Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

51쪽

SECTI DNuM CONICARUM M. semper ea intelligi debet . Iungatur alia ejus ' extremitas o cum vertice altero G per rectam Fio. . GO , cui occurrat in R ordinata quaevis DΚ. Et quadratum ordinatae hujus DR aequale erit correspondenti rectangulo FΚR. Nam rectangulum FRR est ad rem neu

ut FO ad FG , sive etiam , ut DR quadratum, ad rectangulum FNG . Itaque erit ex aequali , ut rectangulum FNR ad rectangulum FRG . ita DΚ quadratum ad idem rect lagulum FRG i ct propterea DR quadratum , &refringulum FΚR aequalia erunt inter se. Perspicuum est autem rectangulum FERminus esse rectangulo OFΚ . Quare quadratum ordinata: DR ab eodem reetangulo OF Κpariter deficiet. Hinc sortita est huiusmodi conica sectio nomen e ipsis; quia in ea quadratum cujusvis ordinata a rectangulo , quod sit ex parametro in abscissam correspondentem, continuo descit. De Reius vero est rectangulum aliud, quod insistens eidem abscissae, est smile, similiterque positum ei, quod diametri figuram constituit. Nam, ducta RS, ipsi FG parallela, erit relate ad quadratum ipsius D X rectanguis

lum OSR istiusmodi defectus i quod quidem ipsi RS , seu FΚ insistit; S est simile, similia terque positum ei, quod sit ex FO in FG et

quum tit circa diagonalem illius .

i. IV. Caeterum ratio , quam habet in ellipsi

R. i. p. a. parumeter ad diometram , potest per rectas , is

et et coπo duuas, Delli negotio definiri. Positis enim

F. a. p. omnibus ut supra a si ducatur ex vertice coni A re

52쪽

ELEMENTA. 3

A tecta Ax, ipsi FG parallela . quae conveniat -- --, cum BC, producta, in X; erit, ut parameter FO ad diametrum FG , ita tectangulum B XC 'μ' ad A X quadratum. Nam rectangulum BRC, vel ei aequale quadratum ex DX , est ait rectangulum FΚGIn patione compolita ex BΚ ad FH , ct ex CRad GR . Sed BR est ad FΚ , ut B X ad A titemque CΚ est ad G Κ, ut CX ad A X. Itaque erit DΚ quadratum ad rectangulum FΚGin ratione composita ex BX ad AX, ct ex CX ad A X.

Jam duae istae rationes componunt pariter rationem , quam habet rectangulum BXC ad Ax quadratum .higitur erit ex aequali,

ut rectangulum B C ad A X quadratum , ita DΚ quadratum ad rectangulum FNG . Sed DR quadratum est ad rectangulum FΚG , ut FO ad FG . Quare erit rursus ex aequali , ut FO ad FG, ita rectangulum B XC ad A X qua

dratum is

v. Atque hinc modo fatale erit , suo ex v. cono triangulo per qxem, eruere, ope ejus, elli- r psim ex ipso cono , in quo parameter ad diameis no . in qua prum datam habeat rationem. Sit enim BACtriangulum, per axem sectum , cujus ope ellipsis ex cono est eruenda . Dueatur in plano ejusm' srecta AX,quae conveniat cum BC, producta, ita

quidem in X , ut rectangulum B XC ad A quadratum sit in data illa ratione. Et quaelibet ellipsis, quae per triangulum BAC subinde

ruitur ex cono, ut diameter ejus parallela fiat ipsi Ax, quaesitae conditionem adimpleta hi

53쪽

s. SECTIO Nuri CONICARUM Neque vero dissicile erit, adhibito triangulo BAC. talem ex cono ellipsim eruere, quae diametrum habeat , rectae A X parallelam. Ducatur si quidem in plano ejus trianguli recta

quaevis FG , aequid istans ipsi AX , & conveniens cum BC in X . Agatur postea per punctum istud R in plano circuli BCD tecta DE. eidem BC perpendicularis . Et planum , transens per rectas FG, DE , ellipsim, quam quR-rimus . in cono producet. Hinc etiam, si ellipsim,ex conci eruendam, talem esse oporteat, ut data sit in ea, tam ratio

parametri ad diametrum . quam ipsius diametri Iovitudo.solvetur problema , si ducta . ut prius, recta Ax ea lege, ut rectangulum B XC ad Ax quadratum sit in data ratione agatur deinde ita quidem FG, ut non modo sit parallela ipsi AX, sed etiam, ut portio ejus, trianguli latetibus comprehensa , datam diametri longitudinem adaequet.

