Marini Ghetaldi ... Promotvs Archimedis sev De varijs corporum generibus ...

11쪽

PATRICII RAGUS INIPropositiones de Parabola.

THEOREMA I. PROPOS. I. I sint duae parabolae, ad diametrum unius ordinatim applicentur quotcumque rectae lineae, totidem quoque ordinatim applice tur ad alterius paradolae diametrum, ita ut segmenta diametri unius, interiecta inter verticem,&applicatas , sint aequalia segmentis diametri alterius,inter verticem,& applicatas interiecti singula videlicet sim Es,sint autem Mapplicatae applicatis aequales,singuilae,fmgulis, anguli contenti applicatis, diametro unius, a ouales angulis contentis applicatis, diametro alterius. altera alteri parabolae eadem erit.

SINT duae parabolae quarum a diametri AB, CD,&ad AB,ordi natim applicentur quotcunq; ο

ctae lineae GE, ΗΒ, totidem quoq; UMC ordinatim applicentur lF,ΚD, ita es mentis ΑΕ, ΑΒ, sint 'aequalia segmenta CF, CD, sugula videlicet singulis, sint auten a applicatae, GE, HB, applicatis 1RΚD, aequales singulae singulis, angulus Am aequalis angulo CPI. Dico parabolam AGH, parabolaeCΙΚ, eandem esse Punctuenim A, posito in C, recta vero li

12쪽

CD, sit aequalis;congruente autem As,ipsic congruereΗ,ipsi DK, eum angulus ΑΒΗ, ut aequalis angulo CD quare &M, congruet ipsi

Κ, est enim ΒΗ, aequalis DK:eadem ratione ostendetur functum G, puncto I, congruere, omnia puncta, quae fiant in una parabola omnibus,quae sunt in altera quare parabola parabolae congruet congruente igitur parabola AGH, parabolae Cα, altera alteri eademiserit, quod erat ostendendum

THEORE MAGI PROPOS ILSI recta linea ordinatim applicata ad diametrum πι

nius parabolae sit aequalis recti lineae ordinatim arplicatae ad alterius parabolae diametrum sit autem degmentum diametri unius interiectum inter verticem, applicatam,aequale segmento diametri alterius interse licem, ocoeptiς mmitteriecto, sitque angulus contem tu applicat o diametro Vnius,aequalis angulo contento an cata, diametro altarius , altera alteri parabolae eadem erit. . . .

SIM duae parabolae, quarum diametri AB, CD, ad AB, ordinatim applicata HB, aequalis sit ipsi KD, ordinatim applicatae ad

CD, fit autem Iegmentum AB, diametri aequale segmento CD, diametri, angulus ΑΒΗ, aequalis angulo CDK,Dico parabolam , para bolae Κ, eandem e , sumatur enim in diametro ΑΒ,

tim applicentur GE,ΙF, quoniam igitur aequales si DAB, CD, aequales quoque E CF, erit ut AB,ad CD,ita AE,ad CF,aequalis videlicet ad aequale,& permutado utina, ad AE ta C ad CF, ' sed

δ' ut AB,ad ΑE,ita est quadratu HB,ad quadraesi GE, 'ut C ad CR Ust ita uadratum KD,ad quadratum ΙRergo ut quadratum HB aquar dratum GE, ita erit quadratum ED, ad quadratum re, quam n HRast , ita Κ MIR permutando, HB, ad D, ita GH ad πω sunt

13쪽

t autem κακα aequales, ergo ME, IF erunt quoque aequalest quare ex antecedente Theoremate parabola ΑΗ, Parabolae C ea..dem erit, quod erat ostendendum.

THEO REMA II PROP. II LSI duae parabolae recta latera aequalia habeant, anguli

autem, quos constituunt ordinatim applicatae cum diametro unius sint aequales angulis, quos Mdinatim applicatae cum diametro alterius constituunt, altera alteri parabolae eadem erit.

. Habeant duae parabolae,quarum diametri M,CD,latera recta M-cRaequalia, anguli autem quos constituunt ordina Atim applicatae cum diam reo Aly,sint aequales angu 'lis,quos ordinatim applicatae cum diametro CD, constituunt. Dico parabolam Α, parabolaec eadem esse . sumantur enim AB, CD, aequales, ordinatam applicentur GB,ΗΒ, qu niam igitur aequales siunt ARCF, aequales quoque ΑΒ, in rectagulum BAE, aequale erit rectaguloDCF, sed rectangulum ΒΑΕ, ae IL, quale est quadrato B, R. rectangulum DCF, aequale quadrates mergo quadratum GILaequale erit quadratoBD,quare& rectam, aequalis rectae RP, sed, AB, aequalis est CD, angulus ABG, aequalis angulo CDΗ, emoe a recedente Theoremate parabola A parabolae , eadem erit, quod erat ostendendum.

