장음표시 사용
31쪽
Fio. 31 SECTIONUM EONIO Apu ML,per quod agatur, tum recta MN ipsi BC pa.rallela , cum planum MN H aequi distans plano hasis BCD . Sit autem HL communis sectio planorum FGH , MN H , quae perpendicularis
erit utrique rectarum FG, MN; quum utrum-qUe eorum planorum plano trianguli BACnormale sit.
Quoniam igitur rectae BC . MN inter se sunt parallelae; erit angulus ACB aequalis angulo AN M. Sed angulo ACB aequalis est angulus A FG.Quare duo anguli A FG, AN Maequales erunt inter se i ct propterea , quum
sit, ut FL ad ML , ita NL ad GL ; erit rectangulum FLG aequale rectangulo ML N. Ulterius, quia sectio MN H est circuis Ius , & diametro ejus MN ducta est perpendiis
cularis HL ; erit quadratum ex HL aequale re Nangulo MLN . Sed rectangula duo MLN, FLG ostensa sunt aequalia inter se. Quare idem HL quadratum erit etiam aeuuald reis ctangulo FLG. Similiter autem ostendemus , omnem aliam rectam , quae in sectione FGH perpendiculati ter demittitur ipsi FG, posse rectangulum , sub eiusdem FG Sementis comprehensum . Et igitur ex notissima circuli proprietate sectio ipsa FGH circulus erit. VIII. Quod autem , praeter fectionem p rallelam , subcontrariam , nulla alia circu- tam exhibeat in cono , demonstratur hoc Pamcto. In cono ABC fiat sectio FGH . quae neque sit basi parallela , neque eidem subcontraria. Et, si fieri potest . si ea circulus. Esto MN communis sectio planorum
32쪽
FGH, BCD, ad quam per centrum circuli FGH perpendicularis demittatur F M. Tum per rerum FM, S per verticem coni agatur planum aliud , occurrens plano basis in tecta BM . Denique per eundem verticem aliud adhuc planum ducatur , ipsi MN aequi distans, cujus communis sectio cum cono sit trianguialum DAE. Quoniam igitur planum trianguli DAEductum est tectae MN aequi distanter ; communes eius sectiones cum planis circulorum
BCD , FGH , hoc est rectae DE, HI, erunt tum ipsi MN , cum inter se adhuc parallelae. Unde , sicuti HI, velut diametro FG perpendiculatis , bisecta est in L ; ita quoque D E bi.
secabitur in X. Simili ratione ostendemus, hi secari a ruincta BC quamcumque aliam , quae in circulo
CD ducitur ipsi MN aequidistanter. Quare recta BC et it diameter circuli BCD ; & consequenter planum Assia transibit per axem
ipsius coni; eritque adco triangulum BAC ex cono sectum per axem . Ulterius , quum recta BC sit diameter circuli BCD , ea non modo bifariam , verum etiam ad rectos angulos secabit aliam DE . Est
autem DE parallela ipsi MN. Quare huic MN
normalis erit utraque ipsarum FM , BM: Proindeque triangulum per axem sectum
BAC rectum erit ad basim BCD ; & propter Parallelas MN, HI, erit pariter rectum ad planum sectionis FGH. Denique per punctum R ducatur recta
QR ipsi FG parallela. Et quoniam in eadem
33쪽
re SECTIONUM CONICA Ru Meatione rectarum AN, AL est, tum OR ad FL, eum RR ad GL; erit rectangulum ORR ad rectangulum FLG , ut est A X quadratum ad AL quadratum . Sed AΚ quadratum est ad AL quadratum, ut DR quadratum ad HL quadratum; sive etiam, propter circulos BCD, FGH , ut rectangulum BR C ad idem rcctangulum FLG . Quare erit rectangulum ORRaequale rectangulo BXC. Hinc , quum sit, ut OR ad BΚ . ita CΚad RN; erit angulus ObN aequalis angulo RΚ, sive AGL; atque adeo triangulum ABC simile erit triangulo AG F. Unde, quum triangulo per axem secto BAC rectum sit, tam planum hasis BCD , quam planum sectionis FGH ; & ex eo insuper per plana ista abscindantur triangula similia ABC , AGF isectio FGH subcontraria erit: quod est contra hypothesim .
