장음표시 사용
41쪽
a a SE CTIONUM CONICARUMCaeterum Apollonio , non modo uniis versalis earum curvarum genesis , sed nomina quoque , quibus eas designa mus , ferti debent accepta. Euclides enim ab ipsis conis, unde illas eruebat, primam vocavit, Spionem coni re-Havoli. alteram fectionem coni ubtusanguli, &tertiam demum f. monem coni acutanguli : hi que nominibus ad Apollonium usque, cum Archimedes, tum alii sublecuti Geometrae curvas illas vocitarunt. Sed nominibus istis non amplius a se mutuo poterant eae curvae distingui , ubi novit Apollonius , posse unamquamque illariam ex quocumque cono deduci . Unde, iis abdicatis, operae pretium duxit Geometra summus , alia curvis illis nomina imponero , quae apta essentiis a se invicem distinguendis . Itaque . a Praeiscipuis ipsarum proprietatibus , quas suo loco inferius ostendemus . parabolam , hyperbolam,
De diametro fectionum conicarum , deq; ejus verticibus,
I. useumque speciei sit sectio emnica , si fiat in cono triangulum illud per axem , ad quod eam apolloniana g ne sis exigit, dicetur diameter sectionis recta illa , quae est communis sectio ejus triangulI, S plavi secantis. Ita,
42쪽
Ita . si DF E sire sectio facta , in superficie Fio. s.
conica per planum, occurrens plano bi sis , aut et .
circuli aequi distantis BCD in tecta DE ; &BAC sit triangulum , per axem sectum . ad cujus basim BC normalis est recta DE : voea-himus diametrum sectionis DEE reetam FG, in qua duo plana BAC , DFE iele mutuo seis
Jam vidimus praecedenti capite, rectam istam FG esse lateri AC parallelam , q rum sectio DFE est pirabola; et occurreret sUPra veristicem coni , quum sectio DF E est hyperbola, ac demum illud infra coni verticem secare, quum eadem sectio DF E est ellipsis . Unde . habita diametri ratione . tres illae conicae lectiones poterunt sequenti modo definiri. Nimirum parabola est conica iectio, in qua diameter uni laterum trianguli, Per axem secti, est parallela. Hyperbola est sectio conica, in qua diameter unum quidem trianguli latus infra verticem coni, & alterum supra verticem secat . Ac demum ellipsis est conica sectio , in qua diameter utrique laterum trianguli infra
II. Dabimus autem rectae FG nomen diarum n. metri, quia transit velut per medium ipsius se. Curae v ctionis. Ut enim ex constructione bisecat in Rrectam DE, ita quoque dividit bifariam rectas omnes , quae ipsi DE aequid istantes, utrinque Fio. ad sectionem terminantur. 6. T. Sit nainque HI una istarum rectarum. Ostendendum est, eam a recta FG secari hi fariam in L. Ducatur per punctum L recta MN.
43쪽
6. di SECTIONUM CONICA RuM retinde normalis . ac est D E perpendicularis super B C. Et quoniam, secto cono plano , transeunte per rectas MN, Hl . oritur circulus M NH, cujus diametet est recta MN ; eadem Hl, non modo insisset ad angulos rectos super MN , sed hi fariam quoque ab ipsa secabitur . Quare etiam a recta FG bisecta erit in L.
