장음표시 사용
281쪽
u61 SECTIO NuM CONli Axu, Ponamus eten in primo, axem AB aequalem esse conjugato suo R L . Dico , etiam .diametrum EF adaequare conjugatam suam PR. Nam si major , vel minor esset; foret di ferentia quadratorum EF, AB major quoque, vel minor disserentia quadratorum P R , XL. Quod plane repugnat. Ponamus secundo , axem AB majorem esse conjugato suo ΚL . Dico , etiam diameistrum EF majorem esse coniugata sua P R. Nam, si aequalis . vel minor esset; foret disterentia quadratorum EF , AB minor disse ten
tia quadratorum P R , Κ L . Quod quidem est
Ponamus den que,axem An minorem e se conjuglito suo RL. Dico, etiam diametrum EF minotem esse conjugula sua PR . Nam , si aequalis , vel major esset ; Meet differentia quadratorum EF . Ad maior differentia quam oratorum PR, Κ L i quum tamen ei aequalis esse debeat. i. in . vli I. Caeterum . ut alia quamplurima , ae . quae locum habent in comparatione diametro
rum hyperbolae, tum hic, cum in sequentibus facilius prosequi valeamus ; iuvat hic advertere , quod sicus diametrorum omnium hypera
bolae per datae alicatas recta portionem possit
exhiberi. In triangulo namque AAC . rectangulo in B , reserat hypothenusa AC eum ex duobus axibus conjugatis hyperbolae , qui major est.& latus 3C axem alterum minorem. Extendatur porro latus istud BC in diremimversus X . Et dico , portionem eius CX cou
282쪽
ELEMENTA. ad 3siderari posse veluti locum omnium diametro, rum hyperbolae . Primo enim, ex superius ostensis, quaeli. bet diameter, quae ad eas hyperbolas termina istur , in quibus suos terminos habet axis AC, debet esse major ipso axe AC . Sed omnes rectae , quae ducuntur ex puncto A ad rectam CX , majores sunt ipsa AC . Ituque poterunt rectae i stat omnes earum hyperbola tuui diametros exhibere.
Deinde, si AE si aliqua earum diam trorum, ejus coniugata talis esse debet. ut exiscessus . quo ipsius quadratum superat BC quadratum, sit aequalis excessui, quo A E qu dratum superat AC quadratum . Unde facile erit ostendere, quod debeat esse BE conjugata
ipsius A E. Est enim BE quadratum aequale BC. CE
quadratis una cum duplo rectanguli BCE. Quare excessus, quo BE quadratum superat BC quadratum , erit CE quadratum una cum duplo rectanguli BCE. Sed hujusmodi est etiam excessus , quo AB quadratum superat AC quadratum . Itaque differentia quadratorum BE . BC aequalis etsi differentiae quadratorum AE , AC: ct propterea , sicuti BC est coniugatus axis AC , sic erit BE conjugata diametri A E. IX. Hoc iacto principio,iam citea diametros coniugatas hyperbolae plura alia facillime licebit ostendere . Ac primo quidem ostendemus, quod disserestia quadratorum, qua sunt ex axibus conjugatis, a qualis sit disserentia quadratorum , qua fiunt ex auii Gabaa dia-R me
283쪽
s Ut enim rectae AC , BC referunt axes V yy' hyperbolae conjugatos, se rectae AE, BE reserant hinas ejus diametros similiter conjugatas. Dico, differentiam quadratorum AC, BUoequalem esse differentiae quadratorum . quae fiunt ex ipsis AE, BE. Ob triangulum namque ABC, rectanis pulum in B . est AC quadratum aequale duo. hiis quadratis AB. pC. Quare ditarentia quadratorum AC , BC aequalis erit quadrato , quod sit ex AB. Simili ratione , ob triangulum ABE, rectangulum in B , est AE quadratum aequale duobus quadratis AB . BE . Duare disserentia quadratorum AE , DE aequalis erit quadrato, quod fit ex AB. Eidem igitur AB quadrato aequalis est, tam disserentia quadratorum AC , BC , quam di fierentia quadratorum A E , BE . Quare di fercntia quadratorum AC, BC aequalis erit disserentiae quadratorum AE, BE. x. X. Ostendemus deinde, quod quum axis perbolae major est Do coniugato , non modoratione . omnis alia diameter maior erit coniueata sua auis. ., Ied etiam ratio axis ad suam constigatum maia prim*eM Wd cor erit ratione , quam quatis alia diameterrasiis. haset OV confugatam suam.
