Marini Ghetaldi ... Promotvs Archimedis sev De varijs corporum generibus ...

31쪽

BEN EUM L.

33쪽

PROMOTUS ARCHIMEDES

DE VARIIS CORPOR UAE GENERIBVs

Grauisara, ct munitudin comparatis.

duorum Grauium Corporum eiusdem g neris alterum alterius seerit multiplex, quo-mplex maius fuerit minoris, tot lex erit maioris grauitas, grauitatis minoris..SIN T duo corpora eiusdem generis ΑΒ D, quorum grauitates, IFG, ipsius ABC,&Η, ipsus D sit autem corpus ABC, multiplex corporis D. Dico quotuplex est corpus ABC.corporis D, totvplicem ess grauitatem EFG, grauitatis Η, diuidatur enim corpus ABC, in partes ipsi, aequales , quae sint A, B, quomam igitur cespus A aequa te est corporii, magnitudine , ' '&sint elusilem generis,erit grauitas unius aequalis grauitati alterius. sumatur grauitas E,aequalis grauitati Η, erit igitur corporis A, gravitas E, reliqui corporis BC, grauitas FG. Rursus quoniam corpora B, D, sunt magnitudine aequalia, erunt aeqv grauia, sumatur

grauitati l aequalis M iras'astigi mrporias trauitas', reliqui corporis Q grauitas G,& sic nat,donec perueniatur ad ultima patrem corporis ABC, malam ipsi DIGrasvrmapalis squoniam igitur corpus C ouatur magnitudine ipsi D,aequabit ,& g uitate, quare grauitas G, aequalis erit granitatim sequitur igitur quot partes sunt in corpore ABG aequales ipsi D, toe esse partes intagrauhram EFG, aequites ipsi AEquorim enim sium mus in corpo

34쪽

grauitatem ritualem ipsi, stauoruta igitur grauiumMrporum

eiusdem generis,&αquod erat demonstrandum.

ΤΗΕORE MAII. PROPOS. II. Corpora grauia eiusdem generis magnitudine commensarabilia, eandem ingratulate rationem habent,quam in magnitudine.

SIN T corpora commenserabilia eiusdem generis Α,.B, quorum grauitates ipsius Α,&M,ipsius B, Dico esse ut Mad B, ita C, ad D, quoni3m enim Α, Β, commenserabilia sent, metietur ipse aliquod corpus, metiatur, inta, cuius M a. grauitas , que corpus E, eiusde F is...c generis cum corporibus Α,B, ergo

quotuplex est corpus A ipsius E, T Ex an- tuplex erit grauitas grauitatis l.

- . R"uplex B,ipsius E,'totuplex D,ipsius F,si igitur diuidantur corpora Α,B in partes aequales ipsi E, grauitates quoque C, D, in partes aequales ipsi F, erit ut corporis Α, par una,ad corpus E, ita pars una grauitatis C ad grauitatem Raequale videlicet ad aequale,& aeque multiplicatis antecedentibus erit in affrim C,ad F, sint enim antecedentium, hoc est, illarum. Partium qiae multiplicia Α, C, eadem ratione,ut B,ad Ε, ita erit D, ad F,ω conuertendo ossi ad B, ita F, ad D. quoniam igitur ut A adas. s. E, ita est C, ad F,4 ut E ad B, ita F, ad D. erit ex aeqpali vi Α, ad ita C, ad D corpora igitur commensurabilia eiusdem generis eandem iis grauitate rationem habent, quam in magnitudine, quod erat demonstrandum.

THEO REMA III. PROPOS. III. ET incommenserabilia corpora eiusdem generis

eandem in grauitate rationem habent, quam in magnitudine.

SIN T incommenserabilia corpora A, BC, quorum grauitates D, ipsius A, EF, ipsius BC. Dico esse, A ad BC, ita Ix ad EF,

35쪽

enim non est ut AindBC, ita ad EF, erit ut ad BC ita D, vel ad minorem quam EF, vel ad maiorem, sit primum ad minore, nempe ad EG,&ex-Ponatur aliquod eorma eiusdem genem is cum corporibus A, BC, cuius grauitas sit aequalis ipsi EF,&ι corpore BGauseratur aliqua pars quaesit minor corpo Κ, ita ut reliqua pars Bia sit eommensurabilis ipsi A. sit partis C, grauita IF ergo reliquae partis BL, grauitas erit ELQuoniam igitur corpus Α, commensurabile est ipsi Bia erit ut A ada --BL, ita D,ad EI, sed ut A ad BC, ita est D ad EG, atque Α, Primus,mem proportionalium terminus in serie prima, ' maiorem habet rati ε nem ad BL, secundum terminum,quam Α, primus terminus lastri 'secunda ad BC, secundum ergo i, tertius terminus in serie prima ad EI, quartum, maiorem habebit rationem quam D, tertius terminus in serie secunda ad LG, quartum, quoniam igitur D maiore habet rationem ad EI, quam ad EG, eri EI, minor quam Em,quod a test absurdum non igitur est ut Α,ad BQita D, ad minorem quam EF. Deinde fit ut A ad BC, ita D, ad maiorem quam Erinempe ad EG,&exposito corvore , ut dictu est, cuius grauitas, fit aequalis grauitati FG, addatur co pori BC, aliquod empus CH,quod stylinus corpore Κ,& eiusdem generi cucorporibus Α, BC,