P..tet autem , eandem demonstrationem
obtinere etiam , si sectio DFE sit hyperbola,&recta HI ducta sit in eius opposita aequid istanter ipsi DE. Quocirca recta FG erit utrita
que hyperbolae diameter ,& in utraque dividet bifariam rectas omnes , quae ipsi DE aequi, distantes. utrinque ad sectionem terminantur. III. Sed nolim hic reticere , quod si triangulum per axem BAC rectum fuerit plano circuli BCD ; tunc tecta illa FG, quam sectionis diametrum appellamus . non modo bifariam, verum etiam ad angulos rectos secabit, cuin rectam DE , tum alias omnes , quae ipsi DE aequid istantes, utrinque ad sectionem teris
Ex constructione enim ad rectam BC, quae communis est sectio duorum planorum BCD, BAC, perpendicularis est ipsa DE. Itaque, quum duo illa plana sibi mutuo oecurrunt ad rectos angulos, quemadmodum DE existit in uno eorum planorum BCD. ita perpendicularis erit ad planum alterum BAC. Sed recta FG , velut communis sectio planorum BAC , DEE , reperitur in plano BAC. Quare erit DE perpendicularis quoque ipsi FG : ct propterea, non modo bifariam , sed
44쪽
ELEMENTA. Aqetiam ad angulos rectos ab ea secabitur . Et quidem , quum conus est rectus, pro ptietas ista diametri semper locum habet; quia in cono recto triangulum , per axem sectum, plano hasis, aut circuli aequid istantis semper ad rectos angulos insistit. Sed longo secus seres habet in cono scaleno ; quandoquidem in eo triangulum, per axem sectum, tunc demum tectum est ad planum basis , aut circuli aequiis distantis, quum perpendicularis , denusta ad planum illud ex vertice coiit , est in ipso trianis guli plano. Iv. Quemadmodum autem recta FG,quae communis est sectio plani secantis , ct trianis guli per axem , vocabitur in posterum diame ter section s DFE ; ita punctum R, in quo ea. dem FG sectioni occurrit , diametri vertex appellabitur . Sed semisses earum rectarum , qine bifariam a diametro dividuntur, quum nobis usui erunt , diametri ordinatae dicentur . Et denique eae diametri portiones , quae vertice, ct ordinatis continentur, ubi nobis inservient. non alio, quam absisaram nomine , distinis
Quum ellipsis in orbem redeat , occurret ei diameter in duobus punctis ; atque adeo duo etunt verticet ipsius . Similiter auistem in hyperbola , ob aliam oppositam , quae continuo illam comitatur , duo erunt diameistri vertices. Sed, quemadmodum in ellipsi di meter non majorem longitudinem habere pota test . quam quae ei ab utroque vertice cone
ditur ; sic etiam In hyperbola, ubi quaestio eritae longitudine diametri, ea tantum ipsius por
45쪽
SECTIONUM CONICARUM tio veniet , quae utroque vertice conti laetur. Tantum igitur in parabola , ob unicum diametri verticem , nequit ei Dagitudo ulla praefiniri . Verum , si intimius rem inspicere velimus , comperiemus in hac curva verticem alium in infinita a priore distantia i unde ipsa ejus diameter velut infinitae longitudinis erit habenda . Neque ea mi alia ratione, tam in ellipsi , quam in hyperbola sortitur diameter FG
verticem alium , quam quia in utraque curva occurrit ut iam lateri AC . At quicumque novit, reviri parallelas telut occurrentes in in i
ta distantia posse considerari ; facile intelliget,
hunc alium occursum fieri in parabola , ubi a puncto F infinite receditur . U. Et sane , tam ellipsis, quam bperbola vertitur in parabolam , quum altero diametri vertice G in infinitum abeunte, fit ipla diametet FG infinitae longitudinis . Neque enim punctum G in infinitum abite potest, nisi diameter FG aequid istans fiat lateri AC . Id vero quum accidit , omnino necesse est , ut sectio DFE evadat parabola. Nam, ut superius vidimus , parabola est conica sectio , in qua diameter uni laterum trianguli,per axem secti, est parallela. Hinc considerari poterit parabola , tam ut ellipsis , quam ut perbola , cujus diameter sit infinitae longitudinis. Et vel hac sola consideratione poterunt parabolae proprietates omnes ex iis derivari , quae sive ad ei lipsim , sive ad hyperbolam pertinent . Nimirum, si sedulo perpendatur , quid in ea , de qua agitur , pr prietate infinita diametri longitudo mutet, ac innovet. Plais
46쪽
