장음표시 사용
21쪽
a SECTIONUM CONICARu Meandas , quibus i is satisfieri posset , animum
Quas primo veteres considerariint, sunt eonicae fectiones . hoc est eae , quae ex coni per planum sectione otiuntur. Sed fieri fortasse potuit, ut eo fuerint manuducti natura ipsa
eorum problematum , quae primo norunt circulum respuete . Nam, sicuti constat, problemata i sta fuisse duplicationem cubi , ct augustri Atyionem 3 ita explorata re3 est , utrumque horum problematum notara fata ad conicas sectiones pertinere . Ut ut vero fuerit, problemata , quae per eas solvuntur, vocarunt solida; quia lineae . iis inservientes, ex solido ducunt originem suam . Post conicas sectiones plures alias curva Sueteres Exeogitarunt; & Problemata , quorum constructioni eas adhibebant , vocarunt linearia . Sed extitere nonnulli, qui posth hitis coni sectionibus , utebantur curvis illis etiam in constructione problematum solidorum . Verum , ut ex Pappo discimus, ad id non aliud eos adegit , quam quia tunc temporis docile erat coui sectiones in plano descri-
fere . Unde aetate nostra , qua descriptio earum curvarum in plano nullam dissicultatem
patitur , piaculum foret, simile quidpiam moliri. Qui primus inter Veteres in conicarum sectionum contemplationem devenerit, Donsatis liquet. Sed si qua fides Pappo , coni ripsit de iis quatuor libros Euclides , quos quum explevisset Apollonius Pergaeus, aliotaque totidem adjecisset, octo conicorum libri
22쪽
ELEMENTA. eonsecti. Ex his libris posteriores quatuor dumtaxat ad abundantiorem Asintiam pertianebant . Et inde faelum reor , ut graecum eorum exemplar ad nos usque non pervenerit. Enim eio istarum rerum studiosi solos quatuor priores, disciplium e limenta continentes,
Probabile est autem, non eodem tem pore libros quatuor posteriores intercidit se . Nam versioneS arabicae , quce extant, septem priorum , argumento nomS esse possunt. octavum librum foeta primo deperditum . Ex una harum versionum in epitomen redacta cxcerpsit Borellu, noster libros quintum, teli tum,& septimum , quoa latine redditos , suisque commentariis illustratos in lucem emisit . Sed eosdem . adhibitis versionibus aliis . edidit quoque Edmundus Halleius , quibus tum quatuor priores graece latineque . cum Octaviam proprio marte re stitutum adiunxit. Caterum Apollonius inter ipsos Graecos quam plures habuit Commentatores . Praecipui vero fuerunt Pappus , & Eut ocius , quorum prior lemmata in singillos libros , alter commentarios in dissiciliora loca conscripsit. Et istius quidem commentarii, quum in ipso Conicorum opere legerentur, mutili etiam ad nos pervenerunt . Sed Pappi lemmata nullum detrimentum iniuria temporis passa sunt. Nam ea in suis collestionibus ipse Pappus inseruit, quarum etsi priores duo libri non amplius extatem , extat tamen liber septimus, in quo illa ab Auctore suo inserta fuerunt.
E Graecis Apollonius confiuxit ad Arais A a bes,
23쪽
SECTIONUM CONICARUM hes , a quibus & scholiis illustratus , & contractus etiam in epitomen. Tum Italos convenit , qui etsi eum postremis quatuor libris truncatum exceperint , in ejus tamen doctrina adeo profecerunt, ut non defuerit inter eos , qui libros quintum , ct sextum propriia viribus restituerit. Denique per omnes Eu, Topae regiones migravit, & ubique viros ingenio , doctrinaque praestantes comperit, qui illustrationi ejus certatim operam vavarunt. Verum , etsi Apollonius omni tempore fuerit excultus , & plerique ejus doctrinam nova etiam methodo enucleatam exhibuerint; adhuc tamen i lia suorum conicorum Elementata desiderantur, quae tironibus proficua eta se possint, & doetis etiam non improbentur. Hanc ego provinciam exornandam mihi proposui, ex quo primum agnovi necessitatem istiusmodi Elementorum.Sed quae in Tui comis modum,& usum, PRINCEPS ExcELLENTISSMA, conscribere decrevi , audacter se spes insinuat, posse eorum munuX obire . In iis autem conscribendis methodo utar plane singulari. Neque enim , ut passim fieri solet, propositionibus, scholiis. & corob. Iariis Te detinebo ; sed continuo , Sc non inoterrupto sermone tuis oculis cuncta subjiciam. Non inficior, hoc pacto paulo loquaciorem me esse oportere . Sed , quando ei medebor sterilitati, quam recepta Geometrarum methodus parit; nemo opinor erit, qui laxiorem illam scribendi rationem mihi vitio vertet.