THEOREM IV. PRQP. IV. Uustunque coni parabola parabola coni recti,

ctangulieadem ii par

14쪽

- PROPOSITIONES

SI cauustuaque eoni parabola AB,cuius diameter AC.Dimp ὶ rabolam is, parabota coni recti rectanguli eandem esse Sumatur enim quodvis punctum B,insectionein ab eo ad mordinatim appli-cetur BC,& sit primum angulus ACB rinus, hoc est diameter AC, sit axis, sumantur duae rectae lineae. DE,EF,aequales ipsi AC,&inclinentur ad angulos re-

catur,& fiat quadrato BC, aequale rectangulumDFG,

rallela GH, secet DE*r ductam in H, erit igitur angulus ad H, aequalis anguisio DEF,& ideo rectus,nam rectus est ipse DEF, quoniam aequales sunt DE EF, angulus ad D, aequalis erit angulo EFD, hoc est ΗGD, quare MD, aequalis

erit HG. Itaque circa dia visam

metrum DG describatur circulus DIG, rectiis ad triangulum DEG, . intelligatur conus,cuius vertex punctum Η,basis circulus DIG.eriri igitur is conus rectus rectangulus, quoniam DΗ, aequalis est HG, angulus adu,rectus Deinde secetur conus per EF,plano secantem culum DIG, secundum rectam liheam Iin,perpendicularem ipsi DU, faciat sectionem in superficie coni lineam Io ea igitur sectio rix' -- parabolamam eius diameter EF,parallela est lateri HG, trianguli mi axem , Et quoniam IF,perpendicularis est ad DG, diametrum circuli, ctangulum DFG, aequale erit quadrato IF sedis quadratro Gere

Wquale ex constructione, ergo quadratum IF aequale erit quadrato BC, consequenter, recta IF aequalis rectae BC.Et quoniam triangu-- . lumDHG, rectum est ad circulum DIC, communi autem eorum in 3 -ειε ctioni DG,perpendicularis est IF, erit IF,perpendicularis ad triangu PU3 lum DΗG,quare' ad omnes rectas lineas quae ipsam aF,contingunt - &in eodem sunt plano, ergo&ad EF. - Itaque quoniam ordinatim applicata IF, aequalis est ordinatim applicatae BC, segmentum EF, diametri interiectum interverticem

applic tam aequa e segmento Ata diametri latir vertisem applica-

15쪽

etam interiecto, est autem cingulus EFI, aequalis angula ACB, terique enim rectus est, erit ex Theorem a parabola I , parabola: ΒΑ,

Aliter existente angulo ACB , recto

sΙ parabola ut supra , cuius axis AC, latus vero rectum AL, ostendinidum est parabolam ΑReandem esse parabolae coni recti rectanguli. Exponatur enim conus rectus rectangulus,cuiu Vertex pun- ctum H, basis circulus DIG,&secetur plano per axem,quod faciat sectionem triangulum H DG deinde sum turΗΕ, aequalis M'midiae AL, ipsi vero HG, agatur parallela EF,4 per ipsam EF, secetur conus plano secante circulum DΙG sec dum rectam li- meam IFK perpendicularem ad --,ωfaciatsectionem insipe fiet coni lineam I , ea igitur sectio, erit parabola .

Deinde apimcto Ripsim,du- eatur ad rectos angulos EM, fiat ut rectangesum DHG, hoc test ut quadratum M velis, sunt enim aequales DN,ΗG, a uadrarii DG,ita rectas ad EM, Hifigitur EMdatus rectum para lae I . Et quoniam rectus est an it Lmius Η,quadratum DC,aequale erit quadratis DΗ,-, sed quadra μαα Η,-, siant interse aequalia tergo quadratum DG, duplum erit quadrati HG, Huc quare, α ΕΜ, dupla erit ipsius ΕΗ, est. enim H, ad EM , sicut Adratum HG, velim, ad qua--dratum G. Sed AEL, dupla ponitur Ufius Em ergo EM, erit aequalis ipsi AL 7 Et quoniam triangulum D-,rectum est ad circulum DIG, communi autem eorum sectioni DG perpendicularisaestas, erit IF pendicularis ad triangulumim, quare ' ad omnes rectas lineas Q uae ipsam IF, contingunt, Win 'dem sene plano ergo ad EF ac L. Quoniam igitur , latus rectum parabolae AK aequale est ipsi EM, lateri recto parabolae IEΚ mahgulus ACB eofitentus applicata,

diantetroae ratis angulo EFI,contento applicata,&diametro nem; animestrinus rit para-- 3

