장음표시 사용
21쪽
i APOLLONII PERGAE Itum producta, voco conicam superficiem. 2 Uerticem ipsius, ma-Dens puctum. 3 Axem , reclam lineam, quae per punctum , ¢rum circuli ducitur. ψ Conum autem voco, figuram contentam circulo, & conica superficie, quae inter verticem, & circuli ci cunferentiam Interi jcitur. J Verticem coni, punctum, quod &superficiei conicae vertex est . 6 Axem, rectam lineam, quae a vertice ad circuli centrum perducitur. 7 Basim , circulum ipsum. 8 Conorum re flos quidem voco, qui axes habent ad rectos angulos ipsis basibus. 9 Scalenos vero, qui non ad rectos angulos ipsisy basibus axes habent. 1o Omnis curvae lineae, in uno plano existe lis,diametrum voco rectam lineam, quae quidem ducta a linea cum Va, Omnes lineas, quae impia ducuntur, cuidam lineae aequi distantes bifariam dividit. II Uerticem, lineae terminum resiae, qui est in ipsa linea. 12 Oidinatim ad diametrum applicari dicitur, unaquae ς que linearum aequi distantium. I 3 Similiter & duarum curvarum linearum,in uno plano existentium, diametrum quidem transvem iam voco, rectam lineam, quae omnes in utraque ipsarum ductas
lineae cuidam aequidistantes bifariam dividit. I Uertices linearum,. diametri terminos, qui sunt in ipsis lineis. I 3 Rectam vero di
metrum voco, quae inter duas lineas posita, lineas omnes ductas reflae cuidam aequi distantes, & inter ipsas interiectas,bifariam secat. I 6 Coniugatas diametros voco curvae lineae,m duarum curvarum, rectas lineas, quarum utraque diameter est, & lineas alteri aequi distantes bifariam dividit. 17 Axem vero curvae lineae, & duarum curvarum, rectam lineam, quae cum sit diameter curvae lineae, vel duarum curvarum, aequi distantes ad rectos secat angulos. 18 Axes coniugatos curvae lineae , & duarum curvarum, rectas lineas, quae
cum sint diametri coniugatae, ipsis aequidistantes ad rectos angulos
. , ressus ad dissultiones a polloniat tradit generationem conica superficiei, non diffisiιionem , qua, quid re sit , declarat: quanqaam licebit utique iis , qui volent, oee, generatione ipsa A finitionem colligere . at vero nos ijs , qua ab ε οIlonio dicuntΜr, ex muris lacem adferemus .
Si ab aliquo puncto ad circunferentiam circuli, &c.
22쪽
infinitum ex utra rue parte pro emur ad puncta E, F. Si igitur recta linea D E feras eo usque in eis ealι - B circunferentia, quousque punctum Erursus is eum locum res tu./ζar , ὰ qua coepit moveri: describet superficiem quandam, qua qusdem constat ex δε bur superficiebas , ad D punctum sese tangentibus . eam voeo conicam superjiciem ;qua σ augetur in infinitum , eum recta Iinea 'DE , ipsam deseribens, in infinitum producitur . verticem superbieiei dicit punitum
Dd axem rectam D C: eonum vero appellet Huram contentam eirculo A B, ct ea fuerficie , quam D Nola deseribito coni vertiacem punctum Dr axem D C: ct basim , e B circa m. At si D C ad eirculam fuerit
perpendicularis , rectam vocat conum I minus , salenum . Describetur autem conus scalenus , quam do a centro cireuli linea erigatur, qua non sit perpendicularis ad eircaeli planum a puncto vero linea, quod ea in stibiimi,ad eireuli eir c Uerenisam recta linea ducatur: ct manen te puncto circa ipsam coortaturecomprehen D enim situra eonas erit scalenus . constat igitur sineam circunductam in conver=L- ne quandoque maiorem, quandoque minorem,
σ quandoque aqualem fleri ad Hiud , atque aliud circuli puniitum . quia tamen nos hoc modo demonstrabimus .
