장음표시 사용
251쪽
tur . non igitur se secant ad plura puncta, quam duo. si vero in ellipsi ,& circuli cireunserentia C B ipsi A L aequiuillet, similiter demonstrationem faciemus, lineam Α Η diametrum ostendentes.
SI praedistarum linearum aliquae in duobus punctis sese contingant ; in alio puncto sibi ipsis non occurrent.
PRAEDICTARUM enim j inearum duae sese contingant in duobus punctis A,B. Dico eas ad alluc punctum sibi ipsis non occurrere. Nam si fieri potest, occurrant etiam ad eunctum C; sitque primum C extra Α,B tactust & ab ipsis ducantur lineae contingentes, quae in punctum L conveniant, ut in prima figura apparet. contingent igitur hae utranque sectionem: dc iuncta CL utranque secabit. secet in punctis G,M: & iungatur A N L. ergo in altera quidem sectione erit ut C L ad L G , ita C N ad N G ; in altera veto ut C L ad L M, ita C N ad N M. quod est absurdum.
AT si C G aequid istans sit linei; ad puncta A, B eontingentibus, ut in ellipsi in . . cs se unda figura ἱ iungemus lineam A B, quae sectionum diameter erit. ergo utra ita is, . que linearum C G, C M in puncto N bifariam secabitur; quod est absurdum. non igitur sectiones ad aliud punctum sibi ipsis occurrunt, sed ad A B tantum . SIT deinde C inter tactus, ut in tertia figura: perspicuum est sectiones non con tingere sese ad punctum C: quoniam ad duo tantum contingentes ponebantur secent igitur se ipsas in C : & a punctis A, B ducantur A L , L B, quae sectiones,, .seelidi contingant: iungaturque A B, & in F bifariam dividatur . ergo a puncto L ad huius. F ducta diameter erit, quae quidem per C non transibit. si enim transeat; qu per C ipsi A B aequid istans ducitur, continget utranque sectionem; quod si crinon potest . itaque ducatur a puncto C linea CKGM aequi distans A Η . erit in altera quidem sectione C Κ aequalis Κ G: in altera vero C K aequatis Κ M. qua QE. Μ ipsi X G est aequalis; quod fieri non potest. Eodem modo si contingente inter se aequidissent, ex ijs,quae diximus, illud,quod fieri non potest, concludetur
THEOREM A XXVIII. PROPOSITIO XXVIII. PARABOLE parabolen non contingit, praeterquam In uno
, Puncto. . 4i enim fieri potest; parabolae A G B , A M B in punctis A, B sese con-xingant : & ducantur lineae eontingentes A L, L B. contingent hae utrasque
252쪽
que sectiones ; & in punctum L convenient . itaque uinctii A B secetur bifariam in F & ducatur L E. Quoniam igitur duae lineae A G B, A M B sese contingunt in punctis Α, B: ad aliud punctum sibi ipsis non current . quare L F utranque sectionem secabit. secet in G, M. ergo in altera quidem sectione erit L G ae. qualis G F, in altera vero L M aequalis Μ P. quod heri non potes . non igitur Parabole parabolen praeterquam in uno puncto contingit.
PARABOLE hyperbolen non contingit in duobus punctis
extra ipsam caden S. SIT parabole quidem A G B,hyperbole vero A M B; & si fieri potest, sese
contingant in punctis A, B: S ab ipsis ducantur lineae utranque sectionem contingentes, quae in L conveniant: iunctaque A B bifariam secetur in F; & L F ducatur . Itaque quoniam sectiones A G B, A M B sese contingunt in punctis A, B : ad aliud punctum sibi ipsis non occurrent . quare L F in alio atque alio puncto sectiones secat. secet in G,M; & producatur L F, quae in centrum hyperbolae cadet; sitque centrum D. ergo propter hyper- Ibolen ut F D ad D Μ, ita erit MD ad D L; & ita re- sliqua F M ad M L. est autem P D maior, quam D Μ. ergo & F M imior, quam M L. sed propter parabolen erit E G aequalis G L. quod fieri non potest.
