장음표시 사용
31쪽
SI conus plano per axem secetur, sumatur autem aliquod punctum in superficie coni, quod non sit in latere trianguli per axem i&ab ipso ducatur recta linea, aequidistans cuidam rectae, quae perpendicularis est a circunferentia circuli ad trianguli basin: triangulo per axem occurret , & ulterius producta usque ad alteram luperficiei partem, bifariam ab ipso triangulo secabitur.
Sit conus, cuius vertex A punctum ; hasis autem circulus B C; seceturque e nus plano per axem, quod communem sectionem faciat triangulum A B C: & ab aliquo puncto eorum, quae sunt in BC circunserentia, ut ab M ducatur MN perpendicularis ad ipsam B C rectam; sumatur quoque in superficie coni punctum D, per quod ipsi M N aequid istans ducatur D E . Dico lineam D E occurrere superficiei trianguli A B C; & ulterius productam in alteram partem coni, quoutaque ad eius superficiem pertineat, a trianguli A B C plano bifariam secari. Iungatur ΑD, & producatur . occurret iam circunserentiae circuli B C. Occurrat in
Κ , & a puncto Κ ad B C rectam perpendicularis ducatur Κ Η L . aequid istans estisitur H ipsi M N . quare & ipsi D E. ducatur ab A puncto ad linea A H. Itaque quoniam in triangulo Α Η Κ, ipsi Η Κ aequidistat DE, eonveniet D Eproducta cum linea AH. est autem A H in plano trianguli ABC. ergo D E trianguli ABC plano occurret. occurrat in F : & producatur D E F in rectum , qu usque ad superficiem coni pertineat in G. Dico D F ipsi F G aequalem esse . Quoniam enim puncta A,G, L sunt & in superficie coni,& in plano per A H, Α Κ, D G, Κ L ducto, quod quidem triangulum est , cum per verticem conum secet: erunt Α,G,L incommuni sectione superficiei coni, &ipsius trianguli . ergo recta linea
est, suae per A,G,L puncta transit . at cum in triangulo AI Κ, ipsi ΚHLhasi aequiui stans ducta sit DG.&a puncto Α ducatur A F Hr erit ut Κ Η ad Η L, ita Disiti rod by Corale
32쪽
ita D P ad F G. aequalis autem est Κ Η ipsi H L, quod in circulo B C perpendicularis ad diametrum ducitur Κ L. ergo & D F ipsi F G aequalis erit.
AMMADVERTENDUM est, non fructra apponi in propositione , oportere rectam lineam iactam a pancto superficiei, equid antem esse cuidam recta , qua a cireuti ei euno entia perpendicularis est ad basim trianosi per axem . nisi enim hoe ita sit , fleri non potest, ut recta linea a triangvio bifariam secetur: quod quidem ex descripta δε-ra manifes. apparet. Nam si linea M N, eui aquidistat B FV, ad φυ- E C non sit perpendieuiaris r neque R L bifariam secabitur . eadem enim ratione costi Ismus, nex Mad ML, ita esse D F ad F G . ergo ct D 9 in partes inaquales fera, tur ad pum m F. poteth autem illis idem , tum infra circulam , tum insuperficie , qua est M ve licem , similiter demonstrari.
F E D. COMMANDINUS. Itaque quoniam in triangulo ΑΗΚ, ipsi HK aequidistat D E, conveniet D Eproducta cum linea AH. J Sequitur Me exsecanda propositione perspectiva Vitellionis . sunt enim D E, H in eodem plano. nam eMm daas aquidistantes Κ M , D E eo iungat recta linea Κ D: er-t, ex septima propositione undecimi elementorum, tres linea H Κ , ΚΘ, D E in eodem plano. sed st in eodem plano funt Κ H, H A, ex secunda propositione eiae em libri. ergo DE, H A in eodem plano sint necesse est.