Si a mertice com scalem ad basim re
ctae linea ducantum, earum omnium una minima, π una maxima erit, duae πω rὸ tantum ex utraque parte minima π
maxima inter se aequales. At quae propinquior est minimae semper minor erit, quam quae M ipse magis di M.
Sic conus scalentis , euius basis AEC circulus , vertex autem punctum D. 9 quoniam linea , qua avertice coni ferieni ad Dbiectum planum perpendicularis ducitur , vel in circunferentiam circuli ABC cadit, vel extra , vel intra . cadat primum in ipsam cireanferentiam,vi in prima Mura apparet, qua sit 'DE; Dinptoque circuli centro x, ab ipso E ad Id dueatur linea si x, ct producatur ad P. iungatur autem T 'Dr oe ex utraque parte puncti E Iumanturdua eis Uerentia a 3uales F E, E G ; itenque ex utraque parte A fumantur alia dua aquales e B,
A C, ct iungantur F E, E G, D F, D 9, - E, E C, P, B C, D EAE, D C. Quoniam igitur recta linea E F aqualis est ipsi E Ur aquales enim eircunferentias obtendunt; communia autem, oe ad rector angulos D E reis basis DF basi PGarualis . rursus quoniam circunferentia A E aqualis est ipsi B C cireunferentia , σ est
23쪽
4. primi. 47. primi. 27. tertii. s. primi.
A E diameter e reuut reliqua E F ε reliqua EUG aquatis erit . quare ct recta linea A E ipsi E C . sed D E communis est atrique, Z ad rectos angulos. bois igitar A P aqua. lis est basi DC. Similiter aAtem demonstrabuntur inter D AEquales, quacunque ab ipsa D E,vel 'D B aqaaliter distant. Rursus quoniam triangulum est E D F, s avtilus D E F rectus inea D F maior erit, quam DE. cst quantam recta linea ais E maior ect , quam recta E F,quid s eircunferentia E F A maior, uam ipsa E F circunferentia , communis verro,ct ad rectos angulos DE: basis D F minor erit, quam 'D A. eadem quoque ratione 9 'D A minor , quam D E .ckod eum octensa sit D E minor, quam D F s it eque D F minor, quam D e , ct D A minor, quam D EI Ose altar ipsam D E minimam esse; P T vero maximam ; ct qua propinquior est ipsi D E semper minorem esse , quam qua ab ipsa magis dsat. Sed eadat p pendicularis D E extra circulum AT CG F , ut in fecunda Agara: σ rursus fumatur eireat. centrum x ; iunctaque E H x producatur ad B, cst iungantur D B, D M. stimantur praeterea dua circunferentia aequales ex utraque parte puncti m qua sint F H, HG, ct ex atra3ue parte ipsius E alia dua fumantur A B, B C. postremo iungantur E F,
niam Μώalis est circunferentia H F ipsi': s angvias M x F angulo H AEG eq alis erit. sed recta ιinea F K recta AE cs est aqualis , ex centro enim ad circunferentiam daeuntur, o commanis K E. ergo basis P E equalis basi GE. est autem commanis, ct ad kector angulos B E. basis litar B F basi D G est aqkalis. Rursus quoniam ciretinferentia Z - equalis est circuUerentia Z C: σ angulas A R B ipsi C R E ,s reliquus ex duobus rectis A R E reliquo C R Eequalis erit. linea autem e R, R C inter se aquales , ex centro enim sunt, communis ipfa R E . ergo σ - E basis aqualis basi
C E. ruros eum sit D E communis , Ur ad reinctos avxlos: G D A basis erit basi D C aqua- is . Militer Sy alia omnes ad invicem aqua Iet demonstrabuntur , qua ab tua D E , vel D H qualiter distiterint . oe quoniam E Hminor eis , quam E F; eommunis vero , P ad
rectos angulos E D: erit basis D re basi D sminor . Rursus quoniam linea , qua d puncto
E ducta continete cireulum , maior est omnibus, qua ab eodem puncto in convexam circun
ferentiam eadunt; ct rectangulum se E Laquale est quadrato ipsius E F, quavdo E F eirculum contingit , ni offensum es in fer- tio libro elementorum : erit ut A E ad E F , ira E F ad E L . est autem E F maioν , ' quam E L. , semper enim propinquior minima minor est ea, qua plus diβat . quare s. A E maior , quam E F. sed communis , ct ad rectas avgutos est E D . basis igitur is Fmi-ον est basi D A. Rursus cum sit A L aqualis ipsi x B, ct communis REt erunt Ga linea εAR, R E duabus Ε R, R B , I die ect toti E B equales . sed dua A P, R E malares sunt, quam E A. ergo σ T E maior, qadme E. communis autem D E , ct ad rectos antulos. qaare basis D e minor est basi D A . Barae eum D H minor sit , qu. mi F, 9 D F m nor , quam DA; O D eis, qudis D B: minima erit D H; D B vero maximas G ipsi'D H propinquior semper minor erit, quam qua magis distat. Postremo cadat perpendioularis D F iutra cirentum AR C G .
