A tanqaam tertia proportionalis ipsarum A S,D E. viri ae esse maiorem , ita ut gnatuor
continae proportionalei sint . ut enim A N ad D E, sic est D E ad εAE, B ad DF.
DIFFINITIONES sECUNDAEI Punctum, quod hyperbolae, & ellipsis diametrum bifariam
dividit, centrum sectionis dicatur. 2 Et quae a centro ad sectionem perducitur, vocetur ex centro sectionis. 3 Similiter & punctum, quod transversum latus oppositarum sectionum bifariam dividit, centrum vocetur. 4 Quae autem a centro ducitur aequidistans ei, quae ordinatim applicata est , mediaque proportionem habet i ter latera figurae, & bifariam secatur a centro, secunda diameter arpelletur . TI EO REM A XVII. PROPOSITIO XUII. SI in coni sectione a vertice ipsus ducatur recta linea aequidistans ei, quae ordinatim applicata est: extra sectionem cadet.
Sit coni sectio, cuius diameter A B. Dico lineam, quae a vertice, hoc est ab Apuncto ducitur aequid istans ei, quae ordinatim applicata est, extra sectionem callere . Si enim fieri potest , cadat intra, ut A C. Quoniam igitur in coni sectione sumptum est uodlibet punctum C: linea,quae ab ipso C intra sectionem ducitur, ordinatim applicatae aequi- distans, diametro occurrit, atque ab ipsa bifa-RRiv riam secatur . quare Α C producta bifariam secabitur a linea A B, quod est absurdum: quoniam producta extra sectionem cadit. non igitur recta linea, quae a puncto A ducitur ordinatim applicatae aequi distans, cadet intra sectionem . ergo extra cadet: & propterea sectionem ipsam nece Diario continget.
EUCLIDES in quinto decima theoremate tertii libri elementoram ostendit lineam, qua ab extremitate diametνi ad rectos angulos ducitur , eadere extras atque circulu- um contingere t Apollonius autem hoc loco uniuersiae quoddam demonstrat, quod tum tribus cousjectionιbus , tum circalo convenire potest . hoe enim disere cireulias a conis Πιonibus ; quod circulo ordinatim anticata perpendiculares sunt ad diametrum . neque
48쪽
qve enim alia linea Ipsis equidistantes a diametro eiscuti bifariam dividuntuμ r at in tr bus see ionibus non omnino perpendiculares ducuntur , prauerquam adsolos axes.
THEOREM A XVIII. PROPOsITIO XVIII. SI recta linea coni semoni occurrens, productaque in utranque partem extra sectionem cadat, sumatur autem aliquod pu
ctum intra sectionem, & per ipsum ei, quae sectioni occurriti aequia distans ducatur: ducta linea,& producta ex utraque parte, sectio
ni occurret. SIT eoni sectio, atque ipsi occurrens recta linea APB, quae producta in utranque partem extra sectionem cadat: sumpto autem in- ό ntra sectionem puncto aliquo C; per C ipsi A B aequi- i Z ii idistans ducatur C D. Dico C D productam ex utra- i i . que parte sectioni occurrere. Sumatur enim aliquod Qx punctum in sectione, quod sit E ; & iungatur E F.
Quoniam igitur linea AB lineae CD aequidistat. ipsi- si 'ue A Boccurrit recta linea E P. & CD producta Ai ipsi E F occurret. & siquidem eadet inter E,P pun- I cta, perspicuum est ipsam sectioni occurrere : si vero IV hi extra E , sectioni prius occurret. ergo CD prodi,
eta, ut ad partes D E, occurrit sectioni. similiter de- monstrabitur, &ad partes AF eidem occurrere . linea igitur CD producta ex utraque parte sectioni Occurret. εIN aliquibus exemplaribus hae theorema in parabola , ct hyperbola hantummodo pro positum ostendit sed tamen prastat propositionem universaliorem esse ; quanquam deest si , Mi minime dubium , ab illis pratermissum videri potest , linea enim C D intrafectionem terminatam existens, si producatur ex utraque parte , necessario ipsam secabit. Selendam autem est , eandem congruere demonstrationem , etiamsi linea A F Ffecet ipsam sectionem. . . ,
IN omni sectione coni recta linea , quae a diametro ducitur
ordinatim applicatae aequidistans, cum sectione conveniet.
SIT coni sectio, cuius diameter A B : sumaturque aliquod punctum B in diametro ; & per B ducatur B C aequidistans ei, quae Aordinatim applicata fuerit. Dico BC productam ' cum sectione convenire. Sumatur enim quodlibet Z punctum in sectione D. est autem & punctum A in / Al sectione. ergo a pundae A ad D ducta linea intra j sectionem cadet. Quoniam igitur, quae ab A ducta Z a est ordinatim applicatae aequi distans, cadit extra .sectionem ; & cum ipsa convenit AD , iteque / B C aequidistat ei, quae ordinatim applieata est: ...