At cum in triangulo A L Κ,ipsi L H L basi aequid istans ducta sit D G,& a puncto A ducatur Α FH: erit ut X. HadHL, ita DP ad FG. J Blud vero Melam
Sit triangulum ASC ,ου ducta D E is S C aequiri fiam te , a puncto A ad basim duratur a G, quae lineam D Esecet in F. Dico DF ad F Ε ita se, ut BG ad G C.
Quoniam enἰm IR C, . II E aDidistant interse : erunt anoli ABG, AD F aquales ; ite que varies inter se anguli e 9 β , AF D. qua e triangulum A D F simile est triangxlo AB G . emdem 3 3Me ratione triangulum e F E ostendetur ipsi. G C simile. ut igitur B 9 ad D F , ita est ε G ad A F. 9 At e G ad e F , ita 9 C ad F E. Pare ut RG ad D F , ita G C ad F E: ct perm eando At B G ad 9 C, ita S F ad F E .
THEOREM A VII. PROPOSITIO VII.
SI conus plano per axem secetur, secetur autem & altero plano, secante planum basis coni secundum rei iam lineam, quae sit perpendicularis, vel ad basim trianguli per axem, vel ad eam, quae in directum ipsi constituitur: lineae, quae a sectione in superficie coni a plano facta ducuntur aequidistantes ei, quae est per pendicularis ad trianguli basim , in communem sectionem plani secantis, & trianguli per axem cadent, & ulterius produime ad ab teram sectionis partem, ab ea bifariam secabuntur. & siquidem
33쪽
ε. huius. undecimi. undeci. miis APOLLONII PERGAE Irectus sit conus, linea, quae est in basi, perpendicularis erit ad communem sectionem plani secantis, & trianguli per axem : si vero scalenus, non semper, nisi cum planum, quod per axem ducitur, ad basim coni rectum fuerit.
Sit conus euius vertex punctum Α, basis B C circulus; & secetur plano per axem, quod sectionem diciat triangulum ABC; secetur autem & altero plano secante planum, in quo est circulus BC, secundum D E rectam lineam, vel perpendicularem ad BC, vel ad eam, quae in directum ipsi constituitur: cificiat sectionem insuperficie coni, lineam D F E ; communis autem sectio plani secantis,& trianguli ABC sit FG; & sumatur in sectione' D F E punctum H, a quo linea ΗΚ ipsi DE aequi distans ducatur. Dico Η Κ lineae F G occurrere; & ulterius productam ad alteram partem sectionis D F E , a linea F G bifariam secari. Quoniam enim conus , cuius vertex A punctum, & basis circulus B C, plano per axem secatur, quod sectionem lacit ABC triangulum; sumitur autem in superficie punctum H, quod non est in latere trianguli A B C ; estque D Gad BC perpendic laris : ducta per H linea H Κ, ipsi D G aequi distans, triangulo ABC occurret; &ulterius proaucta ad alteram partem superficiei a triangulo bitariam secabitur. &quoniam, quae per H ducitur, aequidistans ipsi D E, occurrit triangulo ABC; atque est in plano sectionis D F E: in communem sectionem plani secantis, & triangu-guli ABC cadet. sed linea F G est communis sectio planorum. ergo per H ducta, ipsi D E aequi distans, eadit in lineam F G; & ulterius producta ad alteram sectionis partem, ab ea bilariam secatur. Itaque, vel conus est rectus, vel triangulum ABC, quod per axem transit, rectum est ad B C circulum, vel neutrum horum contingit. sit primmii conus rectus: tune & A B C triangulum ad circulum BC rectum erit.& quoniam planum A BC rectum est ad planum BC; &ad communem ipsorum sectionem, videlicet ad lineam BC, in ipso B C plano perpendicularis ducta est D Et erit D E & ad triangulum ABC perpendicularis; & ad omnes rectas lineas, quae in triangulo ABC existentes ipsam contingunt. quare & ad lineam F G. Sed non sit conus rectus . si igitur triansulum per axem rectum est ad circulum B C; similiter ostendemus lineam D E ad F G perpendicularem esse. Quod si triangulum per axem A BC non sit rectum ad circulum BC: non erit ipla D E ad FG perpendicularis . sit enim, si fieri potest . est autem & perpendicularis ad B C. ergo D E ad utranque lineam BC, F G perpendicularis erit: & iccirco ad planum, quod per
lineas BC, FG ducitur . sed planum per BC, FG est A BC triangulum. linea igitur D E ad triangulum ABC est perpendicularis. quare & Omnia, quae per iPsam
34쪽
27 sun transeunt, plana ad A B C triangulum recta sunt. planum verb, in quo est cir ia. unde. culus B C per lineam D E transit. ergo B C circulus rectus est ad triagulum A B C: eimi. ac propterea triangulum A B C ad BC circulum rectum erit. quod non ponebatur . non igitur D E ad ipsam F G est perpendicularis.