24쪽
sumptorue cireuli centro x,ct iuncta E x producatur in utraque partem ad puncta S, H, iungantur Θ H, D B. fumantur autem ex Atyaque pamte puncti re circunferentia aquater F H, HV : ct ex utraque pMte A famantur A B,E C. denique rungantur E F, EU, F Κ, x 9 D F, DF,x A, C,E A, E C. D A D C, A ME C. Quoniam igitur H F eircunferentia eruatis est circunferentia εις; ct ansa Ius ει α F antulo H Κ9 est arualis: linea νο. K Faequalis ipsi K G Κ E eommunis. ego Er F E basis basib E aguriis erit. sed est D E communis; ct angu- Ius F Ε D rectus arualis recto 9 E D. quare σ basis o F basi D si arualis . Rursus cum circunferentia A E aqualis A eireuaeferentia A C r angulus - Κ Fangulo CK E aqualis erit. ergo ct reliquus ex duobus rectis A K E reliquo C Κ E. est aatem linea A Κaqualis X C , ct eommunis x E . basis igitur A Ebasi C E aqualis . sed eum D E eommunis sit a ct -- gulus EA E D aequalis angulo C E D, quod uterque rectas i erit c basis D A basi D C a Malis. Eodem modo ct omnes , qua aequaliter distant ab ipsa D Z , vel o H, inter se aquales demonstrabuntur . Itaque quoniam in circuli a B C diametro sumitur punctum E , quod non est centrum circulio erit E S maxima, E M vero minima; 2 femper ipsi E M propinquior minor ea , quo distantior fuerit . quare E Hminor , quam E F. at E D communis est, CT ad rector angulor. basis igitur D H minor bag D F. Ru vis eum E F minor sit, quam E A, communisque, ct ad rectos angulos E aerhasis P F basiis A minor erit.ct eadem rarione basis P A minor, quam 2 B ostendetur . Moniam igitur minor est 2 'quam D F,ct D Fquam TI A ct D A quam 2 E minima it D 's D A maxima: ct propinquior ipsi D H semper minor ea, ua maeis distat.
Omnis curvae lineae,in uno plano existentis,diametrum voco re- sctam lineam,&c.
In uno plano dixit propter belleam cylindri sobara. ba enim non sunt in uno plano.Quod atitem dieit, eiusmodi est. Sit carva lines A B C ,s in ea equid antes AC, D E, FG ,Hx e d puncto autem P ducatur B L recta si nea , qua ipsas aquidistantes bifariam fecet. Γ-nea igitur ABC diametrum, inquit, voco recta lineam E L ; ct verticem punctum Et ordinatim vero ad ipsam EL applieini disisAr unaquaque linearum e C, D E, F 9,H x. Quod si B L aqui-dιctanter bifariam, in ad rectos angulor secet,
Similiter & duarum curvarum linearum, &c.