i vetorum corpus

sit -mmensurabile ipsi A, sit ipsius cΗ, grauitasFI, ergo to tius corporis BL grauitas erit EI; Quoniam igitur corpori Α, commensurabile est corpus BL, erit ut Α,ad BL, ita D,ad EI,sed ut A ad a. a. BC,ita esto,ad EG, atque Α, primus proportionalium terminus tria, ..hrie prima, ' minorem habet rationem ad Bia st indum terminum, μί quam

36쪽

quam Α, primus terminus in serie secunda ad BC,seeundum ergo,ae D, tertius terminus in serie prima ad EI, quartum,minorem habebitrationem quam D,terinis terminus in serie secunda ad E quartum. moniam igitur D minorem hoet rationem ad si I, quam ad Eoux erit ' EI, maior quam EG, quod est absurdum. Non igitur est, A.

ad BC,ita D, ad maiorem quam EF,ostensium autem est neque ad minorem,quare vi Α, ad BC,ita erito,ad FP.Mineommensiurabilia igitur corpora elusidem generis eandem in grauitate rationem habent, quam in magnitudine, quod erat demonstrandum .

ID QUOD nos duobuspraecedentibus Thecusent us monstrauimus,nonullio per se notum, , commune quoddam axioma supponunt,quam bene lationabiliter ipsi viderint; melius enim Euclides propositionem ad primi libri EIementorum supposuisset ut pronuficiatum; unicuique enim notius est duo trianguli latera reliquo esse maiora cum Isino illud sit notum quam corpora grauia eiusdem generis eandem in Navitate rationem habere quam in magnitudine , amen illam propositionem demonstrat Euclides , non stipponit , non igitur haec, quae minus ad principii rationem accedit, supponenda fuit,sed demonstranda

SI quatuor corporum grauium primum adsecutidu

eandem in magnitudine rationem habear, quam tertium ad quartum, primum autem , decundum sine eiusdem generis, itidem tertium, quartum; in grauitate primum ad secundum eandem rationem habebit, quam tertium ad quartum .

PRIMI enim Α, ad secundum B, eandem in magnitudine rationem habeat, quam temuiriC, ad quartum D, sint autem Α, Β, eiusdem generis, itidem C, D. Dico in grauitate primum Α, ad secundum B, eandem rationem habere,quam tertium C ad D, quartum Sint enim earum grauitates E, ipsius A, F, ipsius B, ipsius'. vero C, sit grauitas G,4 ipsius D, grauitas Η, quoniam igitur cor

37쪽

ARCHIMEDES.

pora A, B, eiusdem sunt generis, similiter,& corpora lueritv Α, ad B, ita E, ad F, & e C ad ita G, ad Η. Sed poni- tuns Α, ad B, ita eis C adinem vi E,ad F it erit G ,adH. Si igstur quatuor corporum grauium primum ad secundum eanclam in magnitudine rati nem habeariet t. mpod demonstrare potiebat

Smila coipora indo grauiora demissa in liquiduiti

seremur deorsum,donec descendant,4 erunt india

qui-- grauitas liquidi magnia. tuainem habenti soliaocorpori aequalem

THEDREMA VI PROPOR VI. SI quatuorgrauium corporum primum,& secundum Bediat maljestud ne aequalia,tertium Vero, quartum aeque grauia . uerint aurem primum,& tertium eluaemgeneri , itidem secundum, quartum Lerit grauitas corporis primi, ad grauitatem 1ecundi , ita se uitas liquidi aequalismagnitudine corpori quarto,adita uitatem liquidiis o corpori aequalis

SI ' quatuor comora A, B, C, D,subrum A,primum, a. eundum tis mansitudin, vina, tertium Vero C, quatiun inque grainia, fine autem Ain eiusdem generis,itidem B,&D. Diaco ut grauitas corporis A,ad granitatem corporis B, ita esse grauim. tem liquid aequalis magnitudine corpori ria grauitatem liqvidi magnitudinecorpori Ioaequalis Accipianti enim tria esul mae