FaG. 6o. Jam enim clare patet, quod scuti axis AC major est coniugato suo BC , ita quaevis alia diameter A E maior sit quoque conjugata sua BE. Sed facile erit etiam ostendere , quod AC ad BC majorem rationem habeat . quam
284쪽
Ducta si quidem per punctum B recta EF , ipsi AC parallela, quae conveniat Cum AB in F ; erit, ut AC ad BC, ita FE ad BE. Sed, ob angulum rectum EBF , FE major est, quam A E , atque adeo FE ad BE majorem ratationem habet, quam A E ad BE . Uuare etiam AC ad BC maiorem rationem habebit , quam AE ad B E.
Simili autem latione ostendemus , quod si fuerit AG quaevis alia hyperbolae diameter, remotior ab axe AC I ratio , quam habet diameter AE , axi propinquior , ad suam conjugatam BE, major sit ratione , quam habet diameter AG , ab axe remotior , ad conjugatam suam BG. . XI. Ostendemus porro, quod quum per T-ema
contrarium axis hyperbolae minor est suo con ex ' Iugato, tunc nou solam omnis alia diameter mἔ- tione.
nor erit conjugata sua , sed etiam ratio axis ad suum coniugatum minor erit ratione , quam 'dquaetiis alia diameter habet ad conjugatam suam. FI .co
Jam enim liquido patet, quod sicuti axis BC minor est suo conjugato AC, ita quaevis alia diameter BE minor sit quoque conjugata sua A E. Sed nullo etiam negotio ostendemus, quod BC ad AC minorem rationem habeat .
quam BE ad AE. Dueta si quidem per punctum E recta EF , ipsi AC paralleIa , quae conveniat cum AB in puncto F; erit, ut BC ad AC, ita BEad FE . Sed , ob angulum ieetiim EBE , FEmajor est, quam AE ; atque adeo BE ad FEminorem rationem habet . quam BE ad A E
285쪽
adg SECTIO NuM CONICA Ru MQuare etiam BC ad AC minorem rationem habebit, quam BE ad AE.
Simili autem ratione ostendemus , quod si fuerit BG, quar vis alia hyperbolae diameter, remotior ab axe BC; ratio , quam habet diameter BE , axi propinquior , ad suam conju gatam AE, minor sit ratione, quam habet diameter BG , ab axe remotior , ad coniugatam suam AG., XII. Ulterius ex eo , quod crescentibus hyperbolae diametris , augeantur etiam ips tum coniugatae, ultro sequitur,tam fummam, quam re&amulam ex duabus bperbolae di metris coniagatis . eo magis augeri , quo maris ipsae diametri ab axibus recedunt. Sed quantum attinet ad disserentiam earundem diametrorum, ea per contraritim e minor emadit,quo magit diametri ab axibus reis
moventur; tandemque is in ita distantia dis ferentia illa prorsus eoanescit , ct ipsae diametri fiant inter se mutuo aquatit. Manentibus namque omnibus, ut supra, extendatur CB usque in H, ut fiat AC aequa
lis ipsi CH . Jamque . si ostendi possit, AE
minorem esse,quam Et serit differentia axium AC , BC major differentia diametrorum AE, BE . Id vero ostendemus in hunc modum. Jungatur AH. Et quoniam duae AC, CH sunt aequales inter se; erit angulus CAH aequalis pariter angulo CHA . Sed angulus E AH major est angulo CAH . Quare idem angulus E AH erit etiam major angulo EHA: propterea AE minor erit, quam EH. Simili ratione ostendemus, differentiam diais
286쪽
RLEMENTA. acydiametrorum AE, BE, axibus propinqui rum , majorem esse differentia diametrorum AG, BG, ab iisdem axibus remotiorum.Quare dissetentia inter binas hyperbolae diametros conjugatas eo minor evadet , quo magis ipsae diametri ab axibus removentur. XIII. Nolim autem hoc loco reticere,quod X m. etsi refringulum ex binis hyperbolae diametris Q.