Si enim intellexerimus lineas in B M in ipsis equi distantes C D , E F , G Η, Κ L, tertii. M N, X Oi diametrum A B ex utraque parte productam , qua bifariam aquidistan-
25쪽
18 APOLLONII PERGAE Ixes dividat: ipsam quidem A B voco diametrum transversam a vertices lineartim puncta A, B, ordinatim vero ad AB diametram applicari dicuntur C D,E F, G ML L, M MXO. At si bifariam, Gr ad rectos angulos dividat, transversus axis appellabitur . Savero recta linea , ut 'P R ducta lineas C X, E M, 9 K, H L, F IV, D O, ipsi in B aqώi-υ Odin antes bifariam secet, recta diameter dicitar . orianat m ad F diametrum anti-eatur unaquaque linearum C X , E M, G x, M L, F UT O . si bifariam , or ad rectos angulos feret, rectus meis dicerar . set vero si recta linea A E, P R ipsis equidistantes bifariam fecuerint, eoniugis a diametri . Quod si bifariam , ct ad rectos angulos , coniu
Reste lineae, quae a vertice superficiei conicae ad puncta, quae insuperficie sunt, ducuntur , in ipsa superficie erunt.
Sit superficies conica, cuius vertex A; & sumpto in ea aliquo puncto B, iungatur recta linea A C B. Dico A C B in superficie esse. Si enim fieri potest , non sit in superficie i&recta linea, quae superficiem describit, sit DE; circulus autem , in quo ipsa D E sertur, sit E F. Itaque si manente A seratur D E in E F citisculi circunserentia , per B punctum transibit r atque erunt duarum linearum iidem termini ; quod est absurdum . non igitur a puncto A ad B ducta linea extra superficiem est . ergo in ipsa superficie erit.
Ex quibus constat, si a vertice ad aliquod punctum eorum, quae intra superficiem sunt, recta linea ducatur , intra : & si ad aliquod eorum, quae sunt extra, extra superficiem cadere.
26쪽
eo NI CORVM LIBER I. EVT OCIUS.
2 EMuris dsserentitas , vel easibus theorematam illud scire oportet, casum esse ,
quando ea , qua in propositione dantur , positione data sint . inoram enim differens transemutatio , eadem conclusione manente, casum Deit. similiter autem Er a constructione , transpositas casus. eum igitur theoremata plures e us habeant, una eademque demonstratis omnibus congruit, ct iisdem elamentis : prarer quam in paucis quibu am, ut deinceps explicabimus . Statim nanque primum theorema tres habet casus, propterea quod punctum aes interdum quidem insuperficie inferiori sumitur , ct hoc duobus modis , vel fura circulum , vel infra a interdum vero in ea , qua est ad verticem . primum igitur theorema ostendere proponit , non qualibet duo pane a coniungentem rectam lineam in δε- perficie eo, nisi qua ad verticem ψ m pertineat. euius ea a est , quod conica superficies efficitur 4 recta linea, qaa manentem terminam ad verticem habet. Blud vero plane ita esse, infecundo theoremate demonstratur.
SI in alterutra superficierum, quae sunt ad verticem, duo puncta sumantur , & quae puncta coniugii recta linea ad verticem non pertineat, intra superficie cadet; quae vero est in directu ipsi,cadet extra.
Sit conica superficies, cuius vertex quidem A s eirculus autem, in quo sertur linea superficiem describens, sit B C : & in alterutra superficierum, quae sunt adverticem, sumptis duobus punctis D, E, linea D E ducatur, quae ad punctum Αnon pertineat. Dico ipsam D E intra superficiem cadere ; & quae est in directurr ipsi, cadere extra. iungantur Α D, Α Ε, & producantur. cadent utique in cir culi circunserentiam. cadant in puncta B, C; & iungatur B C: erit igitur B C intra circulum . quare & intra conicam superficiem . sumatur in ipsa D E quodvis punctum F; iunctaque A F producatur ; cadet in lineam BC. nam triangulum B C A in uno plano existit. itaque cadat in G . Quoniam igitur punctum G est imira conicam superficiem : & ipsa A G, & punctum P intra conicam superficiem . erit. similiter autem demonstrabitur & omnia alia puncta lineae D E esse intra e nicam superficiem. ergo & ipsa D E intra eandem cadet. Producatur DB adH. Dicor. huius. a. terti Io . undeci. mis
27쪽
Dieo lineam Ε Η extra eonicam superficiem esse. si enim fieri potest, aliquod ipsius punctum H non sit extra, & iuncta A H producatur, cadet in ipsa in circuli circunstrentiam , vel intra, quod fieri non potest . cadit enim in linea in B C protractam , ut in K. quare E H extra conicam superficiem erit. linea igitur DE cadet intra conicam superficiem: & quae est in uirectum ipsi, extra cadet.
