장음표시 사용
241쪽
puctum D sit in angulo, qui deniceps est angulo asympictis comprehensio : linea, quae , tami ad divisionem ducitur, occurret oppositae semoni , & quae ab occursu ducitur eandem secti
nem concinget. SINT oppositae sectiones B, H; quarum asymptoti Κ L, MXN; & punctum D sit in angulo LXΝ: ab eo autem ducta linea D B sectionem contingat, & D C secet; ita ut occursus E,C tactum ad B contineant: &quam proportionem habet C D ad D E, habeat C P ad F E. Demonstrandum est lineam, quae a punisto B ad F ducitur, occurrere sinioni H : & quae ab occursu ducitur ad D sectionem contingere. Ducatur enim a puncto D linea D Η sectionem contingens: & iuncta H B, si fieri possit, non transeat per F, sed per aliud punctum G. est igitur ut C D ad D E, ita C G ad G E:quod est absurdu: posui us enim ut C Dad D E,ita esse C F ad F E.
IISDEM positis, si punmim D sit in una
asymptoton; quae a puncto B ad F ducitur, eidem asymptoto aequi distabit.
PONANTUR enim eadem: & punctum D sit in aliqua asymptoton, videlicet in Μ N . Demonstrandum est lineam , quae a puncto B ipsi M N aequid litans ducitur, in punctum P cadere. Non enim, sed si fieri potest , fit 37 am i BG. erit igitur ut C Dad D E,ita CG ad G E quod est
SI in hyperbola aliquod punctum extra sumatur, a quo ad sectionem ducantur duae rectae linae, altera quidem contingens, altera vero aequi distans uni asymptoton; & portio aequi distantis, intersectionem & punctum interiecta, aequalis sit ei, quae intra sectionem continetur: linea, quae a tactu adfamim punctiam ducitur occurret sectioni ; & quae ab occursu ducitur ad punctum extra sumptum sectionem continget.
SIT hyperbole A E B , & sumatur aliquod punistum extra, quod sit D : sit autem primo D intra angulum asymptotis contentum ; & ab ipsio D linea quidem D Boucta sectionem contingat; D E F vero aequi distet alteria symptoton : ponaturque ipsi D E aequalis E F. Dico lineam , quae a puncto B ad F ducitur, occurrere sectioni,& quae ab occursu ducitur ad D, laeti avem contingere'
242쪽
Ducaturehiin D A , quae sectionem contingati &iuncta B A seret tam DE, si fieri potest, non in F, sed in alio puncto G. erit D E aequalis E G ι quod est absurdum. ponebatur enim D E ipsi E F aequalis.
IISDEM positis, sit punctum D in angulo
deinceps ei, qui asymptotis continetur. Dico
etiam sic eadem evenire. DUCATUR enim D H sectionem eontingens, & iuncta HB, si fieri potest, non cadat in F , sed in aliud punctum G. ergo D E est aequalis E G ; quod est absurdum. poneb tyr eoim D E aequalis E P. THEOREM A VIII. PROPOSITIO VIII.
IISDEM positis, si punctum D in una
asymptoton , & reliquλ eadem fiant. Dico lia Nneam, quae a tactu ad extremam partem sum piae ducitur , aequi distantem esse asymptoto,
SINT enim eadem, quae supra; ponaturque ipsi DE aequalis E F: & a puncto B ducatur B G aequidistans M N, si fieri possit. aequalis igitur est D E ipsi E Giquod est absurdum . posuimus enim D E ipsi E F ae
THEO REMA IX. PROPOSITIO IX. SI ab eodem puncto duae rectae lineae ducantur, quarum utraque coni sectionem , vel circuli circunferentiam in duobus punctis secet , & quam proportionem habent totae lineae ad portiones, quae extra sumuntur , in eam dividantur, quae sunt intra , ita ut partes eiusdem rationis ad idem punctum conveniant: quae per divisiones ducitur, linea sectioni in du hus punctis occurret i & quae ab occursu ad punctum extra sumptum ducuntur, sectionem contingent.