49쪽
sequitur, ut BC etiam cum AD conveniat. & siquidem convenit Inter puncta A,D; perspicuuin est cum sectione quoque convenire: si vero extra D, ut ad punctum Ε, prius conveniet cum sectione. ergo recta linea, quae a puncto B ducitur ore, natim applicatae aequidistans, cum sectione conveniet.
THEO REM A XX. PROPOSITIO XX SI in parabola duae rectae lineae a sectione ad diametrum o dinatim applicentur: ut eorum quadrata inter sese, ita erunt & lianeae, quae ab ipsis ex diametro ad verticem abscinduntur.
SIT parabole, cuius diameter A B: & in ipsa sumantur puncta quaepiam C,D ; a quibus ad Α Β ordinatim applicentur CE , DF. Dico lineam F Α ad ipsam A E ita
esse, ut quadratum lineae D F ad quadratum C E. Sit enim linea A G, iuxta quam possunt ordinatim applicatae : erit quadratum D F rectangulo F Α G aequale; & quadratum CE aequale rectangulo E A G. quare ut quadratum DF ad quadratum C Ε, ita rectangulum F A G ad rectangulum E A G . ut autem rectangulurr F A G ad rectangulum L Α G, ita linea P A ad lineam A E . ergo ut quadratum D F ad quadratum C E , ita erit F A ad Α E. E UT OCIUS.
R hoe theoremate inclytenr Apollonius deinceps in omnitas Meldentia , qua ipsi parabola infunt , Er non alii cuipiam, magna ex parte ostendist deinde huerbola, eli psi, s eiretilo eadem inesse demonstrat. Quoniam autem non inatile ussum es iis , qui mechanica tradunt, ob mstrumentorum penuriam , Iapenumero per continuata punctaeoni sectiones in plano describere o ex hoc theoremate suppeditatur modus fumendi ea puncta continuata, per qua parabale regula adminiculo designatur . si enim exponamus rectam lineam , ut AB ct in ea fumamus puncta continuata E, F, a qώibus ad retitos
angulos ipsi in B lineas E C , F i duramos o sumpto in linea E C quolibet puncto C a longius qaidem ab E, si latiorem parabolam acere libuerit; si vero angustiorem napiui ae t A E ad A F , ita quadrasum EC ad quadratam FfD ; pancta C , D in sectione erunt. similiter selem sumentur σ alia puncta, per qua parabole tua describetur.
THEOREM A XXI. PROPOSITIO XXI.
SI in hyperbola, vel ellipsi, vel circuli circunferentia, rectae
lineae orὰinatim ad diametrum applicentur: erunt quadrata earum ad spatia contenta lineis; quae inter ipsa , & vertices transversi lateris figurae interi j ciuntur, ut figurae rectium latus ad transversum; inter sese ve ro, ut spatia, quae interiectis, ut diximus, lineis continentur.
SIT hyperbole, vel ellipsis, vel circuli circunferentia , cuius diameter A BI. linea autem, iuxta quam pollunt applicatae, AC; & ad diametrum applicenturi . ordi-
50쪽
ordinatim D E, FG. Dico ut quadratum P G ad rectangulum AsB, Ita erilineam AC ad AB: ut vero quadratum FG ad quadratum DB, ita rectant Ium AGB ad rectangulum ΑΕΒ . Iungatur enim BCnguram determinans:& per E,G puncta ipii A C aequiuillantes ducantur E H, G Κ . quadratum igitur P G aequale est rectangulo Κ G Α, & quadratum D E rectangulo H E AQuoniam autem ut ΚGaa G B, ita est C Λω AB. di ut RG ad G B, sumpta A G communi altitudine , ita rectangulum ΚG A ad rectangulum BGΑ . erit ueCΑ ad Α B, ita rectangulum Κ G Α, hoc est quadratum F G ad rectam i a.quialigulum B G A. Eadem ratione demonstrabitur etiam, ut quadratum D E ad rectangulum B EA, ira C A ad AB. ergo ut quadratum F G ad rectanoilum B G A , ita quadratum DB ad BE Α rectangulum: & permutando ut quadratum FG ad quadratum D E, ita rectangulum B G Α ad rectangulum B EA.
THEOTUIMA manifest. exponitur , ct ea m non habet . oportet autem sire lineisam , iuxta quam possunt, videlicet rectam figura iatus in circulo quidem diametro aquale esse . Quoniam enim C A ad AB est, ut quadratum D E adrectangulum in E B. qum
i eirca erantia ordinasim I si Mapplicantur, ad diametrum ' lperpendieularet esse, atque I I V ii
regata adminicula describemus. Exponaturenis recta timea -P, ct in innitum madmcatur ad G ; a puncto autem -- rector angulor ipsi A B dxeat ν A C i trunctaque R C, re producta , fumaritur in linea in s puncta quadam L G; d quibus Usie C quid am