24쪽
Conicarum. Rirum vel talem nulli alii melius a Qsequuntur , quam qui cas ab initio nais scentes inspiciunt. Hinc, acturi de sectionubus conicis , earum primo ortum oportet contemplemur . Possunt autem hujusmodi curvae variis , multisque modis oriri. Sed . ut Iam dictum est , placuit Veteribus , eas erue eex sectione coni facta per planum. Unde, illorum exemplo, primam earum originem noctetiam ex cono deducemus .
C A P. Loua ratione oritur comis, , quot modiae Plano secari
i. T T origo conicatum sectionum ex
me cono rectius intelligatur, ostendenda est prius genesis illius solidi . quod conus appellatur . Sane Euclides in suis Elemen iis eam universaliter non tradidit. Nam voluit oriri conum , quando rectanguli triamuli ni Pente uno crurum , circumducitur crar a eis
25쪽
s SECTIONUM CONICARUM rum , donec redeat ad priorem locum. Primus Apollonius ad tuam universalitatem illum evexit . Enim vero docuit conum oriri , quando reus , ex sublimi , ac maneu- te puncto ad circuli circumfereutium di m sa, eam iuteere percurrit . Qua ratione , praeter conum Euclidaeum , quem vocavit rectum , adeptus est conum alium , quem obliquum , seu scalenum appellavit.
Recta si quidem , quae sublime punctum
cum centro circuli conjungit . potest eum plano hujus , tam rectos , quam obliquos angulos constituere . Itaque, quum ei insistit ad rictos angulos , conus dicendus est rectura, tibi vero insistit ad angulos obliquos , oblis quas, seu scalenus conus ipse vocandus. In utroque autem cono recta illa , quae coniungit sublime punctum cum centro circuli, dicitur axis ipsius coni. Et sicuti punctum illud sublime , quod in coni generatione
manet fixum, S immotum, vocatur etertex,
se & planum ipsius circuli basis nomine insignitur Utrumque etiam conum i quet inpii tum augeri , si recta, quae ex sublimi puncto ad circuli circumferentiam ducitur , producatur inferius in infinitum . Sed , si eadem recta extendatur quoque superius; tunc describetur
conus alter, cujus idem erit vertex , idemque pariter axis cum cono priore . Duos hosce conos, quum nobis usui erunt, vocabimus oppositos. Sed notetur sedulo velim, quod ut tali nomine duo coni designentur, haud quidem satis sit , eos eundem
26쪽
ELEMENTA. 'verticem , eundemque axim habere; sed necesse est quoque , ut per eandem rectam ambo describantur . II. Ex ipsi autem coni generatione ultro II. sequitur , renum, conjingentem duo puncta fu- per sciet conicae , esse tu ipla Iuster sole, ovum xi ira super producta transit per Oerticem , ct cadere intra superficiem , ubi ad Derticem non pertiuet. Esto etenim colus ADC, cujus vertex Fro. i.
sit punctum A , basis autem circulus BCD. 2. piantur in ejus superficie duo puncta F , &G , quae iungantur per rectam pG . Dico , reis diam istam esse in stiperficie conica , quum transiit producta per verticem A ; Sc cadero intra superficiem , quum non pertinet ad verticem.
Si enim fieri potest , recta FG cadat in Fio. i. primo casu , vel intra , vel extra superficiem conicam . Et quoniam recta , quae cam superficiem describit, revolutione sua transit per omnia puncta ejus I transbit quoque per plinetum E . Quare duarum rectarum erunt iidem termini: quod fieri non potest . In secundo autem casu jungantur recta Fio. a. AF , AG , quae quum sint in superficie coniis
ca , eaedem productae occurrent circumserentiae basis in duobus punctis u , ct C. Qira.
re, quum recta BC sit intra circulum , erit triangulum BAC intra conicam superficiem. Est autem recta FG in plano trianguli is C. Et igitur eadem recta FG intra conicam suis perficiem erit. IIIIII. Jam conus plano bifariam secari po- n. L. t test , primo nempe per verticem, & deinde
27쪽
T SECTIONUM CONICA Ru MPer alium a vertice locum . Quum conus schtur plano per verticem, feret in ejus superficie bina lineae recta . Quotiescumque vero pia num fecans per verticem non transit , tunc fectio sucta in superficie coni carda linea erit. Fic. a. haec ostendantur . sit rursius conus ABC, qui secetur primo plano, transeunte perverticem. Et jam, si planum istud occurrat cir
cumferentiae basis in punctis B , & C ; junctis
rectis AB , AC , erunt istae in plano secante. Sed eaedem , quum ad verticem pertineant, sunt etiam in superficie conica . Quare erunt communes sectiones plani secantis , dc conicae superficiei r proindeque, secto cono plano perverticem , sient in ejus superficie binae lineae rectae .
Secetur secundo conus ABC plano, non transeunte per verticem; sitque FCH commuis nis sectio plani secantis , & conicae superficiei. Si fieri potest , sit vel ipsa, vel aliqua ejus por tio recta , ct non curva . Et quoniam ea existit in plano secante , quod per verticem non transit; utique nec etiam ipsa pertinebit adverticem . Itaque cadet intra superficiem conicam , nec ideo erit communis suetio plani secantis . & conicae superficiei: quod est conistra hypothesim. lv. Quemadmodum autem , quunt conus plano per verticem secatur , fiunt in ejus suis perficie hinae lineae rectae I ita communit femoconi cum plano,per verticem transeunte, trian gulum erit .