conjugatis eo majus evadat , quo magis ipsae e rea si a diametri ab axibus removentur, atque adeo ad aequalitatem accedunt , attamen parallel grammum , circa hinat operosia commatat is Mis
ametror descriptam, sit ejusdem ubique magnitudiuti , hoc est aequale semper rectangulo, Fio.6 I. caud sub ipsis axibut continetiar, Sint enim AB , XL axes hyperbolae eoniugati , sintque etiam EF . PR hinae
eius conjugatae diametri. Ducantur per puncta E,&F rectae QS . TU, ipsi PR patallelae; tum item per puncta P, & R rectae TS.
aequid istantes ipsi EF r ita , ut circa diametroaconiugatas EF . PR descriptum se parallel grammum Tu . Dico, parallelogrammum istud aequale esse rectangulo, quod sub axibus AB, XL continetur. Demittatur , tum ad axem AB ordinata EG, eum ad diametrum EF ordinata Ao. Et, ex superius ostensis , erit, ut EG ad AO , ita EL ad PR; sive etiam,ita CR ad CP. Sed deis nussis luper CE,CP perpendicularibus AI,EH. EG est ad AO in ratione composta ex EG ad AI, ct ex At ad Ao 3 hoc est in ratione comis
posita ex CE ad CA, S ex EH ad CE . Quam etiam CR ad CP rationem habebit compositam
287쪽
ac 2 SECTIO NuM CONICA Ru Miam ex EH ad CE , Sc ex CE ad CA. Jam duae istae rationes componunt pariter rationem , quam habet Eld ad C A . Qua te erit ex aequali, ut CT ad CP, ita EH ad CA , ct propterea reetangulum ex CP in Eri , hoe est parallelogrammum PCEQ, erit aequale re ctangulo, quod fit ex O in C R. Sud paralleis logrammum QSTV est quadruplum parali Iogrammi PCEQ, ct rectangulum sub axibus AB , XL est quadruplum rectanguli ACΚ. Quare etiam parallelogrammum QSTU aequale erit rectangulo sub axibus AB , Κ L.
XIV. Hinc vero plura deducuntur circa. angulos , quoi perbolae coniugatae diametri Tia I, occursu mutuo in centro consituunt, i
nu ret . Nimirum primo , quod sinus anguli , fus
isy;tis . duabus quibuslibet conjugatis diametrii eouistenti , sit ad radium , ut est rectangulum fuse axibus ad id, qaod sub ipsis diametris eunti
FIG.61. Positis en m omnibus , ut supra , s nimanguli ECP est ad radium, ut EH ad CE ; sive etiam , ut rectangulum ex CP in EH ad rectangulum ex CP in CE . Sed rectangulum ex CP in Eri ostensum est aequale rectangulo ACΚ : quod quidem est ad rectangulum ex CP in CE , ut rectangulum ex AB in ΚL ad rectangulum ex EF in P R . Quare erit ex aequali, ut sinus anguli ECP ad radium , ita rectangulum ex AB in XL ad rectangulum eR
Secundo , quod sinat cvulorum , quos conjugatae diametri occursu mutuo in ceutro constituunt, sint reciproce, ut rectangula, qu e
288쪽
ELEMENTA. ac, 3 . staret ex ipsis diametris conjugatit. Jam enim ostensum est , quod sinus anguli , quem duae quaevis coniugatae diametri continent, sit ad radium . ut est rectangulum
sub axibus ad id , quod sub ipsis diametris
continetur . Quare . ex aequo perturbando, simis anguli duarum conjugatarum erit ad fi- num anguli, quem aliae duae conjugatae comis prehendunt, ut est rectangulum istarum ad id , quod ex iis efficitur. Denique , quod angulus acutus , fallis Stanir bperbolae diametris conjugatis comprehemfat , eo minor evadat, quo magis ipsae diametr as axibus removentur. Nam, ex superius ostensis, rectangillum, quod binae hyperbolae conjugatae diametri continent, eo majus evadit, quo magis eae diametri ab axibus recedunt. Sed ei rectangulo est reciproce proportionalis sinus anguinii , sub liment diametris contenti. Quare per contrarium, tam sinus, quam ipse angulus acutus, ad quem sinus refertur, necesse est , ut eo minor fiat, quo magis conjugatae diametri ab axibus removentur.
