장음표시 사용
261쪽
SINT Oppositae sectiones ABC, D:le hypero Ie AGE sectionem ABC contingat quidem in puncto A; secet vero in B, C: & ipsi ΑGC opposita sit sinio E. Dico E sectioni Dnon occurrere. Si enim fieri potest; occurrat in D: iunctaque B C producatur ad F ; & a pun- , cto A clueatur linea A F contingens. Similiter demonstrabitur punctum F esse intra angulum asymptotis contentum: & linea Λ F utrasque sectiones continget; & D P producta secabit sectiones inter A B, videlicet in punctis G,Κ:qua vero proportionem habet C F ad F B, habeat C L ad L B; & iuncta A L producatur, quM r. huius . sectiones in alio atque alio puncto secabit. secet in M,N . ergo quae a puncto F ad M,N ducum ια primi tur vitiones contingent: & similiter ijs, quae, huius , se dicta sunt, propter alteram quidem sectionem Pormuta- ut X D ad D P , ita erit X Gad GP; propter alteram Vero ut X D ad D F , ita X K ad K F. quod fieri non potest. non igitur sectio alteri oppositarum Occurret.
SI hyperbole,unam oppositarum sectionum contingens,in sto puncto secet, quae ipsi opponitur sectio,alteri oppositarum non
occurret praeterquam in uno puncto.
SINT Oppositae sectiones A B C, E F G: & hyperbole quaedam D A C eontingat Α Β C in Α, & in C secet; opponaturque ipsi D Α C sectio E F H. Dico eam
alteri oppositarum non . currere praeterquam Hin uno puncto. Si enim fieri potest; occurrat in duobus punctis E,F: iungaturque E F; &per A ducatur sectio. nes contingens A L. vel igitur Α Κ , E F aequi-esistantes sunt inter se , vel non. sint primum A aequidistantes et & du-eatur diameter bifaria serans ipsam A F, quae per A transibit; atque
erit diameter duarum coniugatarum. ducatur etiam per C linea C L D B aequidistans ipsis A Κ, E P. seeabit igitur eas sectiones in alio atque alio puncto: & in altera quidem erit C L aequalis L D; in altera vero CL aequalis L B. quod fieri non potest. Sed non sint aequid istantes AK s
262쪽
A K , E F ; & conveniant in K: linea vero C D,ipsi A Κ aequidistans ducta,eo veniat cum E F in N; de diameter A M,bifariam dividens E F , sectiones in punctis X,O secet; atque ab X,Ο ducantur X Ρ,O R sectiones contingentes. erit igi- Btur ut quadratum A P ad quadratum Ρ X, ita quadratum A R ad quadratum CR Ο,& propterea ut rectangulum D N C ad rectangulum E N F, ita rectangulum B N C ad rectangulum E N F. ergo rectangulum DNC rectangulo DB N C est aequale. quod fieri non potest.
F E D. C o M M A N D I N V S. ET ducatur diameter bifariam secans ipsam EF, quae per A transibit. I Si Aenim fieri preest ; diameter a medio linea E F ducta non transeat per e , sed per aliud punctum d ct ducatar linea d puncto e ad meditim E F. erit Σ' ea diameter ex-θ- candi huius. quare dua diametri inter se extra centrῶ einvenient, quod est absurdum.
Erit igitur ut quadlatum A P ad quadratum P X, ita quadratum Α R ad B
quadratum R O. ob similitudinem trianguloram eis P X , a Rdo . Et propterea ut rectangulum D N C ad rectangulum E N F, ita rectangulum CB N C ad rectangulum E N F. Est enim eae I p. tertis huius , ut quadrMum A P ad quadratum P X , Da rectangulum P NC ad rectangulum E N F , ct ita rectangu-um B NC ad idem E N F. Ergo rectangulum DNC rectangulo BNC est aequale. Ex nona quinti Ele- D
THEOREM A XLVIII. PROPOSITIO XLVIII SI hyperbole unam oppositarum sectionum in uno puncto contingat , quae ipsi opponitur sereo, alteri oppostarum non O curret ad plura puncta, quam duo.
SINT Oppositae sectiones A B,D E G: & hyperbole A C sectionem A B in puncto A cotingat; sitque ipsi A C opposita sectio DEF. Dico DEF non occurrere sectitoni D E G ad plura puncta, quam
duo. Si enim fieri potest; occurrat ad puncta tria D, E,H : & clueatur tecta linea Α Κ, sectiones AB, A C contingens, iuncta vero D EProducatur: 6c sint primum A Κ, DE inter se aequi distantes: ccetur que D E bifariam in La dc iungatur Α L. erit igitur A L diameter
duarum coniugatarum , quae sectiones inter puncta D, E secat in N, N: quoniam D L E in puncto Lbifariam secta est. ducatur ab H inea HX GF aequid istans DE . ergo in altera quidem sectione
erit HX aequalis X F; in altera verb HX aequalis X G quare X F ipsi X G est aequalis: quod fieri non potest . Sed non sint A Κ, D E aequid istante ἄconveniantque in Κ,& reliqua eadem fiant: producta verb A K occurrat ipsi F Hin R. similiter atque in iis, quae dicta sunt, demonstrabimus, ut rectangulum
263쪽
D X. E ad quadratum AK in sectione FDE, ita esse rectangulum FRII ad quadratum R A: & in sectione G D E, ita rectangulum G R H ad quadratum R A. rectangulum igitur G R H aequale est rectangulo F R H . quod fieri non potest. ergo D E F ipsi D E G ad plura puncta quam duo non occurret.