Ex quibus cons at lineam F G diametrum esse sectionis D F E, io. disti. cum lineas omnes, quae in ipsa ducuntur , uni cuipiam aequid1- hq 'itantes, bifariam secet. constat praeterea fieri polle ; ut lineae aequidis antes a diametro F G bifariam quidem, non autem ad rectos
angulos secentur. l- , EVT OCIUS. t , SEPTIMUM theorema quatuor casas habet ; vel enim FVnon occurris linea AC , vel tribus modis occurrit, aut extra circulum , aut intra, aut in ipso C puncto ,
ΤΗΕΟREMA VIII. P RΟΡ O SI TIO VIII. SI conus plano secetur per axe; & secetur altero plano secante basim coni secundum rectam lineam, quae ad basim trianguli per axem sit perpendicularis ; diameter autem sectionis AElae in superficie,vel aequidistet uni laterum trianguli, vel cum ipso extra coni verticem coveniat, & producantur in infinitum tum superficies coni, tu pla
nu secans: sectio quoque ipsa in infinitum augebitur; & ex diametro sectionis ad verticem cuilibet lineae datae aequale abscindet linea,quae quide a coni sectione ei, quae est in bas, aequidistans ducta fuerit.
SIT conus, cuius vertex A punctum, basis circulus B C ;& secetur plano per axem , quod sectionem faciat triangulum ABC: secctur etiam altero plano secante B C circulum secundum rectam lineam D E perpendicularem ad ipsam B ta& faciat sectionem in superficie, lineam D F E; diameter autem sectionis D F S sit F G , quae vel ipsi A C aequi distet, vel producta extra punctum A cum ipsa conveniat. Dico lactionem D E E augeri in infinitum, si &coni superficies, & secans planum in infinitum producantur. His enim productis , simul producentur & lianeae AB, AC, FG. & quoniam F G vel aequidistans est ipsi AC, vel producta extra punctum Α cum ipsa coinvenit lineae FG, A C ad partes G C productae
nunquam conveniet iter sese. producatur erbo sumaturque
in linea F Gquodlibet punctum H; N per H ducatur Κ
35쪽
28i, .utide aequidistans: ipsi vero DE aequid istans ducatur MFIN. quam planum, quod cimi. pcr Κ L , M N transit, aequi distans est plano per B C, D E : & iccirco circulus est , holus. KL MN planum. sunt autem puncta D, E, Μ, Λ & in plano secante, & in supcr-ficie coni. ergo S in ipsa communi sectione erunt. sed hio igitur DFE auctae est usque ad puncta M, N. ex quibus apparet; si tum coni superficies, tum secans planum producantur ad KLMN circulum :& sectionem ipsam D F Susque ad M, N pucta augeri . eadem ratione demonstrabitur sectionem M DF E N augeri in infinitum ; si & superficies coni, & planum secans in infinitum producantur. perspicuum igitur est cuilibet datae lineae aequalem abscindere lineam quandam ex ipsa F Had partes F. si enim datae lineae aequalem ponamus P X ; & per X ipsi D E aequi-
distantem ducamus ; conveniet ea cum sectione : quemadmodum &quae per Η demonstrata est cum eadem ad puncta M, di convenire . quare poterit linea quaedam duci aequid istans ipsi D E, quaecum sectione conveniat, &ex ipsa FG ad partes F lineae datae aequalem lineam abscindat.