ELEMENTA. a'Plane vero non patitur ratio Elementorum , ut in demonstrandis parabolae proprietatibus haec methodus usurpetur. Sed , ubi propriis suis rationibus proprietates illae sunt comprobatae 3 volupe erit, easdem hac alia methodo rursus experiri. Hinc in nostris hisce Elementis parabola post ellipsim , & hyperbolam semper sub contemplationem veniet , ut scilicet ejus accidentia ex proprietatibus ellipsis , ct hyperbolae eruere etiam valeam US. VI. Uuemadmodum autem ellipsis vertiis v I. rur in parabolam , quum altero diametri verti .m et ce G in infinitum aheunte . sit diameter ipsa OreMa qu
infinitae longitudinis , & consequenter parul- T. et tela lateri AC S sic eadem ellipsis transit in cir- pculum , quum abeunte in infinitum puncto R, ris in quo rectae duae FG , BC sibi mutuo occurrunt , evadit diametet FG parallela ipsi BC. Nam in isto casu una cum puncto R abiis hit etiam in infinitum tecta DE . quae communis est sectio plani secantis cum plano basis. Unde , quum duo illa plana conveniant inter se in infinita distantia , ipsa quoque evadent parallela . Hinc secabitur conus plano , aequidis ante basi r & propterea . ex superius olienis sis , ipsa sectio circulus erit. Id quum ita sit, poterit circulut velut speciei quaedam e limis haberi. Et revera, prout
ex cono oritur , est prima infinitarum varia istionum, quas in eo subit ellipsis. Sicuti enim, secto cono plano , aequid istante basi , producitur circulus I sic Enclinato paululum plano
versus basim, fit statim locus eli ipsi, cujus, pro infinitis inclinationibus diversis plani secantis,
47쪽
18 SECTIONUM CONICARUM infinita quoque diversitas extat. Ultima autem infinitarum variationum quas in cono patitur ellipsis , parabola est , ut quae contingit, quum planum secans non amplius egreditur ex cono . Sed parabola est etiam prima ex infinitis variationibus , quibus in cono subiacet hyperbola quippe quae confestim eam subsequuntur. Ouumque demum huperbola desinat in lincam rectam; haec quoque velut ultima hyperbolarum poterit considerari. VII. Interim linea reIs , quae ex cono erui
tur , quandoque est sympDx O uvica , quando
que vero geminata . Ad eam quippe eruendam, semper plano , per verticem transeunte , opus est. Sed, ubi planum istud contingit superficiem conicam; recta erit simplex, ac unica . Ubi vero eam partitur, & secat; recta non simplex, sed geminata orietur. Et ne aliquid praetereamus , quod scitusit dignum . notetur hic velim , quod sicuti recta illa simplex , quae oritur per Planum, comnicam superficiem contingens , habenda est velut ultima infinitarum variationum, quas in cono subit hyperbola ; ita recta illa geminata , quae gignitur , secando conum plano per verticem , considerari poterit velut hyperbola,cuius diameter sit nullius prorsus longitudinis . Jam enim v Idimus superius , quod quum diameter huperbolae sit insinitar Iongitudinis, hyperbola ipsa vertatur in parabolam , & ejus opposita abeat in infinitum , neet amplius exiet. At ,si eadem Operbolae diameter minuaretur, Dis tigre brum Coc le
48쪽
ELEMENTA. aditar in infinitam , O prorsus euauescat; tunc binae Operbolae opposita accedout ad se mutuo, ct vertentur in rectus dsas , se invicem decusis fautes in vertice coni , quum non alia ratione abite possit in nihilum diameter hyperbolae, quam plano sectionis per coni verticem tran
III. Caeterum, priusquam huic capiti si- viILnem imponamus, juvat advertere , quod sicuti hyperbolarum oppositarum eadem est diame-setis ea meter, sic in utraque Operbola eadem quoque sit positio earum rectarum , quae diametri ordinata ed
Monuimus namque superius , quod recta Fio. 6. FG bifariam dividit, non solum eas omnes, quae in hyperbola DF E ducuntur aequi distanter ipsi DE ; verum etiam quotquot in hyperbola opposita eidem DE sunt parallelae . Quare , non modo FG erit diameter utriusque hyperbolae, sed ordinatae , quae pertinent ad hanc diametrum , erunt in utraquc hyperbola parallelelae rectae DE. Clarius autem constabit veritas hujus rei, si in cono opposito plano , aequid istantehasi ipsius coni principalis, circulu, fiat; tum quaerat tir triangulum per axem , quod dirigat sectionem , factam in illo cono . Etenim, quum oriatur triangulum istud , producendo latera trianguli BAC , quod in cono principali diligit sectionem DFE ; liquido patebit,
eandem esse diametrum hyperbolarum oppositatuin . & eandem esse pariter in utraque positioncm ordinatarum.