SECUNDUM theorema tres habet easus; propterea quὸdpuucta D,E fumkntay qaandoque insue cie fecundum verticem , quandoque in inferiori: σ iu dupliciteμ, vel imyra carculum, vel extra. Sciendum autem est, in quibusdam exemplaribas totum hoc heorema per argumentationem , qua deducit ad a, quod fleri non potest, demon ari.
THEO REMA III. PROPOSITIO III. SI conus plano per verticem sec tur, sectio triangulum erit.
Sit conus, cuius vertex Α; basis autem circulus B C: & per A secetur plano aliquo, quod lecti nes iaciat in superficie A B, A C lineas, & in bas lineam B C. Dico ABC triangulum esse. Quoniam enim a puncto A ad B ducta linea communis sectio est plani secantis, & superficiei conicae: erit A B recta linea. Eadem ratione & ipsa A C. est autem &BC recta. quare triangulum est Aa BC. si igitur conus plano secetur per verticem, sectio triangulum erit. Α
TEMTIVMtheorema easum non habet. oportet autem I)ἰre lineam A B rectam esse , cum sis commanis fectio plani secantis,s superficiei conisa, qua a recta linea, man nromterminum ad verticem babente , describitur . neque enim omnis superficies secta plinofectionem Deit rectam lineam o neque ipse eonus , nisipianum secan per verticem
THEO REMA IIII. PROP O SI T IO IIII. SI alterutra superficierum, quae sunt ad verticem, plano sec tur aequi distante circulo , per quem fertur recta linea superficia em describens, planum, quod superficie concluditur,circulus erit, centrum in axe habens: figura vero contenta circulo,& ea parte superficiei conicae, quae inter secans planum & verticem interi j ci
tur, conus erit. SIT conica superficies,cuius vertex A; circulus autem , in quo sertur recta linea superficiem describens, BC: & secetur plano ipsi circulo n C aequid istante, quod sectionem faciat in superficie lineam DE. Dico D E circulum esse , qui
28쪽
centrum in axe habet. Sumatur enim centrum circuli B C, quod sit F; & A F iungatur. axis igitur est A F;&occurrit plano secanti. occurrat in G ; & per A Fplanum ducatur: erit sectio triangulum ABC. Itaque quoniam puncta D GEiunt & in plano secante , & in ipso A B C plano: recta linea erit DGE. sumatur autem in ipsa D E punctum aliquod Η ; & iuncta Α Η producatur, quae circuR- serentiae BC occurrat in K; iunganturque G H, F Κ. & quoniam duo plana D E, B C aequid istantia a plano A B C secantur; communes ipsorum sectiones ae- quid istantes erunt. aequid istat igitur linea D E ipsi B C; & eadem ratione G H ipsi F Κ . quare ut F A ad A G, ita F B ad D G; F C ad G E; & F Κ ad G H. suntque tres lineae B F, F Κ, F C aequales inter sese. ergo & ipsae tres D G, G Η, G E inter
sese aequales erunt. similiter quoque ostendentur aequales quaecunque a puncto Gad lineam D E ducuntur. circulus igitur est linea D E, centrum in axe habens.
Constat praeterea figuram contentam circulo D Ε, & ea parte superficiei conicae, quae inter dictum circulum , & punctum Ainteri jcitur , conum esse: simulque demonstratum est comm nem sectionem plani secantis, & trianguli per axem diametrum esse ipsus circuit.
CHVS huiui theorema:is tres funi, quemadmodum ct praeedentis, ct secundi.
ΤHEOREM A V. PROPOSITIO RSI conus scalenus plano per axem secetur ad rectos angulos ipsi basi , seceturque altero plano ad triangulum per axem recto, quod ex verticis parte triangulum abscinciat simile ei, quod per axem, subcontrarie vero positum : sectio circulus erit . vocetur autem huiusmodi sectio subcontraria.