THEO REMA IX. PROPOSITIO IX. SI conus plano secetu r conveniente cum utroque latere trian
guli per axem, quod neque bas equi distet, neque subcontrarie ponatur: sectio circulus non erit.
SIT conus, cuius vertex A punctum, basis circulus B C :&secetur plano aliquo , neque basi aequi distante, neque subcontrarie posito, quod sectionem faciat insuperficie lineam DRE. Dico DXE non esse circulum. Sit enim, si fieri potest; occurratque planum secans ipsi basi; ita ut communis planorum sectio sit recta linea F Gι centrum autem circuli BC sit Ha & ab H ad F G perpendicularis du.eatur H G: deinde per Η G, & axem producatur planum, quod in conica superficie sectiones faciat B A, A C rectas lineas . Quoniam igitur puncta D, E,G sunt & in plano,quod per DK Stransit, & in eo, quod per A BC: necessario incommuni ipsorum sectione erunt. quare recta l.
linea est D E G . sumatur in linea DKE punctum aliquod Κ, & per K lineae F H aequi-ε. huius. distans ducatur Κ M L: erit K M ipsi Μ L aequalis . quare D E diameter est cisculi D Κ E L . ducatur deinde per M linea N M X ipsi BC aequid istans . est autem & Κ L aequid istans F G. RR4ς' ergo planum,quod per NX, Κ Μ ducitur,aequi- μ' ' distans est plano per BC, FG, hoc est ipsi basi: proptereaque sectio N Κ X L circulus erit. Scquoniam F G perpendicularis est ad B C G : sequitur & Κ M ad N X perpendicularem esse.
quare rectangulum N MX aectuale est quadrato Κ M. sed & rectangulum D M E aequale est K M quadrato: cum linea DLE L circulus pinnatur, cuius diameter D E . rectangulum igi- sexti. tur N M X aequale est rectangulo D ME &
36쪽
te D MN triangulum simile est triangulo X ME: & angulus D NM aequalis M E X angulo. sed DNM angulus angulo ABC est aequalis; aequidistat enim N X ipsi B C. ergo & angulus ABC aequalis erit angulo M E X. subcontraria igitur sectio est; quod non ponebatur . ex quibus manifeste constat tineam DKEcirculum non ella.
SI in coni sectione duo puncta sumantur, recta linea, quae eiusmodi pundia coniungit, intra sectionem cadet , & quae in di-
reditam ipsi constituitur, cadet eXtra. i .
