De punctis singularibus curvarum algebraicarum simplicis curvaturae disquisitio auctore P. N. Ekman

2쪽

omnes curvae algebraicae simplicis mirvaturae determinantur aequationibus algebraicis, quae relationem quandam inter binas quantitates variabiles exhibent.

Sit igitur

sequatio, radicalibus fractionibusque liberata, quae quamcumque harum curvarum, ad coordinatas rectangulas relatam, determinat , et consideretur F ut functio ipsius a. Quo posito, si quantitas primitive variabilis ae capiat incrementum A, functio ejus Faccipiet incrementum respondens 1, quod in genere per hanc seriem T lorianam exprimi potest:

es, vulsi messicientes disserentiales-, etc., quoniam nulla i rationalitas per disserentiationem introducitur , sunt functiones rationales ipsarum x et F atque definiuntur suo quisque ordine ex his aequationibus disserentialibus et

3쪽

si s

ilaea

diu fel dati er

data

etc.

Iam si in coefficientibus seriei (2j pro x et F valores particulares , quae coordinatas cujusdam puncti curvae constituunt, sum Stituantur, fieri potest, ut aut omnes cpessicientes finiti et dete Disit ped by Coos e

4쪽

minati reddantur, aut non onmes siniti et determinati evadant. Si omnes finiti et determinati reddantur, hoc punctum nihil habet, in quo a ceteris curvae Punctis differat. Sin autem inter hos coem-cientes sint, qui non siniti et determinati fiant, punctum est singulare, h. e. habet quidquam si hi proprium et peculiare, quo a ceteris punctis discernitum Qui coelii ciens non sinitus et determinatus redditur, is Selnihilo aequalis, vel infinite magnus, vel indeterminatus, h. e.

m fiat necesse est. Neque vero imaginarius fieri, nec PlureSualores obtinere potest, cum aequatio, quae expreMionem ejus

generalem suppeditat, rationalis sit et non nisi primam ejus po-tEStatem contineat. Sed quoties haec expressio abit in P, id indicio est, coefficientem plures valores habere debere, inter quos etiam imaginarii reperiri Possunt. Inspicienti aequationes (d). . . (T) et sequentes apparet, omnium

coefficientium, qui ex sua quisque harum sequationum determinantur, extareSsiones formam induere quantitatum fractarum, quarum numeratores dissimiles inter se et quidem magis magisque pro ordine coenicientis compositi sint, denominatores vero ex una

eademque quantitate - conficiantur. Ηinc sequitur, ut quilibet coefficiens disserentialis, evanescente numeratore, nihilo aequalis seri possit, ceteris tum antecedentibus tum subsequentibus finitis manentibus, sed nullus coeniciens disserentialis infinite magnus nec indeterminatus fiat, quippe cum hoc pro valoribus finitis ipsarum a

et F non nisi evanescente denominatore accidere POSSit, quin tum antecedentes tum subsequentes coefficientes vel infinite magni, vel indeterminati simul fiant, prout eorum numeratores vel finiti, vel nihilo aequales per eandem substitutionem reddantur. Itaque

quoties alteruter horum casuum Evenit, Concludimus, uni VerSam

seriem (2) transformandam ESSE.At Priusquam ulterius progrediamur et ad ipsam disquisitionem

Punctorum singularium accedamus, videndum est, quaenam sit ratio et natura eorum valoruin ipsarum ae et , qui seriem (2)abnormem reddant, et quomodo forma seriei, Per quam incrementum st ipsius F exprimatur, determinetur, quam quidem for-Disitired by Cooste

5쪽

mam in examinandiS Punctis singularibus curvarum , cognoscere nece,se est, ad diversas enim serierum formas diversas singularitates respondent.

Si in aequatione algebraica rationali duarum variabilium x et Falteri variabili x certus quidam valor o hribuatur, altera variabilis F obtinebit, aequatione soluta, tot omnino valores, nullo discriamine inter reales et imaginarios facto, b, b , b , 5', etc., quot Summus exponens ipsius T continet unitates, et si pro a alius valor a A substituatur, F totidem alios obtinebit valores, quos

per h -- h -- α , hq -- α', h h-, etc., denotare possumus. Iam si valor uniuscujusque horum incrementorum i , st , i , etc., quae incremento A respondent, in seriem, secundum adscendentes ipsius A potestates progredientem, convertatur, manifestum CSt, ullum terminum nec lactore h carere, nec hunc factorem Cum exponente negativo continere posse, si quidem, facto A m o, incrementa quoque h, i , etc., evanescere oporteat. Porro, si omnes valores b, b , etc., inaequales sint, nec ullus coefficiens seriei plures valores obtinere, nec ullus exponens ipsius A fractus esse Potest, quoniam series ita comparata esse debet, ut incrementum, quod per eam determinatur, unicum tantum valorem sortiatur. Nam cum tot sint valores b, b , etc., ad quos singulos singula incrementa i , λ , etc., pertinent, quot summa Potestas ipsius est dimensionum , si aliquod horum incrementorum Plures valores obtineret, fieret, ut valores ipsius i , valori xm α - - Arespondentes, plures essent, quam unitates in exponente summo

ipsius y insunt, id quod absurdum est. Itaque incidimus in hoc

casu in ipsam seriem Tu lor rarami in Ah - - Bh - - Ch3 -- DA' - - etc., ubi tamen quidam termini post primum, coefficientibus evane centibus, deesse POSSUnt. Simili ratione, si pro certo valore F h, in aequatione Suhstituto , altera variabilis x tot valores inaequales G, ct , ra', ct , etc., obtinoat, quot summus exponeris ipsius ae continet unitates, et postea alius valor h - λ loeo ponatur, cui hi valores ipsius ae , Disitiam brum Coos e