Secetur si quidem conus ABC plano, perverticem traula uiue, sintque AB, AC hinae li
28쪽
neae rectae, quae fiunt in ejus super sic e . Et quoniam planum secans occurrit plano hasis in tecta BC , liquet BAC triangulum esse . Est autem BAC communis sectio coni cum
plano . Itaque , quum conus secatur plano, transeunte per verticem , sectio facta in conotriangulum erit.
Si planum , per quod dispescitur conu , transeat quoque per axem; tunc reeta . in qua illud occurrit plano basis , elli istius d ais meter aliqua et proindeque triangulum per axem sectum super aliqua basis diametro semis per insistet. vlcissim aute in , si triangulum ex eono sectum insistat super aliqua basis diametro , planum ejus transibit per axem . Nam aliter, ducta in eo plano recta a vertice coni ad cenistrum basis , forent hujus , & axis iidem teris mini r quod plane repugnat. V. Planum porro conum secans , quum b. non transit per verticem , vel occurrit plano hasis, vel ei aequid istat . Quum fbcatur conus
plago , aequi di flante basi, Aetio circulas St.
Nec alterius naturae erit , si non ipse conus
principalis , sed ejus oppositus ea plani positione secetur.
Sit enim conus ABC,' vel ipse, vel ejus Fio. a.
oppositus secetur plano , aequid istante plano hasis BCD. Sit autem FCH communis seis et o coni cum plano . Dico , sectionem istam circulum esse, ejusque centrum reperiri in axe coni AΚ. Ducatur per axem planum aliud. laclenseriangulum BAC. Et jam communes sectiones ejus
29쪽
io SECTIONUM CONICA Ru Mejus cum planis aequid illantibus , nimirum rectae BC , FG . parallelae erunt inter se . Atque ita quoque, ducto per axem alio quovis plano
DAR . parallelae erunt rectae DR . HL. Hinc , quum sit . ut AR ad AL , ita BR ad FL , ita CR acl GL . & ita DR ad HL terunt rectae BR , CT , DR proportionales rectis FL, GL,HL;adeoque, sicuti BR, CR, DR
inter se sunt aequales , sic etiam aequales erunt FL, GL, HL. Similiter autem ostendemus, aequales inter se esse rectas omnes , qtiae in sectione FGH pertinent ad punctum L . Quare sectio ipsa FGH circulus erit, ejusque centrum erit punctum L , quod reperitur in axe coni AΚ. Id quum ita sit, liquet, planum hasi aetaquid istans , non tam conum secare , quam illum restituere . Nam ea portio coni, quae ad verticem pertinet, quum circulum pro ha- si habeat, adhuc conus vocari debet. I. Quod si planum secans occurrit plano hasis, tunc duo quidem contingere possunt. Nam, producto plano una cum cono . vel turius planum ex cono egreditur, vel semper jacet intra eum . in primo casu curva . quae gignitur in conica superficie . redibit in orbem. spatium claudet. In secundo autem casa curva , quae ibidem producitur , abibit in ii finitum cum ipso cono. Sed, plano intra conum continuo iacentes duo adhuc casus sunt distinguendi. Nam, producto plano superius , vel secatur quoque conus oppositus , vel ei nequaquam occurritur,
Quum primum contingit i in utriusque coni
30쪽
superficie producitur curva , quae In Infinitum
extenditur . Ubi vero alterum accidit, dumtaxat in superficie coni principalis curva, in infinitum progrediens, generatur. Jam curva, quae abit in infinitum , quum nullam aliam in adverso cono oppositam habet, vocabitur parabola . Sed, quum ei in cono opposito alia adversatur , tam ipsa , quam ejus adverti dicetur hyperbola . Et den que eue-va illa , quae redit in orbem , qua: que producitur plano, utrinque ex cons egrediente , si circuli circumferentia nian sit, e ipsis appellabituris Est autem circumferentia circuli In unico tantum casu , qui obtinet etiam in solo cono sca leno . Agnovit hunc casum ipse conisea leni auctor Apollonius ; Sc sectionem . per quam ei fit locus , vocavit fascontrariam. Habetur vero istiusmodi sectio, quum tam rius planum , quam planum basis triangulo per axem secto normale est, ex quo etiam triangula similia a planis illis abscinduntur.
VII. Et sane . quod semo coui Paleni vir. fucontraria sit circulus , demonstratur In hunc modum . Coni sea leni ABC sit FGH sectio subcontraria , sitque BAC triangulum i 'per axem sectum, cui normale est, tam planum
hasis BCD , quam planum sectionis FGH . Et
quoniam triangula ABC, AGF, quae ex eo per plana ista abscinduntur . ut die tam est, de-hent esse similia inter se serie angulus A FG aequalis angulo ACB. Sumatur in recta FG, quae communis est