S IT conus, cuius vertex punctum A. basis B C circulus; seceturque plano per axem, & faciat sectioRem triangulum ABC: secetur autem & altero plano, quod In luperficie coni sectionem faciat D E Fli- Aneam ; & in ipsa D E F duo puncta sumanis ri 'tur, quae sint G,H. Dico rectam lineam, quae G, H puncta coniungit , intra se hionem i D E F cadere : & quae in directum ipsi Gn- R stituitur, extra . Quoniam enim conus, cu-
ius vertex Α punctum, & basis eirculus B I Plano secatur per axem, & in superficie i sius puncta quaepiam sumuntur G, H, quae ' f R
non sunt in latere trianguli per axem: linea,
quae a puncto G, ad H ducitur, non per- Itinebit ad A. ergo recta linea coniungens ---- -
Puncta G, Id intra conum, hoc est intra coni sectionem D E P cadet: & quae in directum ipsi constituitur, cadet extra. mis
a NwoVERTENTIUM est deeem hae theoremata aptisme coharentia inter sese , ο continuata esse. Primum enim ostendit rectas lineas , qua in supersicie eoni adverticem pertinent, in eadem permanere. Secundum contra ostendit . Tertium expli- eat conisectionem , qua per verticem e citur . Quartum sectionem basi aruidistantem . uintum vero subcontrariam. Sextum est tanquam lemma adoptimum , in Do sen-ἀtur oportere communem sectionem planioeantis, σ circuli , qui est b.rsis eant, ad eius diametrum perpendicularem esse, atque boe ita habente , lineas omnes , qua ipsi agaidi nantes daeuntur , a triangulo bifariam feeari . Septimum tres alias sectiones , earῶ-que diametrAm ostendit: π lineas, qha ad tuam diametrum ordinatim applicantur et , qua in basi aqAidistantes esse. In octavo demonii rat, qAod nos in principia diximus i- delicet parabolen , ct hyperbolen ex eorum namero esse , qua in infinitum augentur. In nono ellipsim, qua in se ipsam vergit tanquam circulus , quod planumsecans cum utroque latere triangAli eonveniat , circvum non esse ; subcontraria enim , cst aequidistans fectio circulum facit. Sed π illud scire oportet, diametram fectionis in parabola qώ dem anum duntaxat trianguli latus ferine , s tuam basim in buerbola secare , σiatas, s lineam, qua reliquo lateri ad partes verticis producto in rectum constituitur rin ellipsi vero , ct utrunque latus, π basim feeare. 'Postfet fortasse quispiam arbitrari decimam theorema idem esse , quod fecundum e sed non ita res habet . illic enim in omni supersicis duo quavis puncta fumi asserit; hic in ea tantum linea, qua a secante
37쪽
THEO REM A XI. PROPOSITIO XI. SI conus plano per a em se parue secetur autem & altero plano, secante basim coni secundum recta lineam, quae ad basim trianguli per axem sit perpendicularis, & sirdiameter sectioniς, uni laterum trianguli per axem aequi distam recta linea, quae a sectione coniducitur, aequidistans communi secti P plani secantis; & basis e ni, usque d sectionis diametrum, poterat spatium aequaleῆ xento linea, quae ex diametro abscissa inter ipsam& verticem sucti ni interijcitur , & alia quadam, quae 'ad lineam inter coni angulis;& verticem sectionis interiectam , eam proponionem habeat, quam quadratum basis triangula per axem ad id, quod reliquis duobus triansuli lateribus continetur . dicatur autem huiusimodi sis
SIT conus , cuius vertex punctim A bass BC circulus; seceturque plano per axem , quod sectioiaem faciat triangulum A B C, Nisecetur altero plano secan. te basin coni secundum rectam lineam DEi: quae ad B c sit perpendicularis . &Dciat sc tioncm in superficie coni D E E lineam: diameter: autem sectioius Et Gaequauillatis sa iani laterum trianguli per axem , videlicet ipsi AC; ato ue a pum to l linea: F G ad rectos angulos aucatur F H, & fiat ut quadratum n ad rectanguluin B A C, ita linea H P aci F A . sumatur praeterea in sectione quodlibet pici. ctu in ic: S per Κ ducatur Κ Lipsi DE aequidistans Dico suadratum X. Lrciliangulo H E L aequale esse .. Ducatur enim per Lipsi B C aenuiuislans M N ideest KL aequi distans ipsi D E. ergo planum, quod transit per KLMN plano per B C D E , hoe est ipsi basi eoni aequiuitiat. se que planum per KLMN cireulus est, cuius diameter M N . est alitem Κ Lad M N perpendicularis, quod & D Eac BO. rectangulum igitue M L di aequaleeli Κ L quaarato. Itaque quoniam linea H Fad F A est ut quadratum BC ad rectanguluB A C . quadratum autem B C ad B Α Cr clanguium compositam proportionem habet ex proportione, quam B C ad C Α, & ex ea, quam CB habet ad B A . quare proportio H F ad F A componitur ex proportione B C
38쪽
Η F ad F A, sumpta P L communi vilitudine , ita H FI mctangulum ad rectan gulum L FA. ut igitur rectangulum M L N ad ipsum L F A , ita rectangulum H F L ad L F Α : & iccirco aequale est reflangulum M L N rectangulo H F L . sed . rectangulum Μ LN aequale est quadrato Κ L. ergo quadratum Κ L rectangulo
H F L aequale erit. Vocetur autem huiusmodi sectici parabole, & linea H F, Iuxta quam possunt, quae ad F G diametrum ordinatim applicantur: quae quidem etiaam recta appellabitur.