29쪽
Α Sit conus staIenus, cuius vertex Α punctum; basis eirculus B C: & secetur pla. B no per axem, ad circulum BC recto, quod faciat sectionem triangulum AB C. secetur autem dc altero plano ad renos angulos ipsi ABC, quod ex parte A triangulum abscindat A G Κ. triangulo ABC simile, subcontrarie vero positum; ut videlicet angulus AK G aequalis sit A BC angulo : de iaciat sectionem insuperficie lineam G Η Κ . Dico ipiam G Η Κ circulum esse. Sumantur enim in lineis G ΗΚ, BC puncta quae piam Η, L: a quibus ad planum, quod per triangulum ABC transit,
33. unde. perpendiculares ducanxur, cadent hae in communes planorum sectiones. cadant ut FI F,
ε. undee. L M . aequi distans est igitur H F ipsi L M. ducatur autem per F ipsi B C aequid istans D F E. s. undς ergo planum, quod per FH, D E transit, aequi- Φ. butu distans est bali ipsius coni : de iccirco sectio D Η Ε circulus erit, cuius diameter DE. aes. N et . quale est isitur rectangulum D F E quadrato sexti, FH. Quod cum aequi distet D E ipsi B C, an . . gulus A DE aequalis est angulo A BC. 6cpo- y pom 'nitur angulus A K G angulo ABC aequalis. ergo de Α Κ G ipsi Λ D E aequalis erit. sunta .primi. uxς aQ F anguli aequales, quod sint 'adverticem . quare DFG triangulum simile . sexti. est triangulo ΚPE.&ut EF ad FK, ita G p ad F D . rectangulum igitur E F Daε. sexti. aequale est rectangulo Κ F G. sed rectangulum E F D demonstratum est aequale C quadrato FH. ergo di Κ P G eidem aequale erit. simili quoque ratione demonstrabuntur de omnes, quae a linea G H Κ ad ipcim G E. perpeodie utares ducun- , trivm. tur, posse aequale ei, quod partibus ipsius GK continetur. sectio igitul circulus rippi est, cuius diameter G Κ.
uintum theorema caram non habet. exordiens autem Apollonius expositionem , A secetur, inquit, conus per axem plano ad basim recto. Sed quoniam in cono scaleno ι uxta unam duntaxat positionem triangulum per axem ad basim rectum est : hoc ita faciemus . fumentes nanque basis centrum , ab eo erigemus lineam ad rectos angalor ipsi plano basis o perque eiusmodi lineam , σ per axem planum ducentes , id , quod propositum fuerat , Uequemur. ostensum enim est in undecimo libro elementorum Euclidis , si re-12. unde. cta linea plano Hicui ad rectos aetatis fuerit, s omnia , qua per ipsam ducuntor , placaeni . na eidem ad refctos angulos esse . conum vero scalenum posuit, quoniam in quieruri pla-B nam basi aquidistans idem est, quod subcontrarie durium . praterea Secetur , inquit, &altero plano ad rectos angulos ipsi triangulo per axem ; quod abscindat ex verticis parte triangulum simile ipsi ABC, subcontrarie vero positum. istad ita fiet. sit triangulum per axem e sumaturque in linea A B qaodvis punctam Gr σ, ,. primi. ad A 9 rectam lineam, c7 ad punctum in ea 9 , constituat aer auulM A yx ipsi ABC squalis . ergo triangulum A G x triangulo AS C simile erit, quanquam subcontrarie positum . itaque fumatur in linea G x quodlibet punctum F, a quo rega γ F H ad rectos antulos ipsi plano triangAli A B C r oe per lineas G x , H F planam dueatur bis . unde- erit illud ad triangulum ABC rectam,quod per lineam F M transeat, ct faciet id, quod cimi, faciendum proponebatur . si conclarione dicit , propter similitudinem triangulo-
C tum DFG, L F Κ aequale esse rectangulum D P E rectangulo G F Ic. q,od