INTELLIGOstra hyperbole , qaa unam oppositarum sectionum contingit, vel ad easdem partes concava habent alioquin hμ vera non essent,rtiod ex I 2.huius manifesto apparere potest.
THEOREM A XLIX. PROPOSITIO XLIX. SI hyperbole contingat utranque oppositarum sectionum ιquae ipsi opponitur secto,nulli oppositarunt Occurret.
A SINT Oppositae sectiones A, B: & hyperbole A B utranque ipsarum in punctis A, B contingat; opponaturque ei lectio E. Dico E nulli sectionum A, B occurrere . Si enim fieri potest; occurrat sectioni A in D: &a punctis A, B ducantur lineae contingentes sectiones, quae quidem intra asymptotos sectionis A B covenient. B conveniant in C: & iungatur C D. ergo C D est in t c eo intermedio inter A C, C B. sed est etiam inter B C, C P ; quod fieri non potest. non igitur sectionibus A, doppolitis occurret.
A DICO E nulli sectionum A, B occurrere . J Datamar enim a puηctis a Z linea
x s.letudi eontingente sectiones , qua conveniant inter se in IunIIo C , videlicet intra angulum huius . fectionem A B continentem . Iraque constat lineas se C , B C , si producantur, Hym dς ψ phoris festionis E non accurrere , sed tuas continere , ct multo magis centinere festio ''I. Mi nem E. QVniam stitur A Cfectionem a s D contingit,non Oecurret ipsi B s. similiter huius. ostendemus lineam S C Iectioni Og D non occurrere. ergo Iectio E nulli ipsinum A Dia, B 9 Iectionum occurret.
FED. COMMANDINUS. B LRGO C D est in loco intermedio inter A C, C B. J Me est a puncto D secti.-n s E D daeia livea ad C intra angulum e C B cauet. c Sed est etiam inter B C, C F .) Quoniam enim linea B c fectionem V eontivit; pro IZa nou occurret opposiva festioni A D. quare sit apotia, D eiusdem festionis Iinea ducatur ad C; intra angulum B C E cadet: quod est a arduo. Oribas enim i
SI utraque oppostarum sectionum in uno puncto contingat, ad easdem partes concava habens, in alio puncto non Occurret. x CON. Di tiroc by Coos
264쪽
LIT CONTINGANT enim sese oppositae sectiones in punctis A,D. Dico eas in alio puncto sibi ipsis non occurrere. Si enim fieri potest; occurrant in E. & quinniam hyperbole unam oppositarum sectionum in D contingens , secat in E : sectio A B ipsi A C praeterquam in uno puncto non occurret. ducantur a punctis Α,D lineae A H, H D; quae sectiones contingant: iunctaque AD, per E ducatur E B C ipsi A D aequidistans ; & per H ducatur secunda diameter oppositarum sectionum H L Κ, quae steabit A D bifariam in K. ergo utraque ΕΒ, Ε C in puncto L bifariam secabitur: & propterea B L aequalis erit L C a quod fieri non potest. non igitur in alio puncto sibi ipsis occurrent.
SI hyperbole unam oppositarum sectionum contingat in duobus punctis , quae ipsi opponitur sectio, alteri oppositarum
non Occurret. SINT Oppositae sectiones A D B , Ε: & hyperbole A C s ctionem AD B in duobus punctis A,B contingat: oppona- δturque ipsi A C sectio P. Dico F ipsi E non occurrere. Si enim fieri potest; cccurrat in E : & a punctis A, B ducantur contingentes sectiones A G, G B a iungaturque Α Β & E G ; ac producatur . secabit igitur sectiones in alio atque alio puncto e & sit E G C D H. Itaque quoniam ΑG, G B sectiones contingunt; & ΑΒ coniungit tactus : erit in altera quidem coniugatione, ut Η E ad E G , ita Η D ad D G; in altera vero ut H E ad E G, ita H C ad C Ga quod fieri non potest. non igitur sectio F ipsi E occurret.