Parametri diametrorum hyper- lota inter se mutuo cons
runtur. I. Omparatis inter se mutuo diame- r. lmatris hyperbolae,sequitur,tit para meis tia
289쪽
135 SECTIO NuM CONICA Ru Miros ipsarum ad invicem conferamus . Et pruimo quidem,quum conjugatvi fuerint eae diameistri . quarum parametros simul conferre oportet, facile erit, de iis parametris diiudicare. In parametris enim, quae ad duas diameistros conjugatas referuntur , istud obtinet theorema, quod ipsa diametri continuam cum eis proportionem constituo ut, ubi inverso umdine inter illas collocantur. Sint enim hyperbolae AB , Κ L hinae eius diametri conjugatae . Sit autem AD parameter unius AB, ct XI parameter alterius XL. Dico, diametros AB, Κ L. inverso ordine positas inter suas parametros AD, NI, contiis
nuam cum eis proportionem constituere.
Quoniam enim XL est conjugata ipsius AB; erit, ut AD ad ΚL, ita XL ad AB. Et similiter, quoniam AB est conjugata ipsius XL; erit ut RL ad AB , ita AB ad XI. Quare quatuor A D. XL, AB, Κ i continue proporti
II. Hinc autem plura deducanetur circa parametros, qua ad duas diametros conjugatarreferuntur.
Nimirum primo, quod si duae conjugatae diametri AB , Κ L inter se sint aequales 3 etiam parametri AD , RI debeant esse aequales , tam inter se, quam cum diametris suis. Secundo , quod si vicissim duae coniuga. tae diametri AB. XL sint inaequales parametri quoque AD , RI debeant esse inaequales. tam inter se , quam cum qualibet earum diametrorum.
Tertio , quod ex diametris AB , XL ea,
290쪽
ELEMENTA. : Diquae maior est, habeat parametrum itum ipsa, cum diametro altera minorem . illa vero, quae minor est, parametrum habeat, etiam altera
Quarto , quod quum inaequales sunt diametri AB, Κ L . dc inaequales adeo ipsarum parametri AD, RI, summa parametrorum major sit semper summa diametrorum. Et denique, quod si capiatur differentia , tam inter diametrum AB , & parametrum suam AD, quam inter diametrum XL , Ac suam parametrum XI; ea quidem differentiast major, quae ad minorem diametrum , majoremque adeo parametrum refertur. 1
III. Ubi autem diametri non fuerint conis Ur, jugatae , sed ad easdem hypetbolas terminatur , poterit de parametris ipsarum judicium . ferri, ostenso prius hoc theoremate , quod mei i . , disserentia inter quadratum alicujus diometri. O figuram ejus sit eadem tibique . , que. Maneant enim omnia , ut supta . Dico .FiO 6 et quod differentia inter quadratum diametri AB, ct figuram ejus , quae constituitur perrectangulum D AB , sit semper eadem , quocumque in loco capiatur diameter AB. Ex superius squidem ostensis, disserenistia quadratorum, quae fiunt ex diametris conis jugatis AB, XL, ubique reperitur aequalis differentiae quadratorum , quae fiunt ex axi-hus; & consequenter ubique est eadem . Sed quadratum ex XL est aequale rectangulo DAB . Quare eadem pariter ubique erit dic ferentia inter AB quadratum, Sc rectangulum