Diuem ct absque triangulorum similitudine demonstrari potest hoc pacto . quoniam enim ut erque anguloram A K G , A D E aqualis est angulo qai ad P, in eadem erunt
30쪽
portione clienti, puncta D, , ε, Κ comprehendentis . oe quoniam in circulo dua recta lia , i. seri; I. Bia D E , G ΚρDocant iu F : re tangulum D F E aquale est rectanguιo G F Κ . SL 3, teitii militeν demo strabaemur re omnes linea, ab ipsa G H Κ ducta perpendicatares ad 9 Κ e-ctam , posse aequale ei, quod partibur ipsius G Κ continetur. circuIus Igitur secti ., eli, cuius diameter G Κ. pinamur autem hoc cemo'strare per deductionem ad id, suod sieri non potest. Si enim circatus , qui circa G AE aes riritur , non transit per H puost derit rectauulum L F G ayuale quadrato linea maioris i a F H, vel minorix , qaod non ponitar fed cst alud idem recta demonstratione ostendemus. Sit linea quadam G H Κ , cui subtendat- recta G x xfumantar a tem σ in linea duo qua is pancta M, O , a quibus ad ipsam G Rperpeadiculares ducantur H P , O P: sitque quadratum F H aequale rectangulo G F AE, oe quadratum o P aquale ipsi G P X rectangulo . Pleo lineam 9 HO K circulum esse . fecerer enim cv x recta bifariam lata punso Ni ct iungant- 9 H, H N, NO. suoniam
igitur recta 51 ea V Κsecatur in partes aquales in N, , Sr in partes in aruales in F d rectangulum G F Κ ωκὰ cum g adrato N F aquale erit quadrato N x . sed pectarit. - G F κ positum sto a Ma- β' kςς-- Ie quadrato H P . quare ET F qaadratum una eum ipso NF a Mais est quadrars N x. arualia autem fiant H F , F ara ipsi qMadrato NH, eum a Tutus ad F sit rectur. primuergo quadratum N H quadrato N L aruale erit. Similiter o tendemus quadratum Noaquale esse qaadrato NK. linea igitar U H K cim δε p. tertii. culus est, ct eias diameter G Κ. steri autem potest, ne diametri P E, G Κ quandoque aquales sint , quandoque inaquales e nunquam tamen sese bifariam fecabunt. ducatur enim per Κ 'si B C arulius tans NK. Quoniam igitur maior est B se , quam A Crest ipsa Ne , quam e d K maior erit . eadem ratione σ Κ A maior est, quam A b propter subcontrariam festionem . quare si a linea a s N absisti. Derit qualis ipsi ε ε x; inter puncta V, N cadet, ut A X ct pep x duc a aquidistans ipsi A C secabit G κ .fecet ut X OP. Itaque quoniam aqualis est η
cta X , Κ inter se aquales sunt, uterque enim ipsorum a Malis est auxia ad B a sentavitem σ qui ad O aruaser, quod fecundum verticem e erit tria alum X G Osimiae triangulo P Ο Κ . sed aquaris est G X ipsi P Κ. quare s X O ipsi O K , ct si O ipsi ογ,
est tota si x toti X P est qualis. Ex quibus constat, si inter si x fumatur panctum cst pis 'dueatur My aquidistans 9 x: ipsam 'E S maiorem esse , quam G Κ, CR propterea maiorem , qudm X 'P . s vero inter puncita R, X fumatur aliud punctam , at Taσ per tuam ducasar T T cquid, stans X 'P : minor erit T r , quam X P : π ob id minor , quam V X . praterea eum angulur X P Κ maior sit angulo A X P ; aqualis autemo P Κ ipsi O 9 X . erit OG X angulus maior aetalo 9 X O. ergo linea X O maior ipsa ' primi. Ost: ct Deires X O maior o P. Quod si quandoque contingat, ut altera ipsarum bifariam feeetur: tunc alteram in partes inaquales Deari necese erit.
Et secetur plano per axem ad circulum BC recto. Quomoda hae faciendam sit,
demonstrat etiam Serenus ire libro defectione coni, propositione Iq.