FED. COMMANDINVS. ERGO propter hyperbolen ut FD ad D M ita M D ad D L. J V enim ex Atrigesima septima primi huius rectangulum F D L quadrato D M aquale. ergo ut FD 24. lextio ad D Ar, ita M D ad D L εὼ ct ita reliqua F M ad , L . 'Huin i Quod fieri non potest. Esset enim G F minor , quam F M.
THEOREM A XXX. PROPOSITIO XXX.
ΡΑRABOLE ellipsim, vel circuli circuns
rentiam non contingit in duobus pundiis intra ipsam caden S.
SIT ellipsis, vel circuli circunferentia A G B, parabolevero AMB; & si fieri potest, in duobus punctis A, B sese contingant: & ab ipsis ducantur lineae contingentes sectiones , quae conveniant in punctum L; iunctaque A B secetur in F bifariam,& ducatur L P. secabit igitur L P utranque sectionem in alio atque alio puncto, uti dictum est. secet in G, M: & producatur LP usque ad D, quod siteentrum ellipsis, vel circuli. ergo propter ellipsim & circulum erit ut L D ad 3ν. ysmi D G , ita G D ad D F; & reliqua L G ad G P. estque L D maior, quam D G. huius. ergo & LG maior, quam G F. sed propter parabolen erit LM aequalis M P. qui quod fieri non potest. TH LO-
253쪽
2 6 APOLLONII PERGAEI THEOREM A XXXI. PROPOSITIO XXXI.
HYPERBOLE hyperbolen idem centrum habens in duobus
puncts non continget. HYPERBOLAE enim A G B, A M B idem habentes centrum D, si fieri potest , in punctis A,B sese contingant; & ducantur ab ipsis lineae contingentes, quae inter se conveniant,A L , L B : iunctaque D L,o.seeudi producatur; & iungatur A B. ergo D F seeat bifa- huius. tiam lineam R B in P. & utrasque sectiones inprimi G , Μ secat . quare propter hyperbolen A G B r huius. ctangulum FDLest aequale quadrato D G : & propter hyperbolen A M B rectangulum F D L aequale est quadrato DM . quadratum igitur MD quadrato D G aequale erit. quod fieri non potest .
SI ellipsis ellipsim , vel circuli circuns
rentiam , idem centrum habens in duobus punctis contingat: linea coniungens tactus per centrum transibit CONTINGANT enim sese dictae lineae in punctis
Α,B; &iuncta AB, per Α,B puncta ducantur lineae sectiones contingentes , ouae si fieri possit, conveniant in L: & linea A B in F dilariam clividatur ; & tum M.tresidi gatur L F . ergo L F diameter est sectionum. Sit cen- huius . trum D, si fieri potest . rectangulum igitur DLF pro-3ν primi pter alteram quidem sectionem est aequale quadrato D G; propter alteram vero aequale quadrato D M. quare G D quadratum quadrato D M aequale erit: quod fieri non potest. non igitur lineae contingentes a punctis A, B ductae conveniunt. ergo aequidistant inter sese: & iccirco linea Α B diameter est, quae per centrum transbit . id quod demonstrandum proponebatur.
CONI scistio vel circuli circunserentia coni sectioni Vel
circuli circunserentiae, quae non ad easdem partes conveXa ha beat, ad plura puncta quam duo non occurret.
SI enim fieri potest , coni sectio vel eirculi circunferentia ABC cmi chioni vel circuli circunferentiae Α D B E C occurrat ad plura pudo νquam Dissili od by Corale
254쪽
quam duo, non habens convexa ABC ad easdem partes. Quoniam igitur in linea ABC sumuntur tria puncta A, B, C a & A B, B C iunguntur e continent angulum ad easdem partes , iaquibus sunt concava lineae A B C. & simili ratione lineae A B, B C eundem angulum continent ad eas partes, in quibus sunt concava lineae AD BE C. ergo dictae lineae ad easdem partes habent comcava & convexa. quod fieri non potest.