SIT aliqua praedictarum sectionum A B; di ab aliquo huncto D ducantur lineae L E, V P, quae sectionem secent; illa quidem in H, E punctis; haec vero in F, G: & quam proportionem habet E Dad DH, eandem ha
.. tertii hia Fas . ertii huius a
243쪽
KG. Dieo lineam, quae ab L ad Κ ducitur,utraque ex parte Occurrere sectioni:& quae ab occursibus ducuntur ad D sectionem contingere. Quoniam enim utraque linearum E D, DF sectionem in duobus punctis secat: poterimus ab ipso D sectionis diametrum ducere . quare & contingentes ex utraque parte . ducantur igitur D A, D B, quae sectionem contingant: & iuncta B A, si fieri possit, non transerat per Κ; sed vel per alterum ipsorum tantum, vel per neutrum. transeat primo per L tantum; dclineam F G in puncto Μ secet. ergo ut d D ad D G, ita F M ad M G, quod est absurdum a ponitur enim ut F D ad D G, ita F Κ ad ΚG. si vero linea B A per neutrum punctorum Κ,L transeat; in utraque ipsarum D E, D P, id quod est absurdum sequetur.
THEOREM A X. PROPOSITIO X. HAEC quidem communiter in omnibus; at in sola hyperbola, si alia quidem eadem sint , unius autem rectae lineae occursus co tineant occursus alterius , & punctum D sit intra angulum asymptotis comprehensum: eadem prorsus evenient, quae dicta sunt, ut in secundo theoremate tradidimus. THEOREM A XL PROPOSITIO XI.
IISDEM positis, si unius lineae occursus occursus alterius non tineant; & punctu D sit intra angulum asymptotis comprehen
su; & figura,& demonstratio eadem erit,quae in tertio theoremate. ΤΗ EO REM A XII. PROPOSITIO XII.
IISDEM positis, si occursus unius lineae alterius occursus con tineant, & punetium sumptum si in angulo deinceps et,qui asyr ptotis comprehenditur: linea per divisiones aucta, si producatur, occurret oppositae secti ni; & quae ab occursibus ducuntur ad punctum D, oppostas sectiones contingent.
SIΤ hyperbole E G, cuius asymptoti N X, Ο Ρ, & centrum R, punctum vero D sit in angulo XRP; & dueantur D E , D F; quarum utraque hyperbolen in duobus punctis secet: & puncta E,H a punctis F, G eontineantur, sitque ut E D ad D H, ita Ε Κ ad Κ H; & ut FD ad D G,
ita F L ad L G. Demonstrandum est lineam per Κλ ductam occurrere sectioni E F, & ei, quae ipsi opponitur: &quae ab occursibus ducuntur ad D, sectiones contingere. sit se
244쪽
CONICORUM LIBER IU. 237Sit sectio opposita M; & a puncto D ducantur D M, D s, quae sectiones contingant: iunctaque M si si fieri possit, non transeat per Κ,L, sed vel per alterum piorum, vel per neutrum. Transeat primum per Κ, ω secet F G in Q. est igitur ut F D ad D G , ita F id Q G , quod est absurdum et ponitur enim ut F D ad D G, ita F L ad L G. s vero M s per neutrum punctorum Κ,Ltranseat . in utraque ipsarum BD, DF eveniet illud, quod fieri non potest.
THEOREM A XIII. PROPOSITIO XIII.
IISDEM postis,spunetium D sit in una a*mptoton ; & reli qua eadem existant: quae per divisiones transit linea asymptoto, in qua est punctum, aequi distabit , & producta occurret sectioni:
quae vero ab occursu ad punetium ducitur, sectionem continget.
SIT hyperbole, & asymptoti; sumptoque in una asymptoton puncto D , ducantur rectae lineae, & dividantur, ut dictum est: & ab ipso D linea D B sectionem contingat. Dico eam, quae a puncto B ducitur ipsi o P aequi distana, per puncta L,L transire. Si enim non, vel per unum ipsorum transibit, vel per neutrum. Transeat primo per Κ tantum . quare ut F D ad D G, ita F inid . . quod est absurdum . non igitur a puncto B ducta aequidistans P o per
unum tantum eorum transibit. ergo per utrunque transeat necesse est.