CAP. II. suae curvae fectionum conicarum nomine veniunt,
I. v N praecedenti capite, post traditam I. coni generationem , expositi sunt modi omnes , quibus plano conus secari potest . Et vidimus, quod scuti, secto cono plania per verticem, fiunt in eius superficie hu
34쪽
ELEMENTA. . Irrae Iinece re ictae 3 ita , quum conus secatur plano,per verticem non transeunte, sectio orta in eadem supersicie sit linea undique curva . Notavimus porro, curvam istam esse circumferentiam circuli, quum sectio, vel est basi aequi distans , vel eidem subcontraria I esset vero alteri u S a circumferentia circuli naturae, quum planum secans alia ratione ad planum balis inclinatur. Sed hanc aliam curvam, a circuli circumis
fetentia diversam , triplicii etiam speciei esse posse, nobis innotuit. Nam vel in orbem redit, spatiumq;comprehendit ad instar ipsius circulieircumferentiae; & vocavimus eam e ipsis. vel extenditur in infinitum, nullamque aliam in adverso cono sibi oppositam habet ;& parabola ei nomen imposuimus . vel denique abit quidem in infinitum , sed ei in opposito cono curva alia adversatur,& tum ipsam , cum ejus adversam Operbola nomine designavimus
II. Jam nomine fectionum conicarum hujustmodi tres curvas Veteres intelligebant. Clacu. Ii enim circumferentia , etsi ex cono etiam eruatur, eo tamen vocabulo minime ab iis fui tri .... insignita . Id vero non absque consilio factum e- -- a veteribus reor . nimirum . ut ea rationee unctis indicarent, non dubere circumferentiam circuli ex cono deduci. Coni etenim genesis , ut superius vidimus , praeexistentem circulum supponit. Unde , si circuli circumferentia ex cono esset deducenda , iam in eam
impingeretur labem , quam vitiosum circuisium vulgus appellat.
35쪽
,3 SECTIONUM eo Nie Axu MQua autem ratione parabola . per-εola, ese ellipsis ex cono trahant originem suam , jam superius innuimus . Nimirum oritur in cono parabola , quum planum , per quod dis scitur conus , jacet semper intra conum . nec superius productum conum secat adversum . Oritur vero hyperbola , quum idem planum iacet quidem continuo intra conum , sed sursum ploductum secat etiam conum oppositum , ubi hyperbolam aliam creat. Et denique oritur ellipsis, quum planum secans utrinque egreditur ex cono, sed
stino nec est basi aequid istant , nec eidem subis
R-lia.. Interim Euclides , ct Apollonius Ine istaseruendis curvis istis ex cono triangulum per m axem sectum velut regulam adhibebant . Sed arm rem non eadem ratione ambo exposuerunt. Euclides siquidem, non aliter conum plano se Cabat, quam ut uni uterum ejus trianguli ad rellit angulos occurreret. Unde , quia dumtaxat conum rectum agnovit, in quo omnia triangula per axem secta sunt isoscelia , ct aequales in vertice angulos hahent; ex uno, eodemque cono curvas illas omnes eruere nequi-hat, sed pro unaquaque illatum peculiari quodam cono ei opus erat. Nimirum, etsi conus euclidaeus oriatur, quando recta nouli trianguli manentc. uno cria rum , circumducitur crus alterum, usque donec ad priorem suum locum revertatur; pose
sunt tamen ejus coni tres species distingui, prout crus manens est aqtiale . minus, vel majus crure circumducto . Pro triplici enim hoc
36쪽
ELEMENTA. I 'eam , triangulum , sectum ex cono plano per axem, potest in vertice, tum rectum , tum obtusum , tum acutum angulum habere. Unde, habita ejus anguli ratione, poterit ipse coisnus , modo rectas Ridis, modo obtusacratas, modo demum acut angulus appellari. Ad eruendam ergo parabolam , utebatur Euclides cono rectangulo. Nam in eo trianguis Ium, per axem sectum , habet in vertice anguis Ium ructum , a deoque planum , uni ejus lateri ad rectos angulo, occurrens , jacebit semper intra conum, nec iecabit eius oppositum. Vicissim autem,ad Eruendam Dperbolam, adhibebat conum Dbtusangulum; quia,ratione anguli obtusi , in trianguli vertice existentis , idem planum jacebit quidem continuo intra conum, sed secabit ejus adversum . Et denique, ad deis
ducendam euipsim , in subsidium advocabat
conum scutavulum ; quia , propter angulum acutum, existentem in vertice trianguli , praeis dictum planum rUrsu, ex cono egredietur. IV. Haec igitur erat trium illarum curvam rum euclidaea genesi S ex cono. Sed novit
Apollonius, posse illiusmodi curvas indi AH.