ΤΗΕOREM A XXXIV. PRO Pos ΙΤ Io XXXIV. SI coni sectio, vel circuli circunserentia occurrat uni oppositarum sectionum in duobus punctis , & lianeae, quae inter occursus interi jciuntur, ad easdem partes concava habeant: producta linea ad occursus alteri oppositarum sedit
num non occurret. SINT Oppositae sectiones D, A C F ; & ecini sectio, vel circuli circunferentia ABF occurrat alteri oppositarum sectionum in duobus punctis A, B : habeantque ΑΒ F, A C P concava ad easdem partes. Dico lineam ABF productam sectioni D non occurrere. Iungatur enim Λ F.Et quoniam D, A C F oppositae sectiones sunt;& recta linea A F in duobus punctis hyperbolen secat: producta non occurret oppositae sectioni D. quare neque linea ABF eidem
THEOREM A XXXV. PROPOSITIO XXXV. SI coni sectio, vel circuli circunserentia uni oppostarum sectionum occurrat , reliquae ipsi rum non occurret ad plura puncta, quam duo.
SINT Oppositae sectiones A, B i & ipsi Α occurrat coni sectio, vel circuli circunferentia ABC; secetque Bin punctis B, C. Dico ad aliud punctum ipsi B non currere. Si enim fieri possit ; occurrat in D. ergo linea B C D sectioni B C occurrit ad plura puncta , quam duo, non habens concava ad easdem partes. quod fieri non potest . similiter desnonstrabitur & si Iinea ABC oppositam sectionem contingat.
CONI sectio, vel circuli circunserentia oppositis sectionibus
ad plura puncta quam quatuor non Occurret. HOC
255쪽
248 ex anteee HOC autem perspicue constat: nam linea, occurrens uni oppositarum sectio. dζοῖς . num, reliquae non occurrit ad plura puncta, quam duo.
SI coni secto, vel circuli circunferentia una oppostarum sectionum concava sui parte con-T tingat , alteri Oppositarum non occurret.
SINT Oppositae sectiones A, B: & sectionem A contingat linea CAD. Dico C A D section i B non occurre. re. Ducatur enim per A punctum linea contingens EA F, quae utranque linearum continget in A . quare non occurret sectioni B: & propterea neque linea C A D ei
THEOREM A XXXVIII. PROPOSITIO XXXVIII. SI conisectio , vel circuli circunferentia utranque opposita rum sectionum contingat in uno puncto, oppositis sectionibus in alio puncto non occurret. BSINT Oppositae sectiones A,B: coni autem sectio, vel circuli circunferentia ABC utranque ipsarum in punctis A, B contingat. Dico lineam ABC oppositis sectionibus Α,B in alio puncto non occurrere. Quoniam enim ABC sectionem A in uno puncto contingit, sectioni B occurrens : non continget sectionem A concava sui parte . similiter demonstrabitur neque ita contingere sectionem B. Ducantur lineae A D, B E contingentes sectiones A,B; quae & lineam ABC contingent: si enim fieri potest, altera ipsarum secet; sitque A F. ergo inter lineam A F contingentem , & inter sectionem Acadit linea intermedia G. quod est absurdum. lineae igitur AD, BE ipsam quoque Α BC contingent. ex quo aepa ret lineam ABC ad aliud punctum oppositis sectionibus
F E D. COMMANDI NUA QUONIAM enim ABC sectionem A in uno puncto contingit, sectioni B oe
currens : non continget sectionem A concava sui parte.) Si enim fieri potest eois tintat sectionem A concava sui parte . ergo ex antecedente, atteri oppositarum secIια- num non occurret .sed σ oceinrit fectioni R . quod est absurdum.
B Ergo inter lineam A F contingentem ,& inter sectionem A cadit linea intermecia G . quod est absurdum.J Ex demonstratis ἐπ trigesima sexta primi ore us. D
Gracis autem condicibus ante hae verba, non nulla alia legebant ar, Gua nos tanrasis superflua omisimus.
THEOREM A XXXIX. PROPOSITIO XXXIX.