38쪽

neris liquidi corpora E,F, G, quorum Ε, sitae Maeon ora A, ves

magnitudine, ipsum vero F, tequa. iecorpori C,&ipium G,aequale corpori D. Quoniam igitur est ut D ad G ita B, ad Ε, aequale videlicet adaequale erit permutan

do vi D,ad B, ita G, ad E, '-niam sunt eiusdem generis Arpora D,B, similiter ωcorpora G, E, a. - .e rit 'st grauitas corporis D, hoc βαπι empsius C ponuntur enim aeque grauia corpora C, D, ad rauitatem corporis Rita liquidi grauitas adgrauitatem liquidi . Similiter quoniam est ut A ad Ε, stac, ad , aequale videlicet ad aequat erit permutandos Α, ad C, ita G ad F di quoniam ponun ur eiuQem generis corpora A, C, a. a itidem E,F. erit ut grauitas corpori Α, ad grauitatem ipsi is et ita. - . liquidissi, grauitas ad gri tatem liquidis, sed vi,grauitas eorporis Q, ad grauitatem corporis B; ita est grauitas liquidi G, ad grauita tem liquidia, ut est demonstratum,emo 'cin periinh-proportione auis erit ut grauitas corporis A,ad ipsus corporis B, grauitatem,ita liqui di G, grauitas, ad granitatem liquidi F. si igitur quamor grauium eorporum primum, Iecundum,&α quod erat demonstrandum .

SI quatuor grauium corporum primum, decundu.

suerint magnitudine aequali tertium vero,& qua tum aeque grauia, herint autem primum, Qtertiunt eiusdem generi itidem secundum suartum p.rimum ad secundum eandein in grauitate rationem pabebit: quam habet in magnitudine quartum ad tertium.

. SINT quatuor grauia corpora Λ,B,C, quorum A, primum dissi, secundum sint magnitudine aequalia,tertium vero C, D, quar hum aeque grauia sint autem Α, G, elusiis generis, itidem B, D. Dico corpus Α, eandem ingrauitate rationem habere ad corpus

39쪽

a, quam mi pus , habet in magnitudine ad eorpus sit enim mquidi magnitudine aequalis corpori C, grauitas E similiter, liqvi. di aequalis magnitudine corpori D, grauitas , quoniam igitur grauia corpora erusidem generis, ean- dein ip magnitudine rationem habent,quam in grauitate, erit ut magnitudo liquidi aequalis corpori ad magnitudinem liquidi aequalis corpori C, hoc est, ut magnitudo corporis ad magnitudinem eorporis C, ita grauitas F, ad grauita-aem Ε, sed ut grauitas F, ad grauitatem E. ita est grauitas corporis Ex a. Α, ad grauitatem corporis B, ergo ut grauitas corporis A,ad graui cratem corporis B, ita eritmagnitudo corvoris D,ad corporis , ma- mittesmem. Si quatuor igitur grauiurii corporum primum,& secundum quod erat demonstrandum.

PROBLEMA I. PROPOS. VIII.

P Ropositis duobus corporibus magnitudine aequali bus, uno solido, altam lis ido, data selidi corporis

graintat. simitatem liquidi inuenire

SINT huo proposita eo o ra magnitudine aequalia A, B, quorum Α, sit solidum,B, vero liquidum,& sit solidi dat grauitas CD, oportet inuenire quanta eΗt grauitas liqvidi B. Si si-aidimi Α. grauius fit liquido, demittatur in liquidii,& habeat in livido grauitatem ED,quoniam Figitur lidum A, frauius est li quido demissum in liquidum erit in liquido tanto leuius,quata est grauitas liquidi magnitu radine equalis solido A, sed soliduis, levius estin liquido, quom

40쪽

erit CE 'Si vero solidum Α, sit leuius liqvido,accipiatur aliquod aliud corpus solidum F, grauius liquido, ita ut solidum minstat ex uisim solidis A, F demissum in liquidum seratur deΦrsum . 4 Blidi F. grauitas DG,item eiusdem solidiF, in liquido videliine erustentis sit' iuius grauitas HG, ' ergo liquidi magmtudine aequaliaMido Fuerit gra

Et quoniam solidia, grauitas best CD, Bitia veroF prauisas DG, erit virorumque solidorum Α,F, grauitas CG coniungantur issida Α, F, solidum ex utrisque constans demittatur in liquidum,&ὶ beat in liquido grauitatenti I. habebit auae in liquido minorem grauitatem, quam solam solidum F, quoniam Bildu F, grauius li-

. leviori liqirido abio sustinmutine deorsum stratur ista vi, myseiu ctum quoniam iratur ii quod constat 2-iugrihuras.φst sic; vi liquido Hroexistentis grauitas Ι,. erit liquissiliabentis magnitudinem aequalem trisque λlidis A, F,grauitas CL sed grauitas liquidi aequalis magnitudine solido F est DΗ, ergo reliqui liquidi aequalis splμων eris graui s CD, I , sed liquidum B. aequatur magnitudine sili do Α, ergo grauitas liquidia, erit CD,Iminuenta igitur est liquidi co*Wsa, grauit S CD, IH de qua qua

Tebatur.

Placer huic Prolamati exemplumvponere, ut Unicuique etiam disciplinae Mathematicae experto ad usum pateat aditus quare etiam sequentibus Problem tis apponem's similia

Exemplum. QVidam proponit aliquod 'it solidum notae

grauitatis,4 vult seire quanta erit grauitas liquidi magnitudinem habentis proposito coipori solido a