Mani bitum est , quod dicitur , prater quam quod auqua adhue declaratione indiger. Sis
Quadratum autem B C ad B A C rectangulum compositam proportionem habet, n&c. e vim enim est in sexto libνο esemeuetorum Euelidis , theoνemate Die materia 'tio , equiangula parallelogramma inter se proportionem habere ex lateribus compositam. Sed quoniam interpretes inductione magi , fream necesaria arrumentatione arantur: visum est nobis iuvid ipsum investigare ἰ quod tametsi scripsimus o eougmentaνη s in quartam theorema Iecundi libri e robi medii de obara G cylindro, ct in primam magnaeonstruetionis 'Ptolemaei , nihilom nus tamen oe hoc loco non inepte νepetetur a propterea quodfortasse non omnes , qui hac legent, in illas Iuros incideranti t m etiam , quod universa fer. eonteoram tractatio eum argumentandi modum Uurpat. Proportio ex proportionibus componi dicitur , quando proportionum quantitates inter se multiplicatae aliquam producunt. Per quantitatem intelligendo numerum, a quo proportio ipsa denominatiar . in multiplicibus quidem quantitas erit numeras inte geriin reliquis vero habitudinibus necesse est 'Mantitatem nMmeνκm esse , oe paritem , seu partes , nisi forte quispiam velit et am si Dis , videlicet qκa exprimi navi posfiant, babitudines esse, quales μνι magnitudinum irrationalium . fraqtie in omniabar habitudinibus ipsa quantitas multiplicata in consequentem terminηm modaeis antecedentem. Sit i ιtar proportio eis ad A i ct sumpto termino quolibet imermedio
39쪽
titas necessario erit. Non pert-bentur autem qui in hac inciderint, quod iliud ex arithmeticis demonstretur dantiqui enim huiusmodi demonstrationibus ope ali consueverant a qua tamen mathematica potiis δεηι , quam arithmetiea propter analogias.-Ee qaod ρκψtu arithmeticum est a nam proportioner , proportionum quantitate ,σ multiplicationes primo numeris , secundo loco per numeros es magnitudinibua infant , ex illius sententia, qui Dascripsit , τάτα γὰρ τα μαθηματἀ δε υτι ἔμεν άδελφα . hoc est, ha enim mashemarica disciplina germana esse vi
THEO REM A XII PROPOSITIO XII. SI conus plano per axem secetur; secetur autem&altero plano, secante basim coni secundum rectam lineam, quae ad basim
trianguli per axem sit perpendicularis , & sectionis diameter pro
ducta, cum vno latere trianguli per axem, extra verticem coni co
veniat: recta linea, quae a sectione ducitur aequidis ans comm ni sectioni plani secantis , & basis coni usque ad sectionis diam trum , poterit spatium adiacens lineae, ad quam ea, quae in dir
Ettam constituitur diametro sectionis, subtenditurque angulo extra triangulum, eandem proportionem habet, quam quadratum lineae, quae diametro aequi distans a vertice sectionis usque ad b sm trianguli ducitur, ad rectangulum basis partibus , quae ab ea fiunt, contentum, latitudinem habens lineam, quae ex diametro abscinditur, inter ipsam & verticem semonis interiectam excedensque figura simili, & similiter posita ei, quae continetur linea angulo extra triangulum subtensa,&ea, iuxta quam possunt, quae ad diametrum applicantur. vocetur autem huiusmodi sectio hyperbole.