SI hyperbole uni oppositarum sectionum in duobus punctis
256쪽
ctio, alteri oppositarum non occurret. ra . SINT Oppositae sectiones ABD, F; & hyper- Q I le ABC sectioni A B D occurrat in punctis i ΝΑ, B, habens convexa e regione sita: iitque se. γctioni ABC opposita sectio E. Dico ipsam E se- ctioni F non occurrere. Iungatur enim A B,& ad in G producatur. Quoniam igitur A B G recta' linea secat hyperbolen A B D: producta ex
utraque parte extra sectionem cadet. quare non occurret sectioni F. similiter propter hyperbolen A B C , neque occurret oppositae sectioni E. ergo sectio E sectioni F non occurret.
THEOREM A X L. PROPOSITIO XL. SI hyperbole occurrat utrique opiositarum sectionum 3 quae
ipsi opponitur sectio, nulli oppositarum in duobus punctis
occurret. SINT Oppositae sectiones A, B : & A CB hyperbole utrique occurrat. Dico sectionem, quae ipsi A C BOpponitur, sectionibus A,B non occurrere in cluobus punctis. Si enim fieri potest a occurrat in punctis D, Et & iuncia D E producatur . ergo propter sectionem D E recta linea D E sectioni Α Β non occurret : & propter sectionem A E D , non occurret ipsi B: per tres enim locos transibit; quod fieri non potest . similiter demonstrabitur neque sectioni B in duobus punctis occurrere. Eadem etiam ratione u tranque ipsarum non continget. Ducatur enim linea contingens H E , quae continget utranque sectionem. ergo propter sectionem D E ipsi A C non occurret : & propter sectionem A E non occurret sectioni B. quare neque AC sectio sectioni B occcurret. quod non ponitur.
SI hyperbole utranque oppositarum semonum in duobus punctis secet, convexa habens e regione utrique sita , quae ipsi opponitur sectio, nulli positarum Occurret.
SINT Oppositae sectiones A , B : & hyperbole C A B D utranque secet in duobus punctis , convexa habens h regione utrisque sita. Dico sectionem oppolitam E P nulli ipsarum A, B occurrere. Si enim fieri potest occurrat ieetioni A in puncto S: iunctae C A, D B producantur . convenient hM
257쪽
as.lecudi inter sese. Itaque conveniant in H. erit igitur Hhuiu . in angulo asymptotis sectionis C A B D contento, cui opponitur sectio E F. ergo quae a puncto E ad H ducitur, cadit intra angulum con- A tentum lineis Α Η Β . rursus quoniam hyperbole est C A E; occurruntque sibi ipsis C A Η , H E;& C, Α occursus non continent occursum E: punctum H erit inter asymptotos sectionis C A E. atque est ipsi opposita sectio B D . ergo quae a puncto B ducitur ad H, intra angulum C H Ecadit . quod est absurdum i cadebat enim intra angulum A H B. non igitur E F alicui oppositarum sectionum A, B occurret.
RVRSVS quoniam hyperbole est CAE; occurruntque sibi ipsis C AH, H E; S C, A occursus non continent occursum E : punctum H erit inter asymptotos sectionis CA E .J Vereor, ne locus eorruptus sit e neque enim punctum Mnecessario cadere videtur inter V mptotos sectionis CAE , nisi linea E H Iecti nem C a s E , vel contingat , vel in duobus punctis Lecet; quod non ponitur . ' terea qaomodo ex his absurdum Ieraa - , non facile apparet : Ied tamen possumus demonstrationem absolvere in hunc modum.
Rursus quoniam recta linea D B H sectionem D B O secat in duobus punctis: producta non occurret oppostae sectioni CAE. quare si a puncto E eiusdem sokiionis linea ducatur E II cadet extra ipsam H B, hoc est extra angulum A H B. quod est absurdum; cadebat enim intra . non igitur E F ulli oppositarum sectio nudi A, B occurret. ALITER. Sint oppositae sectiones A, Br& hyperbole C Α Β D utranque ipsarum in punctis C, A, B,D secet & sit sectio ipsi opposita E F.Dico E P nulli oppsitarum lectionum occurrere. Iunctae enim D B, C A producatur: & conveniant inter se in puncto H. x, .leeudi erit igitur H inter asymptotos sectionis CAhuius. B D. sint C A B D sectionis asymptoti ΚGL, M G N. perspicuum est lineas N G L sectionem E F continere. at linea C Α H se, , , laesidi ctionem CAX in duobus punctis C, A s
huius. cat. ergo producta ex utraque parte non
curret oppositae sectioni DBO: sederit in- B ter BO & lineam GL. similiter&DBHproducta sectioni CAX nos occurret: sederit inter A X & G N. quoniam igitur PH, H R non occurrentes sectionibus A, B continent asymptotos N G L, & multb magis sectionem E F: sequitur,ut E F nulli oppositarum sectionum occurrat.