minatim ex omni cono deduci, si planum, per 'e' 'quod dispescitur conus, Ison ita duceretur, Ut uni laterum trianguli, per axem secti, ad rcctos angulos insisteret a sed subinde, ut occ-rerat plano basis , aut alterius circuli paralleliin rem , quae normalis es et ad basim ejus trianguli. Sit itaque conus ABC, ct in eo plano per Flo. e. axem fiat triangulum BAC. Secetur deinde ci. V. idem conus plano alio , occurrente plano ba. Tom.L B sis,
37쪽
is SECTIONUM CONICARUM sis . aut alterius circuli paralleli BCD in tecta DE, quae perpendicularis sit ad hasim ejus trita anguli BC, sitque DF E sectio, facta in superficie conica petet hoc aliud planum . Ostendenis dum est , sectionem istam posse unamquamisque earum curvarum nobis exhibere .
Sit recta FG communis sectio planorum BAC , DEE . Hanc liquet esse posse ; vel lateri AC purallelam et vel subinde ad illud inclina
tam , ut ei lupra coni verticem oecurrat; vel demum taliter ad illud annuentem , ut infra coni verticem cum eo conveniat. In primo casu sectio DF E erit parabola ; in secundo erit perbola , ac demum in tertio casu eadem sectio erit ellipsis . Ut haec ostendantur, ducatur per latus AC planum . quod occurrat plano circuli BCD in tecta CZ, ipsi DE parallela . Et quoniam recta DE posita est perpendicularis ad diametrum circuli BC , et it recta CZ eidem BC similiter perpendicularis . Continget ergo rccta CZ circumferentiam circuli BCD in puncto C. Unde ipsum quoque planum tanget conicum superficiem in latere AC ; & productum superius, continget etiam supet ficiem oppositi coni, in quam latus AC , quum sursum producitur , cadit.
dm , quum recta FG parallela est lateri AC serit planum DFE aequi distans quoque
plano contactus . Unde , sicuti cum eo convenire non potest , ita jacebit semper intra conum, nec secabit ejus oppositum : proindeque sectio DFE parabola erit. Quotiescumque ve-io recta FG occurrit lateri AC supra verti
38쪽
ELEMENTA. iseem ; tunc planum DFE etiam supra verticem
conveniet cum plano contactus et addoque .
quum secet conum oppositum , si ei o DFEerit hyperbola . Denque . quum recti FG ociscurrit lateri AC infra vertiecm ; planum DFEconveniet cum plano contactus ii militer infra verticem et proindeque , quum rursiis ex conciegrediatur , sectio DF E erit ellipsis . V. Verum quidem est , quod in ducenis v.