S IT eonus, cuius vertex A punctum, ba sis circulus B C; & secetur plano per axem, quod sectionem faciat triangulum A BC; secetur autem & altero piano, secante basim coni secundum rectam lineam DE ad BC basim trianguli ABC perpendicularem; faciatque sectionem in superficie coni lineam D F E; & lectionis diameter F G producta,cum ipso AC latere trianguli A B C,extra coni verticem eonveniat in puncto H: deinde per A ducatur linea AK diametro aequio istans, quae secet B C; & ab F ducatur F L ad rectos angulos ipsi F G ; fiatque ut quadratum ΚΑ ad rectangulum ΒΚ C, ita ΗF linea ad lineam FL . sumatur au
40쪽
ω per N ipsi F L aequid istans duratur NOX. postrem6, iuncta Η L, & ad X producta, per L X ipsi F N aequi distantes ducantur L o, X P. Dico lineam M N posse spatium FX, quod quidem adiacet lineae FL, latitudinem habens F di , exceditque figura L X simili ei, quae H F Leontinetur. Ducatur enim per N linea RN S aequid istans B C. est autem & MN ipsi DE aequi distans. ergo planum, quod transit per Μ N,R S aequi afflat plano per BC, DE, hoc est basi coni. bi igitur planum
per MN, RS producatur : sectio circulus erit, cuius diameter R N S. atque est ad ipsam perpendicularis M N. ergo rectangulum RNS aequale est M N quadrato. Itaque quoniam ut
A x quadratum ad rectangulum ΒΚ C, ita est H Fad FL. proportio autem quadrati A K ad rectangulum ΒΚ C componitur ex proportione , quam habet A K ad K C, & ex ea, quam Α Κ habet ad Κ B . & proportio H F ad F L co- posita erit ex proportione A K ad K C, & pr portione ΑΚ ΚΒ. sed ut Α x. ad K C . Ita ΗGad G C, hoc est H N ad NS: &ut ΑΚ ad L B, ita F G ad G B, hoc est F N ad N R . proportio igitur H F ad F L componitur ex proportione H N ad NS,&FN ad N R . at pro . portio composita ex proportione H N ad N S, & F NUN R; est ea , quam. H N P rectangulum habet ad rectangulum S N R. ergo ut rectangulum H N Fad S N R, ita Η F ad F L, hoc est H N ad N X . ut autem fis N ad NX, larupta FN communi altitudine, ita HN F rectangulum ad rectangulum F NX. quare ut rectangulum H N F ad rectangulum S N R, ita rectangulum Η N F ad ipsuF N X. rectangulum igitur S N R aequale est rectangulo X N F. sed quadratum MN ostensum est aequale rectangulo S N R. ergo quadratum MN rectangulo X N Faeo uale erit. rectangulum autem X N Fest parallelogrammum X P. tinea igitur M N potest spatium X F, quod lineae F L adiacet, latituuinem habens F N, excedensque figura L X simili ei, quae H F L continetur. Dicatur autem huiusmodi sectio hyperbole : & linea L F, iuxta quam possunt, quae ad FG ordinatim applicantur . quae quidem etiam recta appellabitur, transversa vero H F.
Linea igitur M N potest spatium X P, quod lineae FL adiacet, latitudinem habens F N, excedensque figura L X simili ei, quae Η F L continetur.) braea υeμ-
THEO REM A XIII. PROPOSITIO XIII. SI conus plano per axem secetur, & secetur altero plano conveniente cum utroque latere trianguli per axem, quod neque basi coni aequi distet, neque subcontrarie ponatur; planum autem , in quo est basis coni, &secans planum conveniant secundum rectam
lineam, quae sit perpendicularis vel ad basim trianguli per axem,