258쪽
C A RVP in duobus penctis ferat, si prodacaτων I aomptato x G L occurret ad ραρο res Κ. x octavit secundi huitis. quare ei non occurret in alio puncto ct interfectionem A O , oe QTmptoton G L eadet. Eadem quoque ratione ratia linea DE H P inter A X sectionem , ct Imptoton G Neadat necesse est.
THEOREM A XLII. PROPOSITIO XLII. SI hyperbole unam oppositarum sectionum in quatuor pumctis secet , quae ipsi opponitur sectio, non occurret alteri Or
positarum. SINT Oppositae sectiones A B C D, E; & hyperbole ipsam A B C D seeet inquatuor punctis A, B, ,D: sitque ei opposita sectio K. Dico Κ sectioni E non occurrere. Si enim fieri potest; occurrat in K: & iunctae A B, CD producantur, quae inter se convenient. conveniant in L: &quam proportionem habet A L ad L B, habeat A P ad P B aquam vero habet D L ad L C, habeat D R ad R C. ergo linea, quae per P R producitur, utrique sectioni occurret: quae ab L ad occursus ducucitur,secti nem contingent . iungatur Κ L, & producatur. secabit ea angulum B L C,& sectiones in alio atque alio puncto . Itaque secet in P, M . ergo eropter oppositas sectiones Α Η F G D, Κ, erit ut N Ead Κ L, ita N F ad F L: & propter sectiones A B C D, E, ut N K ad K L, ita erit N Mad ML. quod fieri non potest. non igitur sectio. nes E,Κ sibi ipsis occurrunt. F E D. COMMANDI NUS.
QVIS inter se convenient. Ex vigesima quinta secundi halus. Ergo linea , quae per P R producitur, utrique sectioni occurret; & quae ab L ad occursus ducuntur, sectionem contingent. J Ex nona huius. Ergo propter oppositas sectiones Α Η F G D, Κ, erit ut N Κ ad K L, ita N F Cad F L. Est enim per triges afextam primi huius ut K N ad N F, ita Κ L ad L F. quare a permutando ax N K ad K L , ita NF ad F L.
THEOREM A XLIII. PROPOSITIO XLIII. SI hyperbole alteri oppostarum sectionum in duobus puntas occurrat, concava habens ad easdem partes , alteri vero occurrat in uno puncto: quae ipsi opponitur sectio nulli oppositarum o
259쪽
A B in punctis A, B occurrat; sectioni velo C oecurrat in uno puncto C: sitque ipsi A C B opposita sectio D. Dico D nulli sectionum Α Β , C occurrere. Iungantur enim AC, B C ; & producantur. Lineae igitur A U, B C., secussi sectioni D non occurrent. sed neque occurrent sectioni φhuius. C praeterquam in uno puncto C : si enim in alio puncto; oppositae sectioni A B non occurrent. postum autem est Α C , B C occurrere sectioni Α Β . quare sequitur , ut A C , B C sectioni C in uno puncto C occurrant; sectioni vero D nullo modo . ergo D erit sub angulo E C F: & propterea sectionibus A B, C mini
PROPOSITIO XLI USI hyperbole uni oppostarum sectionum occurrat in tribus punctis; quae ipsi opponitur, alteri oppostarum praeterquam in
SIm oppositae sectiones ABC, DEF; & hyperbole Α Μ B C occurrat A BC sectioni in tribus punctis A, B,C : sit autem sectioni A M B C opposita sectio D E Κ , & ipsi ABC opposita D E F. Dico D E K non occurrere sectioni D E F praeterquam in uno puncto. Si enim fieri potest in punctis D, E occurrat: & iungantur AB, DE; quae vel aequidis antes sunt inter se, vel non aequi distantes. Sint primum aequi distantes : secenturque AB, D Ε bifariam in punctis G,Η; & iungatur G H. est igitur G Hdiameter omnium sectionum : atque ad eam applicantur ordinatim AB, DE. ducatur a puncto C linea CN OX uidistans Α B:erit & ipsa ad diametrum ordinatim ap.