do plano suetionis etiam Apollonius hanc te. igem adhibuerit, ut occurreret plano basis, aut ' alterius circuit paralleli in rueia, quae normalis ex biis. esset ad basim trianstuli, per si xem secti. Nihilo M. minus ad legem ist n omnes . quae in cono
fiunt, sectiones exigi possunt; quia, quomodocumque planum , per quod dispescitur conus, occurrist planta basis . aut alterius circuli paralis Iuli, semper exhiberi potest in cono triangulum per axem , ad cujus basim recta illius occursus perpendiculariter insistat . Secetur etenim conus ABC plano aliquo. Fio. s. occurrente plano basis . aut alterius circuli 6. y,
paralleli BCD in recta DE . Jam nihil obstat,
quominus in circulo BCD talis diameter ducatur , quae ipsi DE ad rectos angulos occurrat. Satis si quidem erit, ex centro ipsius cir- culi perpendicularem demittere super D E , Camque producere, usque donec utrinque circumferentiam secet. Sit igitur BC diameter ista . Et triangulum , per axem sectum , quod ei insistit, illud erit, quod quaeritur. Nam ex
ipsa constructione basi dus BC perpendicularis est tecta DE, in qua planum sectionis D FEOccurrit plano circuli BCD. B a Ra-
39쪽
1o SECTIO NuM CONICARUM Ratio igitur cruendi tres illas curvas exeono , quam tradidit Apollonius, nulla exceptione laborat. Nam , sicuti per eam praefatae tres curvae possunt ex quolibet cono deduci, ita omnis sectio , quae aliquam ex iis curvis in conica superficie producit, velut ea ratione facta potest haberi. Unde etiam genesis earum curvarum apolloniana, universalitate sua, non modo euclidaeam, sed omnem aliam , quae fingi excogitarique potest , vincit ac superat; quandoquidem universalissima illa, a plani intra conum positione deducta , quam posuimus ab initio . ad ipsam revocatur. vi. VI. Sed nolim hic reticete , quod juxta
methodum euclidaeam nec etiam ex uno , Eo-- , sedemque cono scaleno tres illae curvae erui
queant. Et si enim in cono isto triangula , per alano erui axem secta, non habeant semper aequales angulos in vertice rum sunt tamen anguli illi eiusdem semper speciei inter se, hoc est , vel omnes recti, vel omnes obtusi, vel omnes acuti. Unde, si planum secans uni laterum trianguli , Per axem secti, ad reεtos angulos occurrere deberet; adhuc alio cono opus esset ad eruendam parabolam , alio ad derivandam hyperbolam,
S alio demum ad deducendam ellipsim . Fio. - Sit enim conus scatenus ABC, ex quo' abscindatur plano per axem triangulum aliquod BAC. In plano hujus trianguli descri-hatur semicirculus , cujus diameter sit rem BC . Et perspicuum est , punctum A locari in
ejus circumferentia , quum axis coni ad aequat basis semidiametrum ; intra circumferentiam,
quum axis coni est minor semidiametro hasis;
40쪽
ELEMENTA. aiae demum extra circumserentiam , quum idem axis est major eadem semidiametro . Quare ipsius trianguli angulus verticalis erit rectus in primo casu , obtusus in secundo, tandemisque acutuS in tertio . Haec autem quum ita sint, liquet, conum scalenum , perinde ac rectum , esse, vel re Iangulum , vel obtusaugulum , vel denique acum tavulum . Quotiescumque enim axis coniscalent basis suae semidiametrum adaequat, coinnus erit rectangulus ; quia quodlibet triangulum, per axem sectum , habet in vertice angulum rectum. Ubi vero axis coni scaleni est minor semidiametro basis , conus erit obtusanguis as , quia in vertice cujusque trianguli, per axem secti, repetitur angulus obtusus . Et deinnique , quum axis coni scaleni est major semiis diametro hasis . conus erit acutangulus et ob acutum angulum , quem triangula , per axem secta , in vertice habent. VII. Recte istitur observavit Eutocius, quod in tradenda genesi earum curvarum contigerit Veteribus illud idem , quod evenit eis et
in ea trianguli proprietate, quod omnes anguli cur ab Maseimul duobus rectis sint aequales. Nam , sicuti Proprietatem istam primo norunt in triangulo aequi latero , tum in isosceli, ac postea in sca-Ieno et unde demum conflatum ab iis universale theorema , omnes triangulorum species comprehendens ; ita quoque tres illas curvas ex totidem coni recti speciebus primum eruebant i & nonnisi post tempora Apollonii, tum ex quolibet cono recto , cum etiam ex conciscaleno eas deduxerunt,