49쪽
seu ii natura ellipsis relate ad diametrum , de initur.
I. cri Stensa genesi sectionum conica.
n.. a m- - rum I sequitur , ut propriam cu- 'eo' usque naturam relate ad diametrum dusinia.ma.. mus. Vrimo igitur in ellipla , si hina ad diametrum ordinata ducantur , erunt earum quadrata inter se . ut rectangulo , quin sub correspondentibtis diametri portionibus, ab utroque oertice sumptis, continentiar . FIG. T. Fiat enim in cono ABC sectio elliptica DFE , & ad diametrum ejus FG, quae utrique laterum trianguli, per axem secti, infra coniverticem occurrit , ducantur duae ordinatae DX , HL . Ostendendum est , DR quadratum esse ad HL quadratum , ut est rectangulum FRG ad rectangulum FLG. In eodem cono fiant etiam circuli duo BCD, MN H per plana, bali aequid istantia . Et quoniam eorum diametris BC , MN insistunt ad resitos angulos rectae DX , HL ; erunt istarum quadrata aequalia recitangulis BNC . N LN . Quare erit, ut DR quadratum ad HL quadratum . ita rectangulum BRC ad tectangulum MLN . Jam ratio horum rectangulorum componitur ex RΚ ad ML , ct ex CΚ ad N L et sive etiam ex FΚ ad FL, & ex LX ad GL . Sed duae
50쪽
ELEMENTA. Iduae istae rationes componunt pariter ratio
nem , quam habet rectangulum FRG ad rectangulum FLG . Itaque erit ex aequali, ut DR quadratum ad HL quadratum, ita rectantagulum FΚG ad rectangulum FLG .
II. Hinc, si ex vertice F ducatur recta FO, II. ordinatis parallela , quae sit talia longitudinis, ut quadratum unius ordinatae DX sit ad te E angulum ei correspondens FRG, veluti est ipsa FO ad diametrum FG; erit quadratum Fio. T. cujusvis alterius ordinatae HL ad rectangu-
Ium FLG , quod illi correspondet, similiter ut FO ad FG.
Ostensum est enim , DΚ quadratum esse ad HL quadratum , ut est rectangulum FΚGad tectangulum FLG . Quare erit permutando , ut DR quadratum ad rectangulum FNG. ita HL quadratum ad rectangulum FLG. Ponitur autem, DR quadratum esse ad rectangulum FΚG , ut est FO ad FG . Et igitur ex aequali HL quadratum ad te e tangulum FLGerit etiam , ut FO ad FG . iRecta ista FO diametri parameter deinceps appellabitur ct rectangulum , sub ipse .
S diametro contentum , diametri figura dicetur. Eius autem habita ratione , perspicuum
est , id quidem ellipsi contingere , ut quadratum cujusvis ordinatae sit ad rectangulum. quod sub correspondentibus diametri portionibus, ab utroque vertice sumptis, continetur, in eadem illa ratione , quam parometer ad diametrum habet. III. Maneat iam parameter FO ordinatis HI. diametri Parallela, ni qua utique Politione inita .