6쪽

G -- h, ct h , ct A , et . , respondeant, nullum horum incrementorum A, A , etc., recipiet plures valores , sed omnia Perseries hujus formae determinentur eth m A ὰ - - B C st 3 - D l etc. Sin, posito x m G, Plures valores ipsius F inter se te Iliales (m fiant, ut sit ex . gr. b radix multiplex aequationis, ceteri vero valores V, hm, etc., singulares, numerus valorum inaequalium minor est quam pro gradu aequationis. Quoniam autem haec res pendet ex relatione quadam singulari coefficientium aequationis inter se, ex valore illo particulari . x m ct nata, et rurSUS evanescente, quando Pro x substituatur alius valor ct - - h, valores ipsius F inaequales, b -- α, ε -- , , hq - - hq, etc., qui huic sumstitutioni x m a A respondent, nihilominus erunt pares numero unitatibus, in summo exponente ipsius,contentis, atque adeo plures, quam valores b, b , θ', etc., qui illi substitutionix ct respondent. Numerus vero excedentium valorum idem erit, ac numerus radicum aequalium, una demta. Qui quidem numerus ut compleatur, incrementum st, multiplici valori h ah dendum, tot valores diversos obtinere oportet, quot sunt radices valori b aequales. IIabebit igitur series, per quam valor ipsius lexprimitur, eam formam, quae talem diversitatem valorum ac mittat. Ηoc autem tribus modis essici potest; si aut coelii cientes seriei plures valores obtineant, exponentibus incrementi A integris manentibus, aut exponentes fracti reddantur, coefficientibus singulos tantum valores obtinentibus, aut tum coefficientes multiplices , tum exponentes fracti simul reddantur.(ct). Si, exponentibus integris manentibus, coefficientes plures (lo

obtineant valores, numerus horum valorum idem erit, ac numerus radicum se luationis valori b aequalium. In hoc casu series novam quidem non induit formam, sed solum in plures diversas abit, quarum quaeque ad formam seriei T IOrtatim componitur, ita ut sit:

7쪽

Fieri etiam potest, ut, primis coefficientibus singulos valores obtinentibus, series ad Posteriorem demum terminum in diversas partes discedat, ut sit e . gr.

De cetero observandum est, diversos valores incrementi l hoc modo per diversos valores coefficientium exprimi non posse, nisi sint, posito b ad minimum totidem valores ipsius x aequales G, quot Sunt, Posito a m ct, valores ipsius y aequales b. Nam si ex seriebus, supra exhibitis, valor ipsius A per methodum inversam serierum quaeratur, is erit, singulis seriebus datis singulas series inversas gignentibus, ad minimum aeque multiplex atque valor ipsius 1, quod quidem fieri nequit, nisi sitia valor aeque multiplex ipsius ae , ac b est ipsius F. Potest vero h vel plures valores obtinere, si Primus terminus in quibusdam serichus, valorem ipsius h exprimentibus , desit (b . Si, coefficientibus singulos tantum valores obtinentibus, series secundum fractas potestates incrementi h progrediatur,

omnes hacti exponentes habebunt eundem denominatorem, qui quidem communis denominator idem erit ac numEriis valorumi PSius F aequalium. Numerator vero primi termini seriei idem eritae numerus valorum ipsius ae aequalium. Nam, cum quisque te minus tot valores habeat, quot insunt unitates in denominatore exponentis, Si denominatoreS aequales quidem , Sed majores Osent, qtiam numerus valorum ipsius y aequalium, valores incrementi ljusto plures fierent; et si denomina torps aequales et minores essesnt, quam num rus valorum aequali iun, valores incrementi l justo pauciores fierent; denique si denominatores inaequales essent, num merus valorum incrementi st, compositis diversis valoribus terminorum , justo aut major aut minor seret, nisi denominatores essent sactores rius numeri, qui indicat, quot sint valores ipsius Faequales, quo casu etiam hactiones concinnatae ad hunc numerum ut communem denominatorem reduci PDSSunt.