SI hyperbole unam oppositarum sect
num continSat, conVeXa habens e regione ,
sita, quae ipsa opponitur secto , alteri oppo
sitarum non Occurret. SINT Oppositae sectiones A,B:& hyperbole quaedam Α.D sectionem A in puncto A contingat; ipsi autem A D opponatur F. Dico P sectioni B non occurrere. Ducatur enim a puncto A linea A C sectiones contingens. ergo A C propter ipsam Α D sectioni F non occurret. & propter A non occurret sectioni B. qua-ee A C inter B, F sectiones cadat necesse est: & icci co B sectioni P non occurrere manifesto constat.
hul astratis in M.fecudi huius a
265쪽
APOLLONII PERGIRI THEOREM A LIII. PROPOSITIO LIII
OPPOSITAE sectiones oppostas non secant in pluribus pum
ctis, quam quatuor. SINT Oppositae sectiones A B, C D; & aliae oppositae A B C D , Ε F: & secet
prius ABC D sectio utranque ipsarum A B, C D in quatuor punctis A, B,C, D, ta .ra . convexa habens h regione sita, ut in prima figura apparet. ergo quae sectioni A BCD opponitur, hoc est E F nulli ipsarum A B, C D occurret. Sed ABC sectionem quidem A B secet in punctis A, B, ipsam vero CD in uno puncto C, ut 39.huius. in secunda figura. quare E P non occurret sectioni CD. si autem sectioni ΑΒ currit E F; in uno tantum puncto occurrit: nam si in duobus punctis, sectio t.huiu . ABC, quae ipsi opponitur, non occurret alteri C D. atqui in uno puncto C occurrere ponitur. Quod si A B C sectionem A B E in duobus punctis Α, B secet, ut in tertia figura: curret quidem E F sectioni A B E; sectioni vero D non occur-3 s.huius. ret; atque ipsi A B E currens non occurret ad plura puncta, quam duo. Si ve-- hvm ro A B C D utranque secet in uno puncto, ut in quarta figura; E P nulli ipsarum in duobus punctis Meurret. ergo propter ea, quae dicta sunt , & ipsorum
266쪽
ad plura puncta, quam quatuor. At si sectiones ad easdem partes concavah, beant; atque altera alteram in quatuor punctis Α,B,C,D secet, ut in quinta Ggura : sectio E F alteri non occurret. rursus enim erit Α Β oppositis sectionibus ABC E F occurrens ad plura puncta, quam quatuor. sed neque C D occurret ipsi E F. Si autem, ut in sexta figura , sectio ABC alteri occurrat in tribus punctis; E F alteri in uno tantum puncto occurret. & eodem modo in reliquis die mus . Quoniam igitur iuxta omnes distinctiones constat illud, quod propositum est, oppositae sectiones oppositis ad plura puncta, quam quatuor, non occurrent.
SI oppositae sectiones oppositas in uno puncto contingant, non occurrent sibi ipsis ad alia puncta plura, quam duo.
stin oppositae sectiones Α B,C D; & aliae BCD, EF: & B C D contingae A B in puncto B, convexa habens h regione sita; occurratque primum B C D s aio ipsi C D in duobus punctis C,D, ut in prima figura apparet. Quoniam igitur B C D in duobus punctis secat, convexa habens e regione sita: sectici R F ipsi Α Β non occurret. rursus quoniam B C D contingit AB in B, convexa habens E regione sita: non occurret E F sectioni C D. quare E F nulli sectionum ΑΒ, C D occurret. occurrunt igitur sibi ipsis ad duo tantum puncta C, D. Sed B C s eet C D in uno puncta C,ut in secunda figura.ergo E F sectioni quidem C D non
eurret, ipsi vero A B occurret in uno puncis tantum: si enim in duobus pumctis; non occurret BC ipsi CD. atqui in uno puncto occurrere ponebatur. Quω si B C non occurrat sectioni D, ut in tertia figura; propter ea, quae dicta sunt, Ε F ipsi D non occurret: & non occurret Usi Λ B ad plura puncta, quam duo. At ve o si sectiones ad easdem partes concava habeant; demonstrationes eaedem accommodabuntur . quare iuxta omnes distinctiones illud, quod propc situm est, ex iam demonstratas manifesto constare potest.
SI sectiones oppositae oppostas contingant in duobus punctis , in alio puncto sibi ipsis non occurrent. Gg x sINT
267쪽
Loo APOLLONII PERGAElSINT Oppositae sectiones A B, C D: & aliae A C, E E: & primum in puncti,
A,C sese contingant, ut in prima figura . Quoniam igitur AC utranque AB, 49. huius, C D contingit in punctis A,C: sectio E F nulli ipsarum occurret . Contingant au-jiciuis . . tem sese , ut in secunda figura. simi liter C D ipsi E F non occurrere dentonstrabitur. Sed contingant ut in tertia figura; sectio quidem C A sectionem A B in A, A sectio vero D ipsam E F in F. Et quoniam C A contingit ΑΒ, convexa habens h regione sita,EF sectioni ΑΒ non occurret.rursus quonia F D contingit E F: non occurret C A ipsi D F. Denique si C A contingat A B in Α, & E F contingat ED in E , habentes concava ad easdem partes, ut in quarta figura ; in alio pun-so huius. cto sibi ipsis non occurrent: neque EF occurret ipsi A B. iuxta omnes igitur distinctiones ex iam demonstratis constat illud, quod proponebatur.
F E D. COMMANDINUS. A ET quoniam C Α contingit Α B, convexa habens e regione sita. ride ne hic
locus eorruptus sit, vel Hara tua , nam cum C A eontingat AB, qua ipsi opponit-r , videlicet EF opposita sectioni F D ex quiniquagesima Deanda baias oceurrere nonpo est