16쪽

SE non sit rectus angulus ΛCB, hoc est diameter Ammon sie

6. z. axis inuento aute axe,ordinatim εu, ad ipsum applicatae in angulo recto applicabuntur, quare eaden ratione qua supra siue priori, siu posteriori ostendetur parabolam . Cuius inuentus esset axis, hoc est

parabolam AB, parabolae wnici cti rectanguli eandem esse. Cuius cunque igitur coni parabola pararbola eoni recti rectanguli eadem est,quod erat ostendendu is

PROBLEMA L PROP. V. N dato cono datae parabolae eandem parabolam i

s Iadatus conua cuius vertex punctum Α, basis BC, circulus, data aute parabola, cuius dia- 4 meter DE, oportet in.c nodis parabolam inu g nire eandem parabolaei,' a quocunque puncto F. in sinio vim o ad diana trum DE,ordinatim applicetur FE, sit primum angulus DEF rectus hoc est

diameter ,sit axis Se 'cetur conuypIano per axe

adiectos angulos binis ni,&faeiat sectruo triangarum ABC,in AC,autem matur AG,aequalis Dλω ipsi BC paralletia aga . tur GH, producatur ad partes G, fiat quadrato FE aequale rectangulusu

17쪽

DE PARABOLA in

os triangulo ABC, Misciat sectione in superficie eoni lineam PN

Communis autem sectio plani secantis,4 circuli BC, sit Poru Quoniam igitur triangulum ABC, rectum est, ad planum secans, ad circulum B communis ipsorum sectio Po, ad tragulum ABC pe Is r .peudicularis eri quare 'ad omnes rectas lineas,quae in triangulo ip- i' sam contingunt,ergo adoranque ipsarum BC, D. Quoniam igitur qumnus secatur plano secante basim coni secundum rectam lineam o, perpendicularem ad BC, basim trianguli per axem, diameter autem iectionis videlicet No,parallela est ipsi ACaateri trianguli per axem, erit 'coni sectio pNQ, parabola. r. r. Rursus quoniam BC, parallela est ipsi is, ducta R, parallela ipsi A με. ori planum quod transit per LΚ, , quidistans erit plano per BC a s. r. OP, hoc est basi eoni,ideoquevianum per LΚ, RM,circulus eriticulus διε .diamenter in.& quoniam RM,perpendicularis,est ad is,quod &PO, ad B quadratum RM,aequale erit rectangulo LMΚ, hoc est HGI, est, tenim HG,aequalis LM, ex construe tione,&GI,aequalis Κ, quia cum si parallelosrammum ΗΙΚL, erit HI aequalis LΚ, ablatis aequalibus HG, LM, reliqua GI, aequalis erit reliquae Κ, sedis quadratum FE, aequale est rectangulo EGI, ex constructione, ergo quadrarum RM, aequale erit quadrato FE,& recta Ru aequalis rectae FE.

Et quoniam LM, parallata est ip HG,4 aequalis, itincta GM, erit parallela ipsi ΗL.sed &MM,par llela est ipfi AG,ergo parallelogram mum erit NMG: quare M,aequalis ΑG,sed AG qualis est DRex constructione,ergo M, ipsi DE,aequalis erit. Et quoniam parallelae sunt Po, ,erunt anguli NOP,NMR aequa, les, sed rectus est OP, quod Pin perpendicularis est ad No ergo

NΜR, rectus erit,& ideo angulo recto DEF, aequalis. Itaque quoniam ordinatim applicata in aequalis est ordinatim applicatae FE,&segmentum NM,diametri interiectum interverticem applicatam aequale segmento DE,diametri inter verticem, appli tam interiecto, est autem, angulus NMR aequalis angulo DEF, erit ex Theor. a. parabola PN datae parabolae D,eadem.

SIT datus conus, parabola visura, oporteat sacere, quod imperatum est. Sumatur quodcumque punctum , in sectione, ordinatim applicetur FE, It primumangulus pEF, rectus, hoc est diameter DE sit axis,& ducatur ipsi DE, perpendicularis DS, ω is t quadrato B, aequale rectangulum EOS, 'erit igitur DS, re a

cta iuxta quam possunt ordinatim applicatae seu latus rectum , A. a. deinde secetur conus plano per axem, quod sit ad rectos angulos basi με - coni,