IISDEMpositis, si punctum D sit in una asymptoton ; & linea quidem D E sectionem in duobus punctis secet , DG vero alteri asymptoto aequidistans secet in uno tantum, quod sit G ; fiatque ut E D ad D Η, ita Ε Κ ad Κ Η ; & ipsi D G ponatur aequalis G L: quae per puncta Κ , L transi linea , & asym
ptoto aequidistabit, & sectioni occurret; quae vero ab occursu ducitur ad D, sectionem com
tinget. SIMILITER enim, ut in superioribus, ducta linea D B contingente, dico eam, qu a puncto B ducitur, asymptoto P Ο aequidistans, per puncta Κ,L transire. Si enim per Κ solum traseat, non erit DG ipsi G L aequalis; quod est absurdum: si vero per L solum,non erit ut S D ad D Η, ita E K ad K H. quω si neque per Κ transeat, neque per L, in utrisque id, quod est absurdum, sequetur. ergo per utraque puncta transire necessarium est.
245쪽
138' APOLLONII PERGAEI THEOREM A XV. PROPOSITIO XV.
SI in sectionibus oppositis inter duas sectiones sumatur alia quod punctum,*ab ipso duae lineae ducantur, altera quidem
contingens unam oppositarum, altera vero utranque secans; dcquam proportionem habet linea,inter sectionem, quam non con
tingit, &punctum interiecta, ad lineam, quae est inter puninim& alteram sectionem, eandem habeat linea quaedam maior ea, quae inter sectiones interijcitur ad excessum ipsius in eadem recta,& ad eundem terminum cum linea eiusdem rationis: quae a te mino maioris lineae ad tactum ducirur , occurret sectioni , &quae ab occursu ducitur ad sumptum punctum , semonem
SINT sectiones oppositae A,B; sumptoque inter sectiones aliquo puncto D, intra angulum asymptatia conten tum , ab ipso ducatur linea quidem D P contingens sectionem, A D B vero sectiones lecans: & quam proportionem habet A D ad D B, habeat A C ad C D. Demonstrandum est, lineam a puncto F ad C productam occurrere sectioni:& eam, quae ab occursu ducitur ad D sectionem contingere . Quoniam enim punctum D est intra angulum, qui se-.9.lecudi ctionem continet: poterimus ab ipso D aliam contingen- tem ducere, quae sit D Ea & iuncta F E, si fieri potest, ,s. sitimi per C non transeat , sed per aliud punctum G . erit ut A Dhului. ad D B. ita Α G ad G B, quod est absurdum. posuimus
enim ut A D ad D B ita esse Α C ad C B THEOREM A XVI. PRopos ITIO
IISDEM positis, sit punctum D in angulo deinceps ei, qui asymptotis continetur: & reliqua eadem fiant. Dico lineam a punmi F ad C prodo I
contIn- SINT enim eadem , quae supra & punctum D sit in angulo deinceps ei, qui asymptotis continetur a atque a . Puncto D ducatur D E sectionem A contingens: iuncta L. Lux Ε 6c producta, si fieri potest, non transeat pe blita sed i r aliud punctum G . erit ut AG aclGB, A D ad D B, quod est absurdum . ponebatur enim ux
246쪽
co NICOR UM LIBER I U. THEOREM A XVII. PROPOSITIO XUII. in
IISDEM positis, sit punctum D in una asymptoton. Dico lineam, quae ab F ad C ducitur, asymptoto, in qua est punctum, aeqdidistare.
SINT eadem, quae supra, & punctum D in una asymptoton; ductaqui per F eidem asymptoto aequiuis ans non transeat per C, si fieri potest, sed per G: erit ut A Dad D B, ita A G ad G B; quod est absurdum. ergo quae a puncto F ducitur asymptoto aequidistans per punctum C transibit.
