장음표시 사용
101쪽
per datum ducem, rusumque ultimus per
datum comitem, quatuor lent minimi s
tinue proportionales datis,oe sic deinceps in nientur quotlibet minimi continui in
98. Si duo inter siprimi haluerint co-tinue medios,uterque unitas habebili
totidem .9l. 8. It patet in proximo exemplo.
9. Si fuerint quotlibet continue proportionales ext morum inter se prrmor erunt minimi proportionalium: oesi fue
rint minimi proportionalium, erunt extre morum intersepiriommm. I. γ.3l. 8.
Ut in 8,I2,i8,27. Nam cum sint extremi inter se primi , omnes una & medii dc extremi, primi inter se erunt,itaque minimi.
I oo. Si continuatio fuerit extremorum inter seprimorumeris maxima.I7l.9.
102쪽
Ut in 8, D, 18, a7. Atque haec de propo tione simplici.
1or. Proportio conjuncta est,quae conjungitur e proportione disiunesta a continua:
eaque triplex in elemetis insignis est aequatio, exuperati ultimi ad praecedentes.Inventio continue minimorum in datis rationibus.
Ioz. quatio est,quando positis in uno ordine quotlibet numeris iussae totidem in altero, binis sumptis in eadem ratione, fuerit utprimi ordinis primus ad ultim,scsecundi ordinis primus ad ultimum.
Itaq; in continuanda aequatione, termini proportionis utrinque extremi duntaxat assumendi sunt,mediis intermissis: estque directa vel inversa.
Io3. quatio direrila est, quando fuerit utprimi ordinis primus ad secundum,sic secundi primus adsecundum: itemque ut primi ordinissecundus ad tertium a Ps
103쪽
LIBER II. 93Ut hic vides in tribus exemplis quae continu ri in unum possunt.', 3, ', ', 3, ', H 8 ra 8 ia 4 8 Ia. quo genere proportionis plurimae in elementis demonstrationes a Theone conclusae sunt.
Io . AEquatio inVersa est,quado uerit ut primi ordinis primus adsecundum dic secundi secundus ad tertium: utquepri-
fecundus ad tertium, sic secudit imus ad secundum
Ut vides in itibus exemplis, ', ε, ', 8, 9, ra, is, 8, 24 18, 16, λε, i8, Ιε, 8, 4, 3, Hic enim ut ' ad 8,sici8 ad 1Qitem ut 8 ad 6,sica ad 18 , & similiter inverssi ordine in reliquia exemplis. Dissicile autem sit in numeris integris terminos proportionis inverse aequatos colim re: continuari tamen possiant ordine non solum inverso,sed in contrarias partes tendente, ut hic vides,
s, 2, 7, 3, 4, 3, 32, a , c, 8,. 24, 12, 8, 4. Hic enim aequatio est,cum sit extremoru eadem ratio in utroque ordine, tum inversa, ut res ipsa ostendit. Hoc proportionis genus minus usi-
104쪽
tatum est, eo tamen Archimedes utitur quiris theoremate secundi de sphaera. .'
Cap.2λ. de exuperantia ultimi iad praecedentes.
ios Si fuerint quotlibet numeri contiai me oportionales abducantur autem a secundo ultimo aequalis primo, erit ut secundi exuperantia ad primum,siculi, mi exuperantia ad te sum praecedentes
Tolle χ ἱ-st 8 item tolle et, ut et exuperantia secundi ad primum assic ς exuperantia ultimi ad a & antecedentςs, par enim utrobique ratio
105쪽
nis geometricae,quae est copendiaria additio numerorum continua geometricae proportionis serie continuatoru. Nam facta subductione primi termini a secudo dc ultimo,habes terminos tres, unde quartus similis inveniendus est aequalis omnibus ultimum praecedetibus,ut additus ultimo, summam compleat,sicut vides in
. Nam ut 6 reliquus secundi se habet ad 1 priamum, sic 3o reliquus ultimi ad praecedetes omnes io,id est ad quartum proportionalem, ideoque hic quartus proportionalis additus ultimo,
summam complet omnium,nempe 42.
Agricol promisit filio pro xeniis. primo
anni die in triginta continuos dies grana tritici primo unum, secundo duo, tertio quatuor, de sic deinceps duplicado,quaeritur tricesimo die quot grana futura sint. Quaeratur tricesimus termianus, id est ultimus progrossionis hujus, ut antea demostratum est: primo sextus 6 per sese faciet o 96 pro duodecimo termino,& hic rursiis ex sesie faciet 1 6 7 7 7 21 6 pro vicesimo quarto termino, quem multiplica per ba quintum temminu, facies pro vicesimo nono termino s3 6 87 o 3 a qui tricesiimus erit,si unitas pro primo numeretur. Tollatur igitur unitas a secundo &ulti mo,exuperantia secudi erit aequalis primo.Itaque inventus ultimus uno dempto erit aequalis omnibus antecedentibus:addatur uterqRe sum-
106쪽
f io s. Si datis rationibus quotlibet in
minimis terminis proportionales adfeci dum tertium minimi multiplicent ob- lique terminos duarum primarum rati num friti erunt continue minimi in ditis rationibus:deinde si proportionales ad pontismo ingentum m ducem sequentis rationis minimi multiplicent oblique a terimentos, alter sequentes omnes feta
erunt continue minimi in datis rationibus. qe,8.
Nam si sumas minimos ad 6 & ,habebis3 & a,tum si multiplices obliquo O & 1 per x, s
107쪽
& 3, facies I 1'dc ' continue minimos in datis r tionibus : ut enim 3 ad 6, ita io ad Ia,ω ut 4 ad sic ri ad s. Hic autem continuatio terminoruest in datis rationibus,ut regula praecipit,non autem cotinuatio rationum, & haec proportio dis juncta est rationibus, continua tantum terminis
minimis in datis rationibus,esto & aliud exemplumsIc a 4 3o 3 sIn hoc exemplo ptoportionales adu postr
mo inventum, & ς ducem sequentis rationis minimi sit ni adc 3, qui multiplicatione obliqua fecerunt I6, 2 , 3o, 3J. Denique hac regula continuabis quotlibet minimos in datis rotionibus minimorum numerorum. Habet vero& haec continuatio usim valde singularem,utioo aurei tribus dividantur ea conditione , ut quoties primus 3 capit, toties secundus 6 capiat,& quoties secundus capit 7,toties tertius capiat': quos aureos singuli capient λ Hic duae sunt rationes in minimis terminis,s ad K, ad ',in quibus rationibus proportionales minimi continui sunt 3J, qa, s . Hoc modo
Adde igitur tres continuos repertos, totus
108쪽
o ARITHMETICAE erit Isi, &jam dicito
Partire quatuor amicis Ioo aureos, sic,ut quoties primus capit 3,secundus capiat Α, & quoties secundus capit s,toties tertius capiat s. Denique quoties tertius capit 7, toties quartus capiat 8: quot aurei singulis cedentὶ hic simi tres rationes in minimis terminis dissimiles 3 ad 4, 1 ad GI adiibus continui termini sent Ios, Ic8, I92.