3I.-. i. . Ceaedum, nimirum ad ducendam in plano triano a.... ., guli rectam illam AX; nec etiam magno mentis ouj elisa acumine opus est. Abscindatur enim ex trian-- T. . guli latere uno AC portio C M, quae ad ipsum Fio. o. AC datam illam rationem obtineat. Agatur

postea per punctum M recta MN , ipsi BC --rallela , quae conveniat in N cum circumferentia circ tali, triangulum ambientis. Et punctum

istud N determinabit positionem ipsius A X. Est namque , propter circulum , restangulum B XC aequale rectangulo AXN . Sed rectangulum AXN est ad A X quadratum . ut

LX ad A X , sive etiam , ut C M ad AC.

54쪽

ELEMENTA.

re iptum quoque rectangulum B XC ad A

quadratum erit, ut C M ad AC et ' propterea.quum CM sit ad AC in data ratione . erit pariter in eadem data ratione rectangulum B XC ad A X quadratum. Quum data ratio est minorii ad maius, recta illa A X semper duci potest . Nam eo in ea sit punctum M cadit inter alia duo A .& C; adeoque recta MN , quae ipsi BC aequid ista nister ducitur , circuli circumferentiae semper occurrit. vicissim autem , quum data ratio est maioris ad minua, non semper duci poterit recta illa A X. Nam tunc punctum M cadit ad partem ulteram ipsius A ; adeoque fieri quandoque potest, ut recta MN circuli circumstarentiam non secet. Unde etiam, secto ex cono triangulo per axem, semper licebit, ope ejus, eruere ellipsim ex ipso cono , in qua parariae ter ad diametrum datam habeat rationem , quotiescumque data

ratio est minoris ad majus . Sed, si vicissim ratio data fuerit majorii ad minus , fieri quandoque potest, ut sit omnino impossibile, adhibito eo triangulo, optatam ex cono ellipsi m

eruere

VII. Nullo etiam negotio , per rectas , in cono dulpas , determinari potest magnitudo, qaam diametri figura habet is ellipsi. Manentibus namque omnibus, ut supra,ducantur ex utroque diametri vertice reetae FR . Gs , ipsi BC parallelae , quae cum lateribus trianguli conveniant in punctis R , ' S . Et rectangulum, sub his rectis comprehensum, diametri figuram adaequabit.

C a Nam

recta. . iu

55쪽

3 6 SECTIONUM EO NICA Ru MNam rectangulum BNC . vel ei aequale quadratum ex DΚ , est ad rectangulum FRGin ratione composita ex BR ad FΚ , ct ex CR

que erit DΚ quadratum ad rectangulum FNGin ratione composita ex CS ad FG , ct ex FRad FG.

Et quoniam duae istae rationes compinnunt quoque rationem , quam habet rectantagulum sub ipsis FR, GS ad FG quadratum erit ex aequali , ut DR quadratum ad rectangulum FN G, ita rcctangulum ex FR in CS ad FG quadratum . Unde . sicuti DΚ quadra. tum est ad rectangulum FΚG , ut FO ad FG; sc erit rursus ex aequali, ut FO ad FG. ita rectangulum ex FR in CS ad FG quadratum. Jam , assumpta communi altitudinc FG, ut est FO ad FG , ita est rectangulum ex Foli, FG ad idem FG quadratum . Et igitur rectungulum ex FR in CS aequale erit rectangulo ex FO in FG . Sed figura diametri conis stituitur per rectangulum ex FO in FG.Quare aliud illud rectangulum ex FR in CS ae.

quale erit praefatae diametri figurae . viii. VIII. Ex eo autem, quod rectangulum, sub ipsis FR . GS adaequet diametri figuram, quae constituitur per rectangulum ex FO in FG , plura nobis derivantur theoremata, quom. 'ev rum ope , etiam ianorilia diam tiri lavitudine, de iniri potest param et er esus in cono .