SI in sectionibus oppositis aliquod punctum sumatur inter du
as sectiones; & ab ipso duae lineae ducantur, utranque sectionem secantes , & quam proportionem habent interiectar inter unam sectionem&pundium adeas, quae inter adem punctum & alteram sectionem interi jciuntur, eandem habeant lineae maiores iis, quae iunt inter sectiones oppositas,ad excessus ipsarum: quae per terminos maiorum linearum transeunt, occurrent sectionibus; &quae ab occursibus ad sumptum punctum ducuntur, sectiones
contingent. SINT Oppositae sectiones Α,B; Spunctum D inter sectio. nes a quod quidem primum ponatur in angulo asym- Apiolis contento : & per D lineae A D B, C D H du- cantur. maior igitur est A D, quam DB; & C DO-ior, quam D H; quoniam BN est aequalis AM: quam vero proportionem habet Λ D ad D B , habeat Α Κad Κ R ; & quam C D habet ad D H , habeat C Gad G H. Dico lineam, quae per Κ, G transit , occur rete sectioni; & quae a puncto D ad occursus ducuntur, . sectionem contingere. Quoniam enim punctum D est in angulo asymptotiS contento: possumus ab eo duas lineas contingentes ducere . itaque ducantur D E , D F : &E F iungatur, qRae per puncta Κ, G transibit. Si enim non, vel transibit per unum ipsorum tantum , vel per neutrum: & si quidem per unum tantum, altera linea. rum in eandem proportionem ad aliud punctum secabitur; quod fieri non potest: si veru per neutrum , id utri' e id, quod fieri non potest, continget.
SUMATUR punctum D in angulo deinceps ei, qui asym
247쪽
APOLLONII P Eptotis continetur: ducanturque rectae lineae sectiones secantes; &,ut dictum est, dividantur . Dico eam, quae per Κ G producitur, o currere utrique sectionum; quae ab occur sibus ducuntur ad D, semones contingere.
DUCANTUR enim a puncto D lineae DE, DF,
quae utranque isectionem contingant.ergo quae ducitur per E P, per Κ,G transibit. si enim non, vel transibit per alterum ipsorum, Vel per neutrum ,& rursus eodem modo id , quod est absurdum, concludetur.
SI sumptum punctum sit in una asympto- ton, & reliqua fiant: linea, quae transit per te minos excessuum, asymptoto, in qua est pum Etiam aequidistabit , &quae a puncto ducitur ad occursum sectionis,& lineae per terminos trans. euntis, sectionem continget.
SINT Oppositae sectiones A,B: & punctum D sit in una asivmptoton; S reliqua eadem fiant. Dico lincam, quae per Κ,G transit, currere sectionii & quae ab occursu ad Ddueitur, sectionem contingere. Ducatur enim a puncto D contingens linea D P: & ab P ducatur asymptoto aequidinans, in qua est punctum In transibit igitur ea per puncta Κ,G : alioqui vel per alterum tantum transibit, vel per neutrum; & ita ea, de quibus dictum est, absurda sequentur.
THEOREM A XXI. PROPOSITIO XXI.
SINT rursus oppositae sectiones A, B ; sitque sunmim D in una asymptoton: & linea quidem γ B Κ in uno tantum puncto occurrat sectioni B, alteri asymptoto aequi distans; linea vero C D Η Gutrique sectioni occurrat: & ut C D ad D Η, ita
neam, quae per puncta Κ,G transit, occurrere si
ctioni ; asymptotoque, in qua est punctium D, qui distare: & quae ab occursu ad punistum D du- α Citur, sectionem contingere. '
DUCATUR enim linea contingens D F: & ab F ducatur aequidistans atym Ptolo , in qua est D . triansibit ea per puncta G: alioqui eadem absurda sequ/R' Lur necesse est. THEO-
248쪽
C o N I C G R V M LIBER IV. 141 THEOREM A XXII. PROPOSIΤIO XXILSINI similiter oppositae sectiones, asymptotique, &Pu ctum D sumatur in angulo deinceps ei, qui aDymptotis contine- 'tur, linea 'ero CDΗ secet utrasque sectiones,& Oκ
D B alteri asymptoto aequissistet sitque ut CD V ad D Η, ita C G ad G H ; & ipsi D B aequalis p Inatur B Κ. Dico lineam, quae per puncta K,G
transit, occurrere utrique oppositarum sectio- j frium: & quae ab occursibus 'ducuntur ad D, se- l fctiones easdem contingere. l/, DUCANTUR eniin DE, DF, quae sectiones contin- gant: & iuncta E F, si fieri possit, non transeat per K,G; ori
sed vel per alterum ipsorum tantum, vel per neutrum. & squidem per G tantum transeat; linea D B non erit aequa- Iis ipsi B Κ, sed alteri, quod est absurdum : si vero tantum lper K; non erit ut CD ad DH, ita C G ad GII, sed alia quaedam ad aliam: quod si per neutrum ipsorum Κ,G trans. eat; utraque absurda sequentur.