18쪽

eoni , sint acti meta triangulum ABC, riis ut quadratum BC,adi ctangulum BAC, ita emcta linea DS, ad aliam a rectam, cui aequalis' natur AN, M ipsi AC, agatur paralleri mo, perquam secetur eonu plano ad recto angulo triangulo AB Misciae sectionem in is nilesiaconi lineam PN com munis autem sectio pta, ni secantis , et circuli BP sit PO adhina tione qua supra ostende tur angulum Nov. est rectum, lineam νN esseparabolam. Et quoniamest,reMactatumi , ad rectamulum AC ita D rr. r. ad AN, erit parabolai PNGiaeus rectum I S. - Quon in igitur latus rectam parabolae PN aquale est lateri re cto parabolae DF, atque angulus Noe contentus applicata Miam tro aequalis angula DEF, eonrento applicata, diamet rectus est nouis enim uterque erit parabola ροἰQ, parabola: DF,eadem cSed non strectus angulus DERhoc est diameter DE, non sit axis: In nto me un axe,eadem ratione,ina pia, in dato cono data pas.ctholae eandem Hrabolarii illiue hiemus. In dato igitur u ais parabolae, eadem parabola inuenta est,quod erat faciendum

Sed exuente angulo Vm, obliquo liter quoque in

19쪽

46. I.

aequalis dimidiae G ipsique BC ducatur ad rectos angulos AC, dc agatur ip ΑΒ, parallela CΗ, cui perpendicularis duratur ΒΗ, CH, bifariam secetur ina, deinde

intelligatur parabola,cuius vertex punctum I,axis vero IΗ. ad axε ordinatim applicata ΗΒ, cui parabolae eadem parabola inuetniatur in dato cono,quod quomodo fieri oporteat dam dictum est inuenta parabola sit Ist quomam igitur Cl,lΗ,sunt aequales,recta C 'λ- tinget sectionem in B, ΑΒ, dia onerer erit sectionis,quia Parali la est ipsi CΗ a sectione autem ad ΑΒ, ducatur NK, parallela ipsi CR. con ingentε,erit vigiluvNK, ad diametrum AB,ordinat in applicata, angulus ΑΚN, aequalis erit angulo ABC, hoc est DEF Rursus ducatur ad AB,Perpen dicularis 1LM,duolg t artr;angi la/CB,LMB, aequiangula eriint; nam anstuli ACB LMB, sunt aequa Ies ,-'umenis est, er-,s angulas,qtii ais 'communis, go,oBL,ad BM,ita eriti Α, ad BC,&4λω,d u vipemnae est enim eadem ratio dupliciis duplum Marsimpli ad simpluata inre existente diametroAB,erit latus rectum dupla ipsius B Aued dupla ipsius B A aequalis est ipsi G, Iateri recto parabolae, cuius diameter DE, excon GALs ictione,ergo exinente diametru AB,latus rectuma uale erit lateri recto parabolae D. Iraque amniari aissaei hirn--ΑΒ, aetaale est a ridicto P Φ- i iugulus MN, eisileentus appli cata, F mcπ' qualis angulo DEF. contentoapplicata, Viametro erit paraboladclitu diametera eadem parabolae D. 1n dato igitur cono ..hae iux hitae parabolae, instentati meadhm parabola, quod eradiaeie,idum

a,PQ ratione utipuoniuntur hyperbola,M Ellipses clati eaedem alibi tractabimus

COROLLARIUM LEX demonstratis colligitur coni scaleni paraboIam,in qua r. Ordinatim applicatet in angulo obliquo applicantur, esse

20쪽

portionem parabolς coni recti abscissam non ad rectos angulos ipsius paraboletalli. Dixi in qua ordinatim applicatae in angulo obliquo applicantur, quia inueniuntur etiam infinitae parabolae in cono scaleno, in quibus ordinatim Capplicat in angulo recto applicantur.

Secetur enim conus ABG stalenus plano per axem ad rectos angulos basi BC,& faciae sectionem triangulum ABC, secetur autem, altero plano licundum rectas lineas EG, DG , quarum EG, aequidistet lateri AC, ipsa vero DGF, sit perpendicularis ad BC, faciat sectionem in .perficie eoni lineam DEF, ea ' igitur linea erit parabola,ad cuius diametrum EG, ordinatim applicatae inan-Bgulo recto applicabuntur.

LOROLLARIVM II. Colligitur etiam omnes parabolas ad construenda comburentia specula esse idoneas

Demonstrarum enim est ab Orontio a Vitellione parabolas coni recti rectanguli ad constructionem speculorum comburentium es idoneas, sed parabola cuiuscunque coni eadem est . quae coni recti,

ctanguli , ut prop. . demonstrauimus, ergo omnes Parabolae ad construenda comburentia specula sent idoneae.

SEd illud quod Orontius,in Vitellio de sola coni recti,a

que rectanguli parabola demonstrarunt, hoc est selares radios in speculum iuxta coni recti, atque rectanguli parabolam excavatum incidentes ta ut axi aequidistent,ad unum comm nem punctum reflecteremos deletis multis,paucis mutatis,breuiter, expedite sequenti Theoremate de omni parabola d monstrabimus. THEO-