Fiet. 8. Nimirum primo Fo erit ad FR, ut est B X ad A X . Nam, quum rectangulum ex FRin VS sit aequale rectansulo ex Foi probetit,

56쪽

ELEMENTA etit, ut FO ad FR , ita Gs ad FG. sed Gs est ad FG , ut Bu ad Ax . Itaque erit ex aequali , ut FO ad FR , ita BX ad Ax. Secundo FO erit ad GS , ut est CX ad

AT . Nam , ob eandem eorum rectangulorum aequalitatem , et it, ut FO ad GS . ita FR ad FG.Sed FR est ad FG in eadem ratione, quam habet CX ad Ax . Quare et it ex aequalis ut

FO ad cis , ita CX ad Ax.

Tettio FG etit ad AE , ut est rectangu- Ium CBx ad tectangulum B Ax . Nam FO ad AF rationem habet compositam ex FO ad FR , R ex FR ad AF ; sive etiam ex B X ad AX, S ex BC ad AB . Sed duce istae rationes

componunt quoque rationem , quam habet, rectangulum CB X ad rectangultim B AX. Itaque erit ex aequali , ut FO ad AF, ita rectanis

gulum CBx ad tediangulum B AX . Denique Fo et it ad AG , ut est rectanis gulum BCX ad rectangulum CAX . Nam Foad AG rationem habet compositam ex FO ad GS . & ex Gs ad AG , sive etiam ex CX ad Ax . & ex BC ad AC . Sed duae istae rationes

componunt quoque rationem, quum habet teis

E angulum BCX ad rectangulum C AR. Qua te erit ex aequali, ut FO hd AG , ita rectanis gulum BCX ad rectangulum C Ax.

IX. Unoquoque horum theorematum de terminabitar para metet in eouo, etiam dimmetri longitudine non cognita . Sed determina.tionem omnium simplieissimam suppetit nobis ipsi illa proprietas , unde ea fluunt theoremata. Fiat enim angulus FRU aequalis angulo

57쪽

st SECTIO NuM CONICA RuM rectam RV, erit quaesita parametri longitudo. Nam, ob aequalitatem eorum angulorum, erit, ut FR ad FU , ita FG ad GS . Unde reis E angulum ex FR in CS aequale erit rectanis gulo ex F v in FG. Jam vero rectsingulum ex FR in CS ad aequat diametri figuram . Qua re eidem figurae erit etiam aequale rectanguis tum ex Fu in FG s adeoquc , quemadmodum unum ejus latus FG est ipsa diameter, ita latus alterum Fu diametri parametrum adaequa bit x. X. idem problema de determinanda pa- rametro in cono, nulla habita ratione simitudinis diametri , potest etiam resolvi in hunc

modum. iane lauris Ex vertice coni A ducatur. tum recta

AΚ, perpendicularis ipsi BC , cum recta AH, 8. perpendicularis diametro pG . Ah scindatur deinde ex priore Au portio AI, aequalis alteri AH . Et tecta MN , ducta per punctum Iqui distanter ipsi Bo , longitudinem parametri

exhibebit. Demigii etenim super Ax perpendiculari BL , erit AR ad BL in ratione composita ex

AR ad AI, & ex AI, seu AH ad B L . Sed AΚ est ad AI . ut BC ad MN , itemque AH est ad BL , ut AF ad Ag , sive, ut FR ad BC.

Itaque erit AR ad B L in ratione composita ex

FR ad AC , ct ex BC ad MN i proindeque,

quum duae istae rationes componant pariter rationem, quam habet FR ad MN et erit ex aequali , ut AR ad AL . ita FR ad MN. Et quoniam AR est ad 3L, ut A X ad Bx , sive etiam , ut FG ad GS ; erit rursus exaequam

58쪽

ELEMENTA. 'aequali, ut FR ad MN, ita FG ad Gs. Unde rectangulum ex FR in CS aequale erit rectanis gulo ex MN in FG . Sed rectangulum ex FRin GS adaequat diametri figuram . Quare etiadem figurae erit etiam aequale rectangulum ex MN in FG : Sc propterea, sicuti unum ejus latus FG est ipsa diameter , ita latus alterum MN diametti pata metrum exhibebit.