8쪽

Et quoniam idem convenit in eam Seriem , secundum adscendendi s ipsius L potestates progredientem, Per quam valor incrementi h exprimi uir, sequitur, ut Communis denominator exponentium fractorum ipsius A in hac serie idem Sit, ac numerus valorum ipsius x aequalium. IIaec vero eadem series, si ex illa, quae valores ipsius is exhibet, per methodum inversam serierum deducatur, accipiet communem denominatorem, numeratori primi te mini illius seriei aequalem. Ilic ergo numerator idem sit necesse CSt, ac numerus valorum ipsius ae aequalium. Itaque si m sit numerus valorum aequalium ipsius F, et ranum mrus valorum aequalium ipsius x, erit E gh m Mh NA- - - Ph etc. Fieri etiam potest, ut series initio secundum integras Potestes tates incrementi h progrediatur, et exponentes fracti ab posteriori demum termino incipiant, ut Sit ex . gr.

h AA - - Bh MA etc.; id quod evenit, quoties pro primis coefficientibus seriei, sociandum integras potestates Progredientis, valores finiti reperiantur. Nam is demum terminus exponentem fractum obtinebit, cujus coefficions in serie regulari infinite magnus evadit. Qui vero suturus sit primus exponens fractus, etiam in hoc casu facile perspicitur, cum

denominator per regulam Supra datam usque determinetur, et numerator talis esse debeat, ut num(riis si actus a proxime antecedentis termini exponente integro minus unitate disserat, atque adeo inter hunc CXPonentem et Proxime subscquentem numerum integrum interjaceat. Quod si adhuc aliquid ambigui restet, id tollitur,

ut videbimus, inspiciendo nuia eratore expressionis Pro eo coe ciente, qui ob denominatorem nihilo aequalem infinite magnus

factus eSt.

Ceterum de coefficientibus notandum est, eos, etiam si signis radicali hiis assecti sint, tamen pro simplicibus habendos Esse, quotiCS, numeruS valorum, quos terminus obtinPt, Per talem asser- Dicitiam by Cooste

9쪽

tionem coemcientis non augetur. Sic e Teiens in v l. ' non minus quam in Asia simplex putandus est, quoniam ille terminus non plures habeat valores quam hic.(lm se . Si tum coefficientes multiplices, tum exponcntes hacti Sint, u Diversi valores, ex diversis seriebus oriundi, simul conscient

numerum valorum, quos is obtinere oportet, et Series Praeterea ita comparatae erunt, ut, si invertantur, etiam h obtineat eum numerum valorum, qui ei conveniat. Sic , si is tres, A vero duo valores habebit, forma serierum haec esse Potest :

et sic Porro . Ex allatis igitur colligitur, non modo nullam aberrationem a solita forma, si ab eo casu recesseris, ubi quidam ex coefficientibus terminorum, qui primum subsoquuntur, nihilo aequales reddantur, in serie occurere Posse, nisi positis pro ae et talibus valoribus, qui vice radicum aequalium in aequatione iunguntur, sed etiam formam seriei abnormis ex numero radicum aequalium pendere. Itaque cognitio multiplicitatis valorum in singularitate punctorum examinanda Plurimum valet.Ηaec vero multiplicitas, quae sit, lacile Perspicitur. Fam, Posito

mcognatam F continens, Et -- , ---γ

10쪽

certo quodam valore b, ipsa iunctio erit aequatio primitiva, unam si cliti cauincognitam x Continens, Et - , etc., erunt Uus d

rivatae. Ηinc, quoniam, ut in theoria sequationum demonstratur, radix duplex aequationis non modo ipsam sequationem, Sed etiam primam derivatam nihilo aequalem reddit, radix triplex insuper derivatam secundam, Et sic Porro, colligere licet, quoties valoresia et b, Pro x et F substituti, non modo ipsam iunctionem I M, H, SEd etiam unum, vel duos, vel tres, etc. , deinceps ex messicientibus disserentialibus partialibus d , - , Ctc., qui oriuntur,

sto' tamquam variabilis, x vero tamquam constans tractetur, nihilo aequales faciant, b esse duplicem, vel triplicem , vel quadruplicem , etc., valorem ipsius F; et quoties per eandem substitutionem, non modo functio ipsa, sed etiam unus , vel duo, vel tres , etc., deinceps ex coenicientibus differentialibus partialibus -

, etc., qui oriuntur, si sola ae tamquam variabilis tractetur,

nihilo aequales reddantur, et esse duplicem, vel triplicem, vel quadruplicem, etc., valorem ipsius x. Ex aequationibus vero(5 ...(IJ et sequentibus apparet, quot disserentialium partialium etc., qui se deinceps Excipiunt, nihilo aequales sunt, totidem coem- dim lentes continuoS , --, etc., in serie sil) evanescere, ita ut etiam

dici possit, o esse duplicem, vel triplicem, etc., valorem iPSius a, Prout Utius, vel duo, etc., coefficientium initialium in serie (M nihilo aequales Sint . Et cum quivis coefficiens disserentialis respectu eorum, qui eum (lDSubsequuntur, tamquam iunctio primitiva considerari possit, etiam concludimus, si lilures coefficientes continui cujusvis ordinis in serie (2 , posito x m ct et m b, nihilo sequales reddantur, quemlibet horum, post substitutionem F m h tamquam aequati nem Solius x consideratum, tot habere radices aequales ipsi G, quot messicisintes, Proxime eum sequontes, evanoscunt, Pt insu Por

tinam