plicata a & sectionibus in alio atque alio puncto oc- curret . Si enim in eodem puncto; non occurrerent se- κοctione; sibi ipsis in tribus punctis , sed in quatuor . ergo inctiones sibi ipsis in tribus punctis , sed in quatuor erit CN ipsi NX aequalis.&in ALB sectione CN aequalis No. quareo N est aequalis N X: quod fieri non potest. Sed non sint aequidis antes A B, D E; producanturque &conveniant in P; & ducatur Coipsi A P aequid istans; quae cum DP producta conveniat in R a secentur autem Α Β , D E bifariam in punctis G,Η a & per G,Η ducantur diametri G IS , HLMS; atque a punctis I, M lineae IYT, MY,1.leeundi L T sectiones contingant. erit igi. huius . tur IT aequid istam DP: <,
M Y aequi distantes ipsis A P, O R. Et quoniam ut quadratum M Y ad quadra
260쪽
tum YI, ita rectangulum APB ad rectangulum DPE: erit ut quadratum M Y ad quadratum si, ita quadratum L T ad quadratum TI . eadem ratione, ut quadratum Μ Y ad qua iratum YI, ita erit rectangulum X R C ad rectangulum DR E. sed ut quadratum L 1 ad quadratum T I, ita ORCrectanguium adrectanguium D RE. ergo rectangulum ORC rectangulo X RE est aequale. quod fieri non potest.
THEOREM A XLV. PROPOSITIO XLV. SI hyperbole unam oppostarum sectionum contingat, ait ram vero secet in duobus punctis; quae ipsi opponitur sectio , nulli
oppositarum Occurret. SINT Oppositae sectiones Α Β C, D: & hyperbole ABD sectionem quidem
Α Β C in punctis A, B secet; sectionem veto D contingat in D: & sit hyperbolae ABD opposita sectio c. E. Dico C E nulli ipsarum . iABC, D occurrere . Si enim fieri potest ι oecurrat I Hipsi A B C in C puctor iungaturque A B,& per D du- i Catur contingens, quae cum linea A B conveniat in F. Punctuin igitur i erit intra asymptotos A B D se- ctionis. est autem ipsi opposta sectio CE. ergo quae la puncto C ad F ducitur,cadit intra angulum lineis fBFD contentum . rursus quoniam hyperbole est Α Β C , cui occurrunt lineae A B, C F ; fic Α,B cursus occursum C non continent: erit punctum Fintra asumptotos sectionis ABC. opponitur autem ipsi sectio D. quae igitur a C ad F ducta tu rit, intra angulum APE cadet: quod est absurdum, cadebat eoim & intra angulum BFD. quare C E nulli oppositarum sectionum A B C, D
A, B cursus occursum C non continent: erit punctum P intra asymptotos si ctionis ABC. I me nou neeesfamio sequi videtur, nisi linea C Ffemanem ABC Vet ontingat , vel in duobus punctis secet, quod non ponitur , at etiam superi-r dix mu in comme rariis in i. hulas . potest tamen similiter demonstratio perfici hoc modo.
Rursus quoniam recta linea D P sectionem D contingit: si producatur; non occurret oppositae sectioni A B C. ergo a puncto C eiu sciem sectionis aucta linea ad P, cadet extra ipsam F D, hoc est extra angulum B F D: quod est absurdum. Acadebat enim intra . quare C E nulli oppositarum sectionum ABC, D occurret.
SI hyperbole unam oppositarum sectionum in uno puncto contingat , & secet in duobus punctis , quae ipsi opponitur sectio,