C A P. Rouid lyperbolae relate ad diametrum accidat, menditur.

I. U Llipsi est valde assinis hyperbola.Nam in ista quoque , si bigae ad diametram

ordigata ducantur, erant earum qaadrata inter se , ut remugula , quae sub correspondeatibuldiametri portioclibas, ab utroque vertice sumis piis , continentur.

Fiat etenim in cono ABC sectio hyper. hollea DFE , ct ad diamettum ejus FG . quae

trianguli, per axem secti , unum quidem latus insta coni verticem . alterum supra verticem secat , ducantur duae ordinatae DR , HL . ostendendum est. Diu quadratum esse ad HL quadratum . ut eth rectangulum FΚG ad rectangulum FLG . In eodem cono fiant etiam circuli duo

Fici

59쪽

ii a

rum quadrata aequalia rectangulis BΚC . MLN . Quare erit, ut DR quadratum ad HI, quadratam . ita rectangulum I,ΚC ad temnis gulum MLN.

Jam ratio horum rectangulorum compoa

duae istae rationes componunt Patiter ratio.

nem , quam habet rectangulum FΚG ad reis e tangulum FLG . Itaque erit ex aequali, ut DR quad latum ad HL quadratum, ita rectangulum FRG ad rectangulum FLG. Peripicuum est autem , eandem demovistrationein obtinere quoque , si binae illae ordinatae ducantur in hyperbola opposita ivel si una ex iis ducatur in hyperbola principali , ct altera in ejus adversa . Unde , sicuti eadem est utriusque hyperbolae diameis ter. A eadem positio suarum ordinatarum ; sio relate ad diametrum eadem quoque erit utriti

que natura .

II. In utraque etiam hyperbola, si ex vertice rum ducatur recta Fo , ordinatis parallela, quae sit talis longitudinis, ut quadratum uni ut ordinatae DR sit ad rectangulum ei correspondens FRG , velut est ipsa FO ad diametrum FG et erit quadratum cujusvis alterius ordina

tae HL ad reetangulum FLG, quod illi corarespondet. similiter , ut FO ad FG. Ostensum est enim , DΚ quadratum esse ad HL quadratum , ut est rectangulum pΚGad rectangulum FLG. Quare erit mimutan do, ut DR quadratum ad rectangulum ERG, ita HL quadratum ad rectangulum FLG. Po.

60쪽

him FΚG , ut est FO ad FG. Et igitur exaequali HL quadratum ad reetangulum FLGerit etiam, ut FO ad FG. Recta ista FO etiam in huperbola d a.

metri parameter appellabitur; & rectangulum sub ipsa , & diametro contentum , hic quoque diametri farra dicetur. Eius autem habitatatione , perspictium est , id quidem utrique hyperbolae contingere , ut quadratum cujusvis ordinatae sit ad rectangulum , quod fab cor , respondentibus diametri portionibas , ab atro que vertice fumptis, continetur . in eadem illa ratione , quam parameter ad diametram habet. III. Maneat Jam FO , ordinatis diametri ni parallela , in qua utique positione semper ea

intelligi debet . Juntatur alia ejus extremitas ta

O cum vertice altero G per resiam Go , cui Tet: '

oeeurrat in R ordinata quaevis DN . Et qua- Fio. 6.dratum ordinatae huius DX aequale erit corteis spondenti rectangulo FΚR. Nam tectangulum FΚR est ad rectangu

ut FO ad FG , sive etiam . ut DR quadratum ad rectangulum FRG . Itaque erit ex aequali, ut rectangulium FΚR ad res angulum FΚG, ita DR quadratum ad idem rectangulum FΚGi & propterea DΚ quadratum , Sc re ingulum FΚR aequalia erunt inter se. Perspicuum est autem , rectangulum FΚR maius esse rectangulo OFΚ . Quare quadratum ordinatae DΚ idem rectangulum DFΚ pariter excedet. Hine sortita est hujvcmodi conica sectio uomeu Dper ista,quia in ea