THEOREM A XXIII. . PROPOSITIO XXIII.
SINT itidem oppositae semones A,B ; punctumque D sit in angulo deinceps ei, qui asymptotis continetur: & linea quidem B D sectionem B in uno puncto tantum secet , λ ἡ γγ alteri asymptoto aequidistans; linea vero D Α si-
militer secet sectionem A; sitque D B ipsi B G qualiq, & D A ipsi A K. Dico lineam, quae trans- f
it per Κ, G occurrere sectionibus: & quae ab o cursibus ad D ducuntur, sectiones contingere.
DUCANTUR enim D E , D F quae contingant sectio- nes : & iuncta E F non transeat per Κ,G , si fieri potest; sed γ β . uel per alterum ipsorum, vel per neutrum . ex quibus se- Qquitur, ut vel D A non sit aequalis A K, sed alii cuipiam; D ti
quod est absurdum: vel D B non sit aequalis B G: vel neu- Z V tra neutrae sit aequalis: & ita in utrisque idem continget absurdum. linea igitust E P per puncta Κ, G necessario transibit.
THEOREM A XXIV. PROΡOSITIO XXIV. CONI sectio coni sectioni, vel circuli circunserentiae non currit; ita ut pars quidem eadem sit, pars vero non sit communis. Disiligod by Corale
249쪽
SI enim fieri potest; eoni sectio D A B C eireuli circunserentiae E A BC oecurrat, ut ipsarum communis pars sit eadem ABC; non communis autem A D, Α Ε:& sumpto in ipsis puneri H,i ungatur H A,& per quodvis punctum E dueatur DEC, aequi distans A H; sectaque A II bifariam in G, ducatur per G diameter 3 . primi B G F. ergo quae per B ips A H aequid istans ducitur, h*yM' utranque lectionem continget ;&aequid istabit DEC: Ethin 'φ' eritque in altera quidem sectione DF aequalis FC; in o. 8 r. altera vero E F aequalis P C. quare & D F ipsi F E in primi h qualis erit. quod fieri non potest.
ALITER. Sint sectiones D AB C. E AB C; ducaturque linea DEC, quomodocunque coa tingat : S per A ipsi DEC aequidistans ducatur ΑΗ. si igitur Α Η intra sectiones cadit; congruet ea demonstratio, quae ab Apollonio astertur : si vero contingit in puncto A ; & utrasque sectiones continget. ergo diameter alterius ''ctionis, quae ab A ducitur, reliquae etiam diameter erit: & propterea in puncto F secabit, &lineam D C, & C E. quod fieri non potest. ALITER. Sini sectiones D ABC, EA BC, ut dictum est; & in communi ipsarum parte ABC sumatur punctum B: & ducta Α Β bifariam secetur in F; perque F ducatur diameter
stans. Quoniam igitur FH diameter est , quae bifariam secat lineam A B : erit A B ordinati in applicata . & aequid istae C E D. ergo C E bifariam secatur in FI . sed in sectione E A B C descripta est EC; &insectione DABC, ipsa CD. linea igitur E H lineae aequalis. quod fieri non potest.
CONI sectio coni sectionem, vel circuli circunferentiam in pluribus punctis, quam quatuor non secat.
SI enim fieri potest .secet in ciuinque puctis A, B,C, D, Ε:sintque A,B,C,D, E oecursus deinceps . nullum interme Y clium reliquentes; & iunctae A B, C D producantur, quae convenient inter se extra sectionem in parabola &hyperbola. Itaque conveniant in I.: & quam propor tionem habet A L ad L B . habeat A O ad O B : quam 3 vero D L habet ad L C, habeat D P ad P C. ergo quae a puncto P ad O iuncta producitur ex utraque pla te, Oc curreret sectioni & quae ab occursibus ducuntur ad L, sectiones contingent. occurrat in punctis Η,R : &I L, LRiungantur. con tingent
250쪽
tingent igitur hae sectiones; & E L utranque secabit: quoniam inter BC nuIlus eli occursus. Itaque secet in punctis M,G. ergo in altera quidem sectione Cerit ut E L ad L G, ita E N ad N G: in altera autem ut E L ad L M, ita EN ad N M; quod si eri nsn potest . quare neque illud, quod a principio ponebatur. Si vero A B, DC aequidistent;
sectiones erunt ellipsis, vel circuli circunserentia. dividantur Α B,C D bifariam in O, P; & iuncta P Oad utraseque partes producatur, quae sectionibus occurret in H, R. erit igitur H R diameter sectionum. & A B, C Dad ipsiam ordinatim applicabuntur . quare a puncto Rducta E N Μ G,ipsi A B, C D aequidistans, secabit lineam H R, & utranque sectionein: propterea quod alius occursus non est praeter A, B,C,D, E. ergo ex ijs, quae dicta sunt, in altera quidem sectione erit E N aequalis N M , in altera vero E Naequalis N G. quare N M ipsi N G est aequalis . quod fieri non potest. F E D. COMMANDI NUs.
ETHEO REM A XXVI. PROΡOSITIO XXVI.
ET iunctae A B, C D producantur, quae convenient inter se extra sectionem in parabola , & hyperbola . ) Ex vigesima quarta s vigesima quinta fecundi huius . Ergo quae a puncto P ad O iuncta producitur ex utraque parte occurrit secti ni ; ω quae ab occursibus ducuntur ad L,sectiones contingunt.) Ex nona huius. Itaque secet in punctis M,G. ergo in altera quidem sectione erit ut E L ad L G, ita E N ad N G; in altera autem ut &c. J Sit linea L 9 maior, quam LM:
erit contra N M maior , quam . habebit igitur E L ad L M maiorem proportionem, quam Ε L ad LG .u: autem E L ad L M, ita E N ad N - ct ut E L ad L G , ira E N ad NU . ergo E N ad N M maiorem proportionem habet, quam E Nad N Geσ iccirco N M minor est, quam NG. Ied σ erat maior . quod fleri non potest .
Erit igitur H R diameter sectionum. J Eae vigesima octava fecundi huius . Ergo ex ijs, quae dicta sunt, in altera quidem sectione erit E N aequalis N M, in altera vero E N aequalis N G. J Sunt enim σ E M, E 9 ad diametrum H R
SI dictarum linearum aliquae in uno puncto sese contingant , non occurrent sibi ipsis ad alia puncti plura, quam duo.
CONTINGANT enim sese duae quaepiam dictarum linearum in puncto A.
Dico eas non occurrere sibi ipsis ad alia puncta plura , quam cluo.N am, si fieri potest,occurrant ad puncta B,C, D;1intque occursus deinceps, nullum intermedium rejinquentes; & iuncta B C producatur : a puncto autem Acucatur contingens A L; quae quidem continget duas sectiones, & cum linea B C conveniet. conveniat in L; & fiat ut CL ad LB, ita CP ad PB: iungaturque Λ Ρ, & pr ducatur. occurret ea sectionibus; & quae ab occursibus ad n punctum L ducuntur, sectiones contingent. Itaque occurrat in punctis Η, Rata iungantur H L, L R , quae contingent lectiones. ergo quae a puncto D ad Leucitur utranque sectionem secabit eadem,quae